小学数学讲义暑假六年级超常第12讲多次相遇与追及.pdf

1、1第 11 级上超常体系教师版第 十 二漫画释义五年级寒假时钟问题五年级春季比例法解行程问题六年级暑期多次相遇与追及六年级秋季变速问题六年级寒假行程模块综合选讲总结多次相遇与追及的规律，利用比例、线段图、柳卡图解决多次相遇与追及问题知识站牌第十二讲 多次相遇与追及2第 11 级上超常体系教师版人与人的相遇是一种缘不管是擦肩而过，还是一次美丽的邂逅，都是一种缘缘会让来自不同世界的人走到一起例如今天我们是来自不同学校的同学，汇集到一起来学而思学习，这就是缘分，而且我们已是多次相遇，恰巧今天又要学习多次相遇与追及问题，那该是多大的缘分呀!缘是一个经历了心灵的过程，在这个过程里有些东西不仅仅是灵魂的一

2、种体验，而且还是精神上的一种拥有为了这来之不易的缘分，让我们一起进入今天的课程，体会那精神上的享受！1.理解多次相遇与追及的规律，并能运用相应规律解决行程相关的问题2.掌握用柳卡图解决多次相遇与追及问题的技巧，体会柳卡图与线段图在解决行程问题中的联系与区别一、往返相遇问题的重要结论：设一个全程中甲走的路程为 M,乙走的路程为 N甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题：同一出发点的直线型多次相遇问题二、柳卡图柳卡图实质上是中学学习的 S-T 图的变形，即出现两条横轴（时间），纵轴（路程）忽略在画柳卡图时，最好是先画一个人往返于两地间的路线，并标注到达两地的时刻，接着再画另一人所走路线并标注到达两

3、地的时刻，相交点即相遇地点，最后再利用几何中沙漏模型解决相关问题相 遇次数甲 乙 共 走的路程和甲 共 走 的路程乙 共 走 的路程11MN233M3N355M5Nn21n(21)nM(21)nN相 遇次数甲 乙 共 走的路程和甲 共 走的路程乙 共 走的路程122M2N244M4N366M6Nn2n2nM2nN经典精讲教学目标课堂引入3第 11 级上超常体系教师版第 十 二模块一：柳卡图例 1：柳卡图的认识模块二：多次相遇与追及规律的应用例 2：两次相遇与追及的应用例 3：多次相向的相遇与追及的应用例 4：多次同向的相遇与追及的应用例 5：多次相遇与追及的规律的正反应用模块三：多次相遇与追及

4、的综合运用例 6：上下坡与多次相遇与追及的综合运用例 7：流水行船与多次相遇与追及的综合运用例 8：人追队伍与多次相遇与追及的综合运用如图，甲、乙两人在相距 70 米的甲乙两端同时出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比为 3:4，他们相遇的地点分别用 A、B、G 表示，问：（1）A 点到甲地的距离为米；（2）B 点到甲地的距离：B 点到乙地的距离=：；（3）C 点到乙地的距离为米；（4）F 点到 G 点的距离为米（提示：F 点到甲地的距离减去 G 点到甲地的距离）（学案对应：带号 1）【分析】（1）30；（2）5:2；（3）60；（4）20GFEDCBA乙甲2420168424211815129

5、63例 1例题思路4第 11 级上超常体系教师版（超常（1）(4)、（7）甲、乙两车分别从,A B 两地同时出发相向而行，甲的速度是每小时 30 千米，乙的速度是每小时20 千米，两车相遇后继续行进，各自达到 B、A 两地后，立即沿原路返回已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是 50 千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B 两地相距千米甲、乙两车同时从 A 地出发同向而行去往 B 地，甲车的速度是乙车速度的1.5 倍，在,A B 两地间做往返运动已知两车第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是 50 千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A、B 两地相距千米甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开

6、出，两车第一次在距 A 地 30 千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到 B、A 两地后，立即沿原路返回，第二次在距 B 地 20 千米处相遇，则 A、B 两地间的距离是千米甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，两车第一次在距 A 地 30 千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到 B、A 两地后，立即沿原路返回，第二次在距 A 地 60 千米处相遇，则 A、B 两地间的距离是千米甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，两车第一次在距 A 地 80 千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自达到 B、A 两地后，立即沿原路返回，第二次在距 B 地 60 千米处相遇，当甲乙第三次相遇时，距 A 地

