初中数学成绩快速提升技巧10大专题！.pdf

1、第 1 页 共 88 页方法技巧专题(一)整体思想训练.1方法技巧专题(二)数形结合思想训练.5方法技巧专题(三)分类讨论思想训练.15方法技巧专题(四)转化思想训练.26方法技巧专题(五)构造法训练.32方法技巧专题(六)中点联想训练.35方法技巧专题(七)角平分线训练.46方法技巧专题(八)面积训练.57方法技巧专题(九)角的存在性问题训练.66方法技巧专题(十)隐圆问题训练.77方法技巧专题(一)整体思想训练1.若 2a-3b=-1,则代数式 4a2-6ab+3b 的值为()A.-1B.1C.2D.32.已知 a,b 是方程 x2+x-3=0 的两个实数根,则 a2-b+2019 的值是

2、()A.2023B.2021C.2020D.20193.已知 M,N 两点关于 y 轴对称,且点 M 在双曲线 y=12上,点 N 在直线 y=x+3 上,设点M 的坐标为(a,b),则二次函数 y=-abx2+(a+b)x()A.有最大值,最大值为92第 2 页 共 88 页B.有最大值,最大值为 9C.有最小值,最小值为92D.有最小值,最小值为 94.如图 F1-1,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5,点 E,F 分别在 AB,CD 上,将矩形 ABCD 沿EF 折叠,使点 A,D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A1,D1处,则阴影部分图形的周长为()图 F1-1A.15B.

3、20C.25D.305.已知 x=2y+3,则代数式 4x-8y+9 的值是.6.已知关于 x 的一元二次方程(3a-1)x2-ax+14=0 有两个相等的实数根,则代数式a2-2a+1+1的值等于.7.已知 +2=4+1,2+=+2,且 0 x+y3,则 k 的取值范围是.8.若 x2-3x+1=0,则24+2+1的值为.9.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,则 a2+b2=,12+2+12+2=.10.若 a-1=6,则 a2+12=.11.先化简,再求值:(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3(-8m),其中 m 是方程 x2+x-2=0 的根.12.阅读材料:善于思考

4、的小明在解方程组 4+10=6,8+22=10时,采用了一种“整体代换”的解法,解法如下:解:将方程 8x+20y+2y=10,变形为 2(4x+10y)+2y=10,把方程代入得,2第 3 页 共 88 页6+2y=10,则 y=-1;把 y=-1 代入得,x=4,所以方程组的解为:=4,=-1.请你解决以下问题:(1)试用小明的“整体代换”的方法解方程组 2-3=7,6-5=11.(2)已知 x,y,z,满足 3-2+12=47,2+8=36,试求 z 的值.【参考答案】221.B 解析 因为 2a-3b=-1,4a2-6ab+3b=2a(2a-3b)+3b=-2a+3b=-(2a-3b)

5、=1,故选 B.2.A 解析 根据一元二次方程的根的定义,得 a 2+a-3=0,所以 a 2=-a+3,再利用根与系数的关系,得 a+b=-1,然后利用整体代入方法计算.原式=-a+3-b+2019=-(a+b)+3+2019=-(-1)+3+2019=2023,故选 A.3.A 解析 由 M(a,b),知 N(-a,b)又 M 在双曲线 y=1 上,ab=1;N 在直线 y=x+3 上,b=-a+3,即 a+b=3.于是,二次函数 y=-abx2+(a+b)x=-12x2+3x=-12(x-3)2+92,它有最大值,为92.4.D解析 整体观察图形,由折叠过程可知阴影部分图形的周长为:EA

6、1+A1D1+BC+FC+EB+D1F=EA+AD+BC+FC+EB+DF=(EA+EB)+AD+BC+(FC+DF)=AB+AD+BC+CD=2(AB+BC)=2(10+5)=30.5.21解析 本题考查代数式的整体求值,因为 x=2y+3,所以 x-2y=3,所以4x-8y+9=4(x-2y)+9=43+9=21.6.3解析 根据题意得 3a-10 且=a2-4(3a-1)14=0,即 a2-3a+1=0,第 4 页 共 88 页所以原式=a2-3a+1+a+1=0+a+1=2+1=3=3.7.-35k65解析+2=4+1,2+=+2,+得,3x+3y=5k+3,x+y=1+53k.0 x

7、+y3,01+53k3,解得-35kb)(如图 F2-2),把余下的部分拼成一个长方形(如图),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证()图 F2-2A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.a2-b2=(a+b)(a-b)3.甲、乙两车从 A 地出发,匀速驶向 B 地.甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h 后,乙车才沿相同路线行驶.乙车先到达 B 地并停留 1 h 后,再以原速按原路返回,直至与甲车相遇.在此过程中,两车之间的距离 y(km)与乙车行驶时间 x(h)之间的函数关系如图 F2-3 所示.下

8、列说法:乙车的速度是 120 km/h;m=160;点 H 的坐标是(7,80);n=7.5.其中说法正确的有()图 F2-3A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个4.已知二次函数 y=(x-h)2+1(h 为常数),在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下,与其对应的函数值 y 的最小值为 5,则 h 的值为()A.1 或-5B.-1 或 5C.1 或-3D.1 或 35.方程 x2+2x-1=0 的根可看成函数 y=x+2 的图象与函数 y=1的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程 x3+x-1=0 的实数根有()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个6.已知二次函数 y=ax2+bx

9、+c 的 y 与 x 的部分对应值如表:第 7 页 共 88 页x-10234y50-4-30下列结论:抛物线的开口向上;抛物线的对称轴为直线 x=2;当 0 x0;抛物线与 x 轴的两个交点间的距离是 4;若 A(x1,2),B(x2,3)是抛物线上两点,则 x10,关于 x 的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0 的解为 x1,x2(x1x2),则下列结论正确的是()A.x1-12x2B.-1x12x2C.-1x1x22D.x1-1x2 0,3-0 的整数解共有2个,则a的取值范围为.10.如图 F2-5,已知函数 y=x+b 和 y=ax+3 的图象交点为 P,则不等式 x+bax+

10、3 的解集为.图 F2-511.庄子天下篇中写道:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思是:一根一尺的木棍,如果每天截取它的一半,永远也取不完,如图 F2-6.图 F2-6由图易得:12+122+123+12=.第 8 页 共 88 页12.当 x=m 和 x=n(mn)时,代数式 x2-2x+3 的值相等,则 x=m+n 时,代数式 x2-2x+3的值为.13.如图 F2-7,在平面直角坐标系中,点 P(-1,a)在直线 y=2x+2 与直线 y=2x+4 之间,则 a 的取值范围是.图 F2-714.已知函数 y=(-1)2+1(3,(3-)2+1=5,解得 h=5(h=1 舍去);(2)

11、如图,当 x=1,y 取得最小值时,0 时,抛物线位于 x 轴上方,此时 x2.又x x,x-12x.故选 A.8.2a 解 析 由 实 数 a,b 在 数 轴 上 的 位 置 可 知:b0,|b|a|,a-b0,a+b0,(-)2-|a+b|=a-b+a+b=2a.9.0a,3,解得 ax3.由整数解共有 2 个,得到整数解为 1,2,则 a 的取值范围是 0a1解析 由图知:当直线 y=x+b 在直线 y=ax+3 的上方时,不等式 x+bax+3成立;由于两直线的交点横坐标为 x=1,观察图象可知,当 x1 时,x+bax+3.第 12 页 共 88 页11.1-1212.313.0a2

12、解析 当 P 在直线 y=2x+2 上时,a=2(-1)+2=-2+2=0;当 P 在直线y=2x+4 上时,a=2(-1)+4=-2+4=2,所以 0a2.14.1 或 2解析 画出函数的图象,要使 y=k 成立的 x 的值恰好只有 3 个,即函数图 象 与 直 线 y=k 有 3 个 交 点.函 数 y=(-1)2+1(2),(-4)2-2(2)的 图 象 如图.22根据图象知道,当 y=1 或 2 时,对应成立的 x 值恰好有 3 个,k=1 或 2.故答案为 1或 2.15.75或 15 解析 当弦AC,AD 在圆心两侧时,如图,作OEAC 于点E,OF AD 于点 F,则 cosCA

