小学数学讲义暑假五年级第6讲质数与合数进阶超常体系.pdf

1、1第 9 级上超常体系教师版第 6 讲四年级春季整除特征进阶五年级暑假质数与合数初步五年级暑假质数与合数进阶五年级秋季因数与倍数初步五年级寒假因数与倍数进阶分解质因数；因数个数(和)定理漫画释义知识站牌第六讲 质数与合数进阶2第 9 级上超常体系 教师版一七四二年,哥德巴赫发现,每一个大于 4 的偶数都可以写成两个质数的和例如 6=3+3,又如24=11+13 等等他对许多偶数进行了检验,都说明这是确实的但是这需要给予证明因为尚未经过证明,只能称之为猜想他自己却不能够证明它,就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉,请他来帮忙作出证明一直到死,欧拉也不能证明它从此这成了一道世界难题,吸引了成千上万数学

2、家的注意两百多年来,多少数学家企图给这个猜想作出证明,都没有成功值得骄傲的是,到目前为止,这个世界难题证明的最好的,是我国著名的数学家陈景润,他的研究成果处于国际领先的地位这一成果被命名为“陈氏定理”但是他的证明离成功只有一步之遥,就匆匆的走完了他的一生老一辈数学家留下来的任务,要靠我们这一代来完成,所有现在我们应该好好学习知识,说不定将来的第二位陈景润就在我们中间1.熟练掌握分解质因数的方法,并能快速分解质因数；2.灵活利用分解质因数解决个数及其他问题1质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的因数,那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公因数只有 1 的两个自然数,叫做互质数.分

3、解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数.例如：3023 5 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如21222323 ,2、3 都叫做 12 的质因数,其中后一个式子叫做分解质因数的标准式,在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口,因为这样可以帮助我们分析数字的特征.唯 一 分 解 定 理：任 何 一 个 大 于 1 的 自 然 数 n 都 可 以 写 成 质 数 的 连 乘 积,即：312123kaaaaknpppp其中ip 为质数,ia 为非零自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个

4、连续自然数的乘积是 210,求这三个数.分析：210=2357,可知这三个数是 5、6 和 7.部分特殊数的分解：1053 57；1113 37；3999337；10017 11 13；10031759；10071953；1111141 271；1000173 137；19953 57 19 ；220073223；320082251；22009741；220122503;1010137 13 37 .最小的 3 位质数是 101,最小的 4 位质数是 1009.课堂引入经典精讲教学目标第 11 级上超常体系教师版 3第 9 级上超常体系教师版第 6 讲2因数个数定理设自然数n 的质因子分解式如

5、312123kaaaakpppp.那么n 的因数个数为1231111kd naaaa()()()()()自然数n 的因数和为 11221121211111222211aaaaS npppppppp1211kkaakkkkpppp模块 1：1-2,分解质因数基础；模块 2：3-5,分解质因数应用；模块 3：6-8,因数个数(和)定理.分解质因数,并写成标准式（1）360；（2）539；（3）373；（4）12660；(5)2013；(6)111555【分析】32360235,2539711,373 是质数,212660235211,20133 11 61,21115553 3 5376735 3

6、767 分解质因数,并写成标准式(1)10!；(2)10 12 14 16 1820；(3)55 56575859【分析】连续数相乘的分解质因数,用短除的方法会非常麻烦若是考虑到最终的标准式中底数均为质数,而指数是出现的总次数,就可以只分析质因数即可(1)10!中含有的质因数有 2,3,5,7,其中质因数2 出现的个数为 1+2+1+3+1=8 个(注：2,4,6,8,10中分别含有 1,2,1,3,1 个),质因数 3 出现的个数为 1+1+2=4 个,质因数 5 出现的个数为 1+1=2个,质因数 7 只出现了 1 次因此84210!2357这种分析的方法在以后学最小公倍数里也可以用(2)

7、10 12 14 16 1820含有的质因数有 2,3,5,7,出现的个数依次为 11 个,3 个,2 个,1个因此113210 12 14 16 18202357.(3)55 56575859含 有 的 质 因 数 有2,3,5,7,11,19,29,59,出 现 的 个 数 依 次 为4,1,1,1,1,1,1,1.因此455 5657585923 57 11 192959 .例题思路例 2例 14第 9 级上超常体系 教师版在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶),或者是不超过 10 的自然数.甲、乙两名运动员各射了 5 箭,每人 5 箭得到的环数的积都是 1764,但是甲的

