圆锥曲线中非对称韦达定理的应用.pdf

1、1圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1 已知抛物线关于 x 轴对称，顶点在坐标原点，焦点为 F，点 P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若 AF=2FB，求直线 AB 的斜率【答案】解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y2=2px(p 0)，点 P(1,2)在抛物线上，22=2p 1，解得 p=2.故抛物线的方程是 y2=4x，其准线方程是 x=-1.(2)方法一 由(1)可知 F(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AB 的方程可设为 x=ty+1，联立 y2=4x，x=ty+1，整理得 y2-4ty-4

2、=0，所以 y1+y2=4t，y1y2=-4.又 AF=2FB，即(1-x1，-y1)=2(x2-1，y2)，可得-y1=2y2，即 y1y2=-2，则 y1y2+y2y1=(y1+y2)2y1y2-2=-52，即(4t)2-4-2=-52，解得 t=12 2，故 kAB=-1t=2 2.方法二 A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，AF=(1-x1，-y1)，2FB=(2x2-2,2y2)，AF=2FB 1-x1=2x2-2，-y1=2y2 x1=3-2x2，y1=-2y2，A，B 在抛物线上，2 y21=4x1，y22=4x2，由联立可得 x2=12，则 y2=2，由-得(y1

3、+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，即 kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=4-2y2+y2=-4y2=2 2.2 已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1(-c,0)，F2(c,0)(c 0)点 M 在 E 上，MF2 F1F2，MF1F2的周长为 6+4 2，面积为 13 c.(1)求 E 的方程；(2)设 E 的左、右顶点分别为 A，B，过点32，0的直线 l 与 E 交于 C，D 两点，记直线 AC 的斜率为k1，直线 BD 的斜率为 k2，则(从以下三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)求直线 AC 和 BD 交点的轨迹方程；是否存在实常数，使得 k1=k2恒成立；过点

4、 C 作关于 x 轴的对称点 C，连接 CD 得到直线 l1，试探究：直线 l1是否恒过定点【答案】解：(1)依题意，得2a+2c=6+4 2，12 2c b2a=b2a c=13 c，a2=b2+c2，即a+c=3+2 2，b2a=13，a2=b2+c2，解得a2=9，b2=1，c2=8，所以 E 的方程为 x29+y2=1.(2)选择.设直线 l 的方程为x=ty+32，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得 4(t2+9)y2+12ty-27=0，3假设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得 ty

5、1y2=94(y1+y2)，直线 AC 的方程为 y=y1x1+3(x+3)，直线 BD 的方程为 y=y2x2-3(x-3)，联立方程，得y=y1x1+3(x+3)，y=y2x2-3(x-3)，两式相除，得 x+3x-3=y2x2-3 x1+3y1=(x1+3)y2(x2-3)y1=ty1+92y2ty2-32y1=2ty1y2+9y22ty1y2-3y1=2 94(y1+y2)+9y22 94(y1+y2)-3y1=3(y1+y2)+6y23(y1+y2)-2y1=3(y1+3y2)y1+3y2=3，即 x+3x-3=3，解得 x=6，所以直线 AC 和 BD 交点的轨迹方程是直线 x=6

6、.选择.联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得 4(t2+9)y2+12ty-27=0，假设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得 ty1y2=94(y1+y2)，于是 k1k2=y1x1+3 x2-3y2=(x2-3)y1(x1+3)y2=ty2-32y1ty1+92y2=2ty1y2-3y12ty1y2+9y2=2 94(y1+y2)-3y12 94(y1+y2)+9y2=32 y1+92 y292 y1+272 y2=32(y1+3y2)92(y1+3y2)=13，故存在实数 =13，使得 k1=

7、k2恒成立选择.设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，C(x1，-y1)，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，4化简整理，得 4(t2+9)y2+12ty-27=0，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，设直线 CD 与 x 轴交于点 M(m,0)，由对称性可知 kCM+kDM=0，即y1x1-m+y2x2-m=0，则 y1(x2-m)+y2(x1-m)=0，所以 y1(x2-m)+y2(x1-m)=x1y2+x2y1-m(y1+y2)=ty1+32y2+ty2+32y1-m(y1+y2)=2ty1y2+32-m(y1+y2)=2t-274(t2+9

8、)+32-m-3tt2+9=0，即-9t+(3-2m)(-t)=0，解得 m=6，所以直线 CD 恒过定点 M(6,0)3(2023新高考全国)已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(-2 5，0)，离心率为5.(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点(-4,0)的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，M 在第二象限，直线 MA1与 NA2交于点 P.证明：点 P 在定直线上【答案】(1)解：设双曲线 C 的方程为 x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)，由焦点坐标可知 c=2 5，则由 e=ca=5，可得 a=2，b=c2-a2=4，所以双曲线 C 的方

9、程为 x24-y216=1.(2)证明 由(1)可得 A1(-2,0)，A2(2,0)，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线 MN 的斜率不为 0，5设直线 MN 的方程为 x=my-4，且-12 m 0，则 y1+y2=32m4m2-1，y1y2=484m2-1，直线 MA1的方程为 y=y1x1+2(x+2)，直线 NA2的方程为 y=y2x2-2(x-2)，联立直线 MA1与直线 NA2的方程可得x+2x-2=y2(x1+2)y1(x2-2)=y2(my1-2)y1(my2-6)=my1y2-2y2my1y2-6y1，方法一(和积转化)因为 my1y2=32(y1+y2)，所

