圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题 - 解析1.pdf

1、1圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题1(2023江苏南通模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 E：(x+2)2+y2=4 和定点 F(2，0)，P 为圆E 上的动点，线段 PF 的垂直平分线与直线 PE 交于点 Q，设动点 Q 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)设曲线 C 与 x 轴正半轴交于点 A，过点 T(t，0)(-1 t 1)的直线 l 与曲线 C 交于点 M，N(异于点A)，直线 MA，NA 与直线 x=t 分别交于点 G，H.若 F，A，G，H 四点共圆，求实数 t 的值解：(1)因为点 Q 在线段 PF 的中垂线上，所以|QP|=|QF|，故|QE|

2、-|QF|=|QP|EP|-|QF|=|2|=2 0，且y1+y2=-6mt3m2-1，y1y2=3t2-33m2-1.因为 F，A，G，H 四点共圆，所以 HAF+HGF=，又 HAF+TAH=，所以 TAH=TGF，故 RtTAH RtTGF，所以|TH|TA|=|TF|TG|，即|TA|TF|=|TH|TG|，所以(1-t)(2-t)=|yG|yH|.又直线 AM：y=y1x1-1(x-1)，令 x=t，得 yG=(t-1)y1x1-1，同理，yH=(t-1)y2x2-1，故|yGyH|=(t-1)2y1y2(x1-1)(x2-1)=(t-1)2y1y2(my1+t-1)(my2+t-1

3、)2=(t-1)23t2-33m2-1m2 3t2-33m2-1+m(t-1)-6mt3m2-1+(t-1)2=(t-1)2 3(t+1)-(t-1)=3|t2-1|=3(1-t2)，其中-1 t 0，所以 k 0，则 x1+x2=2k2+4k2，x1x2=1.又|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，所以|AF|BF|=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=4+4k2=4(1+k2)k2，因为 OP l，则可设 OP 的方程为 y=kx，联立 y=kx，y2=4x，消去 y 得 k2x2-4x=0，解得 x=0 或 x=4k2，所以 P4k2，4k，因为直线 OP 与直线

4、x=1 交于点 Q，则 Q(1，k)，故 M4+k22k2，4+k22k，所以|OM|2=4+k22k2)2+4+k22k2=(1+k2)(4+k2)24k4，3|PQ|2=4k2-12+4k-k2=(1+k2)(4-k2)2k4，所以 4|OM|2-|PQ|2=(1+k2)(4+k2)2k4-(1+k2)(4-k2)2k4=16(1+k2)k2，所以|AF|BF|4|OM|2-|PQ|2=4(1+k2)k216(1+k2)k2)=14.3(2023四省联考)已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)过点 A(4 2，3)，且焦距为 10.(1)求 C 的方程；(2)已知点 B(

5、4 2，-3)，D(2 2，0)，E 为线段 AB 上一点，且直线 DE 交 C 于 G，H 两点证明：|GD|GE|=|HD|HE|.解：(1)由题意可得 32a2-9b2=1，2 a2+b2=10，故 a=4，b=3，所以 C 的方程为 x216-y29=1.(2)证明：设 E(4 2，t)(|t|3)，G(x1，y1)，H(x2，y2)，因为双曲线的渐近线方程为 y=34 x，故当直线 DE 与渐近线平行时，和双曲线仅有一个交点，此时直线 DE 的方程为 y=34(x-2 2)，令 x=4 2，则 y=3 22，故|t|3 22.则直线 DE：y=t2 2(x-2 2)由y=t2 2(x

6、-2 2)，x216-y29=1，得(9-2t2)x2+8 2t2x-16t2-144=0，所以 x1+x2=8 2t22t2-9，x1x2=16t2+1442t2-9.GDHE-GEDH=(2 2-x1，-y1)(4 2-x2，t-y2)-(4 2-x1，t-y1)(x2-2 2，y2)=2x1x2+2y1y2-6 2(x1+x2)-t(y1+y2)+32=2+t24x1x2-3 24t2+6 2(x1+x2)+4t2+32=4(t2+8)(t2+9)2t2-9-4t2(3t2+24)2t2-9+4t2+32=0，所以 GDHE=GEDH，所以|GD|HE|cos0=|GE|DH|cos0，

