2021新高考数学（江苏专用）一轮复习课时精练：8-6 椭圆 WORD版含解析.docx

1、1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析由题意可知椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆方程为1(ab0)，由题意可知c1，e，可得a2，又a2b2c2，可得b23，所以椭圆方程为1.2若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案C解析依题意可知，cb，又ac，椭圆的离心率e.3已知椭圆C：1(ab0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由题意知2a6,2c6，所以a3，c1，则b2，所以此椭圆的标准方程为1.4(202

2、0湖北八市重点高中联考)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过点F作圆x2y2b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.答案D解析如图，由题意可得，bc，则2b2c2，即2(a2c2)c2，则2a23c2，即e.5已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为()A.1 B2 C. D.答案A解析过F1的直线MF1是圆F2的切线，F1MF290，MF2c，F1F22c，MF1c，由椭圆定义可得MF1MF2cc2a，椭圆的离心率e1.6(2020广东华附、省

3、实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析设P，F1(c,0)，F2(c,0)，由线段PF1的中垂线过点F2得PF2F1F2，即2c，得m24c222a23c20，即3c42a2c2a40，得3e42e210，解得e2，又0e1，故eF1F2，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为1.12如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B

4、.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由2，得解得x，y.代入1，得1.即1，解得a23.所以椭圆方程为1.13在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，则PAPB的最大值为()A5 B4 C3 D2答案A解析椭圆的方程为1.a24，b23，c21，B(0，1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0,1)，如图所示，根据椭圆的定义知，PBPC4，PB4PC，PAP

5、B4PAPC4AC5.14(2019浙江)已知椭圆1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_答案解析如图，左焦点F(2,0)，右焦点F(2,0)线段PF的中点M在以O(0,0)为圆心，2为半径的圆上，因此OM2.在FFP中，OM綊PF，所以PF4.根据椭圆的定义，得PFPF6，所以PF2.又因为FF4，所以在RtMFF中，tanPFF，即直线PF的斜率是.15(2019衡水模拟)阿基米德(公元前287年公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴

6、长的乘积若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为12，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由题意可得解得a4，b3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆方程为1.16已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，求该椭圆的离心率的取值范围解由得.又由正弦定理得，所以，即PF1PF2.又由椭圆的定义得PF1PF22a，所以PF2，PF1，因为PF2是PF1F2的一边，所以有2c0，所以e22e10(0e1)，解得1e1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5答案D解析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，所

7、以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，5k2m10，m1且m5.2已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点(2)当0，即m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C

8、有且只有一个公共点(3)当0，即m3时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点 弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则AB的最大值为()A2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.AB |x1x2|，

9、当t0时，ABmax.命题点2中点弦问题例2已知P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_答案x2y30解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.经检验，k满足题意故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y

10、1y22，y1y20，k.经检验，k满足题意此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单记住必须检验(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(k为直线斜率)(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式跟踪训练1(1)已知椭圆两顶点A(1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当CD时，则直线l的方程为_答案xy10或xy10.

11、解析由题意得b1，c1.a2b2c2112.椭圆方程为x21.若直线l斜率不存在时，CD2，不符合题意若l斜率存在时，设l的方程为ykx1，联立得(k22)x22kx10.8(k21)0恒成立设C(x1，y1)，D(x2，y2)x1x2，x1x2.|CD|x1x2|.即，解得k22，k.直线l方程为xy10或xy10.(2)(2019石家庄模拟)已知椭圆1(ab0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)AB的中点为M，x1x22，y1y21.PFl，kPFkl

12、.1，1.0，0，可得2bca2，4c2(a2c2)a4，化为4e44e210，解得e2，又0eb0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若ONOF(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解(1)设椭圆的半焦距为c，依题意知，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0,2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x2

13、20kx0，可得xP，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形跟踪训练2已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若F1B1B2为等边三

14、角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程解(1)由题意知，F1B1B2为等边三角形，则即解得故椭圆C的方程为3y21.(2)易知椭圆C的方程为y21，当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(2k21)x24k2x2(k21)0，8(k21)0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，(x11，y1)，(x21，y2)，因为，所以0，即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k21)(x

15、1x2)k210，解得k2，即k，故直线l的方程为xy10或xy10.1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1 B2C1 D0答案B解析由题意知，2，即b0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，1)，则椭圆E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析kAB，kOM1，由kABkOM，得，a22b2.c3，a218，b29，椭圆E的方程为1.6(2020南昌模拟)椭圆ax2by21(a0，b0)与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A. B. C.

