2022届高考数学二轮复习讲义第2讲　思想方法在数学中的应用 WORD版含答案.docx

1、第2讲思想方法在数学中的应用一、函数与方程思想在不等式中的应用【典例1】已知函数f(x)ax2x24a(a0)，且对任意的xR，f(x)2x恒成立(1)若g(x)，x0，求函数g(x)的最小值；(2)若对任意的x1，1，不等式f(xt)0，bR)在区间2，4上有最小值1和最大值9，设f(x).(1)求a，b的值(2)若不等式f(3x)k3x0在x1，1上有解，求实数k的取值范围二、函数与方程思想在数列的应用【典例2】(1)(2021银川二模)已知函数f(x)，对任意实数m，n都有f(mn)f(m)f(n)35，已知f(1)31，则f(1)f(2)f(3)f(n)(nN*)的最大值等于()A13

2、3 B135 C136 D138(2)(2021岳阳一模)已知数列an满足a11，且点(an，an12n)在函数f(x)3x的图象上求证：是等比数列，并求an的通项公式：若bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn3n.【变式训练】1设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足：a3mf(x)成立，求实数m的取值范围三、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用【典例3】(1)已知ABC中，ABCACB45，BC12，点M是线段BC上靠近点B的三等分点，点N在线段AM上，则的最小值为()A B C D (2)(2021合肥模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a

3、，b，c，已知a(cos Csin C)b.求A；求cos2Bcos2C的最小值【变式训练】1(2021南通二模)如图，点C在半径为2的上运动，AOB.若mn，则mn的最大值为()A1 B C D2(2021北京高考)已知在ABC中，c2b cos B，C.(1)求B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度cb；周长为42；面积为SABC.四、函数与方程思想在解析几何中的应用【典例4】(2021郑州二模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D是椭圆C上一点，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过

4、椭圆右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x4分别交于M，N.求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；求AMN面积的最小值【变式训练】1P为椭圆1上任意点，EF为圆N：(x1)2y24的任意一条直径，则最大值为_2(2021德阳三模)已知平面上的动点E(x，y)及两定点A(2，0)，B(2，0)，直线EA，EB的斜率分别为k1，k2，且k1k2，设动点E的轨迹为曲线R.(1)求曲线R的方程；(2)过点P(1，0)的直线l与曲线R交于C，D两点记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值(二)分类与整合思想一、由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例1】(2021沧州

5、三模)已知数列an中，a11，其前n项和Sn满足an1Sn1(nN*).(1)求Sn；(2)记 bn，求数列bn的前n项和Tn.【变式训练】(2021辽宁葫芦岛二模)已知椭圆G：1(ab0)过A(0，4)，B(，2)两点，直线l交椭圆G于M，N两点(1)求椭圆G的标准方程；(2)若直线l过椭圆G的右焦点F，是否存在常数t，使得t为定值，若存在，求t的值及定值；若不存在，请说明理由二、由参数的取值范围引起的分类讨论【典例2】(2021广东三模)已知函数f(x)ln xax2x，g(x)ln xex1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围【变式训练】(

6、2021成都三模)已知函数f(x)ln x.(1)讨论函数g(x)f(x)ax(aR)的单调性；(2)证明：函数f(x)|PF2|，则_(2)在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”如图，棱柱ABCA1B1C1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1ACBC2，设平面过点P且与AC1平行，现有下列四个结论：当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于；当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2；异面直线AC1与CP所成角的余弦值为；三棱锥C1ACP的体积是该“堑堵”体积的.所有正确结论的序号是_【变式训练】1(2021珠海二模)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，

7、F2，P为曲线C上一点，|PF1|PF2|F1F2|542，则曲线C的离心率为_2设f(x)x24x4，xt，t1(tR)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式四、由运算性质引起的分类讨论【典例4】(2021珠海二模)已知等差数列an满足a11，a42a2a3.(1)求数列an的通项an；(2)若bn acos ，求数列bn的前40项和S40.【变式训练】已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2，数列bn为等差数列，b13a1，b4a52.(1)求an，bn的通项公式；(2)记cnanbn，求数列|cn|的前n项和Tn. (三)数形结合思想一、数形结合思想在函数与方程中的应用【典例1】(

