2022年中考数学几何模型之几何图形的翻折变换（讲 练）（解析版）.docx

1、专题10 几何图形的翻折变换折叠型问题是历年中考的热点问题，题型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。同样的翻折类题目，条件不一样，用到的知识和方法也不尽相同。本专题整理这类题目，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，从而找到这类问题特有的解题方法。题型一、直角三角形中的折叠问题 例1.如图1，在RtABC中，ACB=90，B=30，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DEBC交AB边于点E，将B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为 图1 图2图3【答案】2或1【解析】当EAF=90时，

2、如图2所示.B=30，BC=3，EAF=90，AFC=60，CAF=30在RtACF中，有：，由折叠性质可得：B=DFE=30，当AFE=90时，如图3所示.由折叠性质得：B=DFE=30，AFC=60，FAC=30所以，BF=2，综上所述，BD的长为2或1.【变式训练1】如图在ABC中，C90，将ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处.（1）当B28时，求CAE的度数；（2）当AC6，AB10时，求线段DE的长.【答案】（1）CAE31；（2）DE3【解析】（1）在RtABC中，ABC90，B28，BAC902862，ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，CAECAB6231

3、；（2）在RtABC中，AC6，AB10，ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，ADAC6，CEDE，BDABAD4，设DE，则EBBCCE8，RtBDE中，解得，即DE的长为3.【变式训练2】如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为 【答案】【解析】连接AD，作EGBD于G，如图所示：则EGAC，BEGBAC，=，设BE=x，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，=，解得：EG=x，BG=x，点D是边BC的中点，CD=BD=2，

4、DG=2x，由折叠的性质得：DF=BD=CD，EDF=EDB，在ACD和AFD中，ACDAFD（SSS），ADC=ADF，ADF+EDF=1880=90，即ADE=90，AD2+DE2=AE2，AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2x）2+（x）2，13+（2x）2+（x）2=（5x）2，解得：x=，即BE=；故答案为：【变式训练3】如图，在中，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上.若为直角三角形，则的长为 图1图2 图3【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.当CM B=90时，如图2所示.由折叠知：BM

5、N=BMB=45，又因为B=45，所以BNM=90，MNB=90即BNM+MN B=180，所以B、N、B三点共线，此时B与点A重合. 所以，当CBM=90时，如图3所示.由折叠知B=B=45，因为C=45，可得BMC=45，所以BMC是等腰直角三角形设BM= BM=x，BC=x，则MC= x因为BC=+1，所以x+x=+1，解得：x=1，即BM=1.综上所述，BM的值为或1.【变式训练4】如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cosCOD 的值是（）A3/5 B1/2 C

6、3/4 D4/5【解答】作DFy轴于F，DEx轴于E，BD交OC于G在BCG与ODG中，BCGODF，OD=BC, DOFGBC，BCGODG，GOGB，设GOGBx，则CGGD2x，于是在RtCGB中，（2x）+1 x ；解得x5/4GD2x25/43/4；BCy轴，DFy轴，BCGDFG，BGCDGF，CBGFDG，DF/BC=DG/BG，DF3/5；题型二、等腰或等边三角形中的折叠问题 例1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把ABP沿BP折叠，使A落在A处，当ADC为等腰三角形时，AP的长为（ ）A2BC2或D2或【答案】C【详解】如图，当AD=

7、AC时，过A作EFAD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB，AA=AB由折叠得，AB=AB，ABP=ABP，ABA是等边三角形，ABP=30AP=；如图，当AD=DC时，AD=2，由折叠得，AB=AB=2，AB+AD=2+2=4连接BD，则RtABD中，BD= ，AB+ADBD（不合题意）故这种情况不存在；如图，当CD=CA时，CA=2由折叠得，AB=AB=2，AB+AC=2+2=4，点A落在BC上的中点处此时，ABP=ABA=45，AP=AB=2综上所述，当ADC为等腰三角形时，AP的长为或2故选C.例2.如图，等边ABC中，D是BC边上的一点，把ABC折叠，使点A

8、落在BC边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM2，AN3，那么边BC长为_【解答】解：设BDx，DCy，ABC是等边三角形，ABBCACx+y，ABCACBBAC60，由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，AMDM2，ANDN3，BM+MD+BD2x+y，DN+NC+DCx+2y，MDNBACABC60，NDC+MDBBMD+MBD120，NDCBMD，ABCACB60，BMDCDN，（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）DM：DN2：3，（2x+y）：（x+2y）2：3，y4x，ABBCAC5x，MB5x2，CN5x3，BM/CD=DM/DN=2/3，(5x-2