7、千米如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D点离 B 点 60 米求这个圆的周长小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地 3 千米处相遇，第二次在距甲地 6 千米处相遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为千米（学案对应：超常 1，带号 2）【分析】方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是 3:2，因此可以设全程为 5 份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是 5025125（千米）CDBA21F

8、EDCBA例 25第 11 级上超常体系教师版第 十 二方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是 3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是 2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是3150()12555（千米）方法一：线段图，根据题意甲乙速度比是 3:2，因此可以设全程为 5 份，画图如下：（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是 5025125（千米）方法二：柳卡图，由于甲乙速度比是 3:2，因此甲乙各走一个全程所用的时间比是 2:3，画图如下（甲走的用实线表示，乙走的用虚线表示）因此甲、乙两地间的距离是3150()12555（千米）30

9、32070（千米）(30360)275（千米）,A B 两地间相距80360180千米当第三次相遇时，两车所走路程和是 5 个全程，那么其中甲车走了805400千米，400180240，所以距 A 地 40 千米第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一个周长从出发开始算，两个人合起来走了一周半因此，第二次相遇时两人合起来所走的路程是第一次相遇时合起来所走的路程的 3 倍，那么从 A 经过C 到 D的距离，应该是从 A 到C003642ABABCDEF216BA2463006第 11 级上超常体系教师版距离的 3 倍，即 A 到 D 是803240(米)那么圆周上 A

10、 到 B 的距离是 24060180(米)圆的周长为1802360(米)由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在 A 处相遇，第二次在 B 处相遇则甲、乙两地的距离为(3 36)27.5 千米；如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在 A 处相遇，相遇后小王继续向前走，小李走到甲地后返回，在B 处追上小王在这个过程中，小王走了 633千米，小李走了 639千米，两人的速度比为3:91:3所以第一次相遇时小李也走了 9 千米，甲、乙两地的距离为 931

11、2千米所以甲、乙两地的距离为7.5 千米或 12 千米甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行，在 A、B 两地之间不断往返行驶甲车速度是乙车速度的 37，并且甲、乙两车第 2012 次相遇的地点和第 2013 次相遇的地点恰好相距 120 千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B 两地之间的距离是多少千米？（学案对应：超常 2）【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7SVV乙乙甲甲：S：，设全程为 10 份，则一个全程中，甲走了 3 份，乙走了 7 份，通过总结的规律分析第 2012次相遇时，甲走：(2012 2 1)3 120

12、69(份)，120691012069，所以第 2012 次相遇地点是在从 A 地向右数 9 份的 C 点，第 2013 次相遇时，甲继续向右数 6 份即可，到达 D由图看出 CD 间距离为 4 份，A、B 两地之间的距离是1204 10300(千米)BA李王乙甲AB甲王李乙DCBA20132012例 3电子玩具车 A 与 B 在一条轨道的一端同时出发快 50%，而且根据推算，第2012厘米【分析】A、B 两车速度比为 150%:13:2电子玩具车 A 就走了其中的得的余数对应如图：由于两车出发时是同向而行时，电子玩具车 A 行驶了2012322012被10 除所得的余数为同理，由于322013

13、8 mod10的位置由于这两次相遇点相距901法国数学家柳卡斯图姆生于瑞士射影几何与微分几何都作出了重要贡献世界各国的许多著名数学家的晨宴快要结束的时候“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜线上.问今天中午从哈佛开出的轮船对面开来?”问题提出后，果然一时难住了与会的数学家们激烈的争论，但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题“柳卡趣题”.下面介绍的是柳卡斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法如下图：例 4第 11 级上超常体系第 十 二在一条轨道的一端同时出发，同向而行，在轨道上往返行驶20122012次相遇点与第

14、20132013次相遇点相距58 厘米150%:13:2，如图将轨道等分为5 等份，则两车每合走就走了其中的 3 份，那么电子玩具车 A 在轨道上的位置与行程份数被向而行，所以每合走 2 个全程两车就相遇 1 次，那么第行驶了2012322012份距离，由于20122012的末尾数字为除所得的余数为 6，所以第20122012次相遇点，在20133220138 mod10，可以知道第20132013次相遇点的位置在由于这两次相遇点相距 58 厘米，所以这条轨道长58425145(876432斯图姆生于瑞士，因数学上的成就，于 1836 年当选为法国科学院院士射影几何与微分几何都作出了重要贡献.

