小学数学讲义秋季五年级A版第10讲几何计数进阶优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 10 讲漫画释义五年级暑假枚举法进阶五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶五年级春季概率初识六年级暑假数论中的计数用加乘原理、排列组合、容斥原理数组合图形；熟悉对应法.知识站牌第十讲 几何计数进阶2第 9 级下优秀 A 版 教师版(一)京沪线高铁是我国著名的一条线路，途径北京，天津，济南，德州，苏州，南京，上海 7 个主要城市.总共可以制作多少种不同的车票？（二）一群孩子经过一个食品店，看见蛋糕师把刚炸好的麻球排成底座是正方形的共 5 层的“四棱锥”.他数也不数，就向他的助手报出这一堆麻球有 55 个.孩子们很奇怪问师傅使用什么方法计数的，师傅笑了笑

2、说：“把麻球一层一层的取下来，平铺在桌面上，你就知道其中奥妙了.”旁边又有一个被排成底层是正三角形的 5 层“三棱锥”，你能数出来有多少个吗？1.理解几何计数中的对应法；2.灵活运用排列组合等知识解决对应的几何计数；3.理解并运用排除法解决正面困难的问题.图形计数就是数图形，而本讲主要学习利用排列组合来数数，目的是让学生从低年级单纯的枚举法转变习惯应用对应法和排列组合解决问题.本讲还定位于从低年级的计数方法到高年级思想方法的过度和转变，树立对应、转化意识，强化对应法，排除法，分类讨论思想的运用.计数中的常见结论：1.共有2nC 条线段.（角，三角形同理）2.共22mnCC个长方形3.若字母 A

3、 的上方有 m 条线，下方有 n 条线，左边有 a 条线，右边有 b 条线，则包含 A 的长方形anan-1a4a3a2a1bm-1bmb4b3b2b1anan-1a4a3a2a1经典精讲教学目标课堂引入共有 mnab 个4.三角形最后一条边有 n 个点1、图中有多少个长方形？【分析】25=10C个2、图中共有多少个正方形？【分析】共 554433221 155 3、图中共有多少个三角形？A.知识点回顾第 9 级下 优秀 A第 10个点，则平行四边形个数为：413nC 554433221 155 个3A 版教师版10 讲4第 9 级下优秀 A 版 教师版【分析】边长为 1 的三角形 1+3+5

4、+7=16 个；边长为 2 的三角形：7 个；边长为 3 的三角形：3 个；边长为 4 的三角形：1 个.共 30 个.模块 1：例 1、2：用排列组合解决的基本问题（对应法）模块 2：例 3、4：排除法模块 3：例 5：转化法与排除法综合（1）如图 1，有多少条线段？（2）如图 2，有多少个角？（3）如图 3，有多少个三角形？（4）如图 4，有多少个长方形？（学案对应：学案 1）【分析】（1）每条线段对应两个不同的点，相当于从六个点中选两个：2615C（2）每个角对应两条射线2510C（3）所有三角形都有一个相同的顶点，因此每个三角形对应底边一条线段，即两个不同的点：2510C（4）每个长方

5、形对应 2 个长和 2 个宽，即水平和竖直方向各选取一条线段：225410 660CC说明：学生版本中只有（1）（2）由 20 个边长为1的小正方形拼成的一个 45含有“”的长方形中.（1）如图 1 中含有“”的所有长方形（含正方形）有多少个？（2）如图 2 中含有两个“”的长方形（含正方形）有多少个？（3）如图 2 中只含一个“”的长方形（含正方形）有多少个？（4）如图 2 中不含“”的长方形（含正方形）有多少个？例 2例 1例题思路图 2图 3图 4图 15第 9 级下 优秀 A 版教师版第 10 讲（5）如图 2 中至少含一个“”的长方形（含正方形）有多少个？图 1图 2（学案对应：学案

6、 2）【分析】说明：学生版本中只有（1）（2）请老师根据班级程度拓展.（1）法 1：；含的一行内所有可能的长方形有：(八种)含的一列内所有可能的长方形有：(六种)分两个方向数，横行有8 个单位长方形，竖列有6 个单位长方形，所以共有长方形 8648（个）法 2：（1）含星小正方形左上角有 6 个点，右下角有 8 个点，即6 848（2）含两个“”最小长方形（此图为正方形）左上角有 4 个点，右下角有 6 个点，即4 6=24（3）只含一个：容斥原理：6 86 92480 （4）不含：排除法：2265802446CC（5）至少含一个：80+24=104想想练练：如图，包含两个五角星的长方形有多少

