2021高考数学大一轮复习 考点规范练52 直线与圆锥曲线 理 新人教A版.docx

1、考点规范练52直线与圆锥曲线考点规范练B册第37页基础巩固1.双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.54D.5答案:D解析:不妨设x2a2-y2b2=1的渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由y=bax,y=x2+1,得ax2-bx+a=0,所以=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故选D.2.设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=2x2上的两点,直线l是AB的垂直平分线.当直线l的斜率为12时,直线l在y轴上的截距的取值范围是()A.34,+B.34,+C.(2

2、,+)D.(-,-1)答案:A解析:设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=12x+b,过点A,B的直线可设为y=-2x+m,联立方程y=2x2,y=-2x+m得2x2+2x-m=0,从而有x1+x2=-1,=4+8m0,m-12.又AB的中点-12,m+1在直线l上,即m+1=-14+b,得m=b-54,将m=b-54代入4+8m0,得b34,所以直线l在y轴上的截距的取值范围是34,+.3.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F(1,0)作x轴的垂线与双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,若AOB的面积为83,则双曲线的渐近线方程为()A.y=32xB.y=22xC.

3、y=23xD.y=2x答案:B解析:由题意得|AB|=2b2a,SAOB=83,122b2a1=83,b2a=83.a2+b2=1,解得a=13,b=223,双曲线的渐近线方程为y=bax=22x.故选B.4.斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.2B.455C.4105D.8105答案:C解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由x2+4y2=4,y=x+t消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.则x1+x2=-85t,x1x2=4(t2-1)5.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2

4、(x1+x2)2-4x1x2=2-85t2-44(t2-1)5=4255-t2,当t=0时,|AB|max=4105.5.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案:A解析:方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+

5、x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为不妨令0,2.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得|AF|cos+|GF|=|AK1|,|AK1|=|AF|,|GF|=2,所以|AF|cos+2=|AF|,即|AF|=21-cos.同理可得|BF|=21+cos,所以|AB|=41-cos2=4sin2.又DE与AB垂直,即

6、DE的倾斜角为2+,则|DE|=4sin22+=4cos2,所以|AB|+|DE|=4sin2+4cos2=4sin2cos2=414sin22=16sin2216,当=4时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.6.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案:22解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为22.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于22,要使距离d大于c恒成立,只需c22即可,故c的最大值为22.7.已知椭

7、圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.解:(1)由题意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,所以a=22.故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点G(x0,y0),由y=x+m,x28+y24=1消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,则=96-8m20,所以-23m0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)

8、求|OH|ON|;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解:(1)由已知得M(0,t),Pt22p,t.又N为M关于点P的对称点,故Nt2p,t,ON的方程为y=ptx,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=2t2p.因此H2t2p,2t.所以N为OH的中点,即|OH|ON|=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=p2tx,即x=2tp(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.能力提升9.(2019广东六

9、校第一次联考)抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为()A.118B.54C.32D.1答案:A解析:由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+b.由题意知y0b0.联立得y=kx+b,y=2x2,整理得2x2-kx-b=0,=k2+8b0,x1+x2=k2,x1x2=-b2,则|AB|=1+k2k24+2b,点M的纵坐标y0=y1+y22=x12+x22=k24+b.因为弦AB的长为3,所以1+k2k24+2b=3,即(1+k2)k24+2b=9,故(1+4y0-4b)(y0+b)=9,即(1+4y0

10、-4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0-4b)+(4y0+4b)2(1+4y0-4b)(4y0+4b)=12,当且仅当b=18,y0=118时取等号,即1+8y012,y0118,所以点M的纵坐标的最小值为118.故选A.10.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案:B解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=33x,所以NOF=MOF=30,MON=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF

11、中,|OM|=2cos30=3,所以|MN|=3.11.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.答案:32解析:如图,双曲线的渐近线为y=bax.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.F0,p2为OAB的垂心,kAFkOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.12.在平面直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线

12、l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符

13、合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.高考预测13.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,右焦点F的坐标为(3,0),点P坐标为(-2,2),且直线PA1x轴,过点P作直线与椭圆E交于A,B两点(

14、A,B在第一象限且点A在点B的上方),直线OP与AA2交于点Q,连接QA1.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线QA1的斜率为k1,直线A1B的斜率为k2,问:k1k2的斜率乘积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.解:(1)由题意可知a=2,c=3,所以b=1.所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2)是定值,定值为-14.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB过点P(-2,2),设直线AB的方程为x=my-2m-2,联立x2+4y2=4,x=my-2m-2(m2+4)y2-(4m2+4m)y+(4m2+8m)=0,所以y1+y2=4m2+4mm2+4,y1y2=4m2+8mm2+4.因为点Q在直线OP上,所以可设Q(-t,t).又Q在直线AA2上,所以t-t-2=y1x1-2t=-2y1x1+y1-2,所以k1k2=-2y1x1+y1-22y1x1+y1-2+2y2x2+2=-y1y2(x2+2)(x1+2y1-2)=-y1y2(my2-2m)(m+2)(y1-2)=-y1y2(m2+2m)y1y2-2(y1+y2)+4=-14.