小学数学讲义秋季五年级A版第5讲电梯与发车优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 5 讲漫画释义四年级春季相遇与追及综合四年级春季流水行船五年级秋季、电梯与发车五年级秋季列方程解行程五年级寒假时钟问题简单的电梯与发车问题知识站牌第五讲 电梯与发车2第 9 级下优秀 A 版教师版我们学过流水行船问题，我们知道船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或阻碍.同样，人在电梯上行走时也会受到电梯的推送与阻碍：顺着电梯走的话，上楼或下楼的时间会比较少，而逆着电梯走的话，上楼和下楼的时间会比较多.但电梯和人共同行走的路程和或差不变，都为电梯的可见部分.对于发车问题，车与人每次迎面相遇和车每次追上人的时间不同，但是车与人共同行走的路程

2、和或路程差不变，都为两车之间的距离.在解决这电梯与发车问题中，我们一定要抓住电梯的可见部分和两车之间的距离.1.了解电梯问题与流水行船,牛吃草问题的联系与区别;2.把握发车问题与相遇追及问题的联系与区别;3.能根据发车问题中的不变量找等量关系.一、扶梯问题与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，扶梯运行的速度相当于水流速度，人在扶梯行走的速度相当于船在静水中的速度自动扶梯的速度有以下两条关系式：顺行速度正常行走速度扶梯运行速度逆行速度正常行走速度扶梯运行速度与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是“单位时间运动了多少米”，一种是“单位时间走了多少级台阶”

3、，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行船问题作比较，“单位时间运动了多少米”对应的是流水行船问题中的“船只顺(逆)水速度”，而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”，一般奥数题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即“单位时间走了多少级台阶”，所以处理数量关系的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单二、发车问题与公共汽车发车过程类似的，如果行人和汽车相向(反向)行驶，那么从行人遇到第一辆车到遇到第二辆车的过程可以看作一个相遇问题，所以有如下数量关系：)汽车间距（汽车速度行人速度相遇时间间隔同样的如果行人和汽车同向行驶，则有关系式：)汽车间距

4、（汽车速度-行人速度追及时间间隔三、扶梯与发车的联系:经典精讲教学目标课堂引入3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 5 讲在扶梯问题中,扶梯速度与扶梯长度均是固定的.在发车问题中,车的速度与两车间隔均是固定的.在代数解法中,一般都是设速度,再利用扶梯长度(或两车间隔)相等列等量关系.我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(s)这三个基本量，它们之间的关系如下：路程 速度 时间，可简记为：svt ；时间 路程 速度，可简记为：tsv；速度 路程 时间，可简记为：vst 显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量1.一辆客车

5、与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行 42 千米，货车每小时行 48千米.3 小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是_千米.【分析】甲乙两地路程为：（42+48）3=903=270（千米）2.甲、乙两地相距 240 千米，一列慢车从甲地出发，每小时行 60 千米同时一列快车从乙地出发，每小时行 90 千米两车同向行驶，快车在慢车后面，经过_小时快车可以追上慢车.（火车长度忽略不计）【分析】追及路程即为两地距离 240 千米，速度差906030（千米），所以追及时间 240308（小时）3.甲、乙两人分别以每小时 6 千米和每小时 4 千米的速度从相距 30 千米的两地向对方的出发

6、地前进当两人之间的距离是 10 千米时，他们走了_小时【分析】本题有两种情况，一种是甲、乙两人还未相遇过，此时两人一共走了 301020(千米)，另一种是甲、乙两人相遇过后继续向前走到相距 10 千米，一共走了 301040(千米)，所以有两种答案：(3010)(64)2(小时)；或(3010)(64)4(小时)模块 1：例 1-3，电梯问题模块 2：例 4-5，发车问题(1)商场一二层之间有一个扶梯，当扶梯没电时，小明每秒能上 3 级，他从一层走到二层共用了 20秒，则扶梯共_级.(2)商场的一二层之间有 60 级扶梯，扶梯每秒向上走 2 级，小明从一层到二层，上扶梯后站着不动，则小明从一层