7、个？【分析】两个五角星都包括的长方形有：4416个；（相当于从左上角选中一点，再从右下角选中一点即可）6第 9 级下优秀 A 版 教师版如图，请问图中有多少个平行四边形？（学案对应：学案 3）【分析】法 1：对应法：平行四边形按方向分成三类：竖直，左斜，右斜，由旋转不变性可知，只要数其中 1 类再乘 3 即可.因为直接数比较麻烦，所以考虑把平行四边形对应成点.不妨先数竖直的平行四边形，由点 A 构成的竖直平行四边形个数等于点 A 的对面点（对角线另一端的点）的个数，如果第一行看为点 A，第二行 0 个，第三行只有点 E，第四行只有 M,N，第五行有 Q,R,S，共 1+2+3=6 个.再由点

8、B 作为上端点构成的平行四边形：第三行 0 个，第四行有 N，第五行有 Q,R，共 1+2=3 个，同理点 C 也有 3 个，总共 3 26 个，再由点 D、E、F 生成的竖直平行四边形各 1 个.竖直总数：63 2 1 315 .平行四边形总数：15 345 法 2：另一种对应法：每个平行四边形都看成由两组平行线构成，而每条平行线对应底边XY 某个点，则 1 个平行四边形对应 4 个点.但是比如平行四边形 ADRF 却对应最后一行 3个点，可见最后一行点数不够多.如果将大三角形再往下延长一层，那么底边上的点就从 5个变成 6 个.同时，所有与平行四边形 ABCD 方向相同的平行四边形各边延长

9、线都会与新的底边交于 4 个点，因此，新的底边上的四个点的选取方法和原图中与平行四边形 ABCD 方EONXYASMDCFPQRB例 3正方形能分解成多少个小正方形？众所周知，一个正方形可以分解成 4 个小正方形，此外，还可以分解成 6，7，8 个正方形。用这个方法也可以将正方形分成 6+3，7+3，8+3个正方形。因此可以把正方形分成 4、6 以及 6 个以上的小正方形。也就是说一个正方形不能分成 2，3，5 个正方形。以下图中给出了 3k,3k+1,3k+2 的基本分割法（k 最小值是 2），其他所要求的 8 以上数目的小正方形可按上述 3 种基本分割法构造。因此，正方形的分解问题已经得到

10、彻底解决。7第 9 级下 优秀 A 版教师版第 10 讲向相同的平行四边形是一一对应的.因此图中与 ABCD 方向相同的平行四边形总数为：4615C（个）总数：153=45老师可以总结如下结论：如果最后一行有 n 个点，则平行四边形总数为413nC 想想练练:如图，有多少个菱形？（注：四边相等的四边形是菱形）【分析】对应法：边长为 1 的菱形与其对角线可产生一一对应关系，如 BC 对应 ABEC.则现在变成数内部线段的条数，内部共 18 条线段，共 18 个边长为 1 的菱形，但还有 3 个边长为 2 的菱形，因此总数 18+3=21 个.如图，木板上钉着 12 枚钉子，排成三行四列的长方阵.

11、用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【分析】从 12 个钉子中选择 3 个钉子组成三角形，一共有312220C个，但是有 3 个点在同一条直线上的情况，需要排除，水平方向共有34312C个，竖直方向有3344C 个，斜着有 4个，这样的话总共有2201244200个.【铺垫】如图所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条线段？多少个三角形？多少个四边形？FECBDAEONXYASMDCFPQRB例 48第 9 级下优秀 A 版 教师版【分析】（1）线段：2615C（条）（2）三角形：3620C（个）（3）四边形：4615C（个）想想练练：如图，在半圆弧及其直径

12、上共有 9 个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？【分析】从 9 个点中选出 3 个，只要这 3 个点不在一条直线上，就能连成一个三角形.图中直径上的四个点共线，其余任意三点均不共线所以要计算三角形的总数，只要算出选取三个点的总取法，再从中减去无法连成三角形的选法总数，得到的就是能画出的三角形的总个数：3394CC84480（个）一个三角形的 3 条边上共有 7 个点，画出这 7 个点之间的全部连线（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问三角形内共有多少个交点？（学案对应：学案 4）【分析】转化法和排除法的综合应用.每一个交点唯一对应不共线的 4 个点，故49C

13、 之后还要减去有共线的情况：43173435431CCC个.此题可以拓展如下：三角形每边各有三个点，则三角形内部交点个数有多少个？431936312618108CCC【铺垫】一个三角形的 3 条边上各有 2 个点，画出这 6 个点之间的全部连线（同一条边上的两点不例 59第 9 级下 优秀 A 版教师版第 10 讲画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问三角形内共有多少个交点？【分析】把交点转化成四边形对角线交点，则四边形数量即为交点个数：4615C 如图，方格纸上放了 20 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？【分析】除了图中的 9 个正方形之外，还可以连出许多的斜三角形