15、在十九世纪的一次国际数学会议期间世界各国的许多著名数学家的晨宴快要结束的时候，柳卡向在场的数学家提出困扰他很久某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮果然一时难住了与会的数学家们.尽管为此问题大家进行了广泛的探讨与但直到会议结束竟还没有人真正解决这个问题.这个有趣的数学问题斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法 7超常体系教师版第 十 二已知 A 比B 的速度厘米，那么这条轨道长则两车每合走 1 个全程在轨道上的位置与行程份数被10

16、除所那么第20122012次相遇的末尾数字为 6，所以在“4”所对应的位置；次相遇点的位置在“2”所对应(厘米)5年当选为法国科学院院士.他对在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认并且每天的同一时刻也有而且都是匀速航行在同一条航将会遇到几艘同一公司的轮船从尽管为此问题大家进行了广泛的探讨与这个有趣的数学问题，被数学界称为8第 11 级上超常体系教师版乌龟与小白兔赛跑，比赛场地从起点到插小旗处为104 米，比赛规定，小白兔从起点出发跑到插小旗处马上返回，跑到起点又返回，如此继续下去.已知小白兔每秒跑10.2 米，乌龟每秒跑0.2 米，如果从起点出

17、发算第一次相遇，问：出发后多长时间它们第二次相遇？第三次相遇点距起点多远？从第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了多远？乌龟爬到 50 米时，它们共相遇多少次？（学案对应：超常 3，带号 3）【分析】第二次相遇是在小白兔返回时，迎面相遇.用时为：2 10410.20.220（秒）即出发后 20 秒它们第二次相遇.方法一：由于小兔和乌龟的速度比是 10.2:0.251:1因此走完全程所用的时间比是1:51，画柳卡图如下：因此第三次相遇距起点21044.16(513)2（米）方法二：第三次相遇是小白兔比乌龟多跑一圈后追上乌龟的时候，用时为：2 10410.20.220.8（秒）即第三次相遇点距起点10.2

18、20.810424.16米.方 法 一：根 据 下 面 的 柳 卡 图 得 知 从 第 二 次 相 遇 到 第 四 次 相 遇 乌 龟 爬 了42104()4484250（米）方法二：第四次相遇是小白兔第二次与乌龟迎面相遇，与上一次迎面相遇相差时间为：2 10410.20.220（秒）这段时间乌龟爬了：200.24（米）即从第二次相遇到第四次相遇乌龟爬了 4 米.乌龟爬 50 米用时为：500.2250（秒）这段时间小白兔共跑了：250 10.22550（米）在 乌 龟 没 到 小 旗 处 之 前，小 白 兔 每 104 米 中 都 会 与 乌 龟 相 遇 一 次，因 为25501042454

19、，即2550 米中有 24 个完整的104 米，所以起码要相遇 24 次，而第24 次是迎面相遇，说明最后的 54 米兔子是从起点开始跑的，又追上乌龟，因此它们共相遇 24125次.0125111109876543210例 59第 11 级上超常体系教师版第 十 二男、女两名田径运动员在长 110 米的斜坡上练习跑步(坡顶为 A，坡底为B)两人同时从 A 点出发，在 A，B 之间不停地往返奔跑已知男运动员上坡速度是每秒 3 米，下坡速度是每秒 5 米，女运动员上坡速度是每秒 2 米，下坡速度是每秒 3 米那么两人第二次迎面相遇的地点离 A 点多少米？【分析】方法一：柳卡图法如上图所示，A 为坡

