2022年二模几何压轴题（解析版）.docx

1、2022年二模几何压轴题1如图1，在四边形中，过点A作交边于点E，过点E作交边于点F，连接，过点C作交于点H，连接(1)求证：；(2)如图2，若的延长线经过的中点M，求的值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由， 可证明AB=AE，再根据证得BAH=AEF，ABC=FEC，进而得到EF=CF，再证明四边形AHCF是平行四边形得到AH=CF=EF，再利用SAS证明两三角形全等即可；（2）设CF=EF=AH=a，=k，证明ABEFEC得出AB=AE=ak，再证明ABMFGM(AAS)证得AB=GF=ak，则GE=ak+a，再证明ABHEGH得到即，解方程求出k值即可解答.（1）证明：， ，

2、AEB=BCD=ABC，AB=EA，BAH=AEF，ABC=FEC，EF=CF，AECD，CHAF，四边形AHCF是平行四边形，CF=AH，即AH=EF，在ABH和EAF中，ABHEAF（SAS）；（2）解：延长BM、EF交于点G，ABEF，AECD，ABE=FEC，AEB=FCE，ABM=FGM，ABEFEC，由（1）知CF=EF=AH，AB=AE，设CF=EF=AH=a，=k，则AB=AE=ak，点M为AF的中点，AM=MF，在ABM和FGM中，ABMFGM(AAS)，AB=GF=ak，则GE=ak+a，ABEF，ABH=EGH，BAH=GEH，ABHEGH，即，解得：k=或k=（舍去），

3、经检验，k=是所列方程的解，=k=.【点睛】本题考查平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解分式方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.2在正方形ABCD中，E为BC上一点，点M在AB上，点N在DC上，且，垂足为点F(1)如图1，当点N与点C重合时，求证：；(2)将图1中的MN向上平移，使得F为DE的中点，此时MN与AC相交于点H，依题意补全图2；用等式表示线段MH、HF，FN之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)见解析；，见解析【分析】（1）利用正方形的性质证明，再证明，从而可得结论；（2）根据语

4、句依次画图即可；如图，连接HB，HD，HE，证明， 再证明，可得结合，可得（1）证明：四边形ABCD是正方形，垂足为点F，即（2）补全图形如图所示，证明：如图，连接HB，HD，HE，F为DE的中点，且，四边形ABCD是正方形， 由（1）知，【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的应用，线段的垂直平分线的性质，正方形的性质，熟练利用正方形的性质确定全等三角形是解本题的关键3如图，在中，在ABC的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于点(1)依题意补全图形；(2)连接，求证：；(3)过点作于点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】(1)作图见解析(2)证

5、明见解析(3)BE+2EF=DE，理由见解析【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交直线于点即可；（2）根据垂直平分线的性质得出AD=AC，结合AB=AC，求出AD=AB，则可求得ABE=ADE，然后根据垂直平分线的性质和角的和差关系推出ADE=ACE，则可得出结论；（3）线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE；作AGBD于G，根据等腰三角形的性质推出BE+2GE=DE，然后利用“AAS”证明AGEAFE，得出GE=GF，则可得出结论(1)解：如图，(2)证明：如图，由题意得：AP是CD的垂直平分线，AD=AC，又AB=AC，AD=AB，ABE=ADE，AP是CD的垂直平分线，CE=DE，

6、DA=CA，CDE=DCE，CDA=DCA，CDE-CDA=DCE-DCA，即ADE=ACE，ACE=ABE；(3)线段之间的数量关系为：BE+2EF=DE，理由如下：如图：作AGBD于G，由（2）得AB=AD，GD=GB，DE-GE=BE+EG，BE+2GE=DE，由（2）得ED=EC，又EP是CD的垂直平分线，DEP=CEP（三线合一），AGED，AFEC，AG=AF，AGEAFE（AAS），GE=GF，BE+2EF=DE【点睛】本题考查了作对称图形，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，把EF转化为GE4如图，在ABC

7、中，点D为BC边中点，过点D作DEBC交AC于E，连接BE并延长使，连接FC，G为BC上一点，过G作GHBF于点H，作GMAC于点M(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)判断线段HG、GM、FC之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据垂直平分线的性质可得BE=CE，证明ABEFCE()即可得证；（3）过点G作GNAB于点N，交BF于点P，证明四边形ANGM是矩形，NBPHGP()，可得AB = AN NB = GM HG，由（2）可得，ABEFCE，AB=FC，即可得FC = GM HG（1）补全图形，如图，（2

