四川省绵阳市南山中学实验学校2024届高三数学（理）上学期11月月考试题（补习班）（PDF版附解析）.pdf

1、第 1 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司绵阳南山中学实验学校 2024 届补习年级十一月月考理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本卷共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2A ，2xBy y，MAB，则集合 M 的子集个数是（）A.2B.3C

2、.4D.82.抛物线24yx的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16D.1,0163.已知函数()f x 的定义域为 R，则“(1)()f xf x恒成立”是“函数()f x 在 R 上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.若向量,a b满足|abab，则向量,a b一定满足的关系为（）A.0a B.存在实数，使得abC.存在实数,m n，使得manbD.|abab5.在平面直角坐标系 xOy 中，若圆2221:14Cxyr(r0)上存在点 P，且点 P 关于直线10 xy 的对称点 Q 在圆 222:49Cxy上

3、，则 r 的取值范围是（）A.(2，+)B.2，+)C.(2，8)D.2，86.已知函数()s3inf xx，其在一个周期内的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、点 B，并与过点 A的直线相交于另外两点 C、D.设 O 为坐标原点，则BCBDOA（）第 2 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司A.118B.89C.49D.297.已知过椭圆2222:1(0)xyCabab左焦点 F 且与长轴垂直的弦长为 6 2，过点 2,1P且斜率为1 的直线与C 相交于 A，B 两点，若 P 恰好是 AB 的中点，则椭圆C 上一点 M 到 F 的距离的最大值为（）A.6B.2 26C.2 36D.6

4、268.若直线 yxb 与曲线21xy恰有一个公共点，则 b取值范围是（）A.2,2B.1,2C.1,1)2D.(1,12 9.已知02，函数 5sin6f xx，若 1ff，则cos （）A.2325B.2325C.35D.35-10.已知数列 na满足12a，26a，且2122nnnaaa，若 x 表示不超过 x最大整数（例如1.61，1.62 ），则222122021232022aaa（）A 2019B.2020C.2021D.202211.已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F 作一条直线与双曲线右支交于,A B 两点，坐标原点为O，若 OAc，1

5、5BFa，则该双曲线的离心率为（）A.152B.102C.153D.10312.设0.02e1a ，0.012 e1b，sin 0.01tan 0.01c，则（）A abcB.acb的的.第 3 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司C.cabD.bca二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知复数 z 满足1 3izz，则 z _.14.已知双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点在直线2yx上，且焦点到渐近线的距离为3，那么双曲线的方程为_15.已知定义在 R 上的函数 f x 满足 2f xfxx，12,0,x x 均有 121212122f xf

6、xxxxxxx，则不等式 112f xfxx的解集为_.16.已知抛物线2:8C yx，其焦点为点 F，点 P 是拋物线C 上的动点，过点 F 作直线1460mxym的垂线，垂足为Q，则 PQPF的最小值为_.三、解答题（共 70 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知345,cos5acC（1）求sin A 的值；（2）若11b，求 ABC的面积18.已知数列 na中的相邻两项21ka，2ka是关

7、于 x 的方程232320kkxkxk的两个根，且212(1,2,3,)kkaak （1）求1357,a a a a 及2(4)nan（不必证明）；（2）求数列 na的前2n 项和2nS19.已知椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点分别是1F，2F，上、下顶点分别是1B，2B，离心率12e，短轴长为2 3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 M，N，若12MNB F，试求1F MN内切圆的面积.20.已知函数()ln(1)2f xxax第 4 页/共 4 页学科网（北京）股份有限公司（1）若2a，求 f x 在0 x 处的切线方程；（2）当0

8、 x 时，()2ln(1)0f xxxx恒成立，求整数 a 的最大值21.在平面直角坐标系 xOy 中，动点G 到点4,0F的距离比到直线60 x 的距离小 2（1）求G 的轨迹的方程；（2）设动点G 的轨迹为曲线C，过点 F 作斜率为1k，2k 的两条直线分别交C 于 M，N 两点和 P，Q 两点，其中122kk设线段 MN 和 PQ 的中点分别为 A，B，过点 F 作 FDAB，垂足为 D 试问：是否存在定点T，使得线段TD 的长度为定值若存在，求出点T 的坐标及定值；若不存在，说明理由（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.2