7、到二层共需要_秒.(3)商场的一二层之间有 60 级扶梯，扶梯每秒向上走 3 级，着急的小明从一层到二层，上扶梯后他以每秒 2 级的速度向上走，则小明从一层到二层共需要_秒.在这过程中，小明走了_级扶梯，知识点回顾例 1例题思路4第 9 级下优秀 A 版教师版扶梯上行了_级.(4)商场的一二层之间有 60 级扶梯，小明站着不动乘扶梯上楼需 30 秒，如果在乘扶梯的同时小明继续匀速向上走需 12 秒上楼，那么扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需_秒.(5)小明站着不动乘扶梯上楼需 30 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续匀速向上走需 12 秒，那么扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需_秒.【分析】(1)

8、203=60(2)602=30(3)60(3+2)=12.小明走了 122=24 级，扶梯上行了 60-24=36 级(4)电梯的速度为 60230(级/秒),小明乘扶梯的速度为 60512(级/秒).则小明徒步的速度为 5-2=3(级/秒).因此小明徒步走需要 60203(秒).(5)法 1：设扶梯静止时共有30,1260级，电梯每秒升 60302（级），电梯与小明每秒上升60125（级），小明每秒上升 523（级），所以小明徒步上楼需60320(秒).法 2：电梯每秒完成 130，电梯加小明徒步上楼每秒完成 112，小明徒步上楼每秒完成111123020，所以小明徒步上楼需112020(秒

9、).法 3:设扶梯速度为 x 级/秒.小明速度为 y 级/秒,扶梯长度为 L 级.则:3012()xLxyL,解得:1.530yxLx小明徒步上楼需要30201.5Lxyx(秒).【想想练练】小明站着不动乘扶梯上楼需 10 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续匀速向上走需 8秒，那么扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需_秒.【分析】设扶梯共10,8=40级,则扶梯速度为 4 级/秒,小明与扶梯的速度和为 5 级/秒.小明速度为5-4=1 级/秒.所需时间为 401=40 秒.一架自动扶梯，小明沿着扶梯运行方向行走发现，如果自己每秒迈 1 级台阶 30秒从一楼到二楼；如果自己每秒迈 2 级台阶，20

10、秒从一楼到达二楼；那么小明如果每秒迈 3 级台阶，他多长时间能从一楼到二楼?(学案对应:学案 1)【分析】每秒迈 1 级台阶时，小明走了 30 级台阶；每秒迈 2 级台阶时，小明走了 40 级；前一种情况小明少走了 10 级台阶，那么扶梯就多走了 10 级台阶，那是因为前一种情况扶梯多走了30-20=10 秒，那么扶梯的速度=1010=1 级/秒，静止时扶梯的台阶数为 30+30=60 级.当小明每秒迈 3 级台阶时，到二楼所用时间为 60(3+1)=15 秒.此题类似于”牛吃草”例 25第 9 级下 优秀 A 版教师版第 5 讲在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如

11、果每秒向上迈 1 级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈 2 级台阶，那么走过 30 级台阶到达地面从站台到地面有级台阶(学案对应:学案 2)【分析】小强每秒走 1 级，需要 20120秒；每秒走 2 级，需要 30215秒电梯 20155秒内所走的级数等于小强多走的级数：302010级，所以电梯的速度为1052级/秒，扶梯长度为 20(12)60（级）【想想练练】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈 1 级台阶，那么他走过 40 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈 3 级台阶，那么走过 60 级台阶到达地面从站台到地面有级台阶【分析】

12、小强每秒走 1 级，需要 40140秒；每秒走 3 级，需要 60320秒电梯 402020秒内所走的级数等于小强多走的级数：604020级，所以电梯的速度为 20201 级/秒，扶梯长度为 40(1 1)80（级）(1)从 A 到 B 的公交车站每隔 5 分钟发一趟公交车,甲在某车站看到一辆公交车经过,那么再过_分钟,他会看到下一辆同向的公交车经过.(2)从 A 到 B 的公交车站每隔 5 分钟发一趟公交车,每辆公交车的速度均为 1000 米/分,则任何时刻,途中同向运行的两辆车之间的距离为_米.(3)两辆公交车同向运行，公交车的速度为 15 米/秒，小明骑车的速度为 5 米/秒；小明迎面遇