8、2021新乡三模)已知函数f(x)|x2mx|(m0)，当a(1，4)时，关于x的方程f(x)a|x1|0恰有两个不同的实根，则m的取值范围是()A(0，2 B(1，3C(0，3 D(1，4【变式训练】已知函数f(x)，若关于x的方程4f2(x)4af(x)2a30有5个不同的实根，求实数a的取值范围二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】(2021厦门三模)已知函数f(x)，若f(x)2|xa|，则实数a的取值范围是_【变式训练】1设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0，则不等式0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为()Ax2y29 Bx2y27Cx2y25 D

9、x2y24 (2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于()A B C D【变式训练】设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若|AF|BF|3|AF|BF|，则p()A2 B3 C D二、正与反的相互转化【典例2】 若命题“xR，|x|1m0”是假命题，则实数m的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1) D(，1【变式训练】1命题p：xx|1x9，x2ax360，若p是真命题，则实数a的取值范围为()A37，) B13，)C12，) D(，132已知函数f(x)ln xax2在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值

10、范围为()A BC D三、常量与变量的相互转化【典例3】已知a1，1时，不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，)B(，1)(2，)C(，1)(3，)D(1，3)【变式训练】设f(x)x2(a1)x5，若函数f(x)在区间1，4上的图象位于直线yx1上方，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C(，2) D(，2四、形、体位置关系的相互转化【典例4】如图，在棱长都为1的直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BAD60，三棱锥C1A1BD的体积为()A B C D【变式训练】(2021江门一模)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M为

11、棱DD1上的一点，当A1MMC取最小值时，B1M的长为()A2 B C D参考答案一、函数与方程思想在不等式中的应用【典例1】已知函数f(x)ax2x24a(a0)，且对任意的xR，f(x)2x恒成立(1)若g(x)，x0，求函数g(x)的最小值；(2)若对任意的x1，1，不等式f(xt)0，又x21(当且仅当，即x2时取等号)，所以g(x)min112.(2)由f(xt)f得(xt)2(xt)11，即3x2(8t8)x4t216t0，所以对任意的x1，1，不等式3x2(8t8)x4t216t0恒成立令m(x)3x2(8t8)x4t216t，则解得t0，bR)在区间2，4上有最小值1和最大值9

12、，设f(x).(1)求a，b的值(2)若不等式f(3x)k3x0在x1，1上有解，求实数k的取值范围【解析】(1)函数g(x)ax22ax1b(a0，bR)则对称轴x1，故函数g(x)在2，4上为单调增函数，所以当 x2时，g(x)min1，当 x4时，g(x)max9，所以 解得故a的值为1，b的值为0.(2)由(1)得g(x)x22x1，f(x)x2，因为不等式f(3x)k3x0在x1，1上有解，所以3x2k3x0在x1，1上有解，设t，t，所以t22t1k在上有解，即(t22t1)maxk，设h(t)t22t1，t，对称轴t1，则当t3时，h(t)maxh(3)9614，所以实数k的取值

13、范围是(，4.二、函数与方程思想在数列的应用【典例2】(1)(2021银川二模)已知函数f(x)，对任意实数m，n都有f(mn)f(m)f(n)35，已知f(1)31，则f(1)f(2)f(3)f(n)(nN*)的最大值等于()A133 B135 C136 D138【解析】选C.因为对任意实数m，n都有f(mn)f(m)f(n)35，所以f(n1)f(n)f(1)35f(n)4，所以f(n1)f(n)4，故f (n)是以31为首项，以4为公差的等差数列，所以f(1)f(2)f(3)f(n)31n(4)2n233n，对称轴为n，因为nN*，所以n8时，f(1)f(2)f(3)f(n)取得最大值为

14、136.(2)(2021岳阳一模)已知数列an满足a11，且点(an，an12n)在函数f(x)3x的图象上求证：是等比数列，并求an的通项公式：若bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn3n.【解析】由点(an，an12n)在函数f(x)3x的图象上，可得an12n3an，所以1，即，也即1，由a11，所以1，所以是首项和公比均为的等比数列，则1，所以an3n2n.bn33，所以，Sn3n3n3n223n23n.【变式训练】1设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足：a30，且S5S6160，则S11的最小值为_【解析】由题意，a30a12d0.S5S61

15、60(5a110d)(6a115d)160.设a15dx.则(5a110d)(6a115d)16015(x3d)(2x5d)160225d2165xd30x2160.因为关于d的方程有实数解，故0.即(165x)24225(30x216)0，解得x8或x8(舍去).故S1111(a15d)11x88.此时a1，d，满足a12dmf(x)成立，求实数m的取值范围【解析】(1)因为f(x)x23x，Snf(n)，所以Snn23n，当n2时，Sn1(n1)23(n1)，anSnSn12n4，当n1时，a1S12，也满足an2n4，故an2n4.(2)因为an2n4，bn，所以bn，b10，故T1T2

