中考数学冲刺——几何压轴1（11-20）.pdf

1、春中考冲刺讲师：小鞠老师思考让我快乐初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师1如图，是具有公共边 AB 的两个直角三角形，其中，ACBC，ACBADB90（1）如图 1，若延长 DA 到点 E，使 AEBD，连接 CD，CE求证：CDCE，CDCE；求证：AD+BDCD；（2）若ABC 与ABD 位置如图 2 所示，请直接写出线段 AD，BD，CD 的数量关系思考让我快乐【解答】（1）证明：在四边形 ADBC 中，DAC+DBC+ADB+ACB360，ADB+ACB180，DAC+DBC180，EAC+DAC180，DBCEAC，BDAE，BCAC，BCDACE（SAS）

2、，CDCE，BCDACE，BCD+DCA90，ACE+DCA90，DCE90，CDCE；CDCE，CDCE，CDE 是等腰直角三角形，DECD，DEAD+AE，AEBD，DEAD+BD，AD+BDCD；（2）解：ADBDCD；理由：如图 2，在 AD 上截取 AEBD，连接 CE，ACBC，ACB90，BACABC45，ADB90，CBD90BADABC90BAD4545BAD，CAEBACBAD45BAD，CBDCAE，BDAE，BCAC，CBDCAE（SAS），CDCE，BCDACE，ACE+BCEACB90，BCD+BCE90，即DCE90，DECD，DEADAEADBD，ADBDCD初

3、三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师思考让我快乐2如图，在O 中，AB 是直径，BC 是弦，BCBD，连接 CD 交O 于点 E，BCDDBE（1）求证：BD 是O 的切线（2）过点 E 作 EFAB 于 F，交 BC 于 G，已知 DE2，EG3，求 BG 的长初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师思考让我快乐初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师【解答】（1）证明：如图 1，连接 AE，则AC，AB 是直径，AEB90，A+ABE90，CDBE，ABE+DBE90，即ABD

4、90，BD 是O 的切线（2）解：如图 2，延长 EF 交O 于 H，EFAB，AB 是直径，ECBBEH，EBCGBE，EBCGBE，BCBD，DC，CDBE，DDBE，BEDE2，又AFEABD90，BDEF，DCEF，CCEF，CGGE3，BCBG+CGBG+3，BG8（舍）或 BG5，即 BG 的长为 5初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师3如图，四边形 ABCD 是正方形，连接 AC，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得AEF，连接CF，O 为 CF 的中点，连接 OE，OD（1）如图 1，当45时，请直接写出 OE 与 OD 的关系

5、（不用证明）（2）如图 2，当 4590时，（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）当360时，若 AB4，请直接写出点 O 经过的路径长思考让我快乐【解答】解：（1）OEOD，OEOD；理由如下：由旋转的性质得：AFAC，AFEACB，四边形 ABCD 是正方形，ACBACDFAC45，ACFAFC（18045）67.5，DCFEFC22.5，FEC90，O 为 CF 的中点，OECFOCOF，同理：ODCF，OEODOCOF，EOC2EFO45，DOF2DCO45，DOE180454590，OEOD；（2）当 4590时，（1）中的结论成立，理由如下：延长 EO 到点 M，使 OMEO，连

6、接 DM、CM、DE，如图 2 所示：O 为 CF 的中点，OCOF，在COM 和FOE 中，COMFOE（SAS），MCFEFC，CMEF，四边形 ABCD 是正方形，ABBCCD，BACBCA45，ABC 绕点 A 逆时针旋转得AEF，ABAEEFCD，ACAF，CDCM，ACFAFC，ACFACD+FCD，AFCAFE+CFE，ACDAFE45，FCDCFEMCF，EAC+DAE45，FAD+DAE45，EACFAD，在ACF 中，ACF+AFC+CAF180，DAE+2FAD+DCM+90180，FAD+DAE45，FAD+DCM45，DAEDCM，在ADE 和CDM 中，ADECDM

7、（SAS），DEDM，OEOM，OEOD，在COM 和COD 中，COMCOD（SAS），OMOD，OEOD，OEOD，OEOD；（3）点 O 经过的路径长为：d8中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列思考让我快乐4如图，ABC 中，ABAC，DE 垂直平分 AB，交线段 BC 于点 E（点 E 与点 C 不重合），点 F 为 AC 上一点，点 G 为 AB 上一点（点 G 与点 A 不重合），且GEF+BAC180（1）如图 1，当B45时，线段 AG 和 CF 的数量关系是AGCF（2）如图 2，当B30时，猜想线段 AG 和 CF 的数量关系，并加以证明（3）若

8、AB6，DG1，cosB，请直接写出 CF 的长初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列【解答】解：（1）相等，理由：如图 1，连接 AE，DE 垂直平分 AB，AEBE，BAEB45，AEBC，ABAC，BEECAE，BAEEACC45，GEF+BAC180，AGE+AFE360180180，AFE+CFE180，AGECFE，GAEC45，AEGCEF（AAS），AGCF；故答案为：AGCF；（2）AGCF，理由：如图 2，连接 AE，ABAC，BC30，BAC120，DE 垂直平分 AB，AE