20、顶，B 为坡底，从 A 到 B 的方向表示下坡，从B 到 A 的方向表示上坡，折线图向右的方向的距离表示上(下)坡的时间根据题意，男、女运动员下坡、上坡的时间比为 1 1 1 1:6:10:10:155 3 3 2，男运动员跑的路线为实线，女运动员跑的路线为虚线，从图中可以看出，两人第一次迎面相遇在 C，第二次迎面相遇在 D，所以需要求 D 到 A 的距离根 据 几 何 中 的 相 似 三 角 形 性 质，可 得 D 到 A 的 距 离 与 到 B 的 距 离 之 比 等 于(2516):(2210)9:123:4，而 A、B 之间的距离为 110 米，所以 D 到 A 的距离为3111047

21、347(米)，故第二次相遇的地点距 A 点147 7 米方法二：方程法设第二次迎面相遇的地点离 A 点x 米由于第二次相遇时男运动员走了一个下坡、一个上坡和 x米下坡，女运动员走了一个下坡和110 x米上坡，可得方程：1101101101105332xx解得147 7x，即第二次迎面相遇的地点离 A 点1477 米一条大河，水由 A 港流向 B 港，流速 4 千米/时，甲、乙两船同时由 A 向 B 行驶，各自不停的在 A、B 之间往返航行，甲船在静水中的速度是 28 千米/时，乙船在静水中的速度是 20 千米/时，已知两船第二次迎面相遇的地点与两船第五次迎面相遇的地点相距 50 千米，那么 A

22、、B 两港相距千米.（学案对应：超常 4）【分析】根据题意得:32:24:24:164:3:3:2VVVV甲顺乙顺甲逆乙逆，设 A、B 两个港口间的距离为4,3,212，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为 3:4:4:6，根据题意画柳卡图如下，甲船行走的路线用实线表示.乙船行走的路线用虚线表示DCBA352510322216600例 7例 610第 11 级上超常体系教师版则 A、B 两港相距3150()24098（千米）A、B 两地相距 22.4 千米有一支游行队伍从 A 出发，向B 匀速前进；当游行队伍队尾离开 A 时，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发乙向 A 步行；甲

23、骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾当甲第 5 次追上队头时恰与乙相遇在距 B 地5.6 千米处；当甲第 7 次追上队头时，甲恰好第一次到达 B 地，那么此时乙距 A 地还有千米（学案对应：带号 4）【分析】设甲从游行队伍队尾追到队头行 x 千米，从队头返回队尾行 y 千米据题意，可列方程组：5422.45.6225.6xyxy，解得5.62.8xy当乙行5.6BC 千米时，甲行了 5 个 x，4 个 y，那么，甲的速度是乙速度的545.65.6 52.845.67xy 倍当乙行CD 时，甲又行了 2 个x，2 个 y，则2275.622

24、.8272.4CDxy（千米），所以，22.45.62.414.4ADABBCCD（千米）242120171414101074300NMBA例 811第 11 级上超常体系教师版第 十 二1.A、B 两地相距 1000 米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发，在 A、B 两地间往返锻炼乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60 米在30 分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距 B地最近(从后面追上也算作相遇)？最近距离是多少？【分析】甲、乙的运行图如上，图中实线表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇在 30 分钟内，两人共行了(15060)306300(米)，相当于 6 个全程又 300 米，

25、由图可知，第3 次相遇时距离 B 地最近，此时两人共走了 3 个全程，即100033000(千米)，用时1003000150607(分钟)，甲行了10060006077(米)，相遇地点距离 B 地60001000100014377(米)2.甲、乙两人在相距 180 米的直路两端同时出发来回散步，甲每秒走 2 米，乙每秒走 2.5 米，每人都走了 6.5 分钟那么这段时间内他们共相遇了（迎面或同向）多少次？【分析】甲行全程用180290秒，乙行全程用1802.572秒画出柳卡图：由图得，一共相遇 5 次322824201612840BA36032428802522161801441087236乙