7、即|GD|GE|=|HD|HE|.4 已知圆 M：(x+2)2+y2=274 的圆心为 M，圆 N：(x-2)2+y2=34 的圆心为 N，一动圆与圆 N 内切，与圆 M 外切，动圆的圆心 E 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；4(2)已知定点 P 32，0，过点 N 的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，证明：APN=BPN.解：(1)如图，设圆 E 的圆心坐标为(x，y)，半径为 r，则|EM|=r+3 32，|EN|=r-32，所以|EM|-|EN|=2 3|MN|.由双曲线定义可知，E 的轨迹是以 M，N 为焦点，实轴长为 2 3 的双曲线的右支，所以曲线 C 的方程为

8、 x23-y2=1，x 3.(2)证明：由题意可知，直线 l 的斜率不为 0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 x=my+2，由于直线 l 与曲线 C 交于两点，故-3 m 0，且 x1+x2=-2kmk2+3，x1x2=m2-6k2+3.因为四边形 OPRQ 为平行四边形，所以线段 PQ 的中点即为线段 OR 的中点，所以点 R 的坐标为(x1+x2，y1+y2)，整理得 R-2kmk2+3，6mk2+3(m 0)由点 R 在椭圆上，所以-2kmk2+322+6mk2+326=1，整理得 2m2=k2+3.将代入得 m2 0 恒成立，由得 2m2 3，所以 m 62

9、 或 m-62，所以 m 的取值范围为-，-6262，+.6(2023广东广州二模)已知点 F(1，0)，P 为平面内一动点，以 PF 为直径的圆与 y 轴相切，点 P 的轨迹记为 C.(1)求 C 的方程；(2)过点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过点 A 且垂直于 l 的直线交 x 轴于点 M，过点 B 且垂直于 l 的直线交 x 轴于点 N.当四边形 MANB 的面积最小时，求直线 l 的方程解：(1)设 P(x，y)，则以 PF 为直径的圆的圆心为x+12，y2，根据圆与 y 轴相切，可得 x+12=12|PF|=12(x-1)2+y2，化简得 y2=4x，所以 C 的方

10、程为 y2=4x.(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l：y=k(x-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y=k(x-1)，y2=4x，消去 y，得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0，所以 x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1，6所以|AB|=x1+x2+2=2(k2+2)k2+2=4k2+4k2，设直线 l 的倾斜角为，则|AM|=|AF|tan|，|BN|=|BF|tan|，所以|AM|+|BN|=|AF|tan|+|BF|tan|=|AB|tan|=|AB|k|，由题意可知四边形 MANB 为梯形，所以四边形 MANB 的面积S=12|AB|

11、(|AM|+|BN|)=|AB|2|k|2=8(k2+1)2|k|3=8(k4+2k2+1)|k|3，设 t=|k|0，则 S(t)=8(t4+2t2+1)t3=8 t+2t+1t3，所以 S(t)=8 1-2t2-3t4=8 t4-2t2-3t4=8 (t2+1)(t-3)(t+3)t4，令 S(t)=0，得 t=3，当 t 3 时，S(t)0，S(t)单调递增，当 0 t 3 时，S(t)0)交于 A，B 两点，且|AB|=4 15.(1)求 p；(2)设 C 的焦点为 F，M，N 为 C 上两点，MFNF=0，求 MNF 面积的最小值解：(1)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，由

12、x-2y+1=0，y2=2px，可得 y2-4py+2p=0，所以 yA+yB=4p，yAyB=2p，所以|AB|=(xA-xB)2+(yA-yB)2=5|yA-yB|=5(yA+yB)2-4yAyB=5 16p2-8p=4 15，即 2p2-p-6=0，因为 p 0，解得 p=2.(2)因为 F(1，0)，显然直线 MN 的斜率不可能为零，设直线 MN：x=my+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由 y2=4x，x=my+n，可得 y2-4my-4n=0，所以 y1+y2=4m，y1y2=-4n，=16m2+16n 0 m2+n 0，7因为 MFNF=0，所以(x1-1)(x2-1)+

13、y1y2=0，即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0，即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0，将 y1+y2=4m，y1y2=-4n 代入，得4m2=n2-6n+1，4(m2+n)=(n-1)2 0，所以 n 1，且 n2-6n+1 0，解得 n 3+2 2 或 n 3-2 2.设点 F 到直线 MN 的距离为 d，所以 d=|1-n|1+m2)，|MN|=1+m2|y1-y2|=1+m2 16m2+16n=1+m2 4(n2-6n+1)+16n=2 1+m2|n-1|，所以 MNF 的面积 S=12|MN|d=12 2 1+m2|n-1|1-n|1

