山东师范大学附属中学2021届高三10月质量检测数学试卷 PDF版含答案.pdf

1、1山东师大附中 2018 级数学 2020 年 10 月学业质量检测题命题人：孔蕊审核人：张洁祝考试顺利一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合3|1|xxA，2|lg(2)Bx yxx，则BAC)(RA)2,1(B)4,2()1,2(C)4,2(D 2若(2i)iixy，其中,x y R，i 为虚数单位，则复数izxy的虚部为A1BiC 2D 2i3在ABC中，“AB”是“sinsinAB”的A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件4若函数1()3(0,1)xf xaaa的图象经过定点

2、P，且点 P 在角 的终边上，则 tan的值等于()A 2B 12C 2D125当强度为 x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lg xf xA（其中0A 为常数），装修电钻的声音约为100 分贝，普通室内谈话的声音约为60 分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为A 53B5310C4eD4106已知0.62a，0.20.6b，0.6log0.2c，则A abcB acbCcbaDcab7函数1ln1)(xxxf的图象大致是AB2CD8已知定义在 R 上的函数()f x，其导函数为()fx，若()()2sinf xfxx，且当0 x时，()cos0fxx，则

3、不等式()()sincos2f xf xxx的解集为A(,)2B(,)2 C(,)4 D(,)4二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分9下列命题中真命题为A小于 2 的角一定是锐角B函数|sin|cos2yxx是偶函数C若 tan2x，则532cosxD在ABC中，若BABAsinsincoscos，则ABC是锐角三角形10已知函数()sin()(0,0,|)2f xAxA的部分图象如图所示，下列说法正确的是A函数()yf x的图象关于点(,0)6对称B函数()yf x的

4、图象关于直线512x 对称C函数()yf x在2,36单调递减D该图象向右平移 6 个单位可得xy2sin2的图象11x R，x 表示不超过 x 的最大整数十八世纪，yx被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”则下列命题中正确的是A 1,0 x ，1x B x R，1xx C,x y R，xyxyD函数 ()yxxx R 的值域为0,1)12已知函数()esinxf xax，则下列说法正确的是3A当1a 时，()f x 在(0,)单调递增B当1a 时，()f x 在(0,(0)f处的切线为 x 轴C当1a 时，()f x 在(,0)存在唯一极小值点0 x，且01(

5、)0f x D对任意0a，()f x 在(,)一定存在零点三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13欧拉公式iecosisinxxx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，2ie 表示的复数在复平面中位于第象限14已知(0,)2，若4cos()65 ，则sin 15已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，若11()1xf xaa，则(2)f 16已知 aR，函数4()|f xxaax当0a 时，函数()f x 的最小值为；若()f x 在区间1,4 上的最大值是5，则实数 a 的取值范围为（第一个空 2 分，第二个空 3

6、 分）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知函数()2sin()cos3f xxx，xR（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,4 4x 时，求函数()f x 的最大值与最小值及相应 x 的值18（12 分）为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量 y（单位：毫克）随时间 x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y 与 x 成正比：药物释放完毕后，y 与 x 的函数关系式为1()16x ay（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与 x

7、之间的函数关系式（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，4那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？19（12 分）已知 a，b，c 分别为ABC内角 A，B，C 的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：36cosB；12cos22cos2AA；6a；22b（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，PAD是边长为 2 的等边三角形，底面 ABCD 是菱形，且60BAD，设平面 PAD 与平面 PBC

8、的交线为l（1）证明：lAD；（2）求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小21（12 分）复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取 12 名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于 80 的为优良（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生

9、中任选 3 人进行体质健康测试，求至少有 1 人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的 12 人中随机选取 3 人，记 X 表示成绩“优良”的人数，求 X 的分布列和数学期望22（12 分）已知函数()e()xf xxa，其中e 是自然对数的底数，aR（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设2()()g xf xax，讨论函数()g x 零点的个数，并说明理由1山东师大附中 2018 级数学 2020 年 10 月学业质量检测题参考答案及评分细则选择题：题号123456789101112答案BCCADDBCBCABDCDAC填空题：（每题 5 分，共 20 分）13.二；14.3 3410；

10、15.310；16.4；92a（第一个空 2 分，第二个空 3 分）解答题：（共 70 分）17.（10 分）（1）解：13()2sin()cos2(sincos)cos322f xxxxxx.1 分211 cos2sin cos3 cossin 2322xxxxx.3 分3sin(2)32x.4 分故函数()f x 的最小正周期T.5 分（2）解：当,4 4x 时，52636x，.6 分当 232x，即12x时，函数取得最大值max3()()1122fxf ；.8 分当 236x，即4x 时，函数取得最小值min31()()42fxf10 分18.（12 分）（1）解：依题意，当 00.1x