8、总环数比乙少 4 环.求甲、乙的总环数各是多少？(学案对应：超常 1,带号 1)【分析】1764223 3 77 2(23)3 77 ,和是 25;(22)3 3 77 ,和是 24;22(3 3)77 ,和是 27;1(22)(3 3)77,和是 28;1(23)(23)77,和是 27;28244,所以甲是 24 环,乙是 28 环.【铺垫】三个连续自然数的乘积是 210,求这三个数是多少？【分析】210 分解质因数：21023 57 ,可知这三个数是 5、6 和 7。【铺垫】甲、乙、丙、丁四人打靶,每人打三枪。四人各自中靶的环数之积都是 60,且环数是不超过10 的自然数.把四个人按个人

9、总环数由高到低排列,依次是甲、乙、丙、丁.请问：靶子上 4 环的那一枪是谁打的？【分析】260235,601 6 102 3 104 3 52 5 6 ,和分别是 17,15,12,13,那么 4 环是丁打的。【拓展】冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5 看成了 8，由此得乘积为 1104。正确的乘积是多少？【分析】411042323，其中只有42348含数字 8，所以 1104=4823，正确结果是 4523=1035【拓展】两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制。每局先得 11 分者为胜，如果打到 10平，则先多得 2 分者为胜。结果三局比赛下来，单方最

10、高得分都不超过 20 分，把每人每局得分乘在一起恰为 480480。请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）梅森素数众所周知，素数也叫质数，是只能被 1 和自身整除的数，如 2、3、5、7、11 等等。2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“21p ”的形式，这里的指数 p 也是一个素数。这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。而 17 世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“

11、21p ”型的素数称为“梅森素数”。迄今为止，人类仅发现 47 个梅森素数。由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。例 3第 11 级上超常体系教师版 5第 9 级上超常体系教师版第 6 讲【分析】5480480480 10012357 11 13 因为最高得分不超过 20 分，13 只能单独，13 超过了 11 分，所以另一得分是 11 或是 15,35=15 分，（1）当另一得分为 15 分时，则 7 可以配 2 的 14 分，刚好剩余了 4 个 2，等于 16 分，所以三场比赛是 16:14,15:13,1

12、1:1。（2）当另一得分为 11 分时，则超过 11 分的可以有 12 分、14 分与 15 分；无法构成。所以各局比分是：16:14；15:13；11:1。请将 2、5、14、24、27、55、56、99 这 8 个数分成两组,使得这两组数的乘积相等。(学案对应：超常 2)【分析】要使所分的 2 组的乘积相等,就要使得 2 组的乘积的质因数完全一样,将它们分解质因数有2=2；5=5；142 7；32423；3273；555 11；35627；299311。现在要将其分为两组,假设为第一组与第二组。根据题意,考虑第一组.如若 27 在第一组,则 24 与 99 均应在第二组；从质因数 11 可

13、以看出,55 应在第一组。从质因数 5 可以看出,5 应在第二组；现在第一组有：27、55；第二组有：5、24 与 99；从质因数 2 可以看出,56 应在第一组；从质因数 7 可以看出,14 应在第二组,则 2 应在第一组。所以第一组有数：27、55、56、2；第二组有数：5、14、24 与 99。小结：此类问题可分三步解决：1.分解；2.统计；3.分配【铺垫】请将 4、9、10、14、15、21 这六个数分为两组,使这两组的乘积相等.【分析】分解质因数得：242,293,1025,1427,153 5 ,213 7 统计得质因数 2,3,5,7 的个数分别为 4,4,2,2.平分后个数分别

14、为 2,2,1,1分组如下：第 1 组：4,15,21第 2 组：10,14,9某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果老师与学生每人种树一样多,共种了 1073 棵,那么平均每人种了棵树？(学案对应：超常 3)【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积,所以首先想到的是把 1073 分解成两数相乘,一个数为人数，一个数为每人种的棵数,10732937,注意到人数减去 1 是 3 倍数,所以人数是37,平均每人种了 29 棵。将 16200 分解质因数,并回答以下问题：(1)16200 有多少个因数？例 4例 6例 56第 9 级上超常体系 教师版(2)16200 有多少

