广西钦州市大寺中学2021届高三数学下学期4月模拟试题4理PDF.pdf

1、1钦州市大寺中学2 0 2 1 届高三毕业班数学模拟练习理 4 一选择题1.设集合|01xMxx，|02Nxx，则 MN （）A|01xx B1|0 xxC|02xxD|02xx2.设复数 z 满足 25zi，则在复平面内 z 对应的点在（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限3.已知平面向量 a，b 满足1,2a，3,bt，且aab，则 b （）A.3B.10C.23D.54.某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是()A8 号学生B

2、200 号学生C616 号学生D815 号学生 5.设等差数列an的前 n 项和为 Sn 若 S39，S627，则 S9()A45B54C72D816.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.38 B.4C.524 D.7247.在3101(1)xx的展开式中5x 的系数是()A207B 252C 297D2078.已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A3 172B2 10C132D3 109.已知 F 是双曲线2222:10,0 xyCabab的一个焦点，点 F 到C 的一条渐近

3、线的距离为 2a，则双曲线C 的离心率为（）A.2 2B.3C.5D.2210.函数xx eyx的图象大致形状是（）ABCD11.已知函数()xxg xee，()()f xxg x,若53,(3)22afbfcf，则 a,b,c 的大小关系为（）A bacBcbaCabcDbca12.设 F 为抛物线 C：23yx的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为A 3 34B 938C 6332D 94二填空题13.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种.(用数字填写答案)14.某校在一

4、次月考中有 900 人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布 XN(90，a2)(a0，试卷满分 150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的35，则此次月考中数学考试成绩不低于 110 分的学生约有_人.15.在正项等比数列an中，a1a52a3a7a5a916，且 a5 与 a9 的等差中项为 4，则an的公比是_16.已知 2sincosfxxx，下列结论:fx 即是奇函数也是周期函数 fx 的最大值为33 fx 的图象关于直线2x对称 fx 的图象关于点,0中心对其中正确的是_（填序号）三解答题17.设ABC的内角,A B C 所对边的长分别是,

5、a b c，且3b，1c，2AB（）求 a 的值；（）求sin()4A的值318.某班主任对本班 40 名同学每天参加课外活动的时间（分钟）进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，如图所示：（）求实数a 的值以及参加课外活动时间在10,20 中的人数；（）从每天参加活动不少于 40 分钟的人中任选 3 人，用 X 表示参加课外活动不少于 50分钟的人数，求 X 的分布列和数学期望19.已知如图，在菱形 ABCD 中，60A且2AB，E 为 AD 的中点，将ABE沿 BE 折起使2AD，得到如图所示的四棱锥 ABCDE.（）求证：平面 ABE 平面 ABC；（）若 P 为 AC 的中点，求二面角

6、 PBDA的余弦值.20.已知椭圆的离心率直线 xt（t0）与曲线 E 交于不同的两点M，N，以线段 MN 为直径作圆 C，圆心为 C（）求椭圆 E 的方程；（）若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A，B，求ABC 的面积的最大值421.已知函数 2xfxexax.（）证明：当22ln 2a 时，函数 fx 在 R 上是单调函数；（）当0 x 时，1fxx 恒成立，求实数 a 的取值范围.22.以平面直角坐标系 xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin26，曲线C 的参数方程为2 cos3 sinxy（为参数）.（）求直线l

7、的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（）以曲线C 上的动点 M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线l 相切，求 r 的最大值.23.已知0a，0b，1ab.（）求11ab的最大值；（）若不等式111xmxab对任意 x R 及条件中的任意,a b 恒成立，求实数 m的取值范围.5钦州市大寺中学2 0 2 1 届高三毕业班数学模拟练习理 4参考答案 一选择题123456789101112BDBCBDACCDAD1.解：由01xx得(1)010 x xx，解得01x，即|01Mxx，|01MNxx故选：B2.解：25zi，5 252222iziiii，2zi，在复平面内 z 对应的点在第一象限.故选：