14、+m2)=(n-1)2，而 n 3+2 2 或 n 3-2 2，所以当 n=3-2 2 时，MNF 的面积取得最小值，Smin=(2-2 2)2=12-8 2.2(2023新课标卷)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点 0，12的距离，记动点P 的轨迹为 W.(1)求 W 的方程；(2)已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于 3 3.解:(1)设 P(x，y)，则|y|=x2+y-122，两边同时平方，化简得 y=x2+14，故 W 的方程为 y=x2+14.(2)证法一：不妨设 A，B，D 在 W 上，且 AB AD，依题意可

15、设 A a，a2+14，易知直线 AB，AD 的斜率均存在且不为 0，则设 AB，AD 的斜率分别为 k 和-1k，由对称性，不妨设|k|1，直线 AB 的方程为 y=k(x-a)+a2+14，联立y=x2+14，y=k(x-a)+a2+14，得 x2-kx+ka-a2=0，=k2-4(ka-a2)=(k-2a)2 0，则 k 2a，则|AB|=1+k2|k-2a|，同理|AD|=1+1k21k+2a，所以|AB|+|AD|8=1+k2|k-2a|+1+1k21k+2a1+k2|k-2a|+1k+2a1+k2 k+1k=(1+k2)3k2.令 k2=m，则 m (0，1，设 f(m)=(m+1

16、)3m=m2+3m+1m+3，则 f(m)=2m+3-1m2=(2m-1)(m+1)2m2，令 f(m)=0，解得 m=12，当 m 0，12时，f(m)0，f(m)单调递增，则 f(m)min=f12=274，所以|AB|+|AD|3 32，但1+k2|k-2a|+1+1k21k+2a 1+k2|k-2a|+1k+2a，此处取等号的条件为|k|=1，与最终取等号的条件|k|=22 不一致，故|AB|+|AD|3 32，故矩形 ABCD 的周长大于 3 3.证法二：设矩形的三个顶点 A a，a2+14，B b，b2+14，C c，c2+14在 W 上，a b c，且 AB BC，易知矩形四条边

17、所在直线的斜率均存在且不为 0，则 kABkBC=-1，a+b b+c，令 kAB=b2+14-a2+14b-a=a+b=m 0，且 mn=-1，则 m=-1n，设矩形的周长为 l，由对称性，不妨设|m|n|，kBC-kAB=c-a=n-m=n+1n，则 12 l=|AB|+|BC|=(b-a)1+m2+(c-b)1+n2 (c-a)1+n2=n+1n1+n2，n 0，易知 n+1n1+n2 0，令 f(x)=x+1x2(1+x2)，x 0，f(x)=2 x+1x2 2x-1x，令 f(x)=0，解得 x=22，当 x 0，22时，f(x)0，f(x)单调递增，则 f(x)min=f22=27

18、4，故 12 l 274=3 32，即 l 3 3.当 l=3 3 时，n=22，m=-2，且(b-a)1+m2=(b-a)1+n2，即当|m|=|n|时等号成立，矛盾，故 l 3 3，得证证法三：为了计算方便，我们将抛物线向下移动 14 个单位得抛物线 W：y=x2，矩形 ABCD 变换为矩形 ABCD，则问题等价于矩形 ABCD 的周长大于 3 3.设 B(t0，t20)，A(t1，t21)，C(t2，t22)在 W 上，且 AB BC，根据对称性，不妨设 t0 0，则 kAB=t1+t0，kBC=t2+t0，由于 AB BC，则(t1+t0)(t2+t0)=-1.由于|AB|=1+(t1

19、+t0)2|t1-t0|，|BC|=1+(t2+t0)2|t2-t0|，且 t0介于 t1，t2之间，不妨设 t1 t0 3 22；当 4，2时，由于 t1 t0 t2，从而-1tan-t0 t0 tan-t0，从而-12tan t0 tan2，又 t0 0，故 0 t0 sin(cos-sin)sincos2+sin3+cos3sin2cos2=1sin2cos=2sin2sin22cos2=2(1-cos2)(1-cos2)2cos22(1-cos2)+(1-cos2)+2cos23310=2233=3 32，当且仅当 cos=33 时等号成立，故|AB|+|BC|3 32，故矩形 ABC

