数学丨四川师范大学附属中学2023届高三上学期期中考试数学试卷及答案.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 4 页川大附中 2022-2023 年度上期高 2023 届半期考试数学理科命题人：卢中华审题人：胡宗祥（时间：120 分钟总分：150 分）第卷(选择题,共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合1|,0)1)(3(|2 xyyBxxxA，则BA等于（）.A),1(.B),1.C3,1(.D),1(2.在复平面内，复数(1)2zziz满足，则复数 对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.记等差数列na的前 n 项和为nS，

2、若1193111,22aaaaS则（）A.2B.4C.8D.164.设随机变量服从正态分布(3,4)，若(+2)，则的值为()A.73B.43C.3D.55.已知某样本的容量为 100，平均数为 80，方差为 95，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将 90 记录为 70，另一个错将 80 记录为 100.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为 x，方差为2s，则()95,80.2 sxA95,80.2 sxB95,80.2 sxC95,80.2 sxD6.若 tan 2，则sin 1sin 2sin cos 等于()A65B25C.25D.657.函数()=ln

3、(+2+1)2cos 的图象大致为()A.B.C.D.学科网（北京）股份有限公司第 2 页 共 4 页8下列命题中，不正确的是()A在ABC 中，若 AB，则 sin Asin BB在锐角ABC 中，不等式 sin Acos B 恒成立C在ABC 中，若 acos Abcos B，则ABC 必是等腰直角三角形D在ABC 中，若 B60，b2ac，则ABC 必是等边三角形9.在 中，点在上，且满足BCBD41，点为上任意一点，若实数，满足=+，则1+2的最小值为()A.2 2B.4 3C.4+2 3D.9+4 210.2022 年 9 月 30 日至 10 月 9 日，第 56 届国际乒联世界乒

4、乓球团体锦标赛在成都举行，组委会安排甲、乙等 6 名工作人员去 4 个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲乙 2人必须在一起，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.180C.156D.14411.设点是抛物线1：2=4上的动点，点是圆2：(5)2+(+4)2=4 上的动点，是点到直线=2 的距离，则+|的最小值是()A.5 2 2B.5 2 1C.5 2D.5 2+112.不等式1ln51xxaxex对任意),1(x恒成立，则实数 a 的取值范围为（）1.eA，（4.，（B1,.(eeC2,.(D第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20

5、分.13.(2)6的二项展开式中的常数项为_.(用数字作答)14.已知函数()是定义在上的奇函数，当 (,0时，()=2+2，若实数满足(log2)3，则的取值范围是15.已知数列的首项1=2，其前项和为，若+1=2+1，则7=16.已 知 函 数),0)(sin()(Rxxf在 区 间(712,56)上 单 调，且 满 足)43()127(ff.(1)若)()65(xfxf,则函数)(xf的最小正周期为_;（2）若函数)(xf在区间 23,136)上恰有 5 个零点，则的取值范围为_.学科网（北京）股份有限公司第 3 页 共 4 页三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

6、步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注川大附中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果下表为该校为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取 50 名学生的统计数据成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950()根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有 99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；()如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽

7、取 3 名学生求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望(将频率当作概率计算)参考附表：(0)0.1000.0500.0100.00102.7063.8416.63510.828参考公式：=()2(+)(+)(+)(+)，其中=+18.如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于,的点，且=30，为上底面圆的一条直径，是边长为 2 3的等边三角形，=4(1)证明：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值19.在+12=13(2 5+1)，且 0；，2+1，3+2成等差数列，且2=49；2+=0(为常数)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：已知数列的前项和为，1=13，_，其中 (

8、1)求的通项公式；(2)记=log13+1，数列 的前项和为，求证：23 6.635，.5有 99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“.6()在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取 1 名学生，成绩优秀的概率为1525=35，成绩不够优秀的概率为 1 35=25，.而随机变量的可能取值为 0，1，2，3，(=0)=30 (25)0 (35)3=27125，(=1)=31 (25)1 (35)2=54125，(=2)=32 (25)2 (35)1=36125，(=3)=33 (25)3 (35)0=8125 的分布列为01232712554125361258125(3,25)，(

9、)=3 25=6518.(1)证明：为圆台下底面圆的直径，是圆上异于,的点，故=90，又 =30，=2 3，=4=，=，=，=90，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，又 ，=，,平面，平面；(2)解：取的中点，连接,，则 ，由(1)可知，=，,平面，平面，又 ，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)，(3,2,0)，平面，/，四边形为矩形，(0,2,3)，平面的一个法向量为1=(0,1,0)设平面的一个法向量为2=(,)，=(2 3,2,0)，=(3,2,3)由 2 =02 =0得2 3+2=03+2+3=0令=3，则=3，=