15、个奇因数？(3)16200 有多少个偶因数？(4)16200 的因数中有多少个是 3 的倍数？(5)16200 的因数中有多少个是 6 的倍数？(6)16200 的因数中有多少个不是 5 的倍数？(7)16200 的所有因数的积是多少？(用乘方表示)(学案对应：带号 2)【分析】首先对 16200 进行分解质因数,可以分解成34216200235,所以(1)有（3+1）（4+1）（2+1）=60 个因数；(2)奇因数有：（4+1）（2+1）=15；(3)偶因数有：3（4+1）（2+1）=45 个；或者从反面考虑,总因数有 60 个,而奇因数有 60-15=45个；(4)其中有：4（3+1）（2

16、+1）=48 个是 3 的倍数。(5)有：34（2+1）=36 个是 6 的倍数。(6)有：（3+1）（4+1）=20 不是 5 的倍数。(7)因数是成对出现的,成对出现的因数相乘得 16200,60个因数可以分成 30 组,因此 16200 的所有因数的积是3016200.【铺垫】240 有多少个因数？【分析】424023 5 .42 的因数：1,2,22,32,42 共 5 个.3 的因数：1,3 共 2 个.5 的因数：1,5 共 2 个.根据乘法原理,240 的因数个数为：(41)(1 1)(1 1)20.【巩固】数 160 的因数个数是多少？其中奇因数有多少个？偶因数又有多少个？它们

17、的积又是多少?【分析】对任意一个自然数,我们首先可以将它作因数分解,化成质数及其次数的乘积,以 160 为例,我们有5116025.要算它的因数的个数,我们可以这样来理解：因数的因数只可能是 2,5.并且它们的次数不会超过原数的次数,从而因数的因数 2 的次数可以为 0,1,2,3,4,5；而 5 的次数也只可能是 0 或 1.把它展开你就可以发现它就是我们要求的：情况1：不包含 5 的因数：1,2,22,32,42,52,情况 2：包含 5 的因数:1 5,25,225,325,425,525.从而我们可以任意地从中选若干个 2,5 的次数,即：(15)(1 1)12(个)奇因数有 1+1=

18、2 个；偶因数有 12-2=10 个.至于要算它们的因数的积,我们可以将它的因数配对：一个因数和它被原数除的数组成一对(如 2和 80 是 160 的一对).这样,对于非平方数而言,我们得到整数对,并且它们的积就是原数本身；而对于平方数而言,仅仅是多了一个数(它的开方),从而通过对它的因数的个数,可以求出它们的积.对本题而言,我们有(1,160),(2,80),(4,40),(5,32),(8,20),(10,16)共 6 对.从而它们的积为6160.(1)160 的所有因数的和是多少？(2)1998 的所有因数的倒数和是多少？(学案对应：带号 3)【分析】(1)516025,和为 01234

19、5012222225563 6378.例 7第 11 级上超常体系教师版 7第 9 级上超常体系教师版第 6 讲(2)319982337,共 16 个因数不妨设这 16 个因数由小到大依次为12316,x xxx,因此此题求的是123161111xxxx的值因为一个数的因数是成对出现的所以存在如下关系：1 16215891998x xx xx x所以1231611621589116215891 1621589116215891111111111()()()1998xxxxxxxxxxxxxxxxx xx xx xxxxxxx此时分母为 1998,而分子为 1998 的所有因数的和根据公式可得结

20、果为(12)(13927)(137)456076019981998333小结：正整数 N 的所有因数的倒数和为()S NN,其中()S N 为 N 的所有因数和126 拆成若干个(至少 2 个)连续非零自然数之和,共有多少种拆法？分别列出来(学案对应：超常 4,带号 4)【分析】设 126 拆成 n 个连续数之和,且首项为 k+1.即126(1)(2)()kkkn整理后可得(21)252knn因为 2k+n+1n,225216因此 n 为 252 的因数且116n符合条件的 n 有 2,3,4,6,7,9,12,14,又因为 n 与 2k+n+1 的奇偶性不同,所以 2,6,14不符合要求所以