8、）点P为BC的中点BD = CDDEBCDE是线段BC的垂直平分线BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）在ABE和FCE中ABEFCE()ABE = FCE（3）FC=GM+HG,理由如下：如图，过点G作GNAB于点N，交BF于点PGMAC, GNAB，GMA= GNA= GNB = 90，BAC = 90，GMA= BAC= GNA=90，四边形ANGM是矩形，GMAN, GM= AN，NGB = ACB，由（2）可得，BE=CE，EBC =ACB，NGB =EBC，BP =GP，GHBF，PHG = 90=GNB，在NBP和HGP中NBPHGP()，NB=HG，GM =

9、AN，AB = AN NB = GM HG，由（2）可得，ABEFCE，AB=FC，FC = GM HG【点睛】本题考查了画垂线，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键5在中，D是的中点，E为边上一动点（不与点A，C重合），连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，过点F作于点H，交射线于点G(1)如图1，当时，比较与的大小；用等式表示线段与的数量关系，并证明；(2)如图2，当时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系【答案】(1)，；证明见解析(2)图见解析，【分析】（1）在线段上取点P，使得，连接，由四边形内角和360及，得到，再证明，

10、得到（2）依据题意补全图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，按照（1）中的方法证明，再运用勾股定理及中位线性质得到，(1)解：，理由如下：证明：如图，在线段上取点P，使得，连接D是中点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，在四边形中，(2)解：补全图形，如图，理由如下：证明：如图，在AE延长线上取一点P，使得AE=EP，连接BP，线段绕点B逆时针旋转得到线段，又，在四边形中，D是中点，在与中，即，D是中点，即【点睛】本题考查了中位线性质，勾股定理以及全等三角形的证明，其中构造中位线从而证明相关三角形全等是解题的关键6在中，CD是AB边的中线，于E，连接CD，点P在射线CB上（与B，C

11、不重合）(1)如果如图1，DE与BE之间的数量关系是_如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连接BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】(1)DE=BECP=BF(2)BF-BP=2DEtan【分析】(1) 利用60的角的正切值计算即可；利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明CDPBDF即可；(2) 利用旋转的性质,直角三角形的性质,证明CDPBDF即可(1)DE与BE之

12、间的数量关系是DE=BE理由如下：如图，B=60，tan60=，DE与BE之间的数量关系是DE=BE，故答案为：DE=BE CP、BF之间的数量关系是CP=BF理由如下：，CD是AB边的中线，CD=AD=DB，B=60，CDB是等边三角形，CDB=60，根据旋转的性质，得PDF=60，DP=DF，CDB -PDB=PDF -PDB，CDP=BDF，CD=BD，DP=DF，CDPBDF，CP=BF(2)DE、BF、BP三者的数量关系是BF-BP=2DEtan理由如下：，CD是AB边的中线，CD=AD=DB，CDB=2，根据旋转的性质，得PDF=2，DP=DF，2+PDB=2+PDB，故CDB +

13、PDB=PDF +PDB，CDP=BDF，CD=BD，DP=DF，CDPBDF，CP=BF，BF=BC+BP，CD=DB，BC=2CE=2BE，DEAC，EDB=，tan=，即BE=DE tan，BC=2BE=2 DE tan，BF-BP=2DEtan【点睛】本题考查了含30角的直角三角形，特殊角的三角函数值，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直径上全等的判定和性质，灵活运用锐角三角函数是解题的关键7如图，在ABC中，ABAC，BAC120，D是BC中点，连接AD点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且MEMB，连接EB(1)比较ABM与AEM的大

14、小，并证明；(2)用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明【答案】(1)，证明见解析；(2)AB=AM+AE，证明见解析【分析】（1）连接CM，由ABAC， D是BC中点得AD垂直平分线段CD， ，从而有BM=CM=ME，于是得，即可得；（2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，ABAC， D是BC中点，BAC120得，进而证明是等边三角形，得AG=AM=MG，从而证明，即可证明AB=AM+AE，(1)解： ，理由如下：如下图1，连接CM， ABAC， D是BC中点，AD垂直平分线段CD，即 ，BM=CM，MEMB，BM