16、，为Tn的最小值，Tn的最小值为，因为对于任意nN*，总存在x4，6，使得Tnmf(x)成立，所以mf(x)min，因为x4，6，f(x)x23x，所以f(x)4，18，当m0时，显然mf(x)min不成立；当mmf(x)min，即18m，解得m，故实数m的取值范围为.三、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用【典例3】(1)已知ABC中，ABCACB45，BC12，点M是线段BC上靠近点B的三等分点，点N在线段AM上，则的最小值为()A B C D【解析】选C.由ABCACB45，可知BAC90.以点A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示则A(0，0

17、)，M(4，2)，C(0，6)，设N，其中0x4，则，故x2xx23x.令f(x)x23x，0x4，则当x时，函数f(x)有最小值，且f(x)minf，即的最小值为.(2)(2021合肥模拟)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(cos Csin C)b.求A；求cos2Bcos2C的最小值【解析】因为a(cosCsin C)b，所以sin A(cos Csin C)sin B.即sin A(cos Csin C)sin (AC)，所以sin A cos Csin A sin Csin A cos Ccos A sin C，得sin A sin Ccos A sin C，因为0

18、C0，得sin Acos A.又因为0A，所以tan A，所以A.因为A，所以BC，因为cos2Bcos2C11cos .因为0B，所以2B，得1cos .所以1cos (2B)b0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D是椭圆C上一点，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x4分别交于M，N.求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；求AMN面积的最小值【解析】(1)由题意，椭圆C：1(ab0)过点D，且离心率为，可得解得a24，b23，所以椭圆C的方程为 1.(2)设直线l的方程为xmy1，联立方程组整理得(3m24)y

19、26my90，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，可得y1y2，y1y2，直线AP的方程为y(x2)，令x4，可得yM，同理可得yN，所以yMyN9.由SAMN6|yMyN|33218，当且仅当yM3，yN3或yM3，yN3时等号成立，所以AMN面积的最小值为18.【变式训练】1P为椭圆1上任意点，EF为圆N：(x1)2y24的任意一条直径，则最大值为_【解析】圆N：(x1)2y24的圆心为N(1，0)，半径长为2，设点P(x，y)，则y215x2且4x4，所以，()()22(x1)2y24x22x115x24x22x12(x16)24，所以，当x4时，取得最大值，即()max(4)2812

20、21.答案：212(2021德阳三模)已知平面上的动点E(x，y)及两定点A(2，0)，B(2，0)，直线EA，EB的斜率分别为k1，k2，且k1k2，设动点E的轨迹为曲线R.(1)求曲线R的方程；(2)过点P(1，0)的直线l与曲线R交于C，D两点记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值【解析】(1)由题意知x2，且k1，k2则整理得，曲线R的方程为1(y0).(2)当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1此时ABD与ABC面积相等，|S1S2|0当直线l的斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)C(x1，y1)，D(x2，y2)联立方程，得消去y，得：(34k2)x

21、28k2x4k2120.0，且x1x2，x1x2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y2y1|2|k(x21)k(x11)|2|k(x2x1)2k|因为k0，上式所以|S1S2|的最大值为.(二)分类与整合思想一、由概念、法则、公式引起的分类讨论【典例1】(2021沧州三模)已知数列an中，a11，其前n项和Sn满足an1Sn1(nN*).(1)求Sn；(2)记 bn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)当n2时，anSn11，所以an1anSnSn1an，即an12an(n2)，在an1Sn1中，令n1，可得a2a11.因为a11，所以a22a1，所以an是首项为1，公比为2的等比数列

22、，其通项公式为an2n1，所以Snan112n1.(2)因为bn，所以Tn()，1.【变式训练】(2021辽宁葫芦岛二模)已知椭圆G：1(ab0)过A(0，4)，B(，2)两点，直线l交椭圆G于M，N两点(1)求椭圆G的标准方程；(2)若直线l过椭圆G的右焦点F，是否存在常数t，使得t为定值，若存在，求t的值及定值；若不存在，请说明理由【解析】(1)由已知得b4且1，解得a220，所以椭圆方程为1.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l为yk(x2)代入G得(45k2)x220k2x20k2800，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，0，x1x2，x1x2，y1y2k2x1x22(x1x2)4