9、BE，BAEB30，CAE90，BAEC，GEF+BAC180，AGE+AFE180，CFE+AFE180，AGECFE，AGECFE，在 RtACE 中，C30，sinC，AGCF；（3）CF 的长为 2.5 或 5思考让我快乐5如图，四边形 ABCD 是菱形，BAD120，点 E 在射线 AC 上（不包括点 A 和点 C），过点 E 的直线 GH 交直线 AD 于点 G，交直线 BC 于点 H，且 GHDC，点 F 在 BC 的延长线上，CFAG，连接 ED，EF，DF（1）如图 1，当点 E 在线段 AC 上时，判断AEG 的形状，并说明理由求证：DEF 是等边三角形（2）如图 2，当点

10、 E 在 AC 的延长线上时，DEF 是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师思考让我快乐中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师【解答】（1）解：AEG 是等边三角形；理由如下：四边形 ABCD 是菱形，BAD120，ADBC，ABBCCDAD，ABCD，CADBAD60，BAD+ADC180，ADC60，GHDC，AGEADC60，AGEEAGAEG60，AEG 是等边三角形；证明：AEG 是等边三角形，AGAE，CFAG，AECF，四边形 ABCD 是菱形，BCDBAD120，DCF60CAD，在AE

11、D 和CFD 中，AEDCFD（SAS）DEDF，ADECDF，ADCADE+CDE60，CDF+CDE60，即EDF60，DEF 是等边三角形；（2）解：DEF 是等边三角形；理由如下：同（1）得：AEG 是等边三角形，AGAE，CFAG，AECF，四边形 ABCD 是菱形，BCDBAD120，CADBAD60 FCD60CAD，在AED 和CFD 中，AEDCFD（SAS），DEDF，ADECDF，ADCADECDE60，CDFCDE60，即EDF60，DEF 是等边三角形初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师6已知：在ABC 外分别以

12、AB，AC 为边作AEB 与AFC（1）如图 1，AEB 与AFC 分别是以 AB，AC 为斜边的等腰直角三角形，连接 EF以 EF为直角边构造 RtEFG，且 EFFG，连接 BG，CG，EC求证：AEFCGF四边形 BGCE 是平行四边形（2）小明受到图 1 的启发做了进一步探究：如图 2，在ABC 外分别以 AB，AC 为斜边作 RtAEB 与 RtAFC，并使FACEAB30，取 BC 的中点 D，连接 DE，EF 后发现，两者间存在一定的数量关系且夹角度数一定，请你帮助小明求出的值及DEF 的度数（3）小颖受到启发也做了探究：如图 3，在ABC 外分别以 AB，AC 为底边作等腰三角

13、形 AEB 和等腰三角形 AFC，并使CAF+EAB90，取 BC 的中点 D，连接 DE，EF 后发现，当给定EAB时，两者间也存在一定的数量关系且夹角度数一定，若 AEm，ABn，请你帮助小颖用含 m，n 的代数式直接写出的值，并用含的代数式直接表示DEF 的度数思考让我快乐中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师【解答】（1）证明：如图 1 中，EFC 与AFC 都是等腰直角三角形，FAFC，FEFG，AFCEFG90，AFECFG，AFECFG（SAS）AFECFG，AECG，AEFCGF，AEB 是等腰直角三角形，AEBE，BEA90，CGBE，EFG 是等腰直角三角形，FEG

14、FGE45，AEF+BEG45，CGE+CGF45，BEGCGE，BECG，四边形 BECG 是平行四边形（2）解：如图 2 中，延长 ED 到 G，使得 DGED，连接 CG，FG点 D 是 BC 的中点，BDCD，EDBGDC，EBGC，EBDGCD，在 RtAEB 与 RtAFC 中，EABFAC30，EBD2+60，DCG2+60，GCF36060（2+60）3360120（2+3）360120（1801）60+1，EAF30+1+3060+1，GCFEAF，CGFAEF，CFGAFE，EFGCFG+EFCAFE+EFC90，tanDEF，DEF30，FGEG，EDEG，EDFG，（3

15、）cosDEFcosAEH初三中考冲刺系列思考让我快乐中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列7小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究（一）猜测探究在ABC 中，ABAC，M 是平面内任意一点，将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转与BAC相等的角度，得到线段 AN，连接 NB（1）如图 1，若 M 是线段 BC 上的任意一点，请直接写出NAB 与MAC 的数量关系是NABMAC，NB 与 MC 的数量关系是NBCM；（2）如图 2，点 E 是 AB 延长线上点，若 M 是CBE 内部射线 BD 上任意一点，连接 MC，（1）中结论是否仍然成立？若

16、成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用如图 3，在A1B1C1 中，A1B18，A1B1C160，B1A1C175，P 是 B1C1 上的任意点，连接 A1P，将 A1P 绕点 A1 按顺时针方向旋转 75，得到线段 A1Q，连接B1Q求线段 B1Q 长度的最小值思考让我快乐中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师【解答】解：（一）（1）结论：NABMAC，BNMC理由：如图 1 中，MANCAB，NAB+BAMBAM+MAC，NABMAC，ABAC，ANAM，NABMAC（SAS），BNCM故答案为NABMAC，BNCM（2）如图 2 中，中结论仍然成立理由：MANCAB