16、D.答案B解析方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则axby1，axby1，即axax(byby)，则1，1，由题意知，1，过点与原点的直线的斜率为，即，(1)1，故选B.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10，可得AB中点P的坐标为，kOP，.7(多选)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1l2，则下列结论正确的有()A.1C.1答案ACD解析由椭圆1，可得a2，b，c1.左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，设A(0，)，则tanAF1F2，可得AF1F2，F1AF2.l1l2，直线l1与

17、直线l2的交点M在椭圆的内部1，A正确；B不正确；直线1与椭圆1联立，可得7y224y270无解，因此直线1与椭圆1无交点而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，满足1，C正确xy1,0y1，4x3y4(1y)3y4y1，因此D正确故选ACD.8设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_答案1解析F2AB是面积为4的等边三角形，ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得F1AF1B.又F1F22c，F1F2A30，2c.又2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，椭圆C的方程为1.9

18、设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是_答案1解析()()0，PF1PF2，F1PF290.设PF1m，PF2n，则mn4，m2n212，2mn4，mn2，mn1.10(2020湖北部分重点中学联考)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且AF13BF1，ABBF，则椭圆C的离心率为_答案解析设BF1k，则AF13k，BF24k.由BF1BF2AF1AF22a，得2a5k，AF22k.在ABF2中，cosBAF2，又在AF1F2中，cosF1AF2，所以2ck，故离心率e

19、.11已知椭圆C：1，过椭圆C上一点P(1，)作倾斜角互补的两条直线PA，PB，分别交椭圆C于A，B两点，则直线AB的斜率为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，同时设PA的方程为yk(x1)，代入椭圆方程化简，得(k22)x22k(k)xk22k20，显然1和x1是这个方程的两解，因此x1，y1，由k代替x1，y1中的k，得x2，y2，所以.故直线AB的斜率为.12设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点(1)求椭圆E的方程；(2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且2，求直线BF2的方程解(1)由题意知，b1，且e2，解得a22，

20、所以椭圆E的方程为y21.(2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为xmy1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得(m22)y22my10，则y1y2，y1y2，因为F1(1,0)，所以(1x2，y2)，(x11，y1)，由2可得，y22y1，由可得B，则kBF2或，所以直线BF2的方程为x6y0或x6y0.13(2019全国100所名校联考)已知椭圆C：x21(b0，且b1)与直线l：yxm交于M，N两点，B为上顶点若BMBN，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析设直线yxm与椭圆x21的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(

21、b21)x22mxm2b20，所以x1x2，x1x2，(2m)24(b21)(m2b2)4b2(b21m2)0.设线段MN的中点为G，知G点坐标为，因为BMBN，所以直线BG垂直平分线段MN，所以直线BG的方程为yxb，且经过点G，可得b，解得m.因为b21m20，所以b2120，解得0b，因为e21b2，所以eb0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点若ABF1的重心为G，则椭圆C的离心率为_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减得0.(*)因为ABF1的重心为G，所以故代入(*)式得0，所以，即a23b2，所以椭圆

22、C的离心率e.15已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为1(ab0)，则椭圆在其上一点A(x0，y0)处的切线方程为1.试运用该性质解决以下问题，椭圆C1：1(ab0)，其焦距为2，且过点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则OCD面积的最小值为()A. B. C. D2答案B解析由题意可得2c2，即c1，a2b21，将点代入椭圆方程，可得1，解得a，b1，即椭圆的方程为y21，设B(x2，y2)，则椭圆C1在点B处的切线方程为xy2y1，令x0，得yD，令y0，可得xc，所以SOCD，又点B为椭圆在第一象限上的点，所以x20，y20

23、，y1，即有2，即SOCD，当且仅当y，即点B的坐标为时，OCD面积取得最小值，故选B.16已知椭圆C的两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OAOB时，求AOB的面积解(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，由题意可得解得故椭圆C的标准方程为y21.(2)直线OP的方程为yx，设直线AB的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2mxm210，由3m24(m21)0，得m24，所以x1x2m，x1x2m21.由OAOB，得0，x1x2y1y2x1x2x1x2m(x1x2)m2(m21)m(m)m2m20，得m2.又AB，O到直线AB的距离d，所以SAOBABd.