9、2.在平面直角坐标系 xOy 中，直线1C 的参数方程为2cos,sin,xtyt（t 为参数，0），曲线2C的参数方程为1 sin 2,2 sincos,xy（为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线2C极坐标方程；（2）若点(2,0)P，直线1C 与曲线2C 所在抛物线交于 A，B 两点，且|2|PAPB，求直线1C 的普通方程23.已知()|2|().f xxa xxxa（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若(,1)x 时，()0f x，求 a 的取值范围.的第 1 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司绵阳南山中学实验学校

10、2024 届补习年级十一月月考理科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本卷共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,0,1,2A ，2xBy y，MAB，则集合 M 的子集个数是（）A.2B.3C.4D.8【答案】C【解析】【分析】求出集合 M，由此可计算出集合 M

11、 的子集个数.【详解】20 xBy yy y，1,0,1,2A ，1,2MAB，因此，集合 M 的子集个数是224.故选：C.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.2.抛物线24yx的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16D.1,016【答案】C【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24yx标准方程为214xy，其焦点坐标为10,16故选：C.第 2 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司3.已知函数()f x 的定义域为 R，则“(1)()f xf x恒成立”是“函数()f x 在 R 上单调递

12、增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】函数()f x 为 R 上增函数Rx ，(1)()f xf x，反之不成立，即可判断出结论【详解】函数()f x 为 R 上增函数Rx ，(1)()f xf x，反之不成立，例如定义()f x 在(0,1上，()f xx，且在 R 上满足(1)()1f xf x，则有“(1)()f xf x”，“(1)()f xf x”是“函数()f x 为增函数”的必要不充分条件故选：B4.若向量,a b满足|abab，则向量,a b一定满足的关系为（）A.0a B.存在实数，使得abC.存在

13、实数,m n，使得manbD.|abab【答案】C【解析】【分析】对于 A,B,D 通过举反例即可判断，对于 C 需分 a与b是否为0讨论即可.【详解】|abab，两边同平方得222222|aa bbaabb|a ba b，|cos|a ba b，对 A，0b 时，a 为任一向量，故 A 错误，对 B，若0b，0a 时，此时不存在实数，使得ab，故 B 错误，对于 C，因为|cos|a ba b，当 a与b至少一个为零向量时，此时一定存在实数m,n,使得manb，具体分析如下：当0a，0b rr 时，此时m 为任意实数，0n，第 3 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司当0a，0b 时，

14、此时n 为任意实数，0m，当0a，0b 时，,m n 为任意实数，当0a，0b rr 时，因为|cos|a ba b，则有cos1，根据0,，则0，此时,a b 共线，且同向，则存在实数 使得 ab（0），令nm，其中,m n 同号，即nabm，即 manb，则存在实数m,n,使得manb，故 C 正确，对于 D，当0a，0b rr 时，|abab，故 D 错误，故选：C.5.在平面直角坐标系 xOy 中，若圆2221:14Cxyr(r0)上存在点 P，且点 P 关于直线10 xy 的对称点 Q 在圆 222:49Cxy上，则 r 的取值范围是（）A.(2，+)B.2，+)C.(2，8)D.2

15、，8【答案】D【解析】【分析】求出圆1C 关于10 xy 对称的圆的方程，转化为此圆与2249xy有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.【详解】2221:14Cxyr圆心坐标1 1,4C，设1,4 关于直线10 xy 的对称点为,a b，由141022411abba ，可得30ab ，所以圆2221:14Cxyr关于直线10 xy 对称圆的方程为2220:3Cxyr，则条件等价为：2220:3Cxyr与222:49Cxy有交点即可，两圆圆心为03,0C，2 0,4C，半径分别为 r，3，则圆心距220230045C C ，则有353rr ，由35r 得 28r，由35r 得2r，第 4

16、 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司综上：28r，所以 r 的取值范围是2 8,，故选：D.6.已知函数()s3inf xx，其在一个周期内的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、点 B，并与过点 A的直线相交于另外两点 C、D.设 O 为坐标原点，则BCBDOA（）A.118B.89C.49D.29【答案】B【解析】【分析】根据图象结合三角函数求点,A B，进而求,BCBD OAuuuruuur uur，即可得结果.【详解】因为()s3inf xx，可得3(0)sin 32f，即30,2B，由图可知：点 A 为减区间的对称中心，令2,3xkkZ，解得22,3xkkZ，取0k，则23x

