小学数学讲义秋季四年级第6讲超常体系.pdf

1、第 6 讲1第 7 级下超常体系教师版漫画释义三年级寒假倒推与图示四年级暑假逻辑推理进阶四年级秋季最值问题初步四年级春季最值问题进阶五年级暑假分组与配对极端分析法、局部调整法和最值原理知识站牌第六讲最值问题初步第 7 级下超常体系教师版2同学们帮家长买过东西吗？如果有两个售价相同的蛋糕，一个是 50cm50cm，另一个是 60cm40cm，你会买哪一个呢？学完了这一讲，你就知道买哪一个蛋糕更合适了.1.了解并掌握极端分析法2.会使用局部调整法3.熟练运用最值原理许多题目中涉及的变量在一定范围内可大可小，但题目要求我们求出最大值或最小值.遇到这类问题，我们可以采取下列策略：（1）极端性思想思考问

2、题；（2）利用不等式估值；（3）局部调整思想；（4）利用抽屉原理和容斥原理；（5）枚举比较等，往往还会使用到构造与论证.上述提到的这些是整个离散最值问题的通用思想，在本讲中并没有全部涉及.1.极端分析法：从最不利的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小1.用数字 0、1、2、3、4、5 组成的最大三位数是_，最小三位数是_.【分析】最大三位数是 543，最小三位数是 102.2

3、.用数字 0、1、2、3、4、5 组成的最大三位偶数是_，最小三位偶数是_.【分析】最大三位偶数是 542，最小三位偶数是 102.课堂引入知识点回顾经典精讲教学目标第 6 讲3第 7 级下超常体系教师版3.如果8=5，那么当最大时，里的数是_.【分析】最大是 7，此时中的数是47785.4.数字 0、1、2、3、4、5，任意两个不同的数字相乘，乘积个位的最大值是_.【分析】最大是 8.5.自然数 40、51、62、73、84、95，任意两个自然数相乘，乘积个位的最大值是_.【分析】乘积的个位只与乘数的个位有关，最大还是 8.模块一：直接求最值（例 1，例 2）模块二：最值原理与拆数问题（例

4、3例 5）模块三：综合应用（例 6例 8）有六块岩石标本，它们的重量分别是 8.5 千克、6 千克、4 千克、4 千克、3 千克、2 千克.要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些.请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克?（学案对应：超常 1，带号 1）【分析】三个背包分别装 8.5 千克；6 千克与 4 千克；4 千克、3 千克与 2 千克，这时最重的背包装了 10 千克.另一方面最重的包所放重量不少于 10 千克：8.5 千克必须单放(否则这一包的重量超过 10)6 千克如果与 2 千克放在一起，剩下的重量超过 10，如果与 3 千克放在一起，剩下的重量等于 10 千克.

5、所以最重的背包装 10 千克.一个多位数的各位数字互不相同，而且各位数字之和为 23这样的多位数最小可能是多少？最大可能是多少？（学案对应：超常 2）【分析】要让这个多位数尽量小，那么首先位数必须少易知最小是三位数，先让其中两个数最大，那么剩下一个数必然最小23986，这个数是 689要让这个多位数尽量大，那么位数必须尽量多12345621，那么最多可以是 7位数（加上 0）先让其中 6 位最小，那么剩下一位最大230123458 ，这个数是 8543210（1）有一根 100 米长的绳子，用它能围成的长方形中面积最大的是平方米.例 3例 2例 1例题思路第 7 级下超常体系教师版4（学案对应

6、：超常 3，带号 2）【分析】周长为定值，则长与宽的和为定值，为100250.所以当该长方形为正方形时面积最大.最大的面积是 625 平方米（2）面积为 100 平方米的长方形中，周长最小是米.【分析】长宽乘积为定值，当长宽相等时长宽的和最小.所以最小周长是10440米.（3）某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长 36 米的铁丝网，围成一块长方形菜地，这块菜地的面积最大是多少平方米？CDBA【分析】将长方形 ABCD沿 DC 边翻转得到长方形11A B CD，那么长方形11A B BA 的周长是 36272米，是一个定值，从而当长方形11A B BA 的每条边都等于72418米

7、时，面积最大.此时的面积为18 182162平方米11BACDBA用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字各一次，分别组成两个三位数，求(1)和最大是多少？最小是多少？(2)差最大是多少？最小是多少？(3)积最大是多少？最小是多少？（学案对应：超常 4，带号 3）【分析】（1）和最大则 6,5 位于百位；4,3 位于十位；2,1 位于个位，有 642+531=1173和最小则相反，有 135+246=381（具体算式不唯一）（2）被减数越大，减数越小，差越大，那么最大值为：654123531；被减数与减数越接近，差越小那么要让两数的百位只差 1，被减数的末两位尽量小，减数的末两位尽量大，最小

