小学数学讲义秋季四年级第1讲超常体系.pdf

1、第 1 讲1第 7 级下超常体系教师版三年级寒假速算巧算之四则运算三年级春季小数的认识四年级秋季定义新运算初步四年级秋季多位数计算四年级秋季小数的计算运用一些基本的速算技巧解决简单的定义新运算漫画释义知识站牌第一讲定义新运算初步第 7 级下超常体系教师版21.在数学里,我们常常会遇到各种形式的运算符号,同学们，你们知道哪些运算符号？+、=2.你们知道、符号是怎么来的吗？远古时期，古希腊人和印度人都是把两个数字写在一起表示加法,把两个数字写得分开一些来表示减法.中世纪后期，欧洲商业逐渐发达.一些商人常在装货的箱子上画一个“+”，表示重量超过一些;画一个“-”，表示重量略微不足.文艺复兴时期，意大

2、利的艺术大师达芬奇在他的一些作品中也采用过“+”和“-”的记号.公元 1489 年，德国人威德曼在他的著作中正式用这两个符号来表示加减运算.后来经过法国数学家韦达的大力宣传和提倡，这两个符号才开始普及，到 1603 年终于获得大家的公认.3.你们见过除了+、这些运算符号之外的其他运算符号吗？实际上,除了四则运算外,我们还可以预先规定好符号的运算意义,形成新的对应方法,并按定义进行运算,注意有括号时仍然先算括号里的.今天，让我们一起来看看这些有趣的运算符号吧.1.理解概念,明确“定义新运算”表达的意思2.明确“定义新运算”中的注意事项3.能够熟练计算简单的定义新运算.4.能够运用一些速算技巧解决

3、定义新运算.定义新运算是指用一个新定义的运算符号和已知运算表达式表示一种新的运算新定义的运算符号，如、等等所表示的特定意义是人为设定的解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算.下面通过几个实例加以说明如规定：ababab2424246 42424210 一般情况下我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）对于规定的新运算不成立，但也有成立的，这时就要求我们去证明课堂引入经典精讲教学目标第 1 讲3第 7 级下超常体系教师版1、计算下列各题.4016040288-14418+35（58+37）（64-95）【分析】原式=40+4=

4、44原式=288-8+35=315原式=95（64-45）=9519=52、123181920=.57911 131517192123【分析】原式(120)20221 202210原式72351591113171921（）（）（）（）（）1403、解下列一元一次方程：38x；83x；39x ；39x【分析】38x 解：3383x （根据等式基本性质 1，方程两边同时减 3）83x （移项，变号）5x 83x解：83xxx（根据等式基本性质 1，方程两边同时加 x）83x（移项，变号）38x3383x（根据等式基本性质 1，方程两边同时减 3）5x 39x 解：3 393x （根据等式基本性质

5、2，方程两边同时乘以 3）93x 27x 39x 解：3393x（根据等式基本性质 2，方程两边同时除以 3）93x 3x 知识点回顾第 7 级下超常体系教师版44.解方程：6 318x【分析】解：6 318x6 3618x 618 18x 0 x 解方程：1530639xx解：1530639xx1530639xx1563930 xx99x 1x 模块一：选择型定义新运算（例 1、例 2）模块二：公式型定义新运算（例 3 例 6）模块二：规律型定义新运算（例 7、例 8）定义新运算 ，.规定,abb aba如：588,7127.那么，2010200920082007.21_.(学案对应：超常班

6、学案 1)【分析】可以看出，箭头指向哪边，结果就是哪边.所有括号外的箭头都指向左边，结果肯定在最左边的括号中；最左边的括号指向 2009，因此 2009 就是最终答案.已知 x、y 满足 2009xy，20.09xy；其中 x 表示不大于 x 的最大整数，x 表示 x 的小数部分，即 xxx，那么 x.（学案对应：超常 123 班学案 1）【分析】根据题意，y 是整数，所以2009 xy也是整数，那么 0 xxx，由此可得20.09 20.09020.09yx.所以 20y，2009 2009201989xy.我们规定 ab 表示为 3 倍的 a 减去 2 倍的 b，即 ab=3a-2b，例如