23、tt(x1，y1)(x2，y2)(x12，y1)(x22，y2)t(x1x2y1y2)x1x22(x1x2)4y1y2tt24若t为定值，故，解得t，定值为.当直线l斜率不存在时，M，N，所以，4，当t时，t综上所述，存在常数t，使得t为定值.二、由参数的取值范围引起的分类讨论【典例2】(2021广东三模)已知函数f(x)ln xax2x，g(x)ln xex1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)函数f(x)ln xax2x的定义域为(0，)，且f(x)2ax1.当a0时，f(x)，若0x0；若x1，则f(x)0.此时，函数f(x)

24、的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)；当a0，令f(x)0，可得x(舍)或x.若0x0；若x，则f(x)0时，18a.()若18a0，即当a时，对任意的x0，f(x)0，此时，函数f(x)在(0，)上为增函数；()若18a0，即当0a.由f(x)0，可得0x；由f(x)0，可得x.此时，函数f(x)的单调递减区间为(，)，单调递增区间为(0，)，(，).综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，)；当0a0恒成立，令h(x)，其中x0，h(x)，令(x)x22x22ex，其中x0

25、，则(x)2x22ex，(x)22ex0.所以，函数(x)在(0，)上单调递减，则(x)(0)0，所以，函数(x)在(0，)上单调递减，故(x)(0)0，所以，当0x0，此时函数h(x)在(0，2)上单调递增，当x2时，h(x)0，此时函数h(x)在(2，)上单调递减所以，h(x)maxh(2)1，所以a.因此，实数a的取值范围是.【变式训练】(2021成都三模)已知函数f(x)ln x.(1)讨论函数g(x)f(x)ax(aR)的单调性；(2)证明：函数f(x)0)当a0时，g(x)0恒成立，所以，g(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令g(x)0，得到x所以当x时，g(x)0，g(x)单

26、调递增，当x时，g(x)0时，g(x)在上单调递增，在上单调递减(2)记函数(x)ex2ln xln x，则(x)exex2易知(x)在(0，)上单调递增，又由(1)0知，(x)在(0，)上有唯一的实数根x0，且1x02，则(x0)ex020，即(*)当x(0，x0)时，(x)0，(x)单调递增，所以(x)(x0)ln x0，结合(*)式，知x02ln x0，所以(x)(x0)x020则(x)ex2ln x0，即ex2ln x，所以有f(x)|PF2|，则_【解析】若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|6，|F1F2|2，解得|PF1|，|PF2|，所

27、以.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，又|PF1|PF2|，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.综上知，或2.答案：或2(2)在九章算术中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”如图，棱柱ABCA1B1C1为一“堑堵”，P是BB1的中点，AA1ACBC2，设平面过点P且与AC1平行，现有下列四个结论：当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于；当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2；异面直线AC1与CP所成角的余弦值为；三棱锥C1ACP的体积是该“堑堵”体积的.所有正确结论的序号是_【解析】对于，

28、如图，取E，F，G分别为对应边中点，易知四边形PEFG是等腰梯形，且高为，当E不是AA1中点时，PE不平行平面A1B1C1，则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，SPEFG(2).所以正确；对于，向下作截面满足题意的梯形是直角梯形，同理，直角梯形有且仅有一个，其面积S(12).所以错误；对于，将三棱柱补成正方体，J为对应边中点，易知CPJ为异面直线AC1与CP所成角或补角，CPCJ，PJ，所以cos CPJ，所以正确；对于，VC1ACPVPC1CASC1CA2，VABCA1B1C12224，所以正确答案：【变式训练】1(2021珠海二模)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，P为曲线C上一

29、点，|PF1|PF2|F1F2|542，则曲线C的离心率为_【解析】依题意：令焦距2c|F1F2|2m(m0)，则|PF1|5m，|PF2|4m，当曲线C是椭圆时，长轴长2a|PF1|PF2|9m，其离心率e，当曲线C是双曲线时，实轴长2a|PF1|PF2|m，其离心率e2，所以曲线C的离心率为或2.答案：或22设f(x)x24x4，xt，t1(tR)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式【解析】f(x)x24x4(x2)28，xt，t1，函数图象的对称轴为直线x2，所以当2t，t1时，即1t2时，所以g(t)f(2)8.当t12，即t2时，f(x)在t，t1上是增函数，所以g(t)f(t)