13、O=2,cosDAO=3,所以CAO=45,DAO=30,从而得CAD=CAO+DAO=75;当弦 AC,AD 在圆心同侧时,如图,同理可得:CAD=CAO-DAO=15.所以CAD 的度数为 75或 15.16.510解析 设 DE 长为 x cm,则 AE=(9-x)(cm),BE=x cm.四边形 ABCD 是第 13 页 共 88 页矩形,A=90.根据勾股定理得:AE2+AB2=BE2,即(9-x)2+32=x2,解得 x=5,即 DE 长为 5 cm.作 EGBC 于 G,如图所示,则四边形 ABGE 是矩形,EGF=90,EG=AB=3,BG=AE=4,DEF=BEF,DEF=B

14、FE,BEF=BFE,即 BE=BF,GF=1,EF2=EG2+GF2=32+12=10,EF=10.17.225解析 P(m,n),OP=2+2,m2+n2的最大值即 OP 的最大值的平方.连结 OA 并延长与圆交于点 P,此时 OP 最大,点 A 的坐标为(5,12),OA=13,又A 的半径为 2,OP=15,m2+n2的最大值为 225.18.解:(1)A(1,2),B(5,2),AB=5-1=4,ABx 轴,四边形 ABCD 是正方形,AD=BC=AB=4,ADBCy 轴,C(5,6),D(1,6).(2)把 C(5,6)的坐标代入 y=kx-2,得 5k-2=6,解得 k=85.(

15、3)把 D(1,6)的坐标代入 y=kx-2 得 k-2=6,解得 k=8;把 B(5,2)的坐标代入 y=kx-2得 5k-2=2,解得 k=45,k 的取值范围为45k8.19.解:(1)将(-2,4)代入 y=x2+bx+c,得 4=(-2)2-2b+c,c=2b,b,c 满足的关系式是 c=2b.(2)把 c=2b 代入 y=x2+bx+c,第 14 页 共 88 页得 y=x2+bx+2b,顶点坐标是(m,n),n=m2+bm+2b,且 m=-2,即 b=-2m,n=-m2-4m.n 关于 m 的函数解析式为 n=-m2-4m.(3)由(2)的结论,画出函数 y=x2+bx+c 和函

16、数 y=-x2-4x 的图象.函数 y=x2+bx+c 的图象不经过第三象限,-4-20.当-4-2-2,即 4b8 时,如图所示,当 x=1 时,函数取到最大值 y=1+3b,当 x=-2时,函数取到最小值 y=8-24,(1+3b)-8-24=16,即 b2+4b-60=0,b1=6,b2=-10(舍去);当-2-20,即 0b-3 B.m-3C.m-3 且 m-2D.m-3 且 m-24.已知反比例函数 y=的图象如图 F3-1 所示,则二次函数 y=ax2-2x 和一次函数y=bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是()图 F3-1图 F3-25.如图 F3-3 是由 8 个全等的

17、矩形组成的大正方形,线段 AB 的端点都在小矩形的顶第 16 页 共 88 页点上,如果点 P 是某个小矩形的顶点,连结 PA,PB,那么使ABP 为等腰直角三角形的点 P 有()图 F3-3-2-2A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个6.已知二次函数 y=(x-m)2+2m(m 为常数)在自变量 x 的值满足 1x3 的情况下,与其对应的函数值 y 的最小值为 4,则 m 的值为()A.2B.2 或 3C.2 或-3D.2 或 3或-37.若关于 x 的方程=4+1 无解,则 a 的值是.8.在ABC 中,B=25,AD 是 BC 上的高,并且 AD2=BDDC,则BCA 的度数为

18、.9.若点 A(m,n)在直线 y=kx(k0)上,当-1m1 时,-1n1,则这条直线的函数解析式为.10.如图 F3-4 所示,在ABC 中,AB=6,AC=4,P 是 AC 的中点,过 P 点的直线交 AB 于点 Q,若以 A,P,Q 为顶点的三角形和以 A,B,C 为顶点的三角形相似,则 AQ 的长为.图 F3-411.矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8.点 P 在矩形 ABCD 的内部,点 E 在边 BC 上,满足PBEDBC,若APD 是等腰三角形,则 PE 的长为.第 17 页 共 88 页12.如图 F3-5,已知点 A(1,2)是反比例函数 y=图象上的一点,连结 AO

19、并延长交双曲线的另一分支于点 B,点 P 是 x 轴上一动点,若PAB 是等腰三角形,则点 P 的坐标是.图 F3-513.如图 F3-6,半径为 1 的P 的圆心 P 在抛物线 y=-x2+4x-3 上运动,当P 与 x 轴相切时,圆心 P 的坐标是.图 F3-614.如图 F3-7,在直线 AP 上方有一个正方形 ABCD,PAD=30,以点 B 为圆心,AB 为半径作弧,与 AP 交于点 A,M,分别以点 A,M 为圆心,AM 长为半径作弧,两弧交于点 E,连结 ED,则ADE 的度数为.图 F3-715.一张直角三角形纸片 ABC,ACB=90,AB=10,AC=6,点 D 为 BC

20、边上的任一点,沿过点 D 的直线折叠,使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处,当BDE 是直角三角形时,CD 的长为.16.如图 F3-8,已知线段 AB=4,O 是 AB 的中点,直线 l 经过点 O,1=60,P 点是直线 l 上一点,当APB 为直角三角形时,BP=.第 18 页 共 88 页图 F3-817.如图 F3-9,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,点 E 为 BC 上一动点,把ABE 沿 AE 折叠,当点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的对称轴上时,点 B到 BC 的距离为.图 F3-918.如图 F3-10,直线 y=-34x-3 交 x 轴于点 A,

21、交 y 轴于点 B,点 P 是 x 轴上一动点,以点 P 为圆心,以 1 个单位长度为半径作P,当P 与直线 AB 相切时,点 P 的坐标是.图 F3-1019.如图 F3-11,第一象限内的点 A 在反比例函数的图象上,过 A 作 ABx 轴,垂足为B,连结 AO,已知AOB 的面积为 4.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点 A 的纵坐标为 4,过点 A 的直线与 x 轴交于 P,且APB 与AOB 相似,求所有符合条件的点 P 的坐标.图 F3-11第 19 页 共 88 页20.如图 F3-12,二次函数 y=12x2+bx+c 的图象与一次函数 y=12x+1 的图象交于 B,C

22、两点,与 x 轴交于 D,E 两点,且 D 点坐标为(1,0).(1)求二次函数的解析式.(2)求线段 BC 的长及四边形 BDEC 的面积 S.(3)在坐标轴上是否存在点 P,使得PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.图 F3-12第 20 页 共 88 页【参考答案】1.D2.C解析 如图所示,AOB=70,BOC=30,OM 平分AOB,ON 平分BOC,MON=BOM+BON=12AOB+12BOC=12(70+30)=50;如图所示,AOB=70,BOC=30,OM 平分AOB,ON 平分BOC,MON=BOM-BON=12A

23、OB-12BOC=12(70-30)=20.3.B解析 当 m+20 时,函数 y=(m+2)x2-2x-1 的图象与 x 轴有交点,=(-2)2-4(m+2)(-1)0,解得 m-3 且 m-2;当 m+2=0 时,即 m=-2,一次函数 y=-2x-1 的图象与 x 轴有交点.综上所述,m 的取值范围是 m-3.故选 B.4.C解析 观察反比例函数图象可知 a,b 同号,若 a,b 同为正,则-220,所以二次函数 y=ax2-2x 图象开口向上,过原点,对称轴在 y 轴右侧,一次函数的图象经过第一、二、三象限;若 a,b 同为负,则-22m 时,y 随 x 的增大而增大,当 xm 时,y

24、 随 x 的增大而减小,若 m3,则 x=3 时,函数 y 的最小值为 4,可得:4=(3-m)2+2m,此方程无解.m 的值为 2 或-3.7.1 或 2解析 去分母整理得:(a-1)x=2,情况一:整式方程无解,即 a-1=0,得 a=1;情况二:整式方程的解为原分式方程的增根,即解为 x=2,故 a=2.原方程无解,则 a=1 或 2.8.65或 115解析 如图,当ABC 的高在三角形内部时,由 AD2=BDDC,得=,ABDCAD,ABD=CAD,又ABD+BAD=90,BAD+CAD=90,BAC=90,ABC 为直角三角形.B=25,BCA=90-25=65.如图,当高 AD 在

25、三角形外时,ABC 为钝角三角形.由 AD2=BDDC,得ABDCAD,B=CAD=25,BCA=CAD+ADC=25+90=115.第 22 页 共 88 页9.y=x 或 y=-x解析 点 A(m,n)在直线 y=kx(k0)上,-1m1 时,-1n1,点(-1,-1),(1,1)在直线上,或点(-1,1),(1,-1)在直线上,k=-1 或 1,y=x 或y=-x.10.3 或43解析 AC=4,P 是 AC 的中点,AP=12AC=2.若APQACB,则=,即24=6,解得 AQ=3;若APQABC,则=,即4=26,解得 AQ=43,AQ 的长为 3 或43.11.3 或65解析 由