20、D 的周长大于 3 3.3 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为32，且过点3，12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)椭圆 C 与 x 轴相交于 A，B 两点，P 为椭圆 C 上一动点，直线 PA，PB 与直线 x=3 交于 M，N 两点，设PMN 与 PAB 的外接圆的半径分别为 r1，r2，求 r1r2的最小值解:(1)由题意知 ca=32，且 3a2+14b2=1，a2=b2+c2，a=2，b=1，椭圆 C 的方程为 x24+y2=1.(2)由题意，不妨设 A(-2，0)，B(2，0)，椭圆 C 上的动点 P(x，y)，x 2，则直线 PA，PB 的斜率存在且不为

21、 0，则有 kPA=yx+2，kPB=yx-2，kPAkPB=yx+2 yx-2=y2x2-4=1-x24x2-4=-14.设直线 PA 的方程为 y=k(x+2)，则直线 PB 的方程为 y=-14k(x-2)，根据对称性不妨设 k 0.令 x=3，得 yM=5k，yN=-14k，即 M(3，5k)，N 3，-14k，则|MN|=5k+14k.由正弦定理得 2r1=|MN|sinMPN，2r2=|AB|sinAPB，又 MPN+APB=180，sinMPN=sinAPB，r1r2=|MN|AB|=5k+14k425k 14k4=54，当且仅当 5k=14k，即 k=510 时，等号成立，即

22、r1r2的最小值为54.强化训练1(2023山东菏泽二模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-3，0)，点 P 为动点，点 Q 为线段 PA 的中点，直线 PA 与直线 OQ 的斜率之积为-59.(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)设过点 F(-2，0)且不与坐标轴垂直的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交于11点 B，若点 B 的横坐标 xB-13，求|MN|的取值范围解:(1)设动点 P(x，y)，则线段 PA 的中点 Q x-32，y2，kPA=yx+3，kOQ=yx-3，则 kPAkOQ=yx+3 yx-3=y2x2-9，依题意，k

23、PAkOQ=-59，y2x2-9=-59，整理得 x29+y25=1，又 y 0，x 3，故动点 P 的轨迹 C 的方程为 x29+y25=1(x 3)(2)设直线 l：x=my-2(m 0)，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点 E(xE，yE)，联立直线与椭圆方程x=my-2，x29+y25=1，得(5m2+9)y2-20my-25=0，则 =(-20m)2-4(5m2+9)(-25)=900m2+900 0 恒成立，y1+y2=20m5m2+9，y1y2=-255m2+9，yE=12(y1+y2)=10m5m2+9，xE=myE-2=-185m2+9，MN 的中点为

24、 E-185m2+9，10m5m2+9，线段 MN 的垂直平分线方程为y-10m5m2+9=-m x+185m2+9，令 y=0，得 x=-85m2+9，B-85m2+9，0，由已知条件得-85m2+9-13，解得 m2 3，|MN|=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y2=30(m2+1)5m2+9=6-45m2+9+1，m2 3，0 15m2+9 0)的焦点为 F，A 为 C 上一点，B 为准线 l 上一点，BF=2FA，|AB|=9.(1)求抛物线 C 的方程；(2)M，N，E(x0，-2)是 C 上的三点，若 kEM+kEN=-43，求点 E 到直线 MN 距离的最大值12解:(1)

25、如图所示，BF=2FA，|AF|=13|AB|=3，由 BF=2FA，xB=-p2，xF=p2，可得 xA=p，由抛物线的定义可知，|AF|=p+p2=3，解得 p=2.则抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)如图所示，E(x0，-2)在抛物线 C 上，所以 x0=1，由题意可知，直线 MN 的斜率不为 0，设直线 MN 的方程为 x=ty+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将 x=ty+n 代入 y2=4x，得 y2-4ty-4n=0，则 y1+y2=4t，y1y2=-4n，kEM=y1+2x1-1=21y1+2y4-1=4y1-2，同理 kEN=4y2-2，kEM+kEN=4y1-