21、只有当 n 为 3,4,7,9,12 时,126 能拆成若干个连续非零自然数之和共 5 种拆法注：我们可以看看符合条件的 5 种情况252=384=463=736=928=1221,可以看出每个式子中均有一个非 1 的奇质数252 共有 6 个奇因数,而 5=“252 的奇因数的个数”-1=“126(乘 2 不影响奇因数的个数)的奇因数的个数”-1拆法如下：(需要先求出对应的 n 和 k,347912;40291494nnnnnkkkkk)126=41+42+43=30+31+32+33=15+16+20+21=10+11+17+18=5+6+15+16小结：把整数拆成若干个(至少 2 个)连

22、续非零自然数之和的拆法总数为：的奇因数个数-1【拓展】有一些正整数，它可以表示成连续 20 个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少 2 个）的形式时，恰好有 20 种方法。这样的正整数最小是多少？（写出质因数分解）【分析】连续 20 个正整数的和可以写成“10奇数”的方式因此原数至少有质因数 2 和 5.根据例题的规律，拆成连续正整数之和的方式为“奇因数个数-1”，因此这个数的奇因数个数为20+1=21 个奇因数不需要考虑 2，21=20+1=(2+1)(6+1)，对应的最小数分别为2025和62235，其中最小的为62235例 88第 9 级上超常体系 教师版1.唯一分解定理：任

23、何一个大于1的自然数 n 都可以写成质数的连乘积,即：312123kaaaaknpppp其中ip 为质数,ia 为非零自然数,并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式(分解质因数的标准式).2.因数个数(和)定理设自然数n 的质因子分解式如312123kaaaakpppp.那么n 的因数个数为1231111kd naaaa()()()()()自然数n 的因数和为 11221121211111222211aaaaS npppppppp1211kkaakkkkpppp1.分解质因数,并写成标准式(1)8547,(2)78 1239【分析】(1)85473 7 11 37 ；(2)2332

24、78 123932 1323 3 132313 2.将 20!10!分解质因数,并写成标准式【分析】104220!11 12202357 11 13 1710!家庭作业知识点总结不说话的学术报告1903 年 10 月，在美国纽约的一次数学学术会议上，请科尔教授作学术报告。他走到黑板前，没说话，用粉笔写出6721，这个数是合数而不是质数。接着他又写出两组数，用竖式连乘，两种计算结果相同。回到座位上，全体会员以暴风雨般的掌声表示祝贺。证明了 2自乘 67 次再减去 1，这个数是合数，而不是两百年一直被人怀疑的质数。有人问他论证这个问题，用了多长时间，他说：“三年内的全部星期天”。请你很快回答出他至

25、少用了多少天？答案：至少 156 天第 11 级上超常体系教师版 9第 9 级上超常体系教师版第 6 讲3.已知 5 个人都属牛，他们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？【分析】分 解 因 数 得 到225892255713 371 13253749，五 个 人 的 年 龄 和 为1+13+25+37+49=125 岁。4.请将 33,9,65,85,91,22,34,21 这 8 个数分成两组,使每组 4 个数的乘积相等.【分析】分解质因数得：333 11,293,655 13,855 17,917 13,222 11,342 17,213 7 统计得质因数 2,3,5,7,

26、11,13,17 的个数分别为 2,4,2,2,2,2,2.平分后每组的个数分别为1,2,1,1,1,1,1 个最终结果如下：第 1 组：33,21,65,34第 2 组：22,9,91,855.张老师带领同学们去种树,学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树 312 棵,老师与学生每人种的树一样多,并且不超过 10 棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【分析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积,而每个人种的棵数又不超过 10,所以通过枚举法来解(注意人数减去 1 后是 3 的倍数)：1 312,3121311 不是 3 的倍数；2 156,1561155 不是 3 的倍数；3 10

27、4,1041103 不是 3 的倍数；478,78177 不是 3 的倍数；652,52151 是 3 的倍数；839,39138 不是 3 的倍数；共有 51 个学生,每个人种了6 棵树.6.210210 有_个因数,其中有_个奇因数.【分析】对 210210 进行分解质因式,可得2210210210 100123 577 11 1323 5711 13 ,所以其因数个数为(1+1)(1+1)(1+1)(2+1)(1+1)(1+1)=96.其中奇因数有：(1+1)(1+1)(2+1)(1+1)(1+1)=48 个.7.(1)100 的所有因数的和为_.(2)100 的所有因数的倒数和为_.【

