2022-2023学年新教材高中数学 第一章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 1.2.2 充分条件和必要条件学生用书 湘教版必修第一册.docx

1、12.2充分条件和必要条件最新课程标准1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系2通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系学科核心素养1.能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断(逻辑推理)2能从集合的观点理解充分条件、必要条件(直观想象)3能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围(逻辑推理)教材要点要点一充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系由p可以推出q，记为：_由p不能推出q，记为：_条件关系p是q的_p不是q的_q是p的_q不是p的_状元随笔若pq，则p是q的充分条件

2、，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可要点二充要条件如果既有pq，又有qp，就记作_即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件换句话说，如果一个命题和它的_都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件状元随笔对于充要条件，要熟悉它的同义语“p是q的充要条件”可以说成“p与q是等价的”“q成立当且仅当p成立”“q成立必须且只需p成立”基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同()(2)p是q的

3、必要条件的含义是：如果p不成立，则q一定不成立()(3)p是q的充分条件只反映了pq，与q能否推出p没有任何关系()(4)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件()2“x1”是“x22x10”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件3“x0”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4ABC是锐角三角形是ABC为锐角的_条件题型1充分条件、必要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：平行四边形，q：正方形；(4

4、)p：m1，q：x2xm0无实根方法归纳充分条件、必要条件判断方法(1)定义法分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论找推式：判断“pq”及“qp”的真假根据推式及条件得出结论(2)集合法：写出集合Ax|p(x)及Bx|q(x)，利用集合间的包含关系进行判断(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题跟踪训练1(1)祖暅原理：”幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等q：A，B

5、在同高处的截面积恒相等根据祖暅原理可知，q是p的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(多选)设xR，则使x3.14成立的一个充分条件是()Ax3.5Bx3Cx4Dx4题型2充要条件的判断例2(1)(多选)下列结论中，正确的有()A“x24”是“x38”的必要不充分条件B在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件C若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为0”的充要条件Dx，y均为奇数是xy为偶数的必要不充分条件(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：s是q的什么条件？r是q的什么条件？p是q的

6、什么条件？方法归纳判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假(2)集合法：利用集合的包含关系判断(3)等价法：利用pq与qp的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1p2pn，可得p1pn；充要条件也有传递性跟踪训练2(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()Aab0Bab0Ca2b20Da2b20(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A丙是甲的充分不必要条件B丙是甲的必要不充分条件C丙是甲的充要条件D丙是甲的既不充分又不必要条

7、件题型3充分条件、必要条件和充要条件的证明例3求证：关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.方法归纳充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明一般地，证明“p成立的充要条件为q”；充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性()，也可以直接证明充要性跟踪训练3求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的

8、充要条件是abc0.题型4充分条件、必要条件和充要条件的应用例4设p：|4x1|1，q：axa1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围变式探究设p：|4x1|1，q：axa1，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围方法归纳根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解跟踪训练4集合Ayy=x232x+1，34x2，Bx|xm21，若“xA”是“xB”的充分不必要条件，求实数m的取值范围易错辨析混淆条件与结论致误例5使不等式0x2成立的一个充分但不必要条件是()A0

9、x1B13x1C1x2D0x2解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q”BA，所以不等式0x2成立的充分不必要条件对应的集合是集合x|0x2的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A.答案：A易错警示易错原因纠错心得混淆条件与结论容易得出错误答案C.弄清此类题的条件与结论本题条件是“选项”，结论是“0x2”，所以“选项”是“0x2”的真子集课堂十分钟1命题：p：(ab)(ab)0，q：ab，则p是q的()A充分条件B必要条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件2已知xR，则“x2”是“2x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既