7、：32=33-22=5；同时，ab 表示为 3 倍的 a 加上 2 倍的 b，即 ab=3a+2b，例如：12=13+22=7.例 3例 2例 1例题思路第 1 讲5第 7 级下超常体系教师版(1)计算：54；45；23；32.(2)请问：这两个运算有交换律吗？(3)计算：(87)9；(23)5.(4)请问：这两个运算有结合律吗？(5)计算：(54)(32)1.(6)若 m4=10，求 m；若 n6=18，求 n.(7)若(64)m=14，求 m；若(n3)4=35，求 n.(8)计算：11+22+33+44+100100.(9)计算：(23)(46)(69)(812)(200300).（学案

8、对应：超常班学案 2，超常 123 班学案 2）【分析】(1)54=53-42=7；45=43-52=2；23=23+32=12；32=33+22=13.(2)没有(3)(87)9=(83-72)3-92=12;(23)5=(23+32)3+52=46.(4)没有(5)（54）（32）1=95.(6)m4=m3-42=10,得 m=6；n6=n3+62=18,得 n=2.(7)(64)m=(6 3-42)3-m2=14，得 m=8；若(n3)4=(n3+32)3+42=35，得 n=1.(8)11+22+33+44+100100=1+2+3+100=5050.（此题可以直接套公式找规律，也可以

9、先根据题目中 a=b 的特殊关系将定义化简为 ab=3a-2b=3a-2a=a，再代入）(9)先求括号内的值发现规律，可知(23)(46)(69)(812)(200300)=0我们规定 ab=b(a+1)-a(b-1)，计算：(21)+(43)+(65)+(87)+(109)=（学案对应：超常班学案 3）【分析】将定义整理可知 ab=ab+b-ab+a=a+b,所以原式=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.例 4第 7 级下超常体系教师版6规定 a b(2)(1)aaab,计算：（21）（1110）_.（学案对应：超常 123 班学案 3）【分析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻

10、烦，需要套用 10 次，然后再求和但是我们注意到要求的 10 项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中 ba1，所以，我们不妨把 ba1 代入原定义ab(2)(1)aaab就变成了 ab(2)(1)(1)aaaa2a 所以 2122，3223，1110211，则原式2223 24 21111 122315056 对于任意的两个自然数 a 和b，规定新运算：a b(1)(2)(1)aaaab，其中 a、b 表示自然数.(1)求 1 100 的值；(2)已知 x 10 75，求 x为多少？(3)如果（x 3）2 121，那么 x等于几？【分析】(1)1 100 1234(1 1001)505

11、0(2)x 10(1)(2)(3)(101)1045xxxxxx75,解得 x 3爱因斯坦和他的成功秘诀爱因斯坦是一位成就辉煌的科学家.他从小喜欢运动，一生坚持不懈，直到老年，人们尊重地称他“老年运动家”.他在学习或工作十分紧张的情况下，仍抽空参加多种文体活动，尤其喜欢爬山、骑车、赛艇、散步等体育活动.有人形容他工作时的劲头“简直像个疯子，似乎有使不完的精力”.爱因斯坦在瑞士苏黎世工业大学就读时，尽管每天学习任务紧张，仍抽出一定时间散步，节假日还要出外旅游或划船.爱因斯坦的这种爱好，不但是从兴趣出发，而且也能提高学习效率.他常对人说：学习时间是个常数，它的效率却是个变数，单独追求学习时间是不明

12、智的，最重要的是提高学习效率.他认为参加文体活动，有助于获得充沛的精力，保持清醒的头脑.有一次，一个美国记者问爱因斯坦关于他成功的秘诀.他回答：“早在 1901 年，我还是二十二岁的青年时，我已经发现了成功的公式.我可以把这公式的秘密告诉你，那就是 A=X+Y+Z!A 就是成功，X 就是努力工作，Y 是懂得休息，Z 是少说废话！这公式对我有用，我想对许多人也一样有用.”例 6例 5第 1 讲7第 7 级下超常体系教师版(3)方法一：由题中所给定义可知，b 为多少就有多少个加数1216061，即：60 2 121，则 x3 60；60192021，即 19 3 60,所以 x 19方法二：可以先