8、D.3.解：1,23,2,2ttab 由aab，所以0aab 12220t ，1t ，3,1b ，10b故选：B4.解：由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样，46 号学生被抽到，所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列na，公差10d，所以610nan()n N，若8610n，则15n，不合题意；若 200610n，则19.4n，不合题意；若616610n，则60n，符合题意；若815610n，则80.9n，不合题意选 C5.解：因为an为等差数列，所以 S3，S6S3，S9S6 为等差数列，所以 2(S6S3)S3S9S6 即 369S9

9、27，所以 S954，故选 B.6.解析：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即14，下方削去半个球，故几何体的体积为 V 122214 12221243 123 724，故选 D.7.解：101x的通项公式为110rrrTCx，故可得其5x 的系数为510C，2x 的系数为210C，故容易得在3101(1)xx的展开式中5x 的系数为521010207CC.故选：A.8.解：如图，作出直三棱柱 ABCA1B1C1 的外接球 O.由题意，直三棱柱的底面 ABC是直角三角形，所以底面ABC 外接圆的圆心是 BC 的中点 E，底面A1B 1C1外接圆的圆心是 B

10、1C1 的中点 E1.由球的截面的性质可得直三棱柱外接球的球心O 就是线段 EE1 的中点连接 OA，AE.在ABC 中，ACAB，所以 BC AB2AC2 32425，所以 EA12BC52.又 OE12AA112126，由球的截面的性质可得 OE平面 ABC，所以 OA EA2OE2 52262132.即直三棱柱外接球的半径为132.故选 C9.解：设一条渐近线方程为0bxay，,0F c，则点 F 到C 的一条渐近线的距离222bcdbaab，6则双曲线C 的离心率2215bea，故选 C.10.当0 x 时,1xxfxee，此时函数 fx 在0,上是减函数，值域为0,1；当0 x 时,

11、1xxfxee ,此时函数 fx 在,0上是增函数，值域为,1.综上，选项 D 符合题意.故选：D.11.【解】依题意，有()()gxg x，则()eexxg x为奇函数，且在 R 上单调递增，所以()f x 为偶函数当0 x 时，有()(0)g xg，任取120 xx，则120g xg x，由不等式的性质可得11220 x g xx g x，即120fxfx，所以，函数()f x 在(0)，上递增，因此，355(3)222ffff，故选：A12.【解】易知抛物线中32p，焦点3(,0)4F，直线 AB 的斜率33k，故直线 AB 的方程为33()34yx，代入抛物线方程23yx，整理得221

12、90216xx设1122(,),(,)A xyB xy，则12212xx，由物线的定义可得弦长12|12ABxxp，结合图象可得O 到直线 AB 的距离3sin 3028pd，所以OAB的面积19|24SABd故选：D.二填空题：13解：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C36种情况，没有女生参加的情况有 C34种，故共有 C36C3420416(种).14解：因为数学成绩服从正态分布 XN(90，a2)，所以其正态分布曲线关于直线 x90 对称，又因为成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的35，由对称性知成绩在 110 分以上的人数约为总人数的12135 15，所以

13、此次数学考试成绩不低于 110 分的学生约有15900180(人).15解：由题意，正项等比数列an中，a1a52a3a7a5a916，可得 a232a3a7a27(a3a7)216，即 a3a74，a5 与 a9 的等差中项为 4，即 a5a98，设公比为 q，则 q2(a3a7)4q28，则 q 2(负的舍去)，16解：由题意，函数 2sincosfxxx的定义域为 R 关于原点对称，又由 22sincossincosfxxxxxfx ，所以 fx 是奇函数；且 222sin 2cos2sincosfxxxxxfx，所以 fx 又是周期函数，所以是正确的；由 22sincossincosf

14、xxxxxfx，即 fxfx，7所以 fx 关于直线2x对称，所以是正确的；由 222sin 2cos2sincosfxxxxxfx ，所以 fx 关于点,0对称，所以是正确的；由 32sin1sinsinsinfxxxxx，令sin,1,1tx t，32(),()31g ttt g tt ，令111()0,(1,)(,1),()0333g ttxg t ，11(,),()033tg t，()g t 的单调递减区间是11(1,),(,1)33，()g t 的单调递增区间是11(,)33，()g t 的极大值为11112 3(),(1)033339gg，所以()g t 的最大值为 239，即函数