17、，NAB+BAMBAM+MAC，NABMAC，ABAC，ANAM，NABMAC（SAS），BNCM（二）如图 3 中，在 A1C1 上截取 A1NA1B1，连接 PN，作 NHB1C1 于 H，作 A1MB1C1于 MC1A1B1PA1Q，QA1B1PA1N，A1AA1P，A1B1AN，QA1B1PA1N（SAS），B1QPN，当 PN 的值最小时，QB1 的值最小，在 RtA1B1M 中，A1B1M60，A1B18，A1MA1B1sin604，MA1C1B1A1C1B1A1M753045，A1C14，NC1A1C1A1N48，在 RtNHC1，C145，NH44，根据垂线段最短可知，当点 P

18、 与 H 重合时，PN 的值最小，QB1 的最小值为 44初三中考冲刺系列思考让我快乐8在 RtABC 中，ACB90，D 是ABC 内一点，连接 AD，BD在 BD 左侧作 RtBDE，使BDE90，以 AD 和 DE 为邻边作 ADEF，连接 CD，DF（1）若 ACBC，BDDE如图 1，当 B，D，F 三点共线时，CD 与 DF 之间的数量关系为DFCD如图 2，当 B，D，F 三点不共线时，中的结论是否仍然成立？请说明理由（2）若 BC2AC，BD2DE，且 E，C，F 三点共线，求的值中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师初三中考冲刺系列思考让我快乐中考几何压轴 1（#11

19、-20）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）如图 1 中，连接 CF设 AC 交 BF 于 G四边形 AFED 是平行四边形，AFDE，DEAF，BDDE，AFBD，BDE90，EDFDFA90BCG，CGBAGF，CBDCAF，BCAC，BCDACF（SAS），BCDACF，CDCF，BCADCF90，CDF 是等腰直角三角形，DFCD故答案为 DFCD结论仍然成立理由：如图 2 中，连接 CF延长 BD 交 AF 的延长线于 H，设 AC 交 BH 于 G四边形 AFED 是平行四边形，AFDE，DEAF，BDDE，AFBD，BDE90，DEHDHA90BCG，CGBAGH，CBDCAF，BC

20、AC，BCDACF（SAS），BCDACF，CDCF，BCADCF90，CDF 是等腰直角三角形，DFCD（3）初三中考冲刺系列思考让我快乐中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师9如图 1，在 RtABC 中，ACB90，B30，点 M 是 AB 的中点，连接 MC，点 P是线段 BC 延长线上一点，且 PCBC，连接 MP 交 AC 于点 H将射线 MP 绕点 M 逆时针旋转60交线段 CA 的延长线于点 D（1）找出与AMP 相等的角，并说明理由（2）如图 2，CPBC，求的值（3）在（2）的条件下，若 MD，求线段 AB 的长初三中考冲刺系列思考让我快乐中考几何压轴 1（#11-

21、20）讲师：小鞠老师【解答】解：（1）DAMP理由如下：ACB90，B30，BAC60D+DMA60由旋转的性质知，DMA+AMP60DAMP；（2）如图，过点 C 作 CGBA 交 MP 于点 GGCPB30，BCG150ACB90，点 M 是 AB 的中点，CMABBMAMMCBB30MCG120MAD18060120MADMCGDMGAMGAMCAMG，DMAGMC在MDA 与MGC 中，MDAMGC（ASA）ADCGCPBCCPBPCGBM，CGPBMP设 CGADt，则 BM3t，AB6t在 RtABC 中，cosBBC3t；（3）如图，由（2）知CGPBMP则 MDMGCGMACG

22、HAMHGHCMHA，GHCMHAHGMGMH由（2）知，CGADt，则 BMAMCA3tCHt，AHtMHADHM，HMADMHADHMMH2AHDH，即（）2tt解得 t1，t2（舍去）AB6t2初三中考冲刺系列思考让我快乐初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师10我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设 a，b，c 为三角形三边，S 为面积，则 S这是中国古代数学的瑰宝之一而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设 p（周

23、长的一半），则 S（1）尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以 5，7，8 为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究经过验证，你发现公式和等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）；（3）问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式请你证明如下这个公式：如图，ABC 的内切圆半径为 r，三角形三边长为 a，b，c，仍记 p，S 为三角形面积，则 Spr思考让我快乐【解答】解：（1）由得：S10，由得：p10，S10；（2）公式和等价；推导过程如下：p，2pa+b+c，中根号内的式子可化为：（ab+）（ab）（2ab+a2+b2c2）（2aba2b2+c2）（a+b）2c2c2（ab）2（a+b+c）（a+bc）（c+ab）（ca+b）2p（2p2c）（2p2b）（2p2a）p（pa）（pb）（pc），；（3）连接 OA、OB、OC，如图所示：SSAOB+SAOC+SBOCrc+rb+ra（）rpr初三中考冲刺系列中考几何压轴 1（#11-20）讲师：小鞠老师