26、甲附加题四龟问题四只乌龟在边长为 3 米的正方形四个角上，以每秒 1 厘米的速度同时匀速爬行，每只乌龟的爬行方向时刻指向另一只问：经过多少时间它们才能在正方形的中心碰头？答案：对于任意一只乌龟 A，它始终朝着它面对的那只乌龟 B 爬行，因此无论如何，A 与 B 的距离都是以 1cm/s 的速度在减小的，一开始两者距离是 3m，所以就是 300s 之后，两只乌龟的距离变成 0，即碰头12第 11 级上超常体系教师版3.A、B 两地相距 950 米，甲、乙两人同时由 A 地出发，在 A、B 两地往返锻炼甲步行每分钟 40 米，乙跑步每分钟 150 米，40 分钟后停止运动甲、乙两人第几次迎面相遇相

27、距 B地最近？最近距离是多少米？【分析】显然，第二次迎面相遇（O 点）相距 B 地最近，AOE和COD是相似的，1h 占 16 份，2h 占 3 份，则最近距离为9501633150米4.甲乙两人都从 A 地去往 B 地，甲先出发 1 小时后乙再出发结果乙比甲提前 1 小时到达 B地，问：乙在什么地方追上甲？【分析】由图可看出，乙在 A,B 中点处追上甲5.A、B 两地位于同一条河上，B 地在 A 地下游 100 千米处甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发，相向而行，甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后，都立即按原来路线返航水速为 2 米/秒，且两船在静水中的速度相同如果两船两次相遇的地点相

28、距 20 千米，那么两船在静水中的速度是米/秒【分析】本题采用柳卡图来分析较为简便如图，箭头表示水流方向，ACE表示甲船的路线，BDF表示乙船的路线，两个交点 M、N 就是两次相遇的地点由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是 BC 和 DE 的长度相同，AD和 CF 的长度相同那么根据对称性可以知道，M 点距 BC 的距离与 N 点距 DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与 A、B 两地的距离是相等的而这两次相遇的地点相距 20 千米，所以第一次相遇时，两船分别走了10020240(千米)和1004

29、060(千米)，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为 60:403:2而顺水速度与逆水速度的差为水速的 2 倍，即为 4 米/秒，可得顺水速度为432312(米/秒)，那么两船在静水中的速度为12210(米/秒)h2h 1OEDCBA4812261014016 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 4040383634323028262422201816014106212841h乙甲ABNMFEDCBA6.(2004 年俄罗斯数学奥林匹克从花城到太阳城的公路长放 3 分钟的还有在第糊涂驾驶电动车从花城到太阳城红灯已知电动车速度是常数下，他到达太阳城最快需要【分析】画出

30、反映交通灯红绿情况的大可以是 0.5 千米分钟城最快需要 24分钟多次迎面相遇规律1.相向而行：第一次相遇两人合走一个全程两人合走 21n 个全程（n 为正整数2.同向而行：每相遇一次都要合走两个全程1.如图，甲、乙两人同时从相距为 3:4，则第二次相遇地点与第一次相遇地点间相距多少米【分析】6270()4061250034AB家庭作业知识点总结第 11 级上超常体系第 十 二年俄罗斯数学奥林匹克)从花城到太阳城的公路长12 千米在该路的 2 千米处有个铁道路口，还有在第 4 千米及第 6 千米有交通灯，每亮 2 分钟红灯后就亮糊涂驾驶电动车从花城到太阳城，出发时道口刚刚关闭，而那两处交通灯也

31、都刚刚切换成已知电动车速度是常数，小糊涂既不刹车也不加速，那么在不违反交通规则的情况他到达太阳城最快需要分钟画出反映交通灯红绿情况的 st 图，可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最分钟，此时恰好经过第 6 千米的红绿灯由红转绿的第一次相遇两人合走一个全程，以后每相遇一次都要合走两个全程为正整数）每相遇一次都要合走两个全程，因此第 n 次相遇，两人合走 2n 个全程乙两人同时从相距 70 米的 A 地同向出发来回步行，甲的速度和乙的速度之比则第二次相遇地点与第一次相遇地点间相距多少米？（米）1291286413超常体系教师版第 十 二，是每关闭 3 分钟又开分钟红灯后就亮 3 分钟绿灯