13、到第一辆公交车后，又过了 5 分钟遇到第二辆公交车，则两辆公交车之间的距离为_千米.(4)两辆相距 6 千米的公交车与小华同向运行，公交车的速度为 15 米/秒，小华的骑车速度为 5 米/秒，则两辆公交车追上小华的时间相差_分钟.(学案对应:学案 3)【分析】(1)5例 4例 3电梯的历史电梯进入人们的生活已经 159 年了。1854 年，在纽约水晶宫举行的世界博览会上，美国人伊莱沙格雷夫斯奥的斯第一次向世人展示了他的发明。他站在装满货物的升降梯平台上，命令助手将平台拉升到观众都能看得到的高度，然后发出信号，令助手用利斧砍断了升降梯的提拉缆绳。令人惊讶的是，升降梯并没有坠毁，而是牢牢地固定在半

14、空中奥的斯先生发明的升降梯安全装置发挥了作用。“一切安全，先生们。”站在升降梯平台上的奥的斯先生向周围观看的人们挥手致意。谁也不会想到，这就是人类历史上第一部安全升降梯。奥的斯先生的发明彻底改写了人类使用升降工具的历史。从那以后，搭乘升降梯不再是“勇敢者的游戏”了，升降梯在世界范围内得到广泛应用。1889 年 12 月，美国奥的斯电梯公司制造出了名副其实的电梯，它采用直流电动机为动力，通过蜗轮减速器带动卷筒上缠绕的绳索，悬挂并升降轿厢。1892 年，美国奥的斯公司开始采用按钮操纵装置，取代传统的轿厢内拉动绳索的操纵方式，为操纵方式现代化开了先河。6第 9 级下优秀 A 版教师版(2)51000

15、=5000(米)(3)(15+5)560=6000(米)=6(千米)(4)6000(15-5)=600(秒)=10(分)小明沿着电车线路行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有一辆电车迎面开来假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔(学案对应:学案 4)【分析】法 1：每 12 分钟有一辆电车从后面追上是追及问题，每 4 分钟有一辆电车迎面开来是相遇问题，可以采用相遇问题与追及问题的基本公式来解假设电车的速度为V车，人的速度为V人，每相邻两辆电车之间的距离为 S 后面的电车追上此人，追及的路程是相邻两车间的间隔，则有()12SVV人车前面的电车迎面开来，相遇的路程仍为相

16、邻两车间的间隔，则有()4SVV人车可知，()4()12VVVV人人车车，整理得2VV人车，带入上述方程得12SV人，那么发车间隔为1226SVVV人人车分钟法 2：设两车间隔距离为单位“1”，因此电车与小明的速度和为 14，速度差为 112，所以电车的速度为 111()24126，所以发车间隔为1166（分钟）法 3：假设小明被某辆电车追上后向前走 12 分钟又立即反向走 12 分钟回到原地，那么在这 24 分钟内，他向前走时有 1 辆车追上他，反向走时又迎面遇上1243辆电车，所以在这 24 分钟内恰有同一方向开来的 4 辆电车通过，所以电车的发车间隔为 2446分钟法 4：小明电车电车4

17、41212图中实线代表电车所走路线，虚线代表小明所走路线由图可知从迎面相遇地点到追上相遇地点之间的路程电车所用时间为1248（分钟）小明所用时间为12416（分钟）所以行相同路程小明用的时间是电车的 2 倍，因此小明 4 分钟的路程相当于电车 2 分钟的路程，由图可知发车间隔为426（分钟）【想想练练】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行.每隔 30 分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔 20 分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车.问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车？【分析】法 1：假设小明被某辆公共汽车超过后，向前行走20,3060（20、30

18、的最小公倍数）分钟，又立即回头再走 60 分钟回到原地那么在前 60 分钟有 60302辆车追上他，后 60分钟迎面遇到 60203辆车.那么在两个 60 分钟里恰有同一方向开来的 5 辆车通过，所以发车的时间间隔为602(32)24分钟法 2：由于电车追及小明，比小明多走了一个发车间隔，迎面相遇共走了一个发车间隔，设两车间隔距离为单位“1”，则电车与小明的速度和为 120，速度差为 130，所以电车的速度例 57第 9 级下 优秀 A 版教师版第 5 讲为111()2203024，所以发车间隔为112424（分钟）某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5 千米的速度步行，每7.2 分钟有一辆电车