17、，即2,03A，可得232,0323BAOAuuruur，因为点 A 为线段 CD 的中点，则42,33BCBDBAuuuruuuruur，所以428339BCBDOAuuuruuuruur.第 5 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司故选：B.7.已知过椭圆2222:1(0)xyCabab左焦点 F 且与长轴垂直的弦长为 6 2，过点 2,1P且斜率为1 的直线与C 相交于 A，B 两点，若 P 恰好是 AB 的中点，则椭圆C 上一点 M 到 F 的距离的最大值为（）A.6B.2 26C.2 36D.6 26【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决.【

18、详解】由过椭圆2222:1(0)xyCabab左焦点 F 且与长轴垂直的弦长为 6 2，可得椭圆过点,3 2c，代入方程得222181cab.设1122,A x yB xy则2222112222221,1,xyxyabab，两式作差得22221212220 xxyyab，即 12121212220 xxxxyyyyab，因为 P 恰好是 AB 的中点，所以12124,2xxyy，又因为直线 AB 斜率为-1，所以12121yyxx，将它们代入上式得222ab，则联立方程222222221812cabababc解得6 266abc .所以椭圆C 上一点 M 到 F 的距离的最大值为66 2ac.

19、故选：D8.若直线 yxb 与曲线21xy恰有一个公共点，则 b 的取值范围是（）第 6 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司A.2,2B.1,2C.1,1)2D.(1,12【答案】C【解析】【分析】由题意作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【详解】由曲线21xy，可得221xy，其中0 x，表示以原点为圆心，半径为 1 的右半圆，yxb 是倾斜角为135 的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据 dr，所以12bd，结合图象，可得：2b；（2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知 1,1)b.综上可知：1,1)2b.故选：C.9.已知02，函

20、数 5sin6f xx，若 1ff，则cos （）A.2325B.2325C.35D.35-【答案】B【解析】【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得263，2736，从而利用coscos66即可求解.【详解】解：令 5sin06fxx，02x，则6x或76x，令 5sin56fxx，02x，则23x，又02，1ff，第 7 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以263，2736，1sin65，1sin65，因为062，26，所以2 6cos65，2 6cos65，所以coscoscoscossinsin6666662 62 61123555525，故选：B.10.已知数列 na满足

21、12a，26a，且2122nnnaaa，若 x 表示不超过 x 的最大整数（例如1.61，1.62 ），则222122021232022aaa（）A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】D【解析】【分析】求出1nan n，2111nnan，即得解.【详解】解：由题设知，2112nnnnaaaa，214aa，故1nnaa 是首项为 4，公差为 2 的等差数列，则122nnaan，则11221nnnnaaaaaa12132 12121naannnn，所以1nan n，故 2111nnan，又*nN，当1n 时，2122a，当2n 时，211nna，第 8 页/共 21 页学科网（北

22、京）股份有限公司所以2221220212320222 1 112022aaa .故选：D11.已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F 作一条直线与双曲线右支交于,A B 两点，坐标原点为O，若 OAc，15BFa，则该双曲线的离心率为（）A 152B.102C.153D.103【答案】B【解析】【分析】由1212OAcF F得1290F AF，由双曲线定义得23BFa，在1AF B中应用勾股定理得2AFa，在12AF F中再应用勾股定理得,a c 的关系式，求得离心率【详解】因为1212OAcF F，所以1290F AF，又122BFBFa，所以23BFa

23、，又122AFAFa，由22211AFABBF得22222(2)(3)(5)AFaAFaa，解得2AFa，所以由2221212AFAFF F，得222(2)(2)aaac，解得102cea故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由1212OAcF F得1290F AF，然后结合双曲线的定义在1AF B中应用勾股定理求得2AF，在12AF F中应用勾股定理建立,a c 的关系12.设0.02e1a ，0.012 e1b，sin 0.01tan 0.01c，则（）A.abcB.acbC.cabD.bca【答案】A【解析】【详解】因为20.020.010.01e2e1e10a

24、b，所以 ab.第 9 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司设()2 e1sintanxf xxx，则()fx212ecoscosxxx，令()()g xfx，则32sin()2esincosxxg xxx当0,6x时，2e2x，sin0 x，332sin2sin8 362cos9cos 6xx，所以()0g x，所以当0,6x时，()(0)0fxf，所以 f x 在0,6x上单调递增，从而()(0)0f xf，因此(0.01)0f，即bc综上可得 abc 故选：A【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，,a b 可以作差进行比较大小，而,b c 的大小比较