15、()f x 的最大值为 239，故错误.所以正确的是三解答题17解：（）2AB，sinsin 22sincosABBB，由正弦定理得22222acbabac3,1bc，212,2 3aa（）由余弦定理得22291121cos263bcaAbc ，由于0A，2212 2sin1cos1()33AA，故2 221242sin()sincoscossin()44432326AAA 18.解：（）因为所有小矩形面积之和等于 1，所以可得方程100.02 100.0375 100.0175 10101aa，解得0.0125a，由于参加课外活动时间在10,20 内的频率等于0.0125 100.125，因

16、此参加课外活动时间在10,20 中的人数为 400.1255（）依题意，参加课外活动时间在40,50，50,60 的人数分别为 7 人和 5 人，随机变量 X 的取值可能为 0，1，2，3因为373127044CP XC，217531221144C CP XC，812753127222C CP XC，353121322CP XC，所以 X 的分布列为：X0123P74421447221227217150123444422224EX 19【解】（）在图中，连接 BD，如图所示：因为四边形 ABCD 为菱形，60A，所以ABD是等边三角形.因为 E 为 AD 的中点，所以 BEAE，BEDE.又2

17、ADAB，所以1AEDE.在图中，2AD，所以222AEEDAD，即 AEED.因为/BCDE，所以 BCBE，BCAE.又 BEAEE，,AE BE 平面 ABE.所以 BC 平面 ABE.又 BC 平面 ABC，所以平面 ABE 平面 ABC.（）由（）知，AEDE，AEBE.因为 BEDEE，,BE DE 平面 BCDE.所以 AE 平面 BCDE.以 E 为坐标原点，EB，ED，EA 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则0,0,0E，0,0,1A，3,0,0B，3,2,0C，0,1,0D.因为 P 为 AC 的中点，所以31,1,22P.所以31,1,

18、22PB，31,0,22PD.设平面 PBD 的一个法向量为,mx y z，由00PB mPD m得3102231022xyzxz.令3z，1x 3y ，所以1,3,3m .设平面 BDA 的一个法向量为111,nxy z.因为3,0,1BA ，0,1,1AD，由00BA nAD n得1111300 xzyz，令11x，得1,3,3n，则1331cos,777m nm nmn ，9又二面角 PBDA为锐角，所以二面角 PBDA的余弦值为 17.20解：（）椭圆的离心率，解得 a2椭圆 E 的方程为（）依题意，圆心为 C（t，0），（0t2）由得圆 C 的半径为圆 C 与 y 轴相交于不同的两点

19、 A，B，且圆心 C 到 y 轴的距离 dt，即弦长 当且仅当，即时，等号成立ABC 的面积的最大值为21解：（）2xfxexa，令 2xg xexa，则 2xgxe.则当ln2x ，时，0gx，当ln2x ，时，0gx.所以函数 g x 在ln2x 取得最小值，ln222ln20ga.故 0fx，即函数 fx 在 R 上是单调递增函数.（）当0 x 时，21xexaxx，即11xeaxxx令 11xeh xxxx（0 x），则 2221111xxxexexxhxxx令 1xxex（0 x），则 10 xxe.当0 x ，时，x单调递增，00 x.则当0 1x，时，0hx，所以 h x 单调递

20、减.当1x ，时，0hx，所以 h x 单调递增.所以 min11h xhe，所以1ae，.22解：（）由sin26，得31sincos222，将siny，cosx 代入上式，得直线l 的直角坐标方程为340 xy.10由曲线C 的参数方程2 cos3 sinxy（为参数），得曲线C 的普通方程为22143xy.（）设点 M坐标为2 cos,3 sin，则点 M 到直线l：340 xy的距离为13 sin42 cos3sin422d（其中2tan3，为锐角），当 dr时，圆 M 与直线l 相切，故当sin1 时，r 取最大值，且 r 的最大值为 4132.23.解：（）2111121111116ababababab ，当且仅当11ab，即12ab时取等号，11ab的最大值为6.（）111124baabababab，当且仅当 baab，即ab时取等号，11ab的最小值为 4.又11xmxm，14m，解得 35m，即 m 的取值范围为3,5.