19、迎面开过，每 12 分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【分析】法 1：设发车后两辆电车间的距离是7.2,1236，人与电车的速度和是367.25，人与电车的速度差是36123，电车之间的时间间隔是 36(53)29(分钟)，电车的速度是人的速度的(53)(53)4倍，所以电车速度是每小时 18 千米法 2：设电车的速度为每分钟 x 米人的速度为每小时 4.5 千米，相当于每分钟 75 米根据题意可列方程如下：757.27512xx，解得300 x，即电车的速度为每分钟 300 米，相当于每小时 18 千米相

20、同方向的两辆电车之间的距离为：30075122700(米)，所以电车之间的时间间隔为：27003009(分钟)1.小志与小刚两个孩子在电梯上的行走速度分别为每秒 2 个台阶和每秒 3 个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时 28 秒和 20 秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？【分析】设电梯运行速度为 x 级/秒，电梯可见部分级数:22873205xx解得：电梯运行速度=0.5（级/秒）所以电梯可见部分级数为：228280.570（级），所以，小志攀登静止的电梯分别需附加题杯赛提高乘电梯拿钻石一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘

21、坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，但手里只能拿一颗钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？答：先拿下第一楼的钻石,然后在每一楼把手中的钻石与那一楼的钻石相比较,如果那一楼的钻石比手中的钻石大的话,那就把手中的钻石换成那一层的钻石。8第 9 级下优秀 A 版教师版要用时70235（秒）2.一条街上一个骑自行车的人和一个步行的人同向而行，骑车人的速度是步行人的速度的 3 倍，每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过步行的人，每隔 20 分钟有一辆公共汽车超过骑车的人，如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么这个间隔时间为_.【分析】法 1：设发车间隔距离为 1，根据题意列方程组得1/10

22、1/203VVVVVV车步骑车骑步，1/81/403/40VVV车步骑，所以这个间隔时间为1188（分钟）法 2：若把人在 10 分钟内走的路程作为 1 个单位，那么骑车人 20 分钟内走了 6 个单位，那么汽车在 20 分钟内比在 10 分钟内多走了 615，即汽车在10 分钟内走了5 个单位，所以汽车速度是步行人的速度的 5 倍，从而人走10 分钟，汽车只要花 2 分钟，1028（分钟），这个 8 分钟就是汽车始发站的间隔时间.3.某人沿着电车道旁的便道以每小时 4.5 千米的速度步行，每7.2 分钟有一辆电车迎面开过，每 12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不

23、停地往返运行问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【分析】法 1：设发车后两辆电车间的距离是7.2,1236，人与电车的速度和是367.25，人与电车的速度差是36123，电车之间的时间间隔是 36(53)29(分钟)，电车的速度是人的速度的(53)(53)4倍，所以电车速度是每小时 18 千米法 2：设电车的速度为每分钟 x 米人的速度为每小时 4.5 千米，相当于每分钟 75 米根据题意可列方程如下：757.27512xx，解得300 x，即电车的速度为每分钟 300 米，相当于每小时 18 千米相同方向的两辆电车之间的距离为：30075122700(米)，所以电车之间的时间间隔

24、为：27003009(分钟)一、扶梯问题(1)扶梯的速度有以下两条关系式：顺行速度正常行走速度扶梯运行速度逆行速度正常行走速度扶梯运行速度(2)扶梯问题中的不变量:扶梯的速度不变;扶梯的总长度固定.二、发车问题(1)发车问题的基本公式:)汽车间距（汽车速度行人速度相遇时间间隔)汽车间距（汽车速度-行人速度追及时间间隔(2)发车问题中的不变量:汽车的发车间隔不变;汽车速度不变;汽车间距固定.知识点总结9第 9 级下 优秀 A 版教师版第 5 讲1.小明站着不动乘电动扶梯上楼需 15 秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续匀速向上走需 10秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？【分析】设

