2022-2023学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算 6.1.2 向量的加法学案 新人教B版必修第二册.docx

1、61.2向量的加法【课程标准】借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义新知初探自主学习突出基础性教材要点知识点一向量加法的定义求_的运算，叫作向量的加法知识点二向量加法的运算法则1三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，再作向量AC，则向量_叫作a与b的和(或和向量)，记作_，即abAB+BC_这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则规定：零向量与任一向量a的和都有a0_a2平行四边形法则如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的_就是a与b的和，我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四

2、边形法则3向量a，b的模与ab的模之间的关系：_|ab|_知识点三向量加法的运算律1交换律：ab_2结合律：(ab)c_(_)状元随笔1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则(1)两个法则的使用条件不同：三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的如图所示：ACABAD(平行四边形法则)，又BCAD，ACABBC(三角形法则)(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同2向量ab与非零向量a，b的模及方向的联系(1)当向量a与b不共线时，向量ab

3、的方向与a，b都不相同，且|ab|a|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边(2)当向量a与b同向时，向量ab与a(或b)方向相同，且|ab|a|b|.(3)当向量a与b反向时，且|a|b|时，ab与b方向相同(与a方向相反)，且|ab|b|a|.基础自测1在ABC中，ABa，BCb，则ab等于()ACABBCCABDAC2在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.ABDCBAD+ABACCABBD+ADDAD+CB03a、b为非零向量，且|ab|a|b|，则()Aab，且a与b方向相同Ba、b是方向相反的向量CabDa、b无论什么关系均可4向量(AB+MB)(BO+BC)OM化简后

4、等于()ACBBABCACDAM课堂探究素养提升强化创新性题型1已知向量作和向量经典例题例1(1)如图，已知向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量abc状元随笔利用三角形法则或平行四边形法则先作出两个向量的和向量再作出三个向量的和向量(2)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DEBC，ABCF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：AB+DF_；AD+FC_(3)下列说法正确的是_若|a|3，|b|2，则|ab|1, 若向量a，b共线，则|ab|a|b|，若|ab|a|b|，则向量a，b共线方法归纳(1)应用三角形法则求向量和的基本

5、步骤平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤平移两个不共线的向量使之共起点以这两个已知向量为邻边作平行四边形平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和跟踪训练1(1)如图，已知向量a，b，c不共线，使用三角形法则或平行四边形法则作向量abc本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形法则(2)已知|a|3，|b|5，则向量ab模长的最大值是_ab模长的最小值是_题型2向量的加法运算律的应用例2(1)下列等式不正确的是()a(

6、bc)(ac)b；AB+BA0；ACDC+AB+BD.ABCD(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：AB+CD+BC；DB+AC+BD+CA.状元随笔先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量的加法运算求解方法归纳向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简跟踪训练2(1)化简：DB+CD+BC；(AB+MB)BO+OM.(2)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，ABa，AFb，求AC，AD，AE

7、.状元随笔多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如a+b+c+d=b+d+a+c；a+b+c+d+e=d+a+c+b+e题型3向量加法的应用逻辑推理例3(1)用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形；(2)ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若AB+AC2AO，且|AO|AC|，则ABC的面积为()A3B32C23D1状元随笔(1)将互相平分利用向量表达，以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立(2)直角三角形斜边中线等于斜边的一半方法归纳向量应用于几何、三角问题的关键向量是沟通“数”与“形”的桥梁利用向量的加法可以证明线段的平行和相等，在解决问题中应抓住向量及

8、其加法的几何意义求解用向量证明几何问题的关键是把几何、三角问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何、三角问题跟踪训练3(1)在四边形ABCD中，ABDC，且|(BC)+(BA)|BC+AB|，试求证四边形ABCD为矩形；(2)若G为ABC的重心，则GA+GB+GC_.61.2向量的加法新知初探自主学习知识点一两个向量和知识点二1.ACabAC0a2对角线OC3|a|b|a|b|知识点三1ba2abc基础自测1解析：AB+BCAC.答案：D2解析：因为ABAD+DBBD+AD，故C错误答案：C3解析：只有ab，且a与b方向相同时才有|ab|a|b|成立，故A项正确答案

9、：A4解析：(AB+MB)(BO+BC)OM(AB+BO)OM+MB+BCAO+OM+MB+BCAM+MB+BCAB+BCAC.答案：C课堂探究素养提升例1【解析】(1)方法一可先作ac，再作(ac)b，即abc.如图，首先在平面内任取一点O，作向量OAa，接着作向量ABc，则得向量OBac，然后作向量BCb，则向量OCabc为所求方法二三个向量不共线，用平行四边形法则来作如图，在平面内任取一点O，作OAa，OBb；作平行四边形AOBC，则OCab；再作向量ODc；作平行四边形CODE，则OEOCcabc.OE即为所求(2)如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：

10、AB+DFAB+BCAC.AD+FCAD+DBAB.(3)正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1；中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正确，即正确【答案】(1)见解析(2)ACAB(3)跟踪训练1解析：(1)方法一如图(1)，在平面内作OAa，ABb，则OBab；再作BCc，则OCabc.方法二如图(2)，在平面内作OAa，OBb，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则ODab；再作OCc，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则OEabc.(2)因为|ab|a|b|358，所以|ab|的最大值为8.|ab|a|b|532，所以|ab|的最小值为2.答案：(1)见解析(2)82

11、例2【解析】(1)由向量的加法满足结合律知正确；因为AB+BA0，故不正确；DC+AB+BDAB+BD+DCAC成立，故正确(2)AB+CD+BC(AB+BC)CDAC+CDAD.DB+AC+BD+CA(DB+BD)(AC+CA)000.【答案】(1)B(2)见解析跟踪训练2解析：(1)DB+CD+BCBC+CD+DBBD+DB0.方法一(AB+MB)BO+OM(AB+BO)(OM+MB)AO+OBAB.方法二(AB+MB)BO+OMAB(MB+BO)OMAB+MO+OMAB0AB.方法三(AB+MB)BO+OM(AB+BO+OM)MBAM+MBAB.(2)由向量的平行四边形法则，得AOAB+

12、AFab.在平行四边形ABCO中，ACAB+AOaab2ab.而AD2AO2(ab)，且BCAOFEab，由向量的三角形法则，得AEAF+FEbaba2b.例3【解析】(1)如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则ABAO+OB，DCDO+OC.因为AC与BD互相平分，所以AOOC，OBDO，所以ABDC，因此ABCD，且|AB|DC|，即四边形ABCD是平行四边形(2)由于AB+AC2AO，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，因为ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，所以三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，BAC2，斜边BC2，又因为|AO|AC|，所以|AC|1，|AB|3，所以SABC12|AB|AC|121332.【答案】(1)见解析(2)B跟踪训练3解析：(1)证明：因为四边形ABCD中，ABDC，所以ABDC，且|AB|DC|，所以四边形ABCD为平行四边形，如图所以BC+BABD，BC+ABAB+BCAC，因为|BC+BA|BC+AB|，所以|BD|AC|，即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形(2)延长AG至E交BC于D使得AGGE，则由重心性质知D为GE中点，又D为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形，所以GEGB+GC.又GAGE，所以GA+GB+GC0.答案：(1)见解析(2)0