32、小而那两处交通灯也都刚刚切换成那么在不违反交通规则的情况可得出小糊涂的行车图像不与实线相交情况下速度最千米的红绿灯由红转绿的点，所以他到达太阳以后每相遇一次都要合走两个全程，因此第 n 次相遇，个全程（n 为正整数）甲的速度和乙的速度之比14第 11 级上超常体系教师版2.甲、乙两车同时从 AB、两地相向出发，第一次在距 A 地3000 米处相遇相遇后两车继续前行，各自到达目的地后立即返回，在距 A 地500米处第二次相遇AB、两地相距（）米【分析】两人第一次相遇共同走了一个全程，第二次相遇共同走了三个全程，第二次相遇所用时间是第一次相遇时间的三倍甲第一次相遇时走了 3000 米，第二次相遇时

33、走了 3 个 3000 米即 9000 米甲一去一回走了 9000 米后离出发点还有 500 米，即两个全程的长度是9000+500=9500 米，一个全程的长度是 4750 米3.甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，往返跑步甲每分跑 180 米，乙每分跑 240 米如果他们的第 100 次相遇点与第 101 次相遇点的距离是 160 米，求 A、B 两点间的距离为多少米？【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此180:2403:4SVV乙乙甲甲：S：，设全程为 7 份，则一个全程中，甲走了 3 份，乙走了 4份，通过总结的规律分析第 100 次相遇时，甲走：(10

34、0 2 1)3 597(份)，5977852，所以第 100 次相遇地点是在从 B 地向左数 2 份的 C 点，第 101 次相遇时甲走：(101 2 1)3 603(份)，6037861，所以第 101 次相遇地点在从 A 点向右数 1 份的 D 点，由图看出 CD 间距离为 4 份，A、B 两地之间的距离是16047280(米)4.甲、乙两车同时从 A 地出发同向而行，在 A、B 两地之间不断往返行驶甲车速度是乙车速度的 37，并且甲、乙两车第 2012 次相遇的地点和第 2013 次相遇的地点恰好相距 120 千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A、B 两地之间

35、的距离是多少千米？【分析】因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7SVV乙乙甲甲：S：，设全程为 10 份，则一个全程中，甲走了 3 份，乙走了 7 份，通过总结的规律分析第 2012次相遇时，甲走：(2012 2)3 12072(份)，120721012072，所以第 2012 次相遇地点是在从 B 地向左数 2 份的 C 点，第 2013 次相遇时，甲继续向左数 6 份即可，到达 D 由图看出 CD 间距离为 6 份，A、B 两地之间的距离是1206 10200(千米)101100DCBA20132012CDBA15第 11 级上超常体系教师版第 十 二5.两名游泳运

36、动员在长 30 米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒 1 米，乙的速度是每秒0.6 米，他们同时从游泳池的一端出发，来回一共游了 21 分钟，他们一共遇上（迎面或同向）几次？【分析】甲游全程用30 130 秒，乙游全程用300.650秒，画出柳卡图：21 分钟一共 1260 秒，一共相遇 84133次6.男、女两名运动员在长 350 米的斜坡 AB（A 为坡顶、B 为坡底）上跑步，两人同时从坡顶出发，在 AB、间往返奔跑，已知速度如图 14-7 所示，那么男运动员第二次追上女运动员的位置距坡顶多少米？【分析】令坡长为 30 份，上下坡时间分别为男：10,6，女：15,10画柳卡图如下：第二次

37、追上的位置如图第二个圈，根据比例关系可知离坡顶距离为43502805米7.一条大河，水由 A 港流向 B 港，流速 4 千米/时，甲、乙两船同时由 A 向 B 行驶，各自不停的在 A、B 之间往返航行，甲船在静水中的速度是 28 千米/时，乙船在静水中的速度是20 千米/时，已知两船第二次迎面相遇的地点与两船第三次迎面相遇的地点相距 40 千米，那么 A、B 两港相距千米.【分析】根据题意得:32:24:24:164:3:3:2VVVV甲顺乙顺甲逆乙逆，设 A、B 两个港口间的距离为，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为 3:4:4:6，根据题意画柳卡图如下，甲船行走的路线用实线表

38、示.乙船行走的路线用虚线表示则 A、B 两港相距1340()24029（千米）乙甲030609012015018021024027030030027024021018015012090603003835868510096322522161064,3,212242120171414101074300NMBA16第 11 级上超常体系教师版8.甲、乙两人沿一个周长 400 米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需 4 分钟，乙行走一圈需7 分钟，他们同时同地同向出发，甲走完 10 圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意问：当两人第 15 次击掌时，甲共走了多少时间？乙