26、题意知,点 P 在线段 BD 上.(1)如图,若 PD=PA,则点 P 在 AD 的垂直平分线上,故点 P 为 BD 的中点,PEBC,故 PECD,故 PE=12DC=3.(2)如图,若 DA=DP,则 DP=8,在 RtBCD 中,BD=2+2=10,BP=BD-DP=2.PBEDBC,=15,PE=15CD=65.综上所述,PE 的长为 3 或65.12.(-5,0)或(-3,0)或(3,0)或(5,0)13.(2,1)或(2+2,-1)或(2-2,-1)解析 半径为 1 的P 与 x 轴相切,第 23 页 共 88 页点 P 的纵坐标为1,若点 P 的纵坐标为 1,则 1=-x2+4x

27、-3,解得 x1=x2=2,点 P 的坐标为(2,1);若点 P 的纵坐标为-1,则-1=-x2+4x-3,解得 x3=2+2,x4=2-2.点 P 的坐标为(2+2,-1)或(2-2,-1).综上所述,点 P 的坐标为(2,1)或(2+2,-1)或(2-2,-1).14.15或 45解析 以点 B 为圆心,AB 为半径作弧,与 AP 交于点 A,M,因为PAD=30,所以BAM=60,所以BAM 是等边三角形;又以点 A,M 为圆心,AM 长为半径作弧,交点有两种情况:点 E 在 AP 下方时,由题意AME 是等边三角形,所以 EAM=60 ,所 以 DAE=30 +120 =150 ,又

28、AD=AM=AE,所 以 ADE=AED=12(180-150)=15;点 E 在 AP 上方时,点 E 与 B 重合,所以ADE=ADB=45.15.3 或247解析 如图,DEB 是直角时,ACB=90,AB=10,AC=6,BC=102-62=8,设 CD=x,则 BD=8-x,由折叠知 CD=ED=x,ACB=DEB=90,BEDBCA,=,即610=8-,解得 x=3;如图,EDB 是直角时,EDAC,BEDBAC,=,即68=8-,解得 x=247.第 24 页 共 88 页综上,CD 的长为 3 或247.16.2 或 2 3或 2 7解析 AO=OB=2,当 BP=2 或 AP

29、=2 时,APB=90.当 AP=2 时,BP=2-2=2 3;当PAB=90时,AOP=60,AP=OAtanAOP=2 3,BP=2+2=2 7;当PBA=90时,BOP=60,BP=OBtan1=2 3.故答案为:2 或 2 3或 2 7.17.2 或 4解析 当 B在对称轴 GF 上时,AG=GB=2,如图所示,点 B到 BC 的距离为 2.当 B在对称轴 MN 上时,AB=AB=4,如图所示.MNAD,AM=AB=4,M 与 B重合,点 B到 BC 的距离为 4.第 25 页 共 88 页18.-73,0 或-173,0解析 直线 y=-34x-3 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点

30、 B,令 x=0,得 y=-3,令 y=0,得 x=-4,A(-4,0),B(0,-3),OA=4,OB=3,AB=5.设P 与直线 AB 相切于 D,连结 PD,则 PDAB,PD=1.ADP=AOB=90,PAD=BAO,APDABO,=,13=5,AP=53,OP=73或 OP=173,P-73,0 或 P-173,0.19.解:(1)设反比例函数的解析式为 y=,点 A 的坐标为(x,y).SAOB=4,12xy=4,xy=8,y=8.(2)由题意得 A(2,4),B(2,0).点 P 在 x 轴上,设 P 点坐标为(x,0),ABO=ABP=90,ABP 与ABO 相似有两种情况:当

31、ABPABO 时,有=,BP=BO=2,P(4,0)或 P(0,0);当PBAABO 时,有=,即42=4,PB=8,P(10,0)或 P(-6,0).符合条件的点 P 坐标是(4,0)或(10,0)或(-6,0)或(0,0).20.解:(1)把 x=0 代入 y=12x+1,得 y=1,B(0,1).将点 B,D 的坐标代入二次函数解析式,得1=,0=12+,解得 =-32,=1,第 26 页 共 88 页二次函数的解析式是 y=12x2-32x+1.(2)解方程组=12 +1,=12 2-32 +1,得 1=0,1=1 或 2=4,2=3,C(4,3),BC=42+(3-1)2=2 5.把

32、 y=0 代入 y=12x2-32x+1,得12x2-32x+1=0,解得 x1=1,x2=2,即 D(1,0),E(2,0).过点 C 作 CFx 轴于点 F,则 CF=3,EF=4-2=2,OD=OB=1,四边形 BDEC 的面积 S 四边形 BDEC=梯形-SBOD-SCEF=12(1+3)4-1211-1223=92.(3)存在满足条件的 P 点,理由:当点 P 在 x 轴上时,如图,BOP=CFP=BPC=90,CPF=OBP=90-BPO,BOPPFC,=,1=4-3,解得 OP=1 或 OP=3;当点 P 在 y 轴上时,如图,C(4,3),CPB=90,P 点的坐标是(0,3)

33、.综上所述,存在P点,使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形,点P的坐标是(1,0)或(3,0)或(0,3).方法技巧专题(四)转化思想训练第 27 页 共 88 页1.我 们 解 一 元 二 次 方 程 3x2-6x=0 时,可 以 运 用 因 式 分 解 法,将 此 方 程 化 为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0 或 x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是()A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想2.如图 F4-1,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,平行四边形 OABC 的顶点 A 在反比例函数 y=1的图象

34、上,顶点 B 在反比例函数 y=5的图象上,点 C 在 x 轴的正半轴上,则平行四边形 OABC 的面积是()图 F4-1A.32B.52C.4D.63.如图 F4-2,EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边三角形 ABC 的重心,EOF 的两边与ABC 的边交于 E,F 两点,EOF=120,则EOF 与ABC 的边所围成阴影部分的面积是()图 F4-2A.32B.2 35C.33D.344.如图 F4-3,RtAOB 中,AOB=90,顶点 A,B 分别在反比例函数 y=2(x0)与y=-8(x0)的图象上,则 tanBAO=.图 F4-3第 28 页 共 88 页5.如图 F4-4,A

35、,B,C,D 是圆周上的四点,且+=+,如果弦 AB=8,CD=4,那么图中两个弓形(阴影部分)的面积和是.图 F4-46.如图 F4-5,在 RtABC 中,BAC=90,AB=6,AC=8,P 为边 BC 上一动点,PEAB 于E,PFAC 于 F,M 为 EF 中点,则 AM 的最小值是.图 F4-57.如图 F4-6,点 O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点,分别延长 OD 到点 G,OC 到点E,使 OG=2OD,OE=2OC,然后以 OG,OE 为邻边作正方形 OEFG,连结 AG,DE.(1)求证:DEAG.(2)正方形 ABCD 固定,将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋

36、转角(00)与 y=-8(x2 2B.m2 2或 m-2 2D.-2 2m0)的两根分别为,且,则,满足()A.12 B.12C.12 D.24.如图 F5-2,六边形 ABCDEF 的六个内角都相等.若 AB=1,BC=CD=3,DE=2,则这个六边形的周长等于.图 F5-25.2+1+(4-)2+4的最小值为.6.关于 x 的方程 a(x+m)2+b=0(a,m,b 均为常数,a0)的解是 x1=-2,x2=1,则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是.7.问题呈现如图 F5-3,在边长为 1 的正方形网格中,连结格点 D,N 和 E,C,DN 和 EC 相交于点第 34 页 共 88 页

37、P,求 tanCPN 的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中CPN 不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连结格点 M,N,可得 MNEC,则DNM=CPN,连结 DM,那么CPN 就变换到RtDMN 中.问题解决(1)直接写出图中 tanCPN 的值为;(2)如图,在边长为 1 的正方形网格中,AN 与 CM 相交于点 P,求 cosCPN 的值.思维拓展(3)如图,ABBC,AB=4BC,点 M 在 AB 上,且 AM=BC,延长 CB 到点 N,使 BN=2BC,连结AN 交 CM 的延长线于点 P,用