10、以 my1y2-2y2my1y2-6y1=32(y1+y2)-2y232(y1+y2)-6y1=32 y1-12 y2-92 y1+32 y2=-13.方法二(配凑)因为 my1y2=32(y1+y2)，所以 my1y2-2y2my1y2-6y1=my1y2-2y1-2y2+2y1my1y2-6y1=my1y2-2(y1+y2)+2y1my1y2-6y1=32 y1-12 y2-92 y1+32 y2=-13.由 x+2x-2=-13 可得 x=-1，即 xP=-1，据此可得点 P 在定直线 x=-1 上运动4 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1(-c,

11、0)，F2(c,0)，M，N 分别为左、右顶点，直线 l：x=ty+1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，当 t=-33 时，A 是椭圆的上顶点，且 AF1F2的周长为 6.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 AM，BN 交于点 Q，证明：点 Q 在定直线上6(3)设直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2，证明：k1k2为定值【答案】(1)解：当 t=-33 时，直线 l：x=-33 y+1，令 x=0，得 y=3，即椭圆的上顶点为 0，3，则 b=3，又 AF1F2的周长为 6，即 2a+2c=6，即 a+c=3，又 a2-c2=b2=3，解得 a=2，c=1，所以椭圆 C 的方程为

12、x24+y23=1.(2)证明 由(1)知，M(-2,0)，N(2,0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，点 A，B 不在 x 轴上，由x=ty+1，x24+y23=1，消去 x 并整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0，0，则y1+y2=-6t3t2+4，y1y2=-93t2+4，得 ty1y2=32(y1+y2)，直线 AM 的方程为 y=y1x1+2(x+2)，直线 BN 的方程为 y=y2x2-2(x-2)，联立直线 AM，BN 的方程得x+2x-2=y2(x1+2)y1(x2-2)=y2(ty1+3)y1(ty2-1)=ty1y2+3y2ty1y2-y1=32(y1

13、+y2)+3y232(y1+y2)-y1=32 y1+92 y212 y1+32 y2=3，于是得 x=4，所以直线 AM，BN 的交点 Q 在定直线 x=4 上(3)证明 由(2)知，k1k2=y1(x2-2)y2(x1+2)=y1(ty2-1)y2(ty1+3)=ty1y2-y1ty1y2+3y27=12 y1+32 y232 y1+92 y2=13，为定值5(2023深圳模拟)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知双曲线 C：y2a2-x2b2=1(a 0，b 0)的一条渐近线为 y=33 x，且点 P3，2在 C 上(1)求 C 的方程；(2)设 C 的上焦点为 F，过 F 的直线 l 交

14、 C 于 A，B 两点，且 AF=7BF，求 l 的斜率【答案】解：(1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为 y=ab x，所以33=ab，可得 b2=3a2，将点 P3，2代入双曲线 C 的方程可得 2a2-3b2=1，解得 a2=1，b2=3，所以双曲线 C 的方程为 y2-x23=1.(2)由(1)可知，上焦点 F(0,2)，设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 l 的方程为 y=kx+2，联立 y2-x23=1，y=kx+2，整理得(3k2-1)x2+12kx+9=0，所以 x1+x2=-12k3k2-1，x1x2=93k2-1，又 AF=7BF，即(

15、-x1,2-y1)=7(-x2,2-y2)，可得 x1=7x2，方法一 因为 x1x2=7，所以 x1x2+x2x1=(x1+x2)2x1x2-2=507，即-12k3k2-1293k2-1-2=507，解得 k=2 55，所以直线 l 的斜率为 2 55.8方法二 x1+x2=8x2=-12k3k2-1，x1x2=7x22=93k2-1，即-3k2(3k2-1)2=97(3k2-1)，解得 k=2 55，所以直线 l 的斜率为 2 55.方法三 利用焦点弦定理(此方法只能在小题中使用)：|ecos|=-1+1.由题意得 AF=-7FB，则 =-7，e=2，为直线 l 的倾斜角，则有|2cos

16、|=43，解得|cos|=23，则 k=tan =2 55.6 已知点 A(0，-2)，椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，且 AP=12 AQ，求 OPQ 的面积及直线 l 的方程【答案】解：(1)设 F(c,0)，因为直线 AF 的斜率为 2 33，A(0，-2)，所以 2c=2 33，解得 c=3.又ca=32，b2=a2-c2，解得 a=2，b=1，所以椭圆 E 的方程为 x24+y2=1.(2)设 P(x1

17、，y1)，Q(x2，y2)，由题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2，联立x24+y2=1，y=kx-2，消去 y 得(1+4k2)x2-16kx+12=0，当 =16(4k2-3)0，即 k2 34，即 k 32 时，9x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2，由 AP=12 AQ，得 x2=2x1，即 x2x1=2，所以 x1x2+x2x1=(x1+x2)2x1x2-2=52，解得 k2=2720 34.又|PQ|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k216k1+4k22-481+4k2=4 1+k24k2-31+4k2，点 O 到直线 l 的距离 d=2k2+1，所以 SOPQ=12 d|PQ|=4 4k2-31+4k2=154，此时直线 l 的方程为 y=3 1510 x-2 或 y=-3 1510 x-2.