25、扶梯静止时共有 15,1030级，电梯每秒升 30152（级），电梯与小明每秒上升30103（级），小明每秒上升321（级），所以小明徒步上楼需30130(秒).2.某商场一小偷偷了东西被保安发现,小偷情急之下,从正在上行的扶梯逆行而下,而保安也一直追下去.已知小偷每秒下 2 个阶梯,40 秒后下到底部;而保安每秒下 3 个阶梯,20 秒后也下到底部.那么,这部扶梯共有多少级?【分析】法 1:类似于“牛吃草”.扶梯速度为:24032014020(级/秒).扶梯级数为:(3-1)20=40(级)法 2:设扶梯速度为 x 级/秒,扶梯长度为 L 级.则:(2)40(3)20 xLxL,解得:140

26、 xL3.某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上运行的自动扶梯.着急的小明在上扶梯时,自己也在向上走.如果每秒向上迈 2 级台阶，那么他走过 80 级台阶后到达大厅；如果每秒向上迈3 级台阶，那么走过 90 级台阶到达大厅.那么自动扶梯有多少级台阶?【分析】小明每秒迈 2 级台阶，需要80240秒到达大厅，每秒迈 3 级台阶，需要90330秒到达大厅电梯运行速度为(9080)(4030)1（级/秒），那么扶梯长度为8040 1120（级）4.公交车站每隔 6 分钟发一趟车,汽车速度为 1000 米/分.正在行走的小明每隔 5 分钟遇到迎面开来的一辆公交车.则小明的速度为_米/分.【分析】汽车

27、间距为 61000=6000(米).小明和汽车的速度和为 60005=1200(米/分).小明的速度为1200-1000=200(米/分)5.小明沿着电车线路匀速跑步，每 6 分钟有一辆电车从后面追上，每 3 分钟有一辆电车迎面开来假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔【分析】设间距为 6,则车与人的速度差为 1,速度和为 2,由和差公式可知,车速为 1.5,所以发车间隔是61.5=4 分.6.小明沿着电车线路骑车，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有一辆电车迎面开来若小明的速度为每小时 18 千米，求电车的速度【分析】设两车的间隔为12,4=12,则速度和为 124=

28、3,速度差为 1212=1.由和差问题可知车速为 2 份,人速为 1 份.车速为人速的 2 倍.因此电车的速度为 182=36.A 版学案家庭作业10第 9 级下优秀 A 版教师版【学案 1】自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走 20 级，女孩每分走 15 级，结果男孩用了 5 分到达楼上，女孩用了 6 分到达楼上问该扶梯露在外面的部分共有多少级？【分析】法 1：电梯的运行速度是(205156)(65)10（级/分），所以自动扶梯露在外面的部分共有105205150（级）法 2：男孩每分钟比女孩每分钟多行扶梯级数的 1115630，相差 20155级，

29、因此自动扶梯露在外面的部分共有1515030级【学案 2】某城市火车站中，从候车室到大厅有一架向上的自动扶梯.小志想逆行从上到下，如果每秒向下迈 2 级台阶，那么他走过 80 级台阶后到达站台；如果每秒向下迈 3 级台阶，那么走过 60 级台阶到达站台.自动扶梯有多少级台阶?【分析】小志每秒迈 2 级台阶，需要80240秒到达站台，每秒迈 3 级台阶，需要60320秒到达站台电梯运行速度为(8060)(4020)1（级/秒），那么扶梯长度为8040 140（级）【学案 3】公交车站每隔 10 分钟发一趟车,每辆车的速度均为 1200 米/分.已知同向的两辆车追上匀速行走的小明的时间间隔为 12

30、 分钟,则小明的速度为_米/分.【分析】两辆车间距为 120010=12000(米).车与小明的速度差为 1200012=1000(米/分).因此小明的速度为 1200-1000=200(米/分).【学案 4】某人以匀速行走在一条公路上，公路两端的车站每隔相同的时间开出一辆公共汽车，该行人发现每隔 15 分钟就会有一辆公共汽车追上他；而每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面开来问车站每隔多少分钟开出一辆车？【分析】法 1：设两车之间相距S，根据公式得()10minSVV人车()15minVV人车解得5VV人车，所以发车间隔()10(5)10125VVVVSTVVV人车人人人车车法 2：假设此人被某辆公共汽车追上后，向前行走15,1030分钟，又立即回头再走 30 分钟回到原地那么在前 30 分钟有30152辆车追上他，后 30 分钟有 30103 辆车和他迎面相遇那么在两个 30 分钟里恰有同一方向开来的 235辆车通过，所以发车的时间间隔为302(32)12分钟