11、 时，可设 ykx，且10.1k，解得10k，10yx，.2 分又由0.111()16a，解得0.1a，.3 分所以0.110,00.11(),0.116xxxyx ；.5 分（2）解：令0.11()0.2516x，.7 分2则0.1164x，(0.1)lg16lg 4x，.9 分lg 40.10.5lg16x，解得0.6x，11 分即至少需要经过0.6 小时后，学生才能回到教室 12 分19.（12 分）（1）解：由6cos3B 可得，23B,2 分由2cos22cos12AA可得22coscos10AA,解可得:cos1A （舍）或1cos2A,.4 分由 A 为三角形的内角可得3A,.5

12、 分所以不能同时成立，故满足有解三角形的序号组合有或.6 分（2）解：选择，由余弦定理可得，222bacac,所以26862 63cc,即2420cc，.8 分解可得:62c,10 分1sin322ABCSacB;12 分选，由余弦定理可得，2222cosabcbcA，2682 2cc，.8 分可得：2c，10 分所以113sin2 223222ABCSbcA.12 分20.（12 分）（1）证明：因为底面 ABCD 是菱形，所以有 BCAD，1 分因为 AD 面 PBC，BC 面 PBC，所以 AD面 PBC 2 分又因为 AD 面 PAD，面 PAD 面 PBCl，4 分所以lAD.5 分

13、（2）解：取 AD 的中点 E，连结 PE，BE，BD，3四边形 ABCD 是菱形，60BAD，ABD是等边三角形，ADBE，同理，得 ADPE，.6 分平面 PAD 平面 ABCD，所以 PE 平面 ABCD，7 分所以 EA，EB，EP 两两垂直，以 E 为坐标原点建立空间直角坐标系 Exyz，如图，由题意得2PDPAAD，则(0E，0，0)，(0B，3，0)，(2C ，3，0)，(0P，0，3)，(0EB，3，0)，(0PB，3，3)，(2PC ，3，3)，设平面 PBC 的一个法向量(nx，y，)z，由3302330n PByzn PCxyz，取1y ，得(0n，1，1)，.8 分由（

14、1）得 EB是平面 PAD 的一个法向量，.9 分cosEB，22|EB nnEBn，,45EB n，.11 分平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 45.12 分21.（12 分）（1）解：抽取的 12 人中成绩是优良的频率为 23,故从该校全体高二学生中任选 1 人，成绩是“优良”的概率是 23，2 分设“在该校全体高二学生中任选 3 人，至少有 1 人成绩优良”为事件 A，则0332126()1(1)132727P AC .4 分（2）解：由题意可知，X 的可能取值为 0，1，2，3，.5 分3431241(0)22055CP XC，12843124812(1)22055C

15、 CP XC，218431211228(2)22055C CP XC，383125614(3)22055CP XC，.9 分所以 X 的分布列为.10 分X0123P15512552855145511228140123255555555EX .12 分422.（12 分）（1）解：因为()()xf xexa，所以()(1)xfxexa.1 分由()0fx，得1xa ；由()0fx，得1xa .2 分所以()f x 的增区间是(1,)a ，减区间是(,1)a .3 分（2）因为22()()()x ax ag xf xaxxexx ex由()0g x，得0 x 或0 x aex.4 分设()x a

16、h xex，又(0)0ahe，即0 x 不是()h x 的零点，故只需再讨论函数()h x 零点的个数因为()1x ah xe ，所以当(,)xa 时，()0h x，()h x 单调递减；当(,)xa 时，()0h x，()h x 单调递增.5 分所以当 xa时，()h x 取得最小值 h(a)1a.6 分当 h(a)0，即1a 时，()0h x，()h x 无零点；7 分当 h(a)0，即1a 时，()h x 有唯一零点；.8 分当 h(a)0，即1a 时，因为(0)0ahe，所以()h x 在(,)a上有且只有一个零点.9 分令2xa，则(2)2ahaea设(a)(2)2(1)ahaea a，则(a)20ae，所以(a)在(1,)上单调递增，所以，(1,)a ，都有(a)(1)20e所以(2)ha(a)20aea10 分所以()h x 在(,)a 上有且只有一个零点所以当1a 时，()h x 有两个零点.11 分综上所述，当1a 时，()g x 有一个零点；当1a 时，()g x 有两个零点；当1a 时，()g x 有三个零点（12 分）