13、将（x 3）看作一个整体 y，那么就是 y2 121，y2(1)121yy,所以 y 60，那么也就有 x 3 60，1260 xxx，所以 x 19左下图是一个运算器的示意图，A、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果，右下表是输入 A、B 数据后，运算器输出 C 的对应值，请你据此判断，当输入 A 值是 1999，输入 B 值是 9 时，运算器输出的 C 值是_.（学案对应：超常 123 班学案 4）【分析】运算器输入的 A 是被除数，B 是除数，输出的是余数，19999=2221.所以 C=1.黑猫警长在追踪嫌犯时，拾到嫌犯丢失的一张写有电话号码的破纸条（见下图）.电话：3879633=

14、387=8777=6(8+7+3)9=39在侦查过程中，黑猫警长进一步了解到算式中所使用的符号与通常表示的意义相同，进位也是十进制，但数字所表达的数都不同.据此，黑猫警长很快破译出了电话号码，这个电话号码是.【分析】因为 777=6，三个一位数相乘等于一个不同的一位数可知 7 是 2,6 是 8，因为 87=8，可知 8 是 0，又因为 33=3，所以 3 是 1.最后由(8+7+3)9=39 推出 9 是 5，最后答案：10258.例 7例 8第 7 级下超常体系教师版8定义新运算是指用一个新定义的运算符号和已知运算表达式表示一种新的运算新定义的运算符号，如、等等这些特殊的运算符号，所表示的

15、特定意义是人为设定的解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算.一般情况下我们熟悉的运算律（如交换律、结合律、分配律等）对于规定的新运算不成立，但也有成立的，这时就要求我们去证明1.一个特殊的计算器上面有个“X*”键，当计算器上显示的数是 a 时，按一下“X*”键后，计算器上的 a 立刻消失并显示一个新数 2a+1.现在，这个计算器上显示 5，那么连续按“X*”键_次后，如图 2,一只甲虫从画有方格的木板上的 A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到 B，图 1 中的路线对应下面的算式：121221216 .请在图 2 中用粗线画出

16、对应于算式：212221 1 1 的路线图 1图 2【答案】如图 3 所示，通过图 1 分析知道向上前进一格要加上 1，向下前进一格要减去1，向左前进一格要减去 2，向右前进一格要加上 2.附加题知识点总结第 1 讲9第 7 级下超常体系教师版会显示 95；接着再按“X*”键 4 次，计算器上显示的数将是_.【分析】25+1=11，211+1=23.223+1=47.247+1=95.这时已按 4 次.接着再按 4 次，分别显示295+1=191.2191+1=383.2383+1=767.2767+1=1535.即按 4 次键，显示 95.再按 4 次，显示 1535.2.规定新运算:ab=

17、3a-2b.若 x(41)=7,则 x=.【分析】因为 41=342 110,所以 x(41)=x10=3x-20.故 3x-20=7,解得 x=9.1.若*A B 表示 3ABAB，求5*7 的值.【分析】A*B 的结果是这样计算出来：先计算 A3B 的结果，再计算 AB 的结果，最后两个结果求乘积.由 A*B(A3B)(AB)可知：5*7(537)(57)(521)122612 312.2.MN表示()2,(20122014)2013MN_【分析】原式201220142*20132013*201320132013220133.定义新运算为 ab（a1）b，求 6（34）的值.【分析】所求算

18、式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算.由 ab（a1）b 得，34（31）4441；6（34）61（61）17.4.已知 a,b 是任意自然数,我们规定:ab=a+b-1,2abab,那么4(68)(35).【分析】原式4(681)(3 52)41313 4131314254252985.规定运算“”为：若 ab，则 ab=ab；若 a=b，则 ab=ab1；若 ab，则 ab=ab.那么，（23）（44）（75）=.【分析】196.“”表示一种新的运算符号，已知：2 3234；7 278：家庭作业第 7 级下超常体系教师版103534567，按此规则，如果n 868，那么，n _.【分析