38、上述方法构造网格求CPN 的度数.图 F5-3第 35 页 共 88 页方法技巧专题(六)中点联想训练1.如图 F6-1,在 RtABC 中,ACB=90,A=30,D,E,F 分别为 AB,AC,AD 的中点,若 BC=2,则 EF 的长度为()图 F6-1A.12B.1C.32D.32.如图 F6-2,AB 是半圆O 的直径,ABC 的两边 AC,BC 分别交半圆于 D,E,且 E 为BC 的中点,已知BAC=50,则C=()图 F6-2A.55B.60C.65D.703.如图 F6-3,在正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC=1,CE=3,H 是 AF 的

39、中点,那么 CH 的长是()图 F6-3A.2.5B.5C.322D.24.如图 F6-4,在 RtABC 中,C=90,AB=5,BC=4,点 P 是边 AC 上一动点,过点 P 作PQAB 交 BC 于点 Q,D 为线段 PQ 的中点,当 BD 平分ABC 时,AP 的长度为第 36 页 共 88 页()图 F6-4A.813B.1513C.2513D.32135.如图 F6-5,在 ABCD 中,CD=2AD,BEAD 于点 E,F 为 DC 的中点,连结 EF,BF,下列结论:ABC=2ABF;EF=BF;S 四边形 DEBC=2SEFB;CFE=3DEF.其中正确的结论有()图 F6

40、-5A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.如图 F6-6,在 RtABC 中,ACB=90,AC=6,BC=8,E 为 BC 边的中点,则点 E 到中线 CD 的距离 EF 的长为.图 F6-67.如图 F6-7,在边长为 4 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别为 AB,BC 的中点,EFAC 于点 F,G 为 EF 的中点,连结 DG,则 DG 的长为.图 F6-78.如图 F6-8,点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点,点 M,N 分别是第 37 页 共 88 页AB,BC 边上的中点,则 MP+PN 的最小值是.图 F6-89.如图 F6-9,矩形

41、 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,连结 PB,则 PB 的最小值是.图 F6-910.如图 F6-10,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=3,点 P 是边 AD 上的一个动点,连结 BP,作点 A 关于直线 BP 的对称点 A1,连结 A1C,设 A1C 的中点为 Q,当点 P 从点 A 出发,沿边 AD 运动到点 D 时停止运动,点 Q 的运动路径长为.图 F6-1011.如图 F6-11,已知:在ABC 中,BAC=90,延长 BA 到点 D,使 AD=12AB,点 E,F 分别是边 BC,AC 的中点.求证:DF=B

42、E.图 F6-11第 38 页 共 88 页12.如图 F6-12,四边形 ABCD 是正方形,EFC 是等腰直角三角形,点 E 在 AB 上,且CEF=90,FGAD,垂足为点 G.(1)试判断 AG 与 FG 是否相等?并给出证明.(2)若点 H 为 CF 的中点,GH 与 DH 垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.图 F6-1213.(1)操作发现:如图 F6-13,小明画了一个等腰三角形 ABC,其中 AB=AC,在ABC 的外侧分别以AB,AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD,ACE,分别取 BD,CE,BC 的中点 M,N,G,连结GM,GN,小明发现:线段 GM 与

43、 GN 的数量关系是;位置关系是.(2)类比思考:如图,小明在此基础上进行了深入思考,把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形,其中 ABAC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.(3)深入探究:如图,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究,向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN 的形状,并给予证明.第 39 页 共 88 页图 F6-13第 40 页 共 88 页【参考答案】1.B解析 在 RtABC 中,ACB=90,A=30,BC=2,AB=4,CD=12AB,CD=124=2.E,F 分别为 AC,AD 的中点,EF=12

44、CD=122=1.故选 B.2.C解析 如图,连结 AE,AB 是直径,AEB=90,即 AEBC.EB=EC,AB=AC,C=B.BAC=50,C=12(180-50)=65.故选 C.3.B解析 如图,连结 AC,CF,正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,BC=1,CE=3,AC=2,CF=3 2,ACD=GCF=45,ACF=90,由勾股定理得,AF=2+2=(2)2+(3 2)2=2 5,H 是 AF 的中点,CH=12AF=122 5=5.故选 B.4.B解析 在 RtABC 中,C=90,AB=5,BC=4,AC=3,过点 D 作 DEBC 于点 E,易证ABCDQE,BD

45、平分ABC,PQAB,BQ=QD,设 QD=BQ=4x,则 AP=3x,DP=4x,PQ=8x,CP=245 x,AC=395 x=3,x=513,AP=3x=1513.故选 B.第 41 页 共 88 页5.D 解析 如图,连结AF 并延长与BC 的延长线相交于点M,易证ADFMCF,AF=MF,AD=MC.又AD=BC,DC=AB=2AD,AB=BM,ABC=2ABF,故正确.如图,延长 EF,BC 相交于点 G.易得DEFCGF,FE=FG.BEAD,ADBC,EBG=90.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得 EF=BF,故正确.如图,由于 BF 是BEG 的中线,SBEG=2

46、SBEF,而 SBEG=S 四边形 DEBC,S 四边形 DEBC=2SEFB,故正确.如图,设DEF=x,ADBC,DEF=G=x,又FG=FB,G=FBG=x,EFB=2x.CD=2AD,F 为 CD 的中点,BC=AD,CF=CB,CFB=CBF=x,CFE=CFB+BFE=x+2x=3x=3DEF,故正确.故选 D.6.125解析 在 RtABC 中,ACB=90,AC=6,BC=8,AB=10.CD 为ABC 的中线,AD=BD=CD=5,SBDC=12SABC=12 1268=12.连结 DE,E 为 BC 边的中点,SDEC=12SBDC=6.SDEC=12DCEF,125EF=

47、6,解得:EF=125.第 42 页 共 88 页7.192解析 如图,连结 DE.D,E 分别为 AB,BC 的中点,DEAC,DE=12AC=2,EC=2.EFAC,DEEF,DEG 为直角三角形.在 RtEFC 中,EC=2,C=60,EF=3.G 为 EF 的中点,EG=32.在 RtDEG 中,DE=2,EG=32,由勾股定理,得 DG=2+2=192.故答案为192.8.1解析 如图,取 AD 的中点 M,则由菱形的轴对称性可知点 M,M关于直线 AC对称,从而 PM=PM.连结 NM,交 AC 于点 P,此时 MP+PN 的值最小.易知四边形 CDMN 是平行四边形,故 MN=C

48、D=1,所以,MP+PN 的最小值是 1.9.2 2解析 如图,F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,点 P 的运动轨迹为DEC 的中位线 MN,MNEC.如图,连结 ME,则四边形 EBCM 为正方形,连结 BM,则 BMCE,易证 BMMN,故此时点 P 与 点 M 重 合,点 F 与 点 C 重 合,BP 取 到 最 小 值,在 Rt 第 43 页 共 88 页BCP 中,BP=2+2=2 2.10.33 解析 如图,连结 BA1,BD,取 BC 的中点 O,连结 OQ,BD.四边形 ABCD 是矩形,BAD=90,tanABD=3,ABD=60,A1Q=QC,BO=OC,OQ=1

49、2BA1=12AB=32,点 Q 的运动轨迹是以 O 为圆心,OQ 为半径的圆弧,圆心角为 120,点 Q 的运动路径长=120 32180=33.故答案为33.11.证明:连结 AE,点 E,F 分别是边 BC,AC 的中点,EF 是ABC 的中位线,EFAB,即 EFAD,且 EF=12AB,又AD=12AB,AD=EF,四边形 ADFE 是平行四边形,DF=AE.在 RtABC 中,点 E 是 BC 的中点,AE=12BC=BE=CE,BE=DF.12.解:(1)AG=FG.证明如下:在 BC 边上取一点 M,使 BM=BE,连结 EM,AF.四边形 ABCD 是正方形,第 44 页 共

50、 88 页AB=BC,AE=CM.CEF=90,AEF+BEC=90.BEC+BCE=90,AEF=BCE.又CE=EF,AEFMCE,EAF=EMC=135.又BAD=90,DAF=45.又FGAD,AFG=DAF=45,AG=FG.(2)DHGH.证明如下:延长 GH 交 CD 于点 Q.H 为 CF 的中点,FH=CH.四边形 ABCD 是正方形,ADCD.FGAD,FGCD,GFH=DCH.又GHF=CHQ,FH=CH,FGHCQH,GH=HQ,FG=CQ,AG=CQ,DG=DQ,DGQ 是等腰三角形,DHGH.13.解:(1)GM=GNGMGN第 45 页 共 88 页(2)上述结论