9、)/4x=2/3，x6/7，BC5x30/7，故答案为30/7【变式训练1】已知中， ， 如图，将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点），设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时，点可能的位置共有（ ）A种 B种 C种 D种【解析】（1）当点D与C重合时，AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），此时AFC（即AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，EF=DE，EDF为等腰三角形（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，AC=BC，AF=DF（即BF），此时EF=AB=DF（即BF），DEF是等腰三角形；（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，DEF是等腰三角形综上所述，当D

10、EF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.故选B.【变式训练2】如图所示，在矩形ABCD中，AB5，BC8，点P为BC上一动点（不与端点重合）连接AP，将ABP沿着AP折叠，点B落到M处，连接BM、CM，若BMC为等腰三角形，则BP的长度为 .【解答】或或8【解析】当BMC为等腰三角形时，分三种情况：BMCM时，如图1所示：作MGBC于G，则BGCGBC4，BGM90，设BP，由折叠的性质得：MPBP,AP垂直平分BM，ABC90，MBGBAP，BGMABP，即，解得，在RtPMG中，GP4，由勾股定理得，解得或（不合题意舍去），BE；BMBC8时，如图2所示：由折叠的性质得：BOMOBM4

11、，APBP，AOBABP90，BAOBAP，ABPAOB，即，解得：BP；CMBC时，连接OC，如图3所示：由折叠的性质得：AP垂直平分BM，CMBC，OCBM，点P与C重合，BPBC8；综上所述，当BMC为等腰三角形时BP的长为或或8.【变式训练3】如图正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把EBF沿EF折叠，点B落在B处，若CDB恰为等腰三角形，则DB的长为 .【解析】根据CDB为等腰三角形，以CD为腰或底分三种情况讨论，DB=DC；CB=CD；CB=DB. 对于DB=DC，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以D为圆心CD长为半径

12、作弧，两弧交点即为B. 对于CB=CD，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，以C为圆心CD长为半径作弧，两弧交点即为B. 对于CB=DB，作图方法以E为圆心BE长为半径作弧，弧与CD垂直平分线的交点为B. 图1 图2 图例3详解：DB=DC， 如图例7-2所示.易知：DB=DC=16.CB=CD，如图例7-3所示.由折叠性质可知：BF= BF=CD=16，此时F点与C点重合，不符题意. CB=DB，如图例7-4所示.由题意得，DN=CN=8，因为AE=3，所以EM=5. BE=BE=13. 在RtEBM中，由勾股定理得，BM=12. 所以BN=4.在RtDBN中，由勾股定理得，BD=. 综上所

13、述，BD的长为16或.题型三、菱形中的折叠问题 例.如图，在菱形ABCD中，AB=5，tanD=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C处，点D落在D处，CD与AB交于点F，当CDAB时，CE长为 【答案】【解析】如图，作AHCD于H，交BC的延长线于G，连接AC由题意：AD=AD，D=D，AFD=AHD=90，AFDAHD（AAS），FAD=HAD，EAD=EAD，EAB=EAG，=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）ABCD，AHCD，AHAB，BAG=90，B=D，tanB=tanD=，=，AG=，BG=，BE：EG=AB：AG=4：3，EG

14、=BG=，在RtADH中，tanD=，AD=5，AH=3，CH=4，CH=1，CGAD，=，CG=，EC=EGCG=故答案为【变式训练1】如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tanABC=，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CEAD，则cosEFG的值为 【解析】如图，过点A作AHBC于点H，连接BE，过点P作PEAB，AB=15，tanABC=，AH=9，BH=12，CH=3，四边形ABCD是菱形，AB=BC=15，ADBC，AHBC，AHAD，且AHBC，CEAD，四边形AHCE是矩形EC=9，AE=CH=3，BE=3，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上

15、的点E处，BF=EF，BEFG，BO=EO=ADBC，ABC=PAE，tanABC=tanPAE=，且AE=3，AP=，PE=，EF2=PE2+PF2，EF2=+（15EF+）2，EF=，FO=cosEFG=，故答案为：【变式训练2】如图在菱形ABCD中，A60，AD3，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EFAC交CD于点E，交AB于点F，将AEF沿EF折叠点A落在G处，当CGB为等腰三角形时，则AP的长为_.【解析】分析：首先证明四边形AEGF是菱形，分两种情形：CG=CB，GC=GB分别计算即可详解：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD=3，DAC=BAC=12 A=30，AC