15、=CM=ME，；(2)解： AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG， ABAC， D是BC中点，BAC120， AG=AM，是等边三角形， AG=AM=MG，在和中， ，EG=AE+AG，AG=AM， AB=AM+AE【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质，利用旋转思想作出手拉手全等三角形是解题的关键8如图，在等边中，点D在BA的延长线上，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B重合），将线段PD绕点P逆时针旋转60得到线段PE，连接BE和DE(1)依据题意，补

16、全图形；(2)比较与的大小，并证明；(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明【答案】(1)补图见解析(2)，证明见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据要求补全图形即可；（2）由题意知，是等边三角形，则，由三角形外角的定义与性质可知，由，可知，进而可得；（3）如图2，在上找一点使，连接、，由（2）可知，易证，则，由，可求，则是等边三角形，根据，可得（1）解：由题意作图1，如下：（2）解：证明：由题意知，是等边三角形，（3）解：证明：如图2，在上找一点使，连接、，由（2）可知，在和中，是等边三角形，线段BE、BP与BD之间的数量关系为【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，

17、旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义与性质等知识解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与判定，找出角度、线段的数量关系9已知：如图，线段CD与AB相交于点O，以点A为中心，将射线AD绕点A逆时针旋转交线段CD于点H(1)若，求证：；(2)请你直接用等式表示出线段CD，AD，BD之间的数量关系（用含的式子表示）【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）证明，则，证明是等边三角形，则，由此可证；（2）过点作于，由等腰三角形三线合一可知，在中，利用三角函数用表示，从而表示出，结合即可得，之间的数量关系（1）证明：，即，即在与中，又，是等边三角形，又，（2）解：，理由如下：过点作于，又，

18、【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角函数的应用，解决本题的关键是利用三角函数建立线段之间的数量关系10在ABC中，AB=AC，过点C作射线CB，使ACB=ACB（点B与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且DAE+ACD=90(1)如图1，当点E与点C重合时，AD 与的位置关系是_，若，则CD的长为_；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接DE用等式表示与之间的数量关系，并证明；用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明【答案】(1)ADCB；(2)BAC=2DAE，理由见

19、解析；BE=CD+DE，理由见解析【分析】（1）先证明ADC=90，再过点A作AFBC于点F，根据角平分线的性质，证明ADCAFC(HL)，即可求解；（2）ACB=ACB=B，利用三角形内角和定理得到=90-BAC，再由DAE+ACD=90，推出ACD=90-DAE=，进一步计算即可求解；在BC上截取BG=CD，先后证明ABGACD(SAS)，GAEDAE (SAS)，即可求解（1）解：点E与点C重合，且DAE+ACD=90，ADC=90，ADCB；过点A作AFBC于点F，AB=AC，CF=BF=BC=，ACB=ACB，AFBC，ADCB，AF= AD，ADCAFC(HL)，CD=CF=，故答

20、案为：ADCB；（2）解：BAC=2DAE，理由如下：设ACB=ACB=B，ACB+B=180-BAC，即=90-BAC，DAE+ACD=90，ACD=90-DAE=，90-BAC=90-DAE，BAC=2DAE；BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在ABG和ACD中，ABGACD(SAS)，AG=AD，BAG=CAD，BAC=BAG+GAC，GAD=CAD+GAC，BAC=GAD，BAC=2DAE，GAD=2DAE，GAE=DAE，在GAE和DAE中，GAEDAE (SAS)，GE=DE，BE=BG+GC=CD+DE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作

21、出合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键11如图，在ABC中，ACB = 90，D是BC的中点，过点C作CEAD，交AD于点E，交AB于点F，作点E关于直线AC的对称点G，连接AG和GC，过点B作BMGC交GC的延长线于点M (1) 根据题意，补全图形； 比较BCF与BCM的大小，并证明(2)过点B作BNCF交CF的延长线于点N，用等式表示线段AG，EN与BM的数量关系，并证明【答案】(1)BCF=BCM，见解析；(2)【分析】（1）根据轴对称的性质及垂线的定义补图即可；利用余角的定义解答；（2）过点B作BNCF交CF的延长线于点N，连接DN得到DN=BD=CD，证明BCNBCM（HL），推