51、仍然成立.理由如下:如图,连结 CD,BE 相交于点 O,BE 交 AC 于点 F.点 M,G 分别是 BD,BC 的中点,MGCD,MG=12CD.同理可得 GNBE,GN=12BE.DAB=EAC,DAC=BAE.又AD=AB,AC=AE,ADCABE,AEB=ACD,DC=BE,GM=GN.AEB+AFE=90,OFC+ACD=90,FOC=90,易得MGN=90,GMGN.(3)GMN 是等腰直角三角形.证明如下:如图,连结 BE,CD,CE 与 GM 相交于点 H.点 M,G 分别是 BD,BC 的中点,MGCD,MG=12CD.同理 GNBE,GN=12BE.DAB=EAC,第 4

52、6 页 共 88 页DAC=BAE.又AD=AB,AC=AE,ADCABE,AEB=ACD,DC=BE,GM=GN.GMCD,MHC+HCD=180,MHC+(45+ACD)=180,MHC+45+AEB=180,MHC+45+(45+CEB)=180,MHC+CEB=90,GNH+GHN=90,NGM=90,即 GMGN,GNM 是等腰直角三角形.方法技巧专题(七)角平分线训练1.如图 F7-1,在ABC 中,EFBC,ED 平分BEF,且DEF=70,则B 的度数为()图 F7-1A.70B.60C.50D.40第 47 页 共 88 页2.如图 F7-2,B=C=90,M 是 BC 的中

53、点,DM 平分ADC,且ADC=110,则MAB的度数是()图 F7-2A.30B.35C.45D.603.如图 F7-3,在ABC 中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为 D,ABC 的平分线交 AD 于点 E,则 AE 的长为()图 F7-3A.432B.2 2C.832D.3 24.如图 F7-4,在ABC 中,AB=12,AC=18,AD 是BAC 的平分线,过点 B 作 AD 的垂线,交 AD 于 D,M 是 BC 的中点,则 MD 的长为()图 F7-4A.6B.4C.3D.25.如图 F7-5,在直角梯形 ABCD 中,DCAB,DAB=90,ACBC,AC=BC

54、,ABC 的平分线分别交 AD,AC 于点 E,F,则的值是()图 F7-5第 48 页 共 88 页A.2-1B.2+2C.2+1D.26.如图 F7-6,在OAB 和OCD 中,OA=OB,OC=OD,OAOC,AOB=COD=40,连结AC,BD 交于点 M,连结 OM.下列结论:AC=BD;AMB=40;OM 平分BOC;MO平分BMC.其中正确的个数为()图 F7-6A.4B.3C.2D.17.如图 F7-7,BD 是ABC 的平分线,DEAB 于 E,ABC 的面积是 50 cm2,AB=11cm,BC=14 cm,则 DE=cm.图 F7-78.如图 F7-8,在ABC 中,C=

55、90,AC=BC,AD 平分BAC,BDAD,若 BD=2,则AE=.图 F7-89.如图 F7-9,点 D 是ABC 的 BC 边的中点,AE 平分BAC,AECE 于点 E,且AB=10,AC=16,则 DE 的长度为.图 F7-9第 49 页 共 88 页10.在ABC 中,ABC 的平分线和外角ACE 的平分线相交于 D,DGBC,交 AC 于 F,交 AB 于 G,求证:GF=BG-CF.图 F7-1011.如图 F7-11,点 I 是ABC 的内心,BI 的延长线与ABC 的外接圆O 交于点 D,与 AC 交于点 E,延长 CD,BA 相交于点 F,ADF 的平分线交 AF 于点

56、G.(1)求证:DGCA;(2)求证:AD=ID;(3)若 DE=4,BE=5,求 BI 的长.图 F7-1112.2019菏泽如图 F7-12,在正方形 ABCD 中,E 是 DC 边上一点(与 D,C 不重合),连结 AE,将ADE 沿 AE 所在的直线折叠得到AFE,延长 EF 交 BC 于点 G,连结 AG,第 50 页 共 88 页作 GHAG,与 AE 的延长线交于点 H,连结 CH.显然 AE 是DAF 的平分线,EA 是DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于 180的角的平分线),并说明理由.图 F7-12第 51 页 共 88 页【参考答案】1.D

57、2.B3.C解析 BE 平分ABD,ABC=60,ABE=EBD=30.ADBC,BDA=90.DE=12BE.BAD=90-60=30,BAD=ABE=30,AE=BE=2DE,AE=23AD.在 RtACD 中,sin C=,AD=ACsin C=822=4 2,AE=234 2=832.故选 C.4.C解析 延长 BD 交 AC 于点 E.AD 是BAC 的平分线,BAD=EAD,ADBD,ADB=ADE.又 AD=AD.ADBADE,BD=ED,AE=AB.M 是 BC 的中点.DM=12CE=12(AC-AE)=12(18-12)=3.第 52 页 共 88 页5.C解析 如图,过点

58、 F 作 FGAD 于点 G.依题意可知ABC 是等腰直角三角形,AFG 也是等腰直角三角形.设 FG=1,则 AG=1,AF=2.BE 平分ABC,ABE=22.5.AEB=90-ABE=67.5,AFE=CAB+ABE=67.5.AEB=AFE,AE=AF=2,EG=2-1.FGAD,DAB=90,FGAB.=12-1=2+1.故选 C.6.B解析 AOB=COD,AOC=BOD,又 OA=OB,OC=OD,AOCBOD,AC=BD,故正确;AOCBOD,MAO=MBO,如图,设 OA 与 BD 相交于 N,又ANM=BNO,AMB=AOB=40,故正确;如图,过点 O 分别作 AC 和

59、BD 的垂线,垂足分别是 E,F,AOCBOD,AC=BD,OE=OF,MO 平分BMC,故正确;在AOC 中,OAOC,ACOOAC,AOCBOD,OAC=OBD,ACOOBM,在OCM 和OBM 中,ACOOBM,OMC=OMB,COM0)的图象与 AB 相交于点 D,与 BC 相交于点 E,若 BD=3AD,且ODE 的面积是 9,则 k=.图 F8-810.如图 F8-9,分别以ABC 的两条边 AB,AC 为一边向上作正方形 ABDE 和正方形ACGF,连结 EF.求证:SABC=SAFE.图 F8-9第 60 页 共 88 页11.如图 F8-10,已知等边三角形 ABC 的边长为

60、 8,点 P 是 AB 边上的一个动点(与点 A,B 不重合).直线 l 是经过点 P 的一条直线,把ABC 沿直线 l 折叠,点 B 的对应点是点 B.(1)如图,当 PB=4 时,若点 B恰好在 AC 边上,则 AB的长度为.(2)如图,当 PB=5 时,若直线 lAC,则 BB的长度为.(3)如图,点P 在AB 边上运动过程中,若直线 l 始终垂直于AC,ACB的面积是否变化?若变化,说明理由;若不变化,求出面积.(4)当 PB=6 时,在直线 l 变化过程中,求ACB面积的最大值.图 F8-10第 61 页 共 88 页【参考答案】1.A解析 连结 BD,由题意得,AB=AD,BAD=

61、60,ABD 为等边三角形,ABD=60,阴影部分的面积=9022360-6022360122232=3+3.故选 A.2.A解析 a=5,b=6,c=7,p=5+6+72=9,SABC=9 (9-5)(9-6)(9-7)=6 6.3.B解析 如图,两个半圆的面积差即为 CD 扫过的面积,因为 AB=1,所以 AC=2,所以 S=12AC2-12AD2=2.故选 B.4.D解析 连结 CF,则由正方形的对角线的性质可知 BDCF,SDBF=SDBC=12S 正方形ABCD=1222=2.故选 D.5.D解析 法一:由题意可知 SBEC=SDFC=12S ABCD,SAFD+SBFC=12S A

62、BCD=SEBC,S3+S4+S1+=+S2+,S4=S2-S1-S3=12-2-3=7.故选D.法二:设平行四边形的面积为 S,则 SCBE=SCDF=12S,由图形可知,CDF 面积+CBE 面积+(S1+S4+S3)-S2=平行四边形 ABCD 的面积,S=SCBE+SCDF+2+S4+3-12,即 S=12S+12S+2+S4+3-12,解得 S4=7.故选 D.第 62 页 共 88 页6.C解析 如图,连结 AL,GL,PF.由题意:S 矩形 AMLD=S2=a2-b2,PH=2-2.点 A,L,G 在同一直线上,AMGN,AMLGNL,=,+-=-,整理得 a=3b(a0),12