39、走了多少路程？【分析】为了计算简便，我们把一圈看成“1”，则甲的速度为 14，乙的速度为 17，把整个过程分两个阶段考虑甲走 10 圈时，共用了 104=40 分钟，这段时间乙行了540757圈，每当甲比乙多走1 圈时，甲便追上乙一次，所以甲走完 10 圈时，比乙多走了52105477圈，两人共击掌 4 次，此时，甲、乙两人相距 27圈；甲反向行走后，经过 211874711分钟，两人第一次相遇，还应再相遇154110（次），以后两人每相遇 1 次便合走一圈，即相遇事件发生的时间间隔为112814711分 钟，经 过 28510251111分 钟，两 人 最 后 一 次 相 遇，此 时 甲 一

40、 共 走 了852402566111111分钟，乙走了2400966378111711米【超常班学案1】A、B 两地相距 2400 米，甲从 A 地、乙从 B 地同时出发，在 A、B 间往返长跑甲每分钟跑 300 米，乙每分钟跑 240 米，在 30 分钟后停止运动甲、乙两人在第几次相遇时距 A 地最近？最近距离是多少米？【分析】方法一：3002403024006.75(个)，即甲乙共行了 6.75 个全程，共相遇了 3 次，甲乙两人的速度比是 300:2405:4，设全程为 9 份如图所示，甲走路线用实线表示，乙走路线用虚线表示第一次相遇甲行 5 份，乙行 4份，所以第一次相遇地点距 A 地

41、是全程的 59 第二次相遇时两人共行了 3 个全程，甲行的距 A 地93 593 份，所以第二次相遇地点距 A 地是全程的 13 第三次相遇时两人共行了 5 个全程，5 5927 甲行的距 A 地 7 份，所以第三次相遇地点距 A地是全程的 79，所以第二次相遇距 A地最近，最近距离是124008003(米)超常班学案17第 11 级上超常体系教师版第 十 二方法二：柳卡图法，其中实线表示甲所走的路程，虚线表示乙走的路程，实线与虚线的交点就是相遇点由图可以看出两人共相遇了 3 次，其中第 2 次距 A 地最近，最近距离为 D 到 A 地的距离，由 图 看 出:6:121:2MN PQ，根 据

42、沙 漏 模 型:1:2DADB，所 以 最 近 距 离 为124008003(米)【超常班学案2】电子玩具车 A 与 B 在一条轨道的两端同时出发，相向而行，在轨道上往返行驶已知 A 比 B 的速度快 50%，而且根据推算，第20122012次相遇点与第20132013次相遇点相距 58厘米，那么这条轨道长厘米【分析】A、B 两车速度比为 150%:13:2，如图将轨道等分为5 等份，则两车每合走 1 个全程电子玩具车 A 就走了其中的 3 份，那么电子玩具车 A 在轨道上的位置与行程份数被10 除所得的余数对应如图：由于两车出发时是相向而行，所以第 1 次相遇时两车合走了 1 个全程，以后每

43、合走 2 个全程两车就相遇 1 次，那么第20122012次相遇时，电子玩具车 A 行驶了20123220121份距离，由于20122012的末尾数字为 6，所以20123220121被10 除所得的余数为 3，所以第20122012次相遇点，在“3”所对应的位置；同理，由于201332201315 mod10，可以知道第20132013次相遇点的位置在“5”所对应的位置由于这两次相遇点相距 58 厘米，所以这条轨道长58535145(厘米)987650432118第 11 级上超常体系教师版【超常班学案3】兔、龟在甲、乙两地之间做往返跑，兔的速度是龟的 3 倍，它们分别在甲、乙两地同时相对起