25、，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知复数 z 满足1 3izz，则 z _.【答案】5【解析】【分析】设izab，,Ra b，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得 a、b，即可求出 z，从而得解.【详解】设izab，,Ra b，则22zab，因为1 3izz，所以22i1 3iabab，所以2213abab，第 10 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以43ab，即43iz，所以22435z.故答案为：514.已知双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点在直

26、线2yx上，且焦点到渐近线的距离为3，那么双曲线的方程为_【答案】2213yx【解析】【分 析】根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得3b，由 焦 点 在 直 线 上 可 得2c，进 而 可 求 解221acb.【详解】由题意可得双曲线的焦点在 x 轴上，又直线2yx与 x 的交点为2,0，所以右焦点为2,0，故2c，渐近线方程为byxa，所以,0c到渐近线的距离为231b cabba，又221acb，故双曲线方程为2213yx ，故答案为：2213yx 15.已知定义在 R 上的函数 f x 满足 2f xfxx，12,0,x x 均有 121212122f xf xxxxxxx

27、，则不等式 112f xfxx的解集为_.【答案】1,2【解析】【分析】构造函数 212g xf xx，通过题干条件得到 g x 为奇函数，且在 R 上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集.第 11 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司【详解】因为定义在 R 上的函数 f x 满足 2f xfxx，所以设 212g xf xx，则 g xgx，所以 212g xf xx为奇函数，因为12,0,x x，都有 121212122f xf xxxxxxx，当12xx时，则有 1212122xxxxf xf x，即 22121222xxf xf x，所以 12g xg x，所以 g x 在

28、0,上单调递增，当12xx时，则有 22121222xxf xf x，所以 12g xg x，所以 g x 在0,上单调递增，综上：g x 在0,上单调递增，因 g x 为奇函数，则 g x 在 R 上单调递增，112f xfxx变形为：22111122f xxfxx，即 1g xgx，所以1xx，解得：12x.故答案为：1,2为第 12 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司16.已知抛物线2:8C yx，其焦点为点 F，点 P 是拋物线C 上的动点，过点 F 作直线1460mxym的垂线，垂足为Q，则 PQPF的最小值为_.【答案】52#25【解析】【分析】通过确定直线过定点 M(4,

29、2)，得到 Q 在以 FM 为直径的圆上，将 P 到 Q 的距离转化为到圆心的距离的问题，再利用抛物线的定义就可得到最小值.【详解】将已知直线(1)460mxmy化为460m xxy，当4x 时2y，可确定直线过定点(4,2)，记为 M 点.过点 F 做直线(1)460mxmy的垂线，垂足为 Q，FQ 直线(1)460mxmy，即,90FQMQFQM，故 Q 点的轨迹是以 FM 为直径的圆，半径2r，其圆心为 FM 的中点，记为点 H，(3,1)H，P 在抛物线2:8C yx上，其准线为2x ，PF 等于 P 到准线的距离.过 P 作准线的垂线，垂足为 R.要使|PFPQ取到最小，即|PRPQ

30、最小，此时 R、P、Q 三点共线，且三点连线后直线 RQ 过圆心 H.如图所示，此时min|52PRPQHRr.故答案为：52第 13 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司三、解答题（共 70 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知345,cos5acC（1）求sin A 的值；（2）若11b，求 ABC的面积【答案】（1）55；（2）22【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据

31、正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos2abcCab以及 45ac可解出 a，即可由三角形面积公式in12sSabC求出面积【小问 1 详解】由于3cos5C，0C，则4sin5C 因为 45ac，由正弦定理知 4sin5 sinAC，则55sinsin45AC【小问 2 详解】因为 45ac，由余弦定理，得2222221612111355cos22225aaaabcCabaa，即26550aa，解得5a，而4sin5C，11b，所以 ABC的面积114sin5 1122225SabC 18.已知数列 na中相邻两项21ka，2ka是关于 x 的方程232320kkxkxk的两

32、个根，且212(1,2,3,)kkaak （1）求1357,a a a a 及2(4)nan（不必证明）；的第 14 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司（2）求数列 na的前2n 项和2nS【答案】（1）13572,(4)24812,2nnaaaaan；（2）2133222nnn【解析】【分析】（1）方程由因式分解可解得21,23kxxk，结合212(1,2,3,)kkaak 则可求得1357,a a a a，令 2132nnf nxx，设 23xg xx，由导数法可求得 40f ng ng，则有2nna；（2）分组求和，结合公式法求和即可【小问 1 详解】由题意得，213203,2k