19、】因为从已知条件可归纳出的运算规则：表示几个连续自然数之和，前面的数表示第一个加数，后面的数表示加数的个数，于是：(1)(2)(7)68nnnn，即82868n.5n.7.已知*A BABAB，则101*9*9*9*9*9共次运算【分析】1*99 1 1919 ，1*9*919*919991920919199，1*9*9*91999919920091991999，根据规律可以推得101*9*9*9*919999999999共次运算8.有一个数学运算符号，使下列算式成立：248，5313，3511，9725，求73?【分析】通过对248，5313，3511，9725这几个算式的观察，找到规律：2

20、+,aba b因此 7327317.【超常班学案1】两个不等的自然数 a 和 b,较大的数除以较小的数,余数记为 ab,比如 52=1,7 25=4,68=2.求 19912000；(519)19；(195)5.【分析】19912000=9;由 519=4,得(519)19=419=3;由 195=4,得(195)5=45=1.【超常班学案2】我们规定：acadbcbd，求 25401621的值【分析】254025 21 40 1652564011651621【超常班学案3】对于任意自然数 x，y，定义运算如下：如果同奇同偶，则()2xyxy；如果 x，y 奇偶性不同，则(1)2xyxy.求：

21、(19941995)(19951996)(19961997)(20122013)20062006201020122013【分析】(19941995)(19951996)(19961997)(20122013)1995 1996 1997 1998 19992013 20121996 1997 1998 199920122013 1997 1998 1999200020122013 1998 1999200020122013 超常班学案第 1 讲11第 7 级下超常体系教师版2012201320132006200620102012201320062010201220132008201220132

22、01020132012【超常班学案4】小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：88=8，999=5.93=3，(93+8)7=837.老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“+、-、()、=”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同.请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：8957=_.【分析】由红毛族算式“999=5可知“9”是 2，“5”是 8.由“93=3”，知“3”是 0.继而可推得“8”是 1，“7”是 5.于是可知“8957”是 1285=1020，即“8393”.【123班学案1】用 x 表示数 x 的小数部分，x 表示 x 的整数

23、部分.如2.30.3，2.32.若 15.3ab，7.8ab，则a，b.【分析】因为 b 是一个整数，且 15.3ab，所以 a 的小数部分是 0.3，即 0.3a.又由于 7.8ab，即0.37.8b，求出7.5b.于是 7b，15.378.3a.【123班学案2】对于数 a、b、c、d，规定，2abcd，已知7，求 x 的值.【分析】根据新定义的算式，列出关于 x 的等式，解出 x 即可.将 1、3、5、x 代入新定义的运算得：2135x1x，又根据已知7，故 1x7，x6.【123班学案3】定义ba 为 a 与b 之间（包含 a、b）所有与 a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7 14

24、(79 11 13)410，18 10=(18+16+14+12+10)5=14.在 算 术(19 99)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【分析】根据定义新运算先算括号里的得出：19 99=(19+99)2=59所以方格中填的数一定大于 80123 班学案第 7 级下超常体系教师版12如果填的是个奇数：那么只能是 802-59=101如果填的是个偶数：那么这个数与 60 的平均数应该是 80，所以只能是 802-60=100因此所填的数可能是 100 或 101.【123班学案4】如有 a#b 新运算，a#b 表示 a、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；

25、2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如 21#（21#x）=5，则 x 可以是_（x 小于 50）【分析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.第一步先把（21#x）看成一个整体 y.对于 21#y 5，这个式子，一方面可把 21 作被除数，则 y 等于（21-5）16 的大于 5 的约数，有两个解 8 与 16；另一方面可把 21 作除数，这样满足要求的数为 26，47，即形如 21N+5，这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由 y 所代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于 21 的那些 y 的值都得舍去.现在只剩下 8 与 16.第二步求（21#x）8 与（21#x）16.对于（21#x）8 可分别解得，把 21 作被除数时：x 13，把 21 作除数时为：x 29，50，形如 21N+8 的整数（N 是正整数）.对于（21#x）16，把 21 作被除数无解，21 作除数时同理可得：x 37，58，所有形如 21N+16 这样的整数.（N 是正整数）.所以符合条件的答案是 13,29,37