10、不充分也不必要条件3(多选)下列说法中正确的是()A“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B“xAB”是“xA”的必要条件C“x22x30”是“x3”的必要条件D“x3”是“x24”的充分条件4函数yx22xa的图象与x轴无交点的充要条件是_.5若“xm”是“x3或x1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围12.2充分条件和必要条件新知初探课前预习要点一pqpq充分条件充分条件必要条件必要条件要点二pq逆命题基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：x1时，x22x10成立，故是充分的，又当x22x10时，即(x1)20，x1故是必要的，因此是充要条件答案：A3解析：x0 D/x1但

11、x1x0.“x0”是“x1”的必要不充分条件故选B.答案：B4解析：ABC是锐角三角形说明ABC的三个内角都是锐角ABC是锐角三角形ABC为锐角，反之不一定答案：充分不必要题型探究课堂解透例1解析：(1)ab0a2b20；a2b20ab0，p是q的必要不充分条件(2)四边形的对角线相等四边形是矩形；四边形是矩形四边形的对角线相等，p是q的必要不充分条件(3)由图可知BA，所以p是q的必要不充分条件(4)若方程x2xm0无实根，则14m0，即m14.m1m14，m14D/m3.5x3.14，x4x3.14.x3.14成立的一个充分条件是x3.5或x4.故选AC.答案：(1)A(2)AC例2解析：

12、(1)A中，x24x2D/x38，但x34.A正确；B中，AB2AC2BC2ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2b20a，b不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数xy为偶数，反之不一定，D不正确故选AC.(2)q是r的必要条件，rq.s是r的充分条件，sr，srq，又q是s的充分条件，qs.s是q的充要条件由rq，qsr，知r是q的充要条件p是r的必要条件，rp，qrp.p是q的必要条件答案：(1)AC(2)见解析跟踪训练2解析：(1)a2b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.故选D.(2)如图所示，甲是乙的必要条件，乙甲又丙是乙的充分条件，但不是

13、乙的必要条件，丙乙，但乙丙综上，有丙乙甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件故选A.答案：(1)D(2)A例3证明：充分性：由ac0及x1x2ca0，x1x2ca0，ac0.综上可知，关于x的方程ax2bxc0(a0)有一正根和一负根的充要条件是ac0.跟踪训练3证明：设p：abc0；q：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1，(1)充分性(pq)：因为abc0，所以cab，代入方程ax2bxc0中，得ax2bxab0，即(x1)(axab)0.所以方程ax2bxc0有一个根为1.(2)必要性(qp)：因为方程ax2bxc0有一个根为1，所以x1满足方程ax2bxc0.所以有a12b

14、1c0，即abc0.故关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.例4解析：由|4x1|1得14x11，故0x12，由q是p的必要不充分条件，即pq，qp，即x|0x12x|axa1a0，a+112，且“”不能同时成立，解得12a0，故实数a的取值范围是a|12a0.变式探究解析：q是p的充分不必要条件，qp，pq，x|axa1x|0x12，a0a+112，且“”不能同时成立，此不等式组无解故实数a的取值范围是.跟踪训练4解析：Ay|y=x2 32x+1，34x2y|716y2，Bx|xm21x|x1m2，“xA”是“xB”的充分不必要条件，AB，1m2716.解得m34或m3

15、4.故m的取值范围为m34或m34.课堂十分钟1解析：由命题p：(ab)(ab)0，得：|a|b|，推不出ab，由ab，能推出|a|b|，故p是q的必要条件答案：B2解析：当x1时，“x2”成立，但2x0 ，故“2x1”，故“x1”的充分条件，“2x1”等价于x2x00x1能推出x2，“x1”的必要条件，故“x1”的必要不充分条件，故选B.答案：B3解析：A正确，因为“m是有理数”“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确，因为“xA”“xAB”，所以“xAB”不是“xA”的必要条件；C正确，由于“x3”“x22x30”，故“x22x30”是“x3”的必要条件；D正确，由于“x3”“x24”，所以“x3”是“x24”的充分条件故选ACD.答案：ACD4解析：44a0，a1.答案：a15解析：由已知条件，如x|xmx|x3或x1m3.m的取值范围是3，)