14、，经过尝试不难看出，斜三角形只有下列四种形式：杯赛提高3 根木棒最多可以摆出多少个直角?答案：12 个。10第 9 级下优秀 A 版 教师版容易数出，第一种有 49424221个.1.图中共有多少个三角形？【分析】三条边上的三角形分别有个三角形2.图中有多少个长方形？【分析】横大长方形内有长方形竖大长方形内有长方形中间重复的长方形有：故图中共有长方形：30309513.如图，ABCDEFMN、互相平行【分析】梯形的个数为2245C C 4.如图，正方形上有 14 个点，附加题教师版个，第二种有 2 个，第三种有 4 个，第四种有三条边上的三角形分别有：246C（个）246C（个）2510C,再

15、加横大长方形内有长方形：22353 1030CC（个）竖大长方形内有长方形：22353 1030CC：22333 39CC（个）3030951（个）互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少60个，三角形的个数为25440C个，它们的差为，4 条边上分别有 2、3、4、5 个点；画出这 14 个点之间的全部连线第四种有 2 个.综上，总共ABC，所以共有 23则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？它们的差为 20 个.个点之间的全部连线11第 9 级下 优秀 A 版教师版第 10 讲（同一条边上的两点不画）后，发现在这些连线的交点没有出现过重合；请问正方形内共有多少个交点？【分析】每一个交

16、点唯一地对应着一个四边形，故共有4313143141431141045951001 11401905854CCCCCCCCC 个.5.如图，一个6 6 的网格中，取出一个由三个小方格组成的形，一共有多少种不同的方法？【分析】如图 1，每个 L 形对应一个两条线的交点 A，如图 2 每一个交点附近都可以通过旋转生成有 4 种 L 形.网格中共 5 525个交点，即 254=100 种方法.1.共有2nC 条线段.（角，三角形同理）2.共22mnCC个长方形.3.若字母 A 的上方有 m 条线，下方有 n 条线，左边有 a 条线，右边有 b 条线，则包含 A 的长方形共有 mnab 个.anan-

17、1a4a3a2a1bm-1bmb4b3b2b1anan-1a4a3a2a1知识点总结12第 9 级下优秀 A 版 教师版4.三角形最后一条边有 n 个点，则平行四边形个数为：413nC 1.下图中共有多少平行四边形？【分析】22436 318CC 2.由 20 个边长为1 的小正方形拼成的一个 45长方形中有一格有“”.图中含有“”的所有长方形（含正方形）共个.【分析】215=303.如图，边长为 7 的等边三角形每条边被七等分，求边长为 1 的小三角形个数与所有平行四边形的个数之比是多少？【分析】小三角形：1+3+5+7+9+11+13=49 个平行四边形个数：4933 126378C 个数

18、比：49：378=7：544.如图，木板上钉着 9 枚钉子，排成三行三列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？A.家庭作业765432113第 9 级下 优秀 A 版教师版第 10 讲【分析】3393876CC.5.圆上有 9 个点，画出这些点之间的全部连线，已知这些连线的交点没有出现重合；以这些连线为边，会在圆内形成三角形（如下图，例如图中的阴影三角形）；请问这样的三角形一共有多少个？【分析】本题条件看似复杂，但观察每一个这样的三角形会发现，它唯一地对应着圆周上的 6 个不同的点，因此答案为6984C 个.6.如图，一个 6 6的网格中，取出一个由四个小方格组成的形，一共有多少种

19、不同的方法？【分析】如图，每个田字形对应一个格点，网格中共5525个交点，则有 25 种不同的选法.【学案 1】图中有多少梯形？【分析】22456 1060CC【学案 2】如图，这是一个 48 的矩形网格，每一个小格都是一个小正方形.请问：至少包含一个“”A 版学案14第 9 级下优秀 A 版 教师版的长方形有多少个？【分析】包含两个的长方形有 65=30 个.包含左边的的长方形有1112672C C 个，包含右边的的长方形有11815120C C个.所以至少包含一个“”的矩形有1207230162个.【学案 3】如图，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？【分析】44319445105CCCC【学案 4】如图，两条线段上分别有 6，7 个点，以这 13 个点为顶点，共可以连出多少个四边形？已知两条线段中各任取 1 点的连线的交点互不重合，在两条已知线段之间可产生多少个交点？【分析】上面选 2 个点，下面选 2 个点，可以确定唯一的一个四边形，而一个四边形的对角线相连，可以确定唯一的一个交点，因此这两问的结果都一样.为22671521315CC