8、值为 41236547（3）积最大则 6,5 位于百位；4,3 位于十位；2,1 位于个位，此时，由“和一定，差小积大“可知应为 631542=342002积最小则相反，有 135246=33210例 4第 6 讲5第 7 级下超常体系教师版(1)把 17 拆成若干个自然数（可重复）的和，使这些自然数的乘积最大，最大乘积是多少？（学案对应：带号 4）【分析】拆成的数 a 如比 3 大，则可以拆成 2 与2a ，22a（）a（仅在 a=4 时两边相等）；例如 5 可以再拆成 2 与 3，235，所以拆成的数中没有比 3 大的即可认为拆成的数都不比 3 大如果拆成的数有 1，那么将 1 加到其它任

9、一个拆成的数上，乘积增加，所以拆成的数没有 1因此，拆成的数只有 2 与 3（2 个 2 时也可合并为 4），如果 2 的个数3，那么 22233，而 222 3 3，所以应将 3个2 改成2 个3，于是 2的个数只能是 0，1，2个，而172+35，故乘积523=486为最大小结：上面的解法具有一般性，把一个自然数拆成若干个自然数的和，要使它们的乘积最大，应拆成 2 与 3 的和，而且 2 的个数不超过 2 个即“多 3 少 2 不拆 1”.(2)3 个互不相同的自然数之和是 17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】把 17 分成 3 个不同的、尽量接近的数，那么可以分成17467，4671

10、68.(3)若干个互不相同的自然数之和是 17，它们的乘积最大可能是多少？【分析】2+3+4+5+6=2017，则 17=2+4+5+6，乘积 2456=240999 的故事谷超豪是我国著名的数学家.他小时候并不聪明，可他很喜欢看书.在他读中学的时候，老师讲过乘方的知识后对同学们说：“不准用任何运算符号，用四个 1 组成一个最小的数，再用三个 9 组成一个最大的数.”同学们的兴趣一下子被集中到了认真的思考和计算上.“报告老师，最小的数是 1111.”有同学抢先回答，老师并没有表态.“最小的数是 1111.”老师摇摇头.有的同学在草稿纸上列出了 1111式子进行计算，很快发现，这个数要比 111

11、1 大很多.这时谷超豪举手做出了明确的回答，老师依照他的回答在黑板上写下了结果.1111111111111111聪明的同学很快就回答说：“最大的数是 999.”老师微笑着看着大家，期待着其他同学的答案.谷超豪举手回答说：“999最大.”同学们你们可以想一想这个数究竟有多大.例 5第 7 级下超常体系教师版6如图是奥林匹克的五环标志，其中 a，b，c，d，e，f，g，h，i 处分别填入整数 1 至 9，如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？ihgfedcba【分析】计算五个圈内各数之和的和，其中 b，d，f，h 被计算了两遍，所以这个和是123456789

12、bdfh，而这个和一定能被 5 整除，所以b，d，f，h中填入大数时能使这个和取得最大值，最大是 6、7、8、9，各圆圈内的和也取得 15，由于156978，所 以 满足 条件 的 所有数 无 法 配成 15.当 和为 14 时 ai 依 次 为8,6,1,7,4,3,2,9,5 时满足条件，所以和最大为 14.当b，d，f，h 取 1、2、3、4 时这个和取得最小值，各圆圈内的和也取得最小值 11，如ai 依次为 8,3,7,1,6,4,5,2,9一次数学考试满分是100 分，有6 位同学在这次考试中的平均分是91分，这6 位同学的得分各不相同，其中有一位同学仅得了 65分，那么得分排在第三

13、名的同学至少得多少分？【分析】要使第三名的同学得分最低，就要让其他同学的得分尽可能高这 6 位同学的总分为91 6546分，有一位同学得了 65 分，而第一名和第二名得分不能超过 100 分和 99 分，所以剩下的三位同学的得分之和不低于 5466510099282分至此，问题转化为：三人的总分是 282 分，其中的第一名最低得多少分？由于 282 是 3 的倍数，所以这 3 人的平均分为 94 分，那么其中得分最高的至少得 95 分，当三人得分分别为 95 分、94 分、93 分时最高分恰为 95 分也就是说原来 6 位同学中得分排在第三名的同学至少得 95 分某篮球运动员参加了 10 场比