22、出CM=CN=2EN，由轴对称得AG=AE，CAG=CAE，再证AECCMB，得到，即， 求出（1）如图，ACB=90，ACG+BCM=ACE+DCM=90，点G与点E对称，ACE=ACG，BCF=BCM；（2）如图，过点B作BNCF交CF的延长线于点N，连接DN，CNBN，点D为BC的中点，DN=CD=BD，CEAD，CE=NE，BCF=BCM，BNCN，BMCM，BN=BM，BC=BC，BCNBCM（HL），CM=CN=2EN，由轴对称得AG=AE，CAG=CAE，ACG+BCM=ACG+CAE=90，CAE=BCM，AEC=BMC，AECCMB，即， 【点睛】此题考查了轴对称作图，轴对称

23、的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线性质，熟记各知识点并应用是解题的关键12如图，在中，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且，连接CP以P为中心，将线段PD逆时针旋转得线段PE(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；(2)当时，M为线段AE的中点，连接PM在图2中依题意补全图形；用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明【答案】(1)画图见解析, 的值为 (2)画图见解 析；用等式表示线段 与 之间的数量 关系 ，证明见解析.【分析】（1）根据题意画出图形，根据平行四边形的性质即可求得的值；（2）根据题意补全

24、图形，延长 至点 , 使 , 连接 、 交 于点 ，证明四边形 是平行四边形，进而可得, 即有 垂直平分 ，根据，即可求解（1）当四边形 是平行四边形时, 画出图形, 如图在 中, 四边形 是平行四边形，即 的值为 45（2）当 时, 为线段 的中点, 在图2中依题意补全图形如下:用等式表示线段 与 之间的数量关系 , 证明如下:延长 至点 , 使 , 连接 、 交 于点 , 如图， 为线段 的中点， 四边形 是平行四边形，而 ，在 和 中，, 即有 垂直平分 ，而 ，【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键13已知

25、AB = BC，ABC = 90，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E(1)如图1，当45ABD90时，求证：CE +DE =AD；连接AE，过点D作DHAE于H，过点A作AFBC交DH的延长线于点F依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；(2)在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长【答案】(1)见解析；补全图形见解析；线段DF，BE，DE的数量关系为证明见解析；(2)【分析】（1）根据ASA证明ABD BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到利用同角的余角相等推出ABD=DAF利用三

26、角形外角性质推出HED=ADF进而证明ADF BEA得到DF=AE利用勾股定理证得，由此得到（2）当直线l在ABC外部时，由（1）知ABD BCE得到DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根据函数的性质解答(1)证明： ABC=90， ABD+CBD=90 CEl， CEB=90 CBD+C=90 ABD=C ADl， ADB=90=CEB AB=BC， ABD BCE AD=BE，BD=CE ， 补全图形如图：线段DF，BE，DE的数量关系为证明如下： AFBC， BAF+ABC=180 ABC=90， BAF=90 BAD+DAF=9

27、0 ADl， ADB=90 BAD+ABD=90 ABD=DAF DFAE于H， DHE=90 HDE+HED=90 ADE=ADF+HDE=90， HED=ADF 由（1）中全等，有AD=BE， ADF BEA DF=AE 在中， (2)当直线l在ABC外部时，由（1）知ABD BCE AD=BE，BD=CE，DE=DB+BE=DB+AD，设AD=x，则BE=x，DB=DE-BE=3-x，=当x=时，AB2有最小值，即AB=故当DE取最大值3时，AB为【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键14如图，已知，是的平分线，点A

28、是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，作的平分线，射线与，分别交于点，(1)依题意补全图形；求度数；（用含的式子表示）(2)写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明【答案】(1)见解析，；(2)，证明见解析【分析】（1）在ON上取，根据垂线，角平分线的画法作图即可；求出，再证明即可；（2）证明为等腰直角三角形，再证明，得到，进一步得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可得到(1)解：作图如下：，是的平分线，点A、关于对称，即，(2)解：当时，对任意的点A总有，理由如下：A、B关于OP对称，且OP平分，OP垂直平分AB，即，为等腰直角三角形，由（1）可知：，即，在和中，AQ平分，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即【点睛】本题考查作图，角平分线，等腰直角三角形，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及性质，垂线的作法，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定及性质