63、=12(-)2-22-2=2 2282=24.故选 C.7.5 34解析 ADE 和BCD 都是等边三角形,DA=DE,DC=DB,ADE=CDB=60,ADC=EDB,在ADC 与EDB 中,=,=,=,ADCEDB,SADC=SEDB,S 四边形 ADBE=SADE+SEDB,SABE=S 四边形 ADBE-SADC-SCDB=SADE-SCDB,AD=3,BD=2,ADE 中 AD 边上的高=3 32,CDB 中 BD 边上的高=3,SABE=1233 32 122 3=5 34.8.7解析 如图,连结 EF,则四边形 EFCD 为平行四边形,且 S EFCD=12.由题意得,=12.设

64、HOG 的底 HG 为 a,高为 h,则OEF 的底 EF 为 2a,高为 2h,平行四边形 DEFC 的底 EF 为 2a,高为 3h,则 2a3h=12,即 ah=2,SHOG=12ah=1,SOEF=122a2h=4,S 阴影=S EFCD-SHOG-SEOF=12-1-4=7.9.245解析 四边形 OCBA 是矩形,AB=OC,OA=BC.第 63 页 共 88 页设 B 点的坐标为(a,b),BD=3AD,D4,b.点 D,E 在反比例函数的图象上,4=k,E a,ab=4k.SODE=S 矩形 OCBA-SAOD-SOCE-SBDE=ab-124 12k-1234 b-=9,k=

65、245.10.证明:如图,过点 F 作 FPAE,过点 C 作 CQAB 交 BA 的延长线于 Q,FPA=AQC=90.四边形 ACGF 为正方形,AC=AF,FAC=90.PAF+QAF=QAC+QAF=90,PAF=QAC,QACPAF(AAS),QC=PF.SAEF=12AEPF,SABC=12ABCQ,AE=AB,SAEF=SABC.11.分析(1)证明APB是等边三角形即可解决问题.(2)设直线 l 交 BC 于点 E.BB交 PE 于 O.证明PEB 是等边三角形,求出 OB 即可解决问题.(3)面积不变.证明 BBAC 即可.(4)当 BPAC 时,ACB的面积最大,设直线 P

66、B交 AC 于 E,求出 BE 即可解决问题.解:(1)4解析 如图中,ABC 是等边三角形,A=60,AB=BC=AC=8,第 64 页 共 88 页PB=4,PB=PB=PA=4,又A=60,APB是等边三角形,AB=AP=4.故答案为 4.(2)5 3解析 如图中,作出折叠后的完整图形.设直线 l 交 BC 于点 E,BB交PE 于点 O.PEAC,BPE=A=60,BEP=C=60,PEB 是等边三角形.PB=5,BBPE,OB=PBsin60=5 32,B,B关于 PE 对称,BB=2OB=5 3.故答案为 5 3.(3)结论:面积不变.如图中,B,B关于直线 l 对称,BB直线 l

67、,直线 lAC,ACBB,SACB=SACB=34 82=16 3.故ACB的面积不变,是定值 16 3.第 65 页 共 88 页(4)如图中,设直线 PB交 AC 于点 E,当 BPAC 时,ACB的面积最大,在 RtAPE 中,PA=2,PAE=60,PE=PAsin60=3,BE=BP+PE=6+3,ACB面积的最大值=128(6+3)=4 3+24.第 66 页 共 88 页方法技巧专题(九)角的存在性问题训练1.如 图 F9-1,在 Rt ABC 中,ABC=90 ,点 D 是 BC 上 一 点,连 结 AD,且 CAD=45,AB=14,DB=6,则 CD 的长为.图 F9-12

68、.如图 F9-2,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=-x+m(m0)分别交 x 轴,y 轴于 A,B两点,已知点 C(2,0).设点 P 为线段 OB 的中点,连结 PA,PC,若CPA=45,则 m 的值是.图 F9-23.2018宿迁如图 F9-3,在平面直角坐标系中,反比例函数 y=2(x0)的图象与正比例函数 y=kx,y=1x(k1)的图象分别交于点 A,B.若AOB=45,则AOB 的面积是.图 F9-34.如图 F9-4,曲线 C2是双曲线 C1:y=6(x0)绕原点 O 逆时针旋转 45得到的图形,P是 曲 线 C2 上 任 意 一 点,点 A 在 直 线 l:y=x 上

69、,且 PA=PO,则 POA 的 面 积 等于.第 67 页 共 88 页图 F9-45.如图 F9-5,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,0),B(0,2),点 C 在第一象限,ABC=135,AC 交 y 轴于点 D,CD=3AD,反比例函数 y=的图象经过点 C,则 k 的值为.图 F9-56.如图 F9-6,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,点 E,F 分别在 BC,CD 上,若 BE=1,EAF=45,则 DF 的长为.图 F9-67.如图 F9-7,在平面直角坐标系中,点 A(12,0),点 B(0,4),点 P 是直线 y=-x-1 上一点,且ABP=45,则点

70、 P 的坐标为.图 F9-78.如图 F9-8,点 A(2,n)和点 D 是反比例函数 y=(m0,x0)图象上的两点,一次函数y=kx+3(k0)的图象经过点 A,与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于点 C,过点 D 作 DEx 轴,垂足为 E,连结 OA,OD.已知OAB 与ODE 的面积满足 SOABSODE=34.(1)SOAB=,m=;(2)已知点 P(6,0)在线段 OE 上,当PDE=CBO 时,求点 D 的坐标.第 68 页 共 88 页图 F9-89.如图 F9-9,已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(0,3),C(3,0).过 A 作 ABx 轴交抛物线于点 B,

71、连结 AC,BC,点 P 为抛物线上的动点.(1)求抛物线解析式;(2)当PAB=BCA 时,求点 P 的坐标;(3)当点 P 在抛物线上 BC 两点之间移动时,点 Q 为 x 轴上一动点,连结 AP,AQ,使得tanPAQ=2,且 AP 交 BC 于点 G,过 G 作 GHAQ 交 AQ 于点 H,设点 H 的坐标为(m,n),求 n 关于 m 的函数关系式.图 F9-9第 69 页 共 88 页10.如图 F9-10,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D 为直线 BC上方抛物线上一动点,DEBC 于 E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如

72、图,求线段 DE 长度的最大值.(3)如图,设 AB 的中点为 F,连结 CD,CF,是否存在点 D,使得CDE 中有一个角与CFO 相等?若存在,求点 D 的横坐标;若不存在,请说明理由.图 F9-10第 70 页 共 88 页【参考答案】1.29解析 方法一:如图,在 BC 上取点 E,使 BE=AB,连结 AE,则BEA=45,易证CADAED,AD2=CDED,CD=2=2-=2+2-=29.方法二:如图,过点 A 作 AEBC,连结 DE,交 AB 于 F,使AED=45,则CDADAE,AD2=CDAE,CD=2=2-=2+2-=29.方法三:如图,过点 D 作 DEAD 交 AC

73、 于 E,作 EFBC 于 F,则ABDDFE,EFAB,=,-+=,CD=2+2-=29.2.12解析 当 x=0 时,y=m;当 y=0 时,-x+m=0,x=m,点 A 坐标为(m,0),点 B 坐标为(0,m),OA=OB=m,OAB=OBA=45.又点 P 是 OB 中点,BP=OP=2.在 y 轴负半轴上取点 D(0,-2),连结 CD,OC=OD=2,OCD=ODC=45=APC=ABO,易证CPD=PAB,CPDPAB,=.第 71 页 共 88 页由勾股定理得 AB=2m,CD=2 2,2+22=2 22,解得 m=12 或 m=0(舍).3.2解析 如图,过点 O 作 OC

74、AB,垂足为 C,过点 A 作 AMy 轴,垂足为 M,过点B 作 BNx 轴,垂足为 N.设点 A 的横坐标为 a(a0),则点 A 的纵坐标为2.点 A 在正比例函数 y=kx 的图象上,2=ka,k=22,OB 所在直线的解析式为 y=22 x.令22 x=2,得 x=2或 x=-2(舍),此时 y=a.点 B 的坐标为2,a.OA=OB,AOC=BOC,OAMOBN.AOB=45,AOC=AOM,OAMOAC,SOAB=2SOAM=2.4.6解析 如图,将点 P 绕点 O 顺时针旋转 45,得到点 P 的对应点 P,连结 OP,曲线 C2是双曲线 C1:y=6(x0)绕原点 O 逆时针