14、赛，他在第 6、7、8、9 场比赛中分别得到了 23、14、11 和 20 分，他在前 9 场比赛的平均分比前 5 场比赛的平均分要高，如果他 10 场比赛的平均分超过 18 分，那么他在第 10 场比赛至少得分【分析】因为前九场比赛的平均分比前五场比赛的平均分要高，设前五场比赛的平均分是 x所以有(523141120)9xx 解得17x，所以 585x 因为 10 场比赛的平均分超过 18 分，所以 10 场的总分至少18 101181(分)，要使第十场比赛的得分最少，应使十场比赛的总得分尽量少，使前 5 场比赛的得分尽量多，故当十例 6例 8例 7第 6 讲7第 7 级下超常体系教师版场的

15、得分为 181 分前 5 场比赛的得分为 84 分时，第十场比赛的得分最少，为181842314112029(分)1.极端分析法：从最极端的情况出发考虑2.局部调整法的基本思想：（1）为了论证某种分配方式是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后不如调整前；（2）为了论证某种分配方式不是最优的，可将该分配方式做调整，证明调整后比调整之前优.3.最值原理（1）和一定，差小积大（2）积一定，差小和小1.电视台要播放一部 30 集电视连续剧.如果要求每天安排播出的集数互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？【分析】如果播 8 天以上，那么由于每天播出的集数互不相等，至少需要有 1234567836 集

16、，所以 30 集连续剧不可能按照要求播 8 天以上，另一方面 123456930，所以最多可以播 7 天，各天播出的集数分别为1 2,3,4,5,6,9，或1 2,3,4,5,7,8，2.一个自然数，各个数位上的数字之和是 2013，这个自然数最小是.【分析】首先要使其位数最少.201392236，所以这个自然数最小值是2236999一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一，你乘坐电梯从一楼向上走，每层楼电梯门都会打开一次，拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？答案：先拿着第一楼的钻石，然后在每一楼把手中的钻石与那楼的钻石比较，如果那一楼的比手上的钻石大，就换.家庭作业知识点总结第

17、 7 级下超常体系教师版83.牧羊人用 15段每段长2 米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形羊圈，则羊圈的最大面积是多少平方米【分析】从最值考虑，设长方形长为 a，宽为b，则230ab，215 15ab的最大值等于，但ab、均为偶数，考虑次大的214 162 148ab ，因此边长分别为 14 和 8，面积最大为 112平方米.4.用 1、2、3、4、6、7、8、9 这 8 个数字组成 2 个四位数，使这 2 个数的差最小（大减小），这个最小的差是多少？【分析】差最小，那么首位差 1，大数末三位尽量小，小数末三位尽量大.在保证首位可选的情况下有，最大值 987，那么最小值 126；或者最小值 12

18、3，那么最大值 984.71236984139 41263987139；.最小值为 139.5.四个非零自然数的和为 38,这四个自然数的乘积的最小值是多少？最大值是多少?【分析】和一定差大积小：1+1+1+3538;乘积最小为：11135=35;和一定差小积大，384=92,乘积最大值99 10 10=8100 6.22 名乒乓球运动员分成三队，每队若干队员，进行单打比赛，规定同队的运动员彼此之间不比赛，不同队的运动员两两比赛一场那么比赛的总场数最多是多少场？【分析】采用“局部调整法”.设三队人数分别为,a b c，则题目转化为：已知22abc，求abacbc 的最大值根据“差小积大”的原则

19、，如果有两个队的人数相差 2 以上，比如说2ab，那么从 a 队中匀到 b 队一人，则三队人数变为1a 、1b 和c，由于(1)(1)abab，而，这样比赛总场数就会增加，所以要使比赛的总场数最大，则各个队之间的人数差不能超过 1，所以这三个队的人数分别为 7 人、7 人、8 人，比赛总场数为：77+78+78=161(场)7.有 7 个盘子排成一排，依次编号为 1，2，3，7，每个盘子中都放有若干玻璃球，一共放了80 个，其中 1 号盘里放了 18 个玻璃球，并且任意编号相邻的 3 个盘子里放的玻璃球数之和都相等，请问：第 6 个盘子中最多可能放了多少个玻璃球？【分析】如图：18181876

20、54321则知的和与的和相等，是8018326，26213，则第 5 个盘子中最少时第 6 个盘子中最多,是 12 个.8.7 个小队共种树 100 棵，各小队种的棵数都不相同.其中种树最多的小队种了 18 棵，种树最少的小队至少种了多少棵？【分析】若要使种树最少的小队种树尽量少，则就得使其余小队种树尽量多.一个极端情况就是18171615141393，所以种树最少的小队至少种100937棵第 6 讲9第 7 级下超常体系教师版【超常班学案 1】如果 7 个互不相同的自然数之和为 100，那么其中最小的数最大可能是多少？最大的数最小可能是多少？【分析】要让最小的数最大，最大的数最小，我们要让这