33、kxkxxxk，由212(1,2,3,)kkaak ，则当1k 时，21123,2xxa；当2k 时，21346,4xxa；当3k 时，21589,8xxa；当4k 时，712612,112xxa；当kn4n 时，21,23nxxn，令 2132nnf nxx，设 23xg xx，由 2 ln 2416ln 2330 xgxg，故 g x 单调递增，故 430f ng ng，则21xx，22nna；【小问 2 详解】由（1）得122122nnnSaaaa 2363222nn2 1 23321 2nn n2133222nnn第 15 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司19.已知椭圆C：2

34、22210 xyabab的左、右焦点分别是1F，2F，上、下顶点分别是1B，2B，离心率12e，短轴长为2 3.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 M，N，若12MNB F，试求1F MN内切圆的面积.【答案】（1）22143xy；（2）36169.【解析】【分析】（1）由题意得1222 3cab，解出即可；（2）首先算出直线l方程，然后和椭圆的方程联立消元，算出1F MN的面积和周长，然后得到1F MN内切圆的半径即可.【详解】（1）由题意得1222 3cab，又222abc，解得24a，23b，所以椭圆C 的方程为22143xy.（2）由1 0,3

35、B，2 1,0F，知12B F 的斜率为3，因12MNB F，故 MN 的斜率为33，则直线l 的方程为313yx，即31xy，联立221,4331,xyxy 可得：2136 390yy，设11,M x y，22,N xy，则126 313yy，12913y y ，则1F MN的面积212121224413Sc yyyyy y，由1F MN的周长48La，及12SLR，得内切圆2613SRL，的第 16 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以1F MN的内切圆面积为236169R.20.已知函数()ln(1)2f xxax（1）若2a，求 f x 在0 x 处的切线方程；（2）当0 x

36、 时，()2ln(1)0f xxxx恒成立，求整数 a 的最大值【答案】（1）20 xy（2）4【解析】【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；（2）0 x 时，不 等 式 恒 成 立；当0 x 时，不 等 式 等 价 于1ln12xxax，设 1ln12xxg xx，利用导数求 g x 的最小值，可求整数 a 的最大值【小问 1 详解】若2a，则()ln(1)22f xxx，02f，则切点坐标为0,2，121fxx，则切线斜率 01kf ，所以切线方程为20yx，即20 xy【小问 2 详解】由()2ln(1)0f xxxx，得(1)ln(1)2axxx

37、，当0 x 时，02a，aR；当0 x 时，1ln12xxax，设 1ln12xxg xx，22ln1xxgxx，设 2ln1h xxx，01xh xx，则 h x 在0,单调递增，(3)1 ln 40h，(4)2ln50h，所以存在0(3,4)x 使得 00h x，即002ln1xx第 17 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司00,xx时，0h x，即 0gx；0,xx 时，0h x，即 0gx，则有 g x 在00,x单调递减，在0,x 单调递增，min0()g xg x，所以 000000001ln121221xxxxag xxxx，因为0(3,4)x，所以01(4,5)x ，所

38、以整数 a 的最大值为 4【点睛】方法点睛：不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.21.在平面直角坐标系 xOy 中，动点G 到点4,0F的距离比到直线60 x 的距离小 2（1）求G 的轨迹的方程；（2）设动点G 的轨迹为曲线C，过点 F 作斜率为1k，2k 的两条直线分别交C 于 M，N 两点和 P，Q 两点，其中122kk设线段 MN 和 PQ 的中点分别为 A，B，过点 F 作 FDAB，垂足为 D 试问：是否存在定点T，使得线段T

39、D 的长度为定值若存在，求出点T 的坐标及定值；若不存在，说明理由【答案】（1）216yx（2）存在定点(4,2)T，使得线段TD 的长度为定值 2；理由见解析【解析】【分析】（1）根据动点 G 到点(4,0)F的距离比它到直线60 x 的距离小 2 和抛物线的定义可知点 G 的轨迹是以(4,0)F为焦点，以直线40 x 为准线的抛物线，进而得出结果；（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得 A，B 的坐标，从而表示出 AB 的方程，说明其过定点，由FDAB可说明点 D 点在一个圆上，由此可得结论.【小问 1 详解】由题意可得动点G 到点4,0F的距离比到直线60 x 的距离小 2，则动点G 到