44、跑，当它们在途中迎面或同向相遇了 12 次时，龟正在跑第_个单程.【分析】龟兔跑单程的时间之比为3:1，画出柳卡图：6 份的时间为一个周期，一个周期中它们相遇6 次，如果它们相遇 12 次说明差点到2 个周期则龟正在跑第 4 个单程【超常班学案4】一条大河有 A、B 两个港口，水由 A 流向 B，水流速度是 4 千米/小时.甲、乙两船同时由 A 向 B 行驶，各自不停地在 A、B 之间往返航行，甲在静水中的速度是 28 千米/小时，乙在静水中速度是 20 千米/小时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在 A 处的那一次）的地点相距 40 千米，求 A、B 两港口的

45、距离.【分析】根据题意得:32:24:24:164:3:3:2VVVV甲顺乙顺甲逆乙逆，设 A、B 两个港口间的距离为，则甲船顺水、逆水、乙船顺水、逆水行完全程用时比为 3:4:4:6，根据题意画柳卡图如下，甲船行走的路线用实线表示.乙船行走的路线用虚线表示，两船第二次迎面相遇地点为 M,甲船第二次追上乙船在 N 点，所以全程为1140()24023（千米）【超常123班学案1】甲、乙两车都从 A 地到 B 地.甲车比乙车提前 30 分钟出发，行到全程的三分之一时，甲车发生了故障，修车花了 15 分钟，结果比乙车晚到 B 地 15 分钟.甲车修车前后速度不变，全程为 300 千米.那么乙车追上

46、甲车时在距 A 地千米.【分析】根据题意甲中途修车 15 分钟，可以转化为晚出发 15分钟，如图中虚线所示，所以转化为甲提前 15 分钟出发，晚到 15 分钟，所以乙在中点处追上乙，即距 A 地 150 千米处66543210054321乙甲4,3,21200NM504030201044341444942524538353128242114171073M15151515123 班学案19第 11 级上超常体系教师版第 十 二【超常123班学案2】甲、乙两车同时从 A 地出发，不停的往返行驶于 A，B 两地之间已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地问：甲车的速度

47、是乙车的多少倍？【分析】如下图所示，因为每次相遇都共行一个来回，所用时间相等，所以乙车两次相遇走的路程相等，即2ACCB,推知23ACAB.第一次相遇时，甲走了43ABBCAB,乙走了23ACAB,所以甲车速度是乙车的2 倍【超常123班学案3】甲、乙两车进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池 50 米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止追上者为胜已知：甲、乙的速度分别为每秒 1.0 米和 0.8 米，问：（1）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？（3）比赛过程中，两人同方向游了多长时间？【分析】（1）由图可知为 250 秒；（2）由图可知为 4 次；（3）

48、62.550125100187.5150250200125（秒）【超常123班学案4】（2012 年第 17 届华杯赛初赛）甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，且在 A，B 两地往返来回匀速行驶，若两车第一次相遇后，甲车继续行驶 4 小时到达 B，而乙车只行驶了 1 小时就到达 A，则两车第 15 次（在 A，B 两地相遇次数不计）相遇时，它们行驶了小时【分析】（小心看题，注意括号里的字“在 A，B 两地相遇次数不计”）设甲的速度为1v，乙的速度为2v，第一次相遇时间为 1t，1121vtv 2114vtv 两个式子，左边除以左边，右边除以右边有：12214vvvv，2112211=42v

49、vvv（），从出发到第一次相遇，甲乙两车合走一次全程，用时 1=2t（小时）方法一：柳卡图：由于甲乙速度比是1:2，那么甲乙分别行完一个全程用的时间比是 2:1，画柳卡图如下(其中甲所走路线用实线表示，乙所走路线用虚线表示):250187.5 200150100125乙甲62.55020第 11 级上超常体系教师版甲乙合走一个全程用时 2 小时，因此甲单独行一个全程用时 6 小时，由图可知每 4 份时间相遇 2 次，因此第 14 次相遇用时 47384（小时），所以第 15 次相遇用时84286（小时）方法二：如果没有括号里面的字，答案是就：415 1258（）（小时）但是有了括号里的字之后，我们发现从出发开始每过 3 小时，乙车就要到达 A 点或者 B 点一次，下面我们把每次相遇的时间列出来：2,610,14,18 22 26,30，发现每 3 次相遇中就有一次是 3 的倍数，所以真正的时间就是：341512862（）（小时）0314420