30、t24t4.综上：g(t)四、由运算性质引起的分类讨论【典例4】(2021珠海二模)已知等差数列an满足a11，a42a2a3.(1)求数列an的通项an；(2)若bn acos ，求数列bn的前40项和S40.【解析】(1)设等差数列an的公差为d，a4a13d，2a2a33a14d，由a11，a42a2a3，则a13d3a14d，得d2，所以an2n3；(2)因bna cos ，则有：n为奇数时，bn0，n为偶数时，n4k2，kN时，bna，n4k4，kN时，bna，所以S40(aa)(aa)(aa)(aa)(aa)2d(a2a4a6a8a40)43 120.【变式训练】已知数列an的前n

31、项和为Sn，且Sn2an2，数列bn为等差数列，b13a1，b4a52.(1)求an，bn的通项公式；(2)记cnanbn，求数列|cn|的前n项和Tn.【解析】(1)当n1时，a1S12a12，得a12；当n2时，Sn12an12，由anSnSn1，得an2an1.故an为等比数列，其公比为2，所以an2n.由a12，b13a1，得b16，b4a5230，因为bn为等差数列，所以其公差d8，所以bn8n2.(2)因为cnanbn2n8n2，所以当n5时，cn0.所以当n5时，Tnb1a1b2a2bnan4n22n22n1.当n5时，Tn(b1a1b2a2b5a5)(a5b5anbn)2n14

32、n22n94.故数列|cn|的前n项和Tn (三)数形结合一、数形结合思想在函数与方程中的应用【典例1】(2021新乡三模)已知函数f(x)|x2mx|(m0)，当a(1，4)时，关于x的方程f(x)a|x1|0恰有两个不同的实根，则m的取值范围是()A(0，2 B(1，3C(0，3 D(1，4【解析】选C.当x1时，f(x)|m1|1，所以x1不是方程f(x)a|x1|0的实根；当x1时，由f(x)a|x1|0，得a.方程f(x)a|x1|0恰有两个不同的实根等价于直线ya与函数y的图象有两个不同的交点因为m0，所以m2()212，则函数y的大致图象如图所示因为a(1，4)，所以【变式训练】

33、已知函数f(x)，若关于x的方程4f2(x)4af(x)2a30有5个不同的实根，求实数a的取值范围【解析】当x0时，f(x)3xx3，则f(x)33x23(1x)(1x)，当x(，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)t，则4t24at2a30，令g(t)4t24at2a3，由题意得方程g(t)0有两个不同的实根：有两个不同的实根t1，t2，且t1(2，1)，t2(1，0)，则有解得a.有两个不同的实根t1，t2，且t11，t2(1，0)，则有g(t1)g(1)6a70，则a，方程为6t27t10，得t11，t2(1，0)，满足条件有两个不同的实根t1

34、，t2，且t10，t2(1，0)，因为g(t1)g(0)2a30，则a，方程为t2t0，得t10，t2(1，0)，不符合题意，舍去综上所述，实数a.二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用【典例2】(2021厦门三模)已知函数f(x)，若f(x)2|xa|，则实数a的取值范围是_【解析】因为f(x)，当x0时，f(x)4x1，当x时，f(x)0，函数单调递减，当x0，函数单调递增，f，当x0时，f(x)(x1)ex1，当x0时，f(x)0，此时f(x)单调递增图象如图所示：令g(x)2|x|，将其向右平移至与f(x)(x0)相切，此刻a取最小值，即f(x)(x1)ex12，得到x1，f(

35、1)3，将(1，3)代入f(x)2|xa|，得32|1a|，所以a，a(舍去)；所以a.答案：【变式训练】1设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(2)0，则不等式0的解集为()A(2，0)(2，)B(，2)(0，2)C(，2)(2，)D(2，0)(0，2)【解析】选D.由已知条件可以画出函数f(x)的草图，如图所示由函数f(x)为奇函数可化简不等式0为0，则需有f(x)0，结合图象可知0x2；若x0，结合图象可知2xr1，所以圆C与直线l相离根据对称性可知，四边形PACB的面积为2SAPC2|PA|r|PA|，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小又|PC|最小值为圆心到直线l

36、：3x4y110的距离d2.所以四边形PACB面积的最小值为 .(2)已知A(4，0)，B是圆(x1)2(y4)21上的点，点P在双曲线1的右支上，则|PA|PB|的最小值为()A9 B2 C10 D12【解析】选C.在双曲线1中，a3，b，c4，如下图所示：易知点F(4，0)为双曲线1的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|PF|2a6，所以|PA|6|PF|，圆(x1)2(y4)21的圆心为E(1，4)，半径为r1，且|EF|5，所以|PA|PB|6|PF|PB|6|PF|PE|1|EF|510，当且仅当E，B，P，F四点共线，且B，P分别为线段EF与圆(x1)2(y4)21和双曲线1的交点时