40、点4,0F的距离与到直线40 x 的距离相等，故 G 的轨迹是以(4,0)F为焦点，以直线40 x 为准线的抛物线，设抛物线方程为22,(0)ypxp，第 18 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司则焦准距8p ，故G 的轨迹的方程为：216yx；【小问 2 详解】由题意，直线 MN 的方程为1(4)yk x，由题意可知12120,0,kkkk，由2116(4)yxyk x，消去 y 得：2222111(816)160k xkxk，211256(1)0k ，设1122(,),(,)M xyN xy，则1212111221116168,(4)(4)xxyyk xk xkk，故21188(4

41、,)Akk，同理可求得22288(4,)Bkk，所以直线 AB 的斜率21121222218888(4)(4)ABkkk kkkkkk，故直线 AB 的方程为：12121221211121288844442k kk kk kyxxxkkkkkkkk，故直线 AB 过定点(4,4)，设该点为(4,4)E,又因为 FDAB，所以点 D 在以 EF 为直径的圆上，由于(4,4),(4,0)EF,2244404EF ,故以 EF 为直径的圆的方程为22(4)(2)4xy，故存在定点(4,2)T，使得线段TD 的长度为定值 2.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综

42、合性较强，解答时要注意设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出错.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线1C 的参数方程为2cos,sin,xtyt（t 为参数，0），曲线2C第 19 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司的参数方程为1 sin 2,2 sincos,xy（为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若点(2,0)P，直线1C 与曲线2C 所在抛物线

43、交于 A，B 两点，且|2|PAPB，求直线1C 的普通方程【答案】（1）2sin4cos，cos0,2（2）240 xy或240 xy.【解析】【分析】（1）由2sincos1 sin 2 将曲线2C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标和直角坐标的转化公式即可得出答案；（2）将直线的参数方程代入曲线2C 的普通方程，可得根与系数的关系式，结合根与系数的关系式化简可求得 tan 的值，即可求出直线1C 的斜率，再由点斜式即可得出答案.【小问 1 详解】因为1 sin 20,2x，由2sincos1 sin 2，所以曲线2C 的普通方程为24yx，0,2x，cosx，siny，所以22sin4

44、 cos，即2sin4cos所以曲线2C 的极坐标方程为2sin4cos，cos0,2.【小问 2 详解】设 A，B 两点对应的参数分别为 12,t t，将2cos,sin,xtyt代入24yx得22sin4 cos80tt，由题知2sin0，22222216cos32sin16(cossin)16sin16 16sin0，第 20 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司所以 1224cossintt，1 228sint t因为|2|PAPB，所以122tt，又 1 2280sint t，所以 122tt，故 22sint 当 22sint时，代入 1224cossintt得 tan2=-

45、，此时1C 的普通方程为2(2)yx，即240 xy当 22sint 时，代入 1224cossintt得 tan2，此时1C 的普通方程为2(2)yx，即240 xy，联立22404xyyx可得2244xx，即2540 xx，解得：1x 或4x，所以直线1C 的普通方程为240 xy或240 xy23.已知()|2|().f xxa xxxa（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若(,1)x 时，()0f x，求 a 的取值范围.【答案】（1）(,1)；（2）1,)【解析】【分析】（1）根据1a，将原不等式化为|1|2|(1)0 xxxx，分别讨论1x ，12x，2x 三种情

46、况，即可求出结果；（2）分别讨论1a 和1a 两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a 时，原不等式可化|1|2|(1)0 xxxx；当1x 时，原不等式可化为(1)(2)(1)0 x xx x，即2(1)0 x，显然成立，此时解集为(,1)；当12x时，原不等式可化为(1)(2)(1)0 xxx x，解得1x ，此时解集为空集；当2x 时，原不等式可化为(1)(2)(1)0 xxxx，即2(10)x，显然不成立；此时解集为空集；为第 21 页/共 21 页学科网（北京）股份有限公司综上，原不等式的解集为(,1)；（2）当1a 时，因为(,1)x，所以由()0f x 可得()(2)()0ax xx xa，即()(1)0 xa x，显然恒成立；所以1a 满足题意；当1a 时，2(),1()2()(1),xa axf xxax xa，因为1ax时，()0f x 显然不能成立，所以1a 不满足题意；综上，a 的取值范围是1,).【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.