75、旋转 45得到的图形,点 P在双曲线 y=6上,且 OP=OP.过点 P作 PMy 轴于点 M,过点 P 作 PHOA 于点 H.OPM 的面积=12|k|=3.PA=PO,OH=AH.又点 A 在直线 l:y=x上,AOM=45,而POP=45,第 72 页 共 88 页不妨设MOP=,OPM=90-,POA=45+(45-)=90-,POA=OPM.又PHO=PMO=90,OP=OP,OPHPOM(AAS),OPH 的面积=OPM 的面积=3.又OH=AH,OPA 的面积为 6.5.96.43解析 如图,作 EGAE 交 AF 于点 G,过点 G 作 GHBC 于点 H,HG 的延长线交A

76、D 于点 K,易证 RtABERtEHG,则 EH=AB=2,HG=BE=1,从而 GK=1,AK=3,故 tanGAK=13,则 tanFAD=13,DF=43.7.(5,-6)解析 如图,作 ACAB 交直线 BP 于点 C,再作 CGx 轴于点 G.易证 RtAOBRtCGA,则 CG=AO=12,AG=BO=4,点 C 的坐标为(8,-12),故直线 BP 的解析式为 y=-2x+4,解 =-2+4,=-1,得 =5,=-6,点 P 的坐标为(5,-6).8.解:(1)3;8解析 由一次函数 y=kx+3 知 B(0,3).第 73 页 共 88 页又点 A 的坐标是(2,n),SOA

77、B=1232=3.SOABSODE=34,SODE=4.点 D 是反比例函数 y=(m0,x0)图象上的点,12m=SODE=4,则 m=8.故答案是 3;8.(2)连结 PD,如图,由(1)知,反比例函数解析式是 y=8.2n=8,即 n=4.故 A(2,4),将其代入 y=kx+3 得到:2k+3=4.解得 k=12.直线 AC 的解析式是 y=12x+3.令 y=0,则12x+3=0,x=-6,C(-6,0),OC=6.设 D(a,b),则 DE=b,PE=a-6.PDE=CBO,COB=PED=90,CBOPDE,=,即3=6-6,又 ab=8,联立,得 =-2,=-4(舍去)或 =8

78、,=1.故 D(8,1).9.解:(1)将 A(0,3),C(3,0)代入 y=-x2+bx+c,得:=3,-9+3+=0,解得 =2,=3,抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3.第 74 页 共 88 页(2)由 ABx 轴,易知 B(2,3),AB=2,BC=(3-2)2+32=10.如图,当点 P 在抛物线上 B,C 两点之间时,连结 PA 交 BC 于 E,作 BMOC 于 M,ENBM 于 N.PAB=ACB,ABE=ABC,ABECBA,=,AB2=BEBC,BEBC=4.BC=10,BE=2510.ENMC,=,3=25 1010=1,BN=65,EN=25,E125,95.A

79、(0,3),直线 AE 的解析式为 y=-12x+3.由 =-12 +3,=-2+2+3解得 =0,=3 或=52,=74.A(0,3),P52,74.根据对称性可知直线 AP 关于直线 AB 对称的直线 AP的解析式为 y=12x+3.由 =12 +3,=-2+2+3解得 =0,=3 或=32,=154,P32,154.综上所述,满足条件的点 P 坐标为52,74 或32,154.(3)如图,作 HFOA 于 F,GDFH 于 D.AHGH,AHG=90.第 75 页 共 88 页易得AHFHGD,=.tanGAH=2,H(m,n),3-=12,HD=6-2n,GD=2m,G(6-2n+m,

80、2m+n).直线 BC 的解析式为 y=-3x+9,点 G 在直线 BC 上,2m+n=-3(6-2n+m)+9,n=m+95.10.解:(1)由题意得,-+=0,16+4+=0,=3,解得=-34,=94,=3.y=-34x2+94x+3.(2)设直线 BC 的解析式为 y=kx+n,4+=0,=3,解得 =-34,=3,y=-34x+3.设 D m,-34m2+94m+3(0m4).如图,过点 D 作 DMx 轴交 BC 于 M.M m,-34m+3,DM=-34m2+94m+3-34m+3=-34m2+3m.DME=OCB,DEM=COB,DEMBOC,=.OB=4,OC=3,BC=5,

81、DE=45DM,第 76 页 共 88 页DE=-35m2+125 m=-35(m-2)2+125.当 m=2 时,DE 取最大值,最大值是125.(3)假设存在这样的点 D,使得CDE 中有一个角与CFO 相等.F 是 AB 的中点,OF=32,tanCFO=2.如图,过点 B 作 BGBC 交 CD 的延长线于 G,过点 G 作 GHx 轴,垂足为 H.DEBC,CED=90,则只存在另外两个角与CFO 相等.当DCE=CFO 时,tanDCE=2,BG=10.易知GBHBCO,=,即4=3=105,GH=8,BH=6,G(10,8).设直线 CG 的解析式为 y=kx+b,=3,10+=

82、8,解得 =12,=3,y=12x+3.解=12 +3,=-34 2+94 +3,得 x=73或 x=0(舍).若CDE=CFO,同理可得,BG=52,GH=2,BH=32,G112,2.同理可得,直线 CG 的解析式为 y=-211x+3.解=-211 +3,=-34 2+94 +3,得 x=10733 或 x=0(舍).综上所述,存在 D 使得CDE 中有一个角与CFO 相等,其横坐标为73或10733.第 77 页 共 88 页方法技巧专题(十)隐圆问题训练1.如图 F10-1,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,E 是矩形内部的一个动点,且 AEBE,则线段 CE 的最小值为()

83、图 F10-1A.32B.2 10-2C.2 13-2 D.42.在矩形 ABCD 中,已知 AB=2 cm,BC=3 cm,现有一根长为 2 cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒的中点P 在运动过程中所围成的图形的面积为()A.6 cm2 B.3 cm2C.(2+)cm2 D.(6-)cm23.如图 F10-2,在 RtABC 中,ACB=90,AC=8,BC=6,点 D 是 AC 的中点,将 CD 绕着点 C 逆时针旋转一周,在旋转的过程中,点 D 的对应点为点 E,连结 AE,BE,则AEB的面积的最小值为()图 F10-2A.

84、1B.2C.3D.4第 78 页 共 88 页4.如图 F10-3,AC=3,BC=5,且BAC=90,D 为 AC 上一动点,以 AD 为直径作圆,圆心为 O,连结 BD 交圆 O 于点 E,连结 CE,则 CE 的最小值为()图 F10-3A.13-2B.13+2C.5D.1695.如 图 F10-4,已 知 AB=AC=AD,CBD=2 BDC,BAC=44 ,则 CAD 的 度 数为.图 F10-46.如 图 F10-5 所 示,四 边 形 ABCD 中,DC AB,BC=1,AB=AC=AD=2,则 BD 的 长为.图 F10-57.如图 F10-6,在矩形 ABCD 中,AB=4,

85、AD=6,E 是 AB 边的中点,F 是线段 CB 边上的动点,将 EBF 沿 EF 所 在 直 线 折 叠 得 到 EBF,连 结 BD,则 BD 的 最 小 值是.图 F10-68.如图 F10-7,矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,点 E,F 分别为 AD,DC 边上的点,且 EF=2,点G 为 EF 的中点,点 P 为 BC 边上一动点,则 PA+PG 的最小值为.第 79 页 共 88 页图 F10-79.如图 F10-8,正方形 ABCD 中,AB=2,动点 E 从点 A 出发向点 D 运动,同时动点 F 从点 D 出发向点 C 运动,点 E,F 运动的速度相同,当它们到达各

86、自终点时停止运动,运动过程中线段 AF,BE 相交于点 P,则线段 DP 的最小值为.图 F10-810.在平面直角坐标系中,已知点 A(4,0),B(-6,0),点 C 是 y 轴上的一个动点,当BCA=45时,点 C 的坐标为.11.如图 F10-9,点 A 与点 B 的坐标分别是(1,0),(5,0),点 P 是该直角坐标系内的一个动点.(1)使APB=30的点 P 有个.(2)若点 P 在 y 轴上,且APB=30,求满足条件的点 P 的坐标.(3)当点 P 在 y 轴上移动时,APB 何时有最大值?请说明理由.图 F10-9第 80 页 共 88 页12.2019衢州如图 F10-1