26、2+4y2-2=4(y1+y2)-16y1y2-2(y1+y2)+4=16t-16-4n-8t+4=-43，整理得 n=t-2，直线 MN 的方程为 x=ty+t-2，直线 MN 过定点 T(-2，-1)，当 ET MN 时，点 E 到直线 MN 的距离最大，且最大距离为|ET|=(-2-1)2+(-1+2)2=10.3(2023辽宁实验中学模拟)已知一动圆与圆 E：(x+3)2+y2=18 外切，与圆 F：(x-3)2+y2=2 内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的标准方程；(2)直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 P 在线段 AB 上，点 Q 在线段 AB 的延长

27、线上，从下面中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立 P(8，1)；|AP|BQ|=|BP|AQ|；Q 是直线 l 与直线 x-y-1=0 的交点注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分解:(1)设动圆的圆心为 M(x，y)，半径为 r，则|ME|=r+3 2，|MF|=r-2，所以|ME|-|MF|=4 2|EF|，由双曲线定义可知，M 的轨迹是以 E，F 为焦点，实轴长为 4 2 的双曲线的右支，所以 2a=4 2，2c=6，即 a=2 2，c=3，所以 b2=c2-a2=1，所以曲线 C 的标准方程为 x28-y2=1(x 2 2)(2)证明：若选 ：13由题意可设直线 l：x-

28、8=m(y-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，y0 1，因为直线 l 与 C 交于 A，B 两点，所以-2 2 m 0 且 1，0，0 且 1，则 x1=x-x01-，y1=y-y01-，x2=x+x01+，y2=y+y01+，又点 A 在 C 上，所以21 x8-y21=1，所以x-x01-28-y-y01-2=1，整理得(x20-8y20-8)2-(2xx0-16yy0-16)+x2-8y2-8=0，同理(x20-8y20-8)2+(2xx0-16yy0-16)+x2-8y2-8=0，所以 2xx0-16yy0-16=-(2xx0-16yy0-16)，故 xx0-

29、8yy0-8=0，将 x0=y0+1 代入，得(x-8y)y0+x-8=0，所以 x-8y=0，x-8=0，解得 x=8，y=1，即 P(8，1)成立4(2023江苏南通二模)已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，焦距为 2，过 E 的左焦点 F 的直线 l 与 E 交于 A，B 两点，与直线 x=-2 交于点 M.(1)若 M(-2，-1)，求证：|MA|BF|=|MB|AF|；(2)过点 F 作直线 l 的垂线 m 与 E 相交于 C，D 两点，与直线 x=-2 相交于点 N.求1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值解:(1)证明：因为椭圆 E

30、的焦距为 2，所以 2c=2，解得 c=1.又因为椭圆 E 的离心率 e=ca=22，所以 a=2，所以 b2=a2-c2=2-1=1，所以椭圆 E 的方程为 x22+y2=1.因为直线 l 经过 M(-2，-1)，F(-1，0)两点，kMF=-1-0-2-(-1)=1，所以直线 l 的方程为 y=x+1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y=x+1，x2+2y2=2，可得 3x2+4x=0，解得 x=-43 或 x=0，15不妨设 x1=-43，x2=0.所以|MA|BF|=2|x1+2|2|x2+1|=2 23 1=43，|MB|AF|=2|x2+2|2|x1+1|=2 2 1

31、3=43，因此|MA|BF|=|MB|AF|.(2)若直线 l，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线 x=-2 平行，不符合题意，所以直线 l 的斜率存在且不为零，公众号：慧博高中数学最新试题设直线 l 的方程为 y=k(x+1)，k 0，则直线 m 的方程为 y=-1k(x+1)联立 y=k(x+1)，x2+2y2=2，可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 =16k4-8(2k2+1)(k2-1)=8(k2+1)0，所以 x1+x2=-4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1，易知 x1-2 且 x2-2，所

32、以1|MA|+1|MB|=11+k2|x1+2|+11+k2|x2+2|=11+k21x1+2+1x2+2=11+k2 x1+x2+4x1x2+2(x1+x2)+4=11+k2-4k21+2k2+42k2-21+2k2-8k21+2k2+4=11+k2 4k2+42k2+2=21+k2，同理，1|NC|+1|ND|=21+-1k2=2|k|1+k2，所以1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|=2(1+|k|)1+k2=2k2+1+2|k|k2+1=21+2|k|+1|k|21+22|k|1|k|=2 2，当且仅当 k=1 时，等号成立，因此，1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND

33、|的最大值为 2 2.165 设 A(2，n)是抛物线 E：x2=4y 上一点，不过点 A 的直线 l 交 E 于 M，N 两点，F 为 E 的焦点(1)若直线 l 过点 F，求1|FM|+1|FN|的值；(2)设直线 AM，AN 和直线 l 的斜率分别为 k1，k2和 k，若 k1+k2=2，求 k 的值解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+1，M(x1，y1)，N(x2，y2)将 y=kx+1 代入 x2=4y，得 y2-(2+4k2)y+1=0，于是 y1+y2=2+4k2，y1y2=1.由焦点弦公式，得|FM|=y1+1，|FN|=y2+1，1|FM|+1|FN|=|FM|+|FN

34、|FM|FN|=y1+y2+2y1+y2+y1y2+1=4k2+44k2+4=1.(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m，M(x1，y1)，N(x2，y2)将 y=kx+m 代入 x2=4y，得 x2-4kx-4m=0，于是 x1+x2=4k，x1x2=-4m，y1=kx1+m，y2=kx2+m，且 A(2，1)，k1+k2=y1-1x1-2+y2-1x2-2=x1y2+x2y1-2(y1+y2)-(x1+x2)+4(x1-2)(x2-2)=2kx1x2+(m-2k-1)(x1+x2)+4-4mx1x2-2(x1+x2)+4=-8km+4k(m-2k-1)+4-4m-4m-8k+4=-km-

35、2k2-k+1-m-m-2k+1.k1+k2=2，2k2+(m-3)k+1-m=0，即(k-1)(2k+m-1)=0.直线 l：y=kx+m 不过点 A(2，1)，2k+m-1 0，故 k=1.6 已知抛物线 C：x2=2py(p 0)的焦点为 F，且 F 与圆 M：x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为 4.(1)求 p；(2)若点 P 在 M 上，PA，PB 是 C 的两条切线，A，B 是切点，求 PAB 面积的最大值解:(1)因为焦点 F 0，p2到圆 M：x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=p2+3，所以 p2+3=4，所以 p=2.(2)解法

36、一：由(1)知抛物线 C：x2=4y，即 y=x24，所以 y=x2.设切点 A21 x1，x4，切点 B22 x2，x4，17则 lPA：y=x12 x-21 x4，lPB：y=x22 x-22 x4.从而可得 P x1+x22，x1x24.由题意可知直线 AB 的斜率存在，设 lAB：y=kx+b，与抛物线 C：x2=4y 联立，得y=kx+b，x2=4y，消去 y，得 x2-4kx-4b=0，则 =16k2+16b 0，即 k2+b 0，且 x1+x2=4k，x1x2=-4b，所以 P(2k，-b)因为|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2 16k2+16b，点 P 到

37、直线 AB 的距离 d=|2k2+2b|k2+1，所以 SPAB=12|AB|d=1216k2+16b|2k2+2b|=4(k2+b)32.(*)又点 P(2k，-b)在圆 M：x2+(y+4)2=1 上，所以 k2=1-(b-4)24.将该式代入(*)式，得 SPAB=4-b2+12b-15432.而 yP=-b -5，-3，所以 b 3，5所以当 b=5 时，PAB 的面积最大，最大值为 20 5.解法二：由(1)知抛物线 C：x2=4y，即 y=x24，所以 y=x2.设切点 A(x1，y1)，切点 B(x2，y2)，圆 M 上任意一点 P(x0，y0)，则易得 lPA：y=x12 x-

38、y1，lPB：y=x22 x-y2，联立y=x12 x-y1，y=x22 x-y2，得 P x1+x22，x1x24.所以 x0=x1+x22，y0=x1x24，又线段 AB 的中点 Q 的坐标为x1+x22，y1+y22.所以 SPAB=12|PQ|x1-x2|=12y1+y22-y0)|x1-x2|=142212 x+x4-2y0)|x1-x2|=116|x1-x2|3=116|x1-x2|2)318=116(x1+x2)2-4x1x2)3=116204x-16y0)3=1220 x-4y0)3.(*)又点 P(x0，y0)在圆 M：x2+(y+4)2=1 上，所以 x20=1-(y0+4)2，代入(*)式，得 SPAB=12(-y20-12y0-15)32.而 y0-5，-3，所以当 y0=-5 时，PAB 的面积最大，最大值为 20 5.