16、=3，如图， EFAG，EPA=FPA=90，EAP+AEP=90，FAP+AFP=90，AEP=AFP，AE=AF，AEF是由AEF翻折，AE=EG，AF=FG，AE=EG=GF=FA，四边形AEGF是菱形，AP=PG当CB=CG时，AG=AC-CG=3-3，AP=12AG=332当GC=GB时，GCB=GBC=BAC，GCBBAC，GCAB=BCAC,GC=1，AG=3-1=2，AP=12AG=1故答案为1或332题型四、矩形中的折叠问题 例1.如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则的

17、值为ABCD【答案】C【详解】根据折叠，可知：DCPDEP，DC=DE=4，CP=EP在OEF和OBP中，OEFOBP（AAS），OE=OB，EF=BP设EF=x，则BP=x，DF=DEEF=4x又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BCBP=3x，AF=ABBF=1+x在RtDAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4x）2，解得：x=0.6，DF=4x=3.4，故选C【变式训练1】矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处，当CEB为直角三角形时，BE的长为( )A3BC2或3D3或【解析】D【详解】当CEB为

18、直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如图1所示连结AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，在RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得x=，BE=；当点B落在AD边上时，如图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，BE的长为或3故选D【变式训练2】如图，在一张矩形纸片ABCD中，对角线AC1

19、4，点E、F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG的延长线恰好经过点D，则点G到对角线AC的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设AC交DH于点O，过点G作GKAO于点K，如图所示：点E、F分别是CD和AB的中点，EFAB，EFBC，EG是DCH的中位线，DGHG，由折叠的性质可得：AGHABH90，AGHAGD90，ADGAHG（SAS），ADAH，DAGHAG，由折叠的性质可得：BAHHAG，BAHHAGDAG BAD30，设AHADBC，则，在RtABC中，则有，解得或（舍弃）， ，.【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，

20、AB6，AD2，E是AB边上一点，AE2，F是直线CD上一动点，将AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A，当点E，A，C三点在一条直线上时，DF的长为_【解析】62或6+2【详解】解：如图，由翻折可知，FEAFEA，CDAB，CFEAEF，CFECEF，CECF，在RtBCE中，EC ，CFCE2，ABCD6，DFCDCF62，当点F在DC的延长线上时，易知EFEF，CFCF2，DFCD+CF6+2故答案为62或6+2【变式训练4】如图，以矩形ABOD的两边OD、OB为坐标轴建立直角坐标系，若E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交OD于F点若OF1，FD2，则G点的坐标为

21、( )A(，)B(，)C(，)D(，)【答案】B【详解】连结EF，作GHx轴于H，如图，四边形ABOD为矩形，AB=OD=OF+FD=1+2=3ABE沿BE折叠后得到GBE，BA=BG=3，EA=EG，BGE=A=90点E为AD的中点，AE=DE，GE=DE在RtDEF和RtGEF中，RtDEFRtGEF（HL），FD=FG=2，BF=BG+GF=3+2=5在RtOBF中，OF=1，BF=5，OBGHOB，FGHFBO，即，GH，FH，OH=OFHF=1，G点坐标为（）故选B课后训练1、矩形ABCD中，AB3，BC4，点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处，当CEB为直

22、角三角形时，BE的长为( )A3BC2或3D3或【解析】D【详解】当CEB为直角三角形时，有两种情况：当点B落在矩形内部时，如图1所示连结AC，在RtABC中，AB=3，BC=4，AC=5，B沿AE折叠，使点B落在点B处，ABE=B=90，当CEB为直角三角形时，只能得到EBC=90，点A、B、C共线，即B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B处，EB=EB，AB=AB=3，CB=5-3=2，设BE=x，则EB=x，CE=4-x，在RtCEB中，EB2+CB2=CE2，x2+22=（4-x）2，解得x=，BE=；当点B落在AD边上时，如图2所示此时ABEB为正方形，BE=AB=3综上所述，B

23、E的长为或3故选D2.如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C的对应点为点E，若AB6，BC8，则BE的长度为（ ）A. 4B. C. D. 【解答】D【解析】矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，AB6，BC8，CDAB6，BMCM4，沿DM将三角形CDM进行翻折，MECM4，EMDCMD，BMEM，过M作MFBE于F，如图所示：由题意得BE2BF，BMFEMF，EMFDME90，BMECMD90，CMDCDM90，CDMBMF，BFMC90，BFMMCD，.3.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD

24、于点F，连接EF，若CF1，DF2，则BC的长是（ ）A. B. C. 5D. 【解答】D【解析】过点E作EMBC于M，交BF于N，如图所示：四边形ABCD是矩形，AABC90，ADBC，EMB90，四边形ABME是矩形，AEBM，由折叠的性质得：AEGE，EGNA90，EGBM，ENGBNM，ENGBNM（AAS），NGNM，CMDE，E是AD的中点，AEEDBMCM，EMCD，BN:NFBM:CM，BNNF，BGABCDCFDF3，BNBGNG，BF2BN5，.4.如图，正方形纸片ABCD沿直线BE折叠，点C恰好落在点G处，连接BG并延长，交CD于点H，延长EG交AD于点F，连接FH.若A

25、FFD6，则FH的长为 .【解答】【解析】连接BF，如图所示：四边形ABCD是正方形，AC90，ABBCAFFD12，由折叠可知，BGBC12，BGEBCE90ABGB，在RtABF和RtGBF中，BFBF, ABGBRtABFRtGBF（HL），AFBGFB,FAFG，又AFFD，FGFD，同理可证RtFGHRtFDH，GFHDFH，BFHBFGGFH18090，AFBDFH90，又AFBABF90，ABFDFH，又AD90，ABFDFH，在RtABF中，由勾股定理可得，.5.如图，矩形纸片，点在边上，将沿折叠，点落在点处，分别交于点，且，则的值为_【解析】【详解】解：四边形ABCD是矩形,

26、 , 是由沿折叠而来的, ,，又 ，（AAS）， 设,则 ，在中，根据勾股定理得： ,即，解得 ，故答案为：6.如图，将矩形纸片ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，再将CDN沿DN折叠。使点C恰好落在MN上的点F处。若MN5，则AD的长为 .【答案】【解析】由折叠可知：点B与点D重合，EDN90，四边形ABCD是矩形，ADC90，EDMMDNCDNMDN，EDMCDN，EC90，DEDC，DEMDCN（ASA），DMDN，由折叠，可得BNMDNM，DNCDNM，BNMDNMDNC，DMN是等边三角形，DMMN5，点C恰好落在MN上的点F处，DFN90，即DFMN，MFNFMN，ADAMDM，

27、.7.在矩形ABCD中，AB10，P是边AB上一点，把PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BECG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F（1）求证：BPBF；（2）当BP8时，求BEEF的值.【解答】（1）见解析；（2）80【解析】（1）在矩形ABCD中，ABC90，BPC沿PC折叠得到GPC，PGCPBC90，BPCGPC，BECG，BEGP，GPFPFB，BPFBFP，BPBF；（2）连接GF，如图所示：GEFBAE90，BFPG,BFPG，四边形BPGF是平行四边形，BPBF，平行四边形BPGF是菱形，BPGF，GFEABE，GEFEAB，8.已知一个矩形纸片OACB，将

28、该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B（0，6），点P为B边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（1） 如图，当BOP=30时，求点P的坐标；（2） （2）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3） 在（2）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）【解析】（1）根据题意，OBP=90，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30，BP=t，得OP=2tOP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）点P的坐

29、标为（2，6）；（2）OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP，OPB=OPB，QPC=QPC，OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90，BOP+OPB=90，BOP=CPQ，又OBP=C=90，OBPPCQ，=，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11t，CQ=6m=，m=t2t+6（0t11）；（3）过点P作PEOA于E，如图3，PEA=QAC=90，PCE+EPC=90，PCE+QCA=90，EPC=QCA，PCECQA，=，在PCE和OCB中，PCEOCB（AAS），PC=OC=PC，BP=AC，AC=PB=t

30、，PE=OB=6，AQ=m，EC=112t，=，m=t2t+6，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=故点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）9.如图正方形ABCD中，AD8，点F是AB中点，点E是AC上一点，DEEF，连接DF交AC于点G.（1）求DEF的面积；（2）将FEG沿EF翻折得到EFM,EF交DM于点N.求证：点M在对角线BD上；求MN的长度.【答案】（1）；（2）见解析；【解析】（1）如图，过E作EPAP,EQAD，AC是对角线，EAQEAP45，EPEQ，四边形APEQ是正方形，QEPDEF90，DEQFEP，EQDEPF90，DQEFPE，DEEF,DQFP，且APEP，设，则，解得，所以PF2，；（2）DCAB，DGCFGA，过G作GHAB，过M作MKAB，过M作MLAD，如图所示：则易证GHFFKM，即DLLM，LDM45，DM在正方形对角线DB上；过N作，则，如图所示：设，解得，为FP的中点，N是EF的中点，是等腰直角三角形，且，.