37、，两个等号同时成立因此，|PA|PB|的最小值为10.【变式训练】已知抛物线的方程为x28y，点F是其焦点，点A(2，4)，在抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为 _【解析】因为(2)20)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为()Ax2y29 Bx2y27Cx2y25 Dx2y24【解析】选B.因为椭圆C：1(a0)的离心率为，所以，解得a3，所以椭圆C的方程为1，所以椭圆的上顶点A(0，)，右顶点B(2，0)，所以经过A，B两点的切线方程分别为y，x2，所以两条切线的交点坐标为(2，)，又过A，B的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r，所以椭

38、圆C的蒙日圆方程为x2y27.(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则等于()A B C D【解析】选A.令abc，则ABC为等边三角形，且cos Acos C，代入所求式子，得.【变式训练】设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，若|AF|BF|3|AF|BF|，则p()A2 B3 C D【解析】选D.因为AB是过抛物线y22px(p0)的焦点F的弦，取其通径，所以3，所以p.二、正与反的相互转化【典例2】 若命题“xR，|x|1m0”是假命题，则实数m的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1) D(，1【解析】选

39、D“xR，|x|1m0”是假命题，所以xR，使得|x|1m0成立是真命题，即|x|1m0对于xR有解，所以m1|x|，所以m(1|x|)max，因为|x|0，所以|x|0，1|x|1，所以(1|x|)max1，所以m1，所以实数m的取值范围是(，1.【变式训练】1命题p：xx|1x9，x2ax360，若p是真命题，则实数a的取值范围为()A37，) B13，)C12，) D(，13【解析】选C.因为命题p：xx|1x9，使x2ax360为真命题，即xx|1x9，使x2ax360成立，即ax能成立，设f(x)x，则f(x)x212，当且仅当x，即x6时，取等号，即f(x)min12，所以a12，

40、故a的取值范围是12，).2已知函数f(x)ln xax2在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为()A BC D【解析】选B.由f(x)a，当a0时函数f(x)单调递增，不合题意；当a0时，函数f(x)的极值点为x，若函数f(x)在区间(1，2)不单调，必有12，解得a0恒成立，则x的取值范围为()A(，2)(3，)B(，1)(2，)C(，1)(3，)D(1，3)【解析】选C.由题意，因为a1，1时，不等式x2(a4)x42a0恒成立，可转化为关于a的函数f(a)(x2)ax24x4，则f(a)0对应任意a1，1恒成立，则满足解得：x3，即x的取值范围为(，1)(3，).【变式训练】设

41、f(x)x2(a1)x5，若函数f(x)在区间1，4上的图象位于直线yx1上方，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C(，2) D(，2【解析】选A.由题意得，f(x)x2(a1)x5x1在区间1，4上恒成立，a2x在区间1，4上恒成立，令yx，其图象如图所示：由图象知y4，所以xy4，所以a24，解得a2.四、形、体位置关系的相互转化【典例4】如图，在棱长都为1的直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BAD60，三棱锥C1A1BD的体积为()A B C D【解析】选C.由棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱，所以AA1平面ABCD，由题意在ABD中，BAD60，ABAD1，所以SABDA

42、DABsin 60，所以VA1ABDSABDAA1，所以SABCD2SABD，则直棱柱ABCDA1B1C1D1的体积为VABCDA1B1C1D1SABCDAA1，由题意可知三棱锥C1A1BD是直棱柱ABCDA1B1C1D1切去角上的4个小三棱锥而得到的即切去4个小三棱锥为A1ABD，DBCC1，DA1D1C1，BA1B1C1由题意可得这4个小三棱锥的高均为AA1，且有SABDSBCC1SA1D1C1SA1B1C1所以VA1ABDVDBCC1VDA1D1C1VBA1B1C1所以VC1A1BD4.【变式训练】(2021江门一模)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M为棱DD1上的一点，当A1MMC取最小值时，B1M的长为()A2 B C D【解析】选D.如图所示，将侧面AA1D1D，侧面CDD1C1延展至同一平面，当A1，M，C三点共线时，A1MMC取最小值，易知四边形AA1C1C为正方形，则CA1C145，且A1D1M为等腰直角三角形，所以，D1MA1D11，在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1M，因为A1B1平面AA1D1D，A1M平面AA1D1D，所以A1B1A1M，因此，B1M .