87、0,在 RtABC 中,C=90,AC=6,BAC=60,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,过点 D 作 DEAC 交 AB 于点 E,点 M 是线段 AD 上的动点,连结BM 并延长分别交 DE,AC 于点 F,G.(1)求 CD 的长.(2)若点 M 是线段 AD 的中点,求的值.(3)请问当 DM 的长满足什么条件时,在线段 DE 上恰好只有一点 P,使得CPG=60?备用图图 F10-10第 81 页 共 88 页【参考答案】1.B解析 由 AEBE,可知点 E 在以 AB 为直径的圆弧上,取 AB 中点 O,连结 OE,OC,则 CE 的最小值为 OC-OE,因为 OC=62+2

88、2=2 10,OE=12AB=2,所以 CE 的最小值为2 10-2,故选 B.2.D解析 如图所示:由题意,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出此时 P 到 B 点距离始终为1 cm,则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中的轨迹为分别以 A,B,C,D 为圆心,1 cm 为半径的弧.故所围成的图形的面积为:矩形面积-4 个扇形面积=6-49012360=(6-)(cm2).3.D解析 如图,作 CHAB 于 H,易知 AB=10,CH=245,由题意,得点 E 在以点 C 为圆心,CD=4 为半径的圆上,故点 E 到AB 的最小距离为 CH-CD=245-4=45,所以AEB 面积

89、的最小值为121045=4.4.A解析 如图,连接 AE,则AED=90,即AEB=90,故点 E 在以 AB 为直径的圆弧上,设 AB 中点为 F,连结 EF,CF,则 CE 的最小值为点 C 到圆心 F 的距离减去圆 F的半径,即 CECF-EF=32+22-2=13-2,故选 A.5.88解析 如图,AB=AC=AD,点 B,C,D 在以点 A 为圆心,以 AB 的长为半径第 82 页 共 88 页的圆上,BAC=2BDC.CBD=2BDC,BAC=CBD,CAD=2BAC,而BAC=44,CAD=88.6.15解析 以 A 为圆心,AB 长为半径作圆,延长 BA 交A 于 F,连结 D

90、F.DCAB,DF=BC,DF=CB=1,BF=2+2=4,FB 是A 的直径,FDB=90,BD=2-2=15.7.2 10-2解析 点 B在以 E 为圆心,EA 长为半径的圆上运动,当 D,B,E 共线时,此时 BD 的值最小.根据折叠的性质,得EBFEBF,EBBF,EB=EB.E 是 AB 边的中点,AB=4,AE=EB=2.AD=6,DE=62+22=2 10,BD=2 10-2.8.4解析 EF=2,点 G 为 EF 的中点,DG=1,G 是以 D 为圆心,以 1 为半径的圆弧上的点.作 A 关于 BC 的对称点 A,连结 AD,交 BC 于 P,交以 D 为圆心,以 1 为半径的

91、圆于 G,此时的 PA+PG 值最小,最小值为 AG 的长.第 83 页 共 88 页AB=2,AD=3,AA=4,AD=5,AG=AD-DG=5-1=4.PA+PG 的最小值为 4.9.5-1解析 如图,动点 E,F 的速度相同,AE=DF.又正方形 ABCD,AD=AB,BAE=ADF=90.在ABE 和DAF中,=,=,ABEDAF.ABE=DAF.ABE+BEA=90,FAD+BEA=90,APB=90.点 P 在运动中保持APB=90,点 P 的路径是一段以 AB 为直径的弧.设 AB 的中点为 G,连结 DG 交弧于点 P,此时 DP 的长度最小,AG=BG=12AB=1.在 Rt

92、ADG 中,DG=2+2=12+22=5.PG=AG=1,DP=DG-PG=5-1,即线段 DP 的最小值为 5-1.第 84 页 共 88 页10.(0,12)或(0,-12)解析 法一:设线段 BA 的中点为 E,点 A(4,0),B(-6,0),AB=10,E(-1,0).(1)如图所示,过点 E 在第二象限作 EPBA,且 EP=12AB=5,则易知PBA 为等腰直角三角形,BPA=90,PA=PB=5 2.以点 P 为圆心,PA(或 PB)长为半径作P,与 y 轴的正半轴交于点 C.BCA 为P 的圆周角,BCA=12BPA=45,则点 C 即为所求.过点 P 作 PFy 轴于点 F

93、,则 OF=PE=5,PF=1,在 RtPFC 中,PF=1,PC=5 2,由勾股定理得 CF=2-2=7,OC=OF+CF=5+7=12,点 C 坐标为(0,12);(2)如图所示,在第三象限参照(1)作同样操作,同理求得 y 轴负半轴上的点 C 坐标为(0,-12).综上所述,点 C 坐标为(0,12)或(0,-12).法二:设点 C 的坐标为(0,c),点 A(4,0),B(-6,0),点 C 是 y 轴上的一个动点,BCA=45,AC=42+2,BC=(-6)2+2,AB=4-(-6)=10,2=(sin)210|2=42+2(-6)2+2sin45)2解得,c=12 或 c=-12

94、或 c=2(舍去)或 c=-2(舍去),即点 C 的坐标为(0,12)或(0,-12).11.解:(1)无数解析 以 AB 为边,在第一象限内作等边三角形 ABC,以点 C 为圆第 85 页 共 88 页心,AC 为半径作C,交 y 轴于点 P1,P2.在优弧 AP1B 上任取一点 P,如图,则APB=12ACB=1260=30.使APB=30的点 P 有无数个.故答案为:无数.2(2)a.当点 P 在 y 轴的正半轴上时,过点 C 作 CGAB,垂足为 G,如图.点 A(1,0),点 B(5,0),OA=1,OB=5.AB=4.点 C 为圆心,CGAB,AG=BG=1AB=2,OG=OA+A

95、G=3.ABC 是等边三角形,AC=BC=AB=4,CG=2-2=42-22=2 3,点 C 的坐标为(3,2 3).过点 C 作 CDy 轴,垂足为 D,P1,P2是C 与 y 轴的交点,连结 CP2,如图.点 C 的坐标为(3,2 3),CD=3,OD=2 3.P1,P2是C 与 y 轴的交点,AP1B=AP2B=30.CP2=CA=4,CD=3,DP2=42-32=7.点 C 为圆心,CDP1P2,P1D=P2D=7,第 86 页 共 88 页P2(0,2 3 7),P1(0,2 3+7).b.当点 P 在 y 轴的负半轴上时,同理可得:P3(0,-2 3 7),P4(0,-2 3+7)

96、.综上所述:满足条件的点 P 的坐标有:(0,2 3 7),(0,2 3+7),(0,-2 3 7),(0,-2 3+7).(3)如图,当过点 A,B 的E 与 y 轴相切于点 P 时,APB 最大.理由:作 EHAB 于 H,则APB=AEH,当APB 最大时,AEH 最大.由 sinAEH=2,得当 AE 最小即 PE 最小时,AEH 最大.当圆与 y 轴相切时,APB 最大.12.分析(1)根据三角函数求得 DC;(2)证明DFMAGM,再利用BFEBGA,由相似比求得的值;(3)根据CPG=60,过 C,P,G 作圆,圆心为 Q,CQG 是顶角为 120的等腰三角形,根据Q 与 DE

97、相切,经过点 E,经过点 D 三种情况分别求得 DM 的长,最后得出 DM 的长需满足的条件.解:(1)AD 平分BAC,BAC=60,DAC=12BAC=30.在 RtADC 中,DC=ACtan30=2 3.(2)易得,BC=6 3,BD=4 3.由 DEAC,得EDA=DAC,DFM=AGM.AM=DM,DFMAGM,DF=AG.由 DEAC,得BFEBGA,第 87 页 共 88 页=,=4 36 3=23.(3)CPG=60,过 C,P,G 作圆,圆心为 Q,CQG 是顶角为 120的等腰三角形.当Q 与 DE 相切时,如图,过 Q 点作 QHAC,并延长 HQ 与 DE 交于点 P

98、,连接QC,QG.设Q 的半径 QP=r,则 QH=12r,r+12r=2 3,解得 r=433,CG=433 3=4,AG=2.DF=234=83,易知DFMAGM,可得=43,则=47.AD=2CD=4 3,DM=16 37.当Q 经过点 E 时,如图,过 C 点作 CKAB,垂足为 K.设Q 的半径 QC=QE=r,则 QK=3 3-r.在 RtEQK 中,12+(3 3-r)2=r2,解得 r=14 39,CG=14 393=143,AG=43,DF=23 143=289,第 88 页 共 88 页易知DFMAGM,=73,=710,DM=14 35.当Q 经过点 D 时,如图,此时点 M 与点 G 重合,且恰好在点 A 处,可得 DM=4 3.综上所述,当 DM=16 37 或14 35 DM4 3时,满足条件的点 P 只有一个.