28、分析】2210025,(1)所有因数的和为(124)(1525)217；(2)所有因数的倒数和为 2171008.2013 拆成若干个(至少 2 个)连续非零自然数之和,共有多少种拆法？【分析】20133 11 61,根据例题的结论,共有(1+1)(1+1)(1+1)-1=7 种拆法【超常班学案 1】（老师可以先引入：小明一家四兄弟,大哥叫大毛,二哥叫二毛,三哥叫三毛,那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人,他们的年龄一个比一个大 2 岁,他们四个人年龄的乘积是48384.问他们四个人的年龄各是几岁？【分析】题中告诉我们,48384 是四个人年龄的乘积,只要我们把48384 分解质因数,

29、再按照每组相差 2来分成四个数相乘,这四个数就是四个人的年龄了。8348384237超常班学案10第 9 级上超常体系 教师版242(23)(27)2(23)12 14 16 18由此得出这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。巧妙解法由题意可知,这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数,当然这四个数不是奇数,一定是偶数.又因为48384 的个位数字不是 0,显然这四个数中,没有个位数字是 0 的,那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8.又因为41048384,而44838420,所以可以断定,这四个数一定是 12、14、16、18。也就是说,这四个人的年龄分

30、别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。【超常班学案 2】请将 14,33,35,30,75,143,169,39 这 8 个数平均分成两组,使每组 4 个数的乘积相等.【分析】分解质因数得：1427,333 11,3557,3023 5,2753 5,14311 13,216913,393 13 统计可得：质因数 2,3,5,7,11,13 的个数分别为 2,4,4,2,2,4.平分后个数应该分别为 1,2,2,1,1,2分组如下：第 1 组：14,75,33,169第 2 组：30,35,143,39,或第 1 组：14,75,143,39,第 2 组：30,35,33,169【超常

31、班学案 3】某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有 35 名教师,14 个教学班各班学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐款多少元?【分析】这个学校最少有35+1434=469名师生,最多有35+1445=665名师生,并且师生总人数能整除19951995=35133,在 469665 之间的因数只有 5133=665,所以师生总数为 665 人,则平均每人捐款 1995665=3 元【超常班学案 4】60 拆成若干个(至少 2 个)连续非零自然数之和,共有多少种拆法？分别列出来.【分析】26023 5,非零的奇因数共有(1+1)(1

32、+1)1=3 个如例题分析,(21)120knn,120=340=524=815.对应的值如下：358;1893nnnkkk拆法如下：60=19+20+21=10+11+13+14=4+5+10+11【超常 123 班学案 1】2004720 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积,这三个连续自然数之和最小是多少？【分析】首先分解质因数,200472022223 57 167 ,其中最大的质因数是 167,所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.1653 5 11 ,166283,1682223 7 ,16913 13,所以165 166 167,166 167 168,167

33、 168 169都没有4 个 2,不满足题意.说明 167 不可行.尝试3341672,335567,33622223 7 ,123 班学案第 11 级上超常体系教师版11第 9 级上超常体系教师版第 6 讲334335 336222223 5767 167 ,包括了 2004720 中的所有质因数,所以这组符合题意,以此三数之和最小为1005.【超常 123 班学案 2】数 3600 的因数个数是多少？其中奇因数有多少个？偶因数又有多少个？它们的积又是多少?【分析】4223600235，共有(4+1)(2+1)(2+1)=45 个因数；奇因数个数为(2+1)(2+1)=9个；45-9=36

34、个偶因数；它们的积为224560360060【超常 123 班学案 3】求 720 的所有因数的倒数之和【分析】42720235,如例题的分析,可知最终结果为(124816)(139)(15)403720120【超常 123 班学案 4】下面几个数能否拆成若干个(至少 2 个)连续奇数之和,如果能,至少写出一种拆法如果不能,说明原因并回答什么样的数可以拆成若干个连续奇数之和(1)45(2)60(3)70【分析】设 M 可以拆成首项是 k(k 为奇数),公差为 2,项数为 n 的连续奇数之和即(2)(22)(1)Mkkknknn因为 k 为奇数,所以(k+n-1)与 n 奇偶性相同即当 M 为奇数或 4 的倍数时,此式能成立因此 45,60 可以拆成,而 70 不能拆成拆法如下：(1)35;135nnkk,对应的拆法如下：45=13+15+17=5+7+9+11+13(2)229nk,对应的拆法如下：60=29+31(3)70 仅是 2 的倍数,不是 4 的倍数,因此无法拆成