21、 7 个互不相同的自然数尽量接近.那么首先考虑连续自然数.987 14，我们能找到一组和最接近 100 的连续自然数11,12,13,14,15,16,17.那么现在距离 100 还差 2，我们给最后两个数各加 1，得到：11,12,13,14,15,17,18.那么最小的数最大为 11，最大的数最小为 18.【超常班学案 2】在七位数 9876789 的某一位数字后面再插入一个同样的数字，这样得到的八位数最小可能是多少？【分析】插入一个数后，数的位数自然增多，但要这个数最小则必是增加数字最小的这一个，即是98766789【超常班学案 3】如图，等腰直角三角形 ABC 中，4CACB厘米在其中

22、作一个矩形 CDEF，矩形 CDEF 的面积最大可能是多少？【分析】矩形CDEF 的长和宽之和是一固定值：4 厘米那么长和宽相差越小，面积越大因此矩形面积最大为 224平方厘米【超常班学案 4】用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一次组成 3 个三位数，使得它们都是 9 的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式【分析】要让乘积最大，首先 3 个三位数的百位数字必须尽量大12394591818要分成 3 个能被 9 整除的三位数，那么必有 1 个数的各位和为 9，那么这个数最大是 621剩下两个三位数，百位必然是 8 和 9，那么只能是 873 和 954这个算式是：621 873 9

23、54【123 班学案 1】阶梯教室座位有10 排，每排有16 个座位，当有150个人就座时，某些排坐着的人数就一样多.我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？【分析】如果10 排人数各不相同，那么最多坐：1615 1487115 人；如果最多有2 排人数一样，那么最多坐：(1615 1413 12)2140人；123 班学案超常班学案第 7 级下超常体系教师版10如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(1615 14)3 13148 人；如果最多有4 排人数一样，那么最多坐：(1615)4142152人.由于148150，152150，所以，只有 3 排人数一样的话将不可能坐下1

24、50个人，所以至少有4 排.【123 班学案 2】如图，一个长方形被分成 8 个小长方形，其中长方形 A、B、C、D、E 的周长分别是 26 厘米、28 厘米、30 厘米、32 厘米、34 厘米，那么大长方形的面积最大是平方厘米【分析】设 B 的宽是 a，则 ACD、的宽分别为1,1,2aaa，B 的长为 28214aa，则E的长为14317aa,大长方形的面积为(112)(1417)(42)(312)2(21)(312)aaaaaaaaaa 21a 和 312a的和是 32，两数和相同，两数越接近时，积越大21312aa，430a，7.5a 总面积为 2 16 16512.【123 班学案

25、3】把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数分成两组，排成一个五位数和一个四位数，并使这两个数的乘积最大，其中那个四位数是多少？【分析】这两个数的最高位数字应尽量大，所以一个为 9，一个为 8，然后再看这两个数的前两位9687 9786（因为 96879786，而96879786），964875965 874，（因为 964875965874，而964875965874）；964287539643 8752（方法同上）；最后比较964287531与96421 8753，因为 9642875319642875309642，96421 87539642087538753，所以9642875

26、31更大因此，这两个数分别是 9642 和 87531.【123 班学案 4】把一个自然数 N 表示成几个非零自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大.问：应如何拆？请严格证明.【分析】本题等价为设123nNaaaa（123,na a aa都是非零自然数）求123na a aa 的最大值.（1）若11a ，不是最大.若11a ，23231nnNaaaa aa调整使得2323(1)(1)nnNaaaa aa（2）若14a，不是最大.当14a 时，一定存在11112aaa且11122,2aa则11 12111121112111211121112()()1 1(1)(1)0a aaa aaaa aaaaa 所以，11121a aa，既111223123nnaaaaaaaaa（3）若1232aaa，不是最大.当1232aaa时，458na aa 调整4545339nnNaaaa aa评注本题是数学中非常核心的一种方法局部调整法.许多老师喜欢把一些数学原理口诀化，ABDCE第 6 讲11第 7 级下超常体系教师版把一些题型弄出一些“傻瓜”解法，这样表面上是帮助学生得分，实际上是害了孩子，扼杀孩子的思考力.数学学习应该以培养学生的逻辑分析能力为核心，在中年级阶段就应该开始培养学生的数学论证能力.