10、1平面的一个法向量为2=(3,3,1)则平面与平面的夹角的余弦值为|1 2|1|2|=33+9+11=3 1313，平面和平面夹角的余弦值为3 1313 19.(1)解：若选条件：由+12=13(2 5+1)可得：(3+1 )(+1+2)=0，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 0，3+1 =0，即+1=13，又1=13，数列是以13为首项、13为公比的等比数列，=13；若选条件：，2+1，3+2成等差数列，4+1=+3+2，即+1 =3(+2 +1)，即+1=3+2，即+2=13+1，+1=13，2，又 1=13，2=49=1+2，2=19=13 1，+1=13，数列是以1

11、3为首项、13为公比的等比数列，=13；若选条件：2+=0(为常数)，当 2 时，有 21+1 =0，两式相减整理得：=13 1，2，又1=13，数列是以13为首项、13为公比的等比数列，=13；(2)证明：由(1)可得：=log13+1=log1313+1=+1，=+13，=23+332+13，又13 =232+333+3+13+1，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司两式相减得：23 =23+132+133+13 +13+1=23+132(1131)113+13+1，整理得：=54 2+543，0，+1 ，故在 上单调递增，1=54 712=23，23 B，则 sin As

12、in BB在锐角ABC 中，不等式 sin Acos B 恒成立C在ABC 中，若 acos Abcos B，则ABC 必是等腰直角三角形D在ABC 中，若 B60，b2ac，则ABC 必是等边三角形9.在ABC 中，点 D 在 BC 上，且满足BCBD41，点 E 为 AD 上任意一点，若实数，满足，则的最小值为()A.B.C.D.10.已知某几何体的三视图如图所示，其中小方格是边长为 1 的正方形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.36B.48C.52D.6811.设点 是抛物线：上的动点，点是圆：上的动点，是点 到直线的距离，则的最小值是()A.B.C.D.12.函数 yf x，xR，

13、12021f，对任意的 xR，都有 230fxx成立，则不等式 32020f xx的解集为（）A.,1B.,1 C.1,1D.1,第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量，若，则实数14.已知函数是定义在 上的奇函数，当时，若实数满足，则的取值范围是15.已知数列的首项，其前 项和为，若，则第 3 页 共 4 页16.已 知 函 数),0)(sin()(Rxxf在 区 间(712,56)上 单 调，且 满 足)43()127(ff.(1)若)()65(xfxf,则函数)(xf的最小正周期为_;（2）若函数)(xf在区间 23,1

14、36)上恰有 5 个零点，则的取值范围为_.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分17.某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取 100 名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示（1）若所得分数大于等于 80 分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意任取 2 人，求至少有 1 名男生的概率18.如图，在三棱柱

15、111ABCA B C中，M 是 AC 的中点，且1A M 平面 ABC，ABAC，2ABAC，13AA（1）证明：1ABCC；（2）求三棱锥11CABA的体积19.在，且；，成等差数列，且；为常数 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答问题：已知数列的前 项和为，_，其中求的通项公式；记，数列的前 项和为，求第 4 页 共 4 页20.已知椭圆2222:10 xyCabab经过点13,2，其右顶点为(2,0)A.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点QP、在椭圆C 上且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 120.证明直线 PQ 经过定点，并求APQ 面积的最大值21.已知函数 l

16、nfxxkx（k R），2xg xx e.（1）求函数 fx 的极值点；（2）若 1g xf x 恒成立，求 k 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为 x 轴，建立极坐标系，曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上直径为 2 的圆，曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为1 sin0,2 .(1)求曲线1C 的极坐标方程，并求曲线1C 和曲线2C 交点（异于极点）的极径；(2)曲线3C 的参数方程为cos 3sin 3xtyt（t 为参数

17、）.若曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的 M，N 两点，求线段 MN 的长度.23.设函数 45fxxx的最小值为 m.（1）求 m；（2）设123,x x xR，且123xxxm，求证：22231212311114xxxxxx.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司川大附中 2022-2023 年度上期高 2023 届半期考试数学文科参考答案1-5 BDCCA6-10CACDD11-12 BA13.014.(0,215.9616.)1(2)3,38(17.解：(1)由题意可得，男生优秀人数为 100 (0.01+0.02)10=30 人，女生优秀人数为 100 (0.01

18、5+0.03)10=45 人(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530+45=115，所以样本中包含男生人数为 30 115=2 人，女生人数为 45 115=3 人，设两名男生为1，2，三名女生为1，2，3，则从 5 人中任意选取 2 人构成的所有基本事件为：1,2，1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3，1,2，1,3，2,3共 10 个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件：“选取的 2 人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：1,2，1,1，1,2，1,3，2,1，2,2，2,3共 7 个，所以()=710，即选取的 2 人中至少有一名男生

19、的概率为 710学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司19.(1)解：若选条件：由+12=13(2 5+1)可得：(3+1 )(+1+2)=0，0，3+1 =0，即+1=13，又1=13，数列是以13为首项、13为公比的等比数列，=13；若选条件：，2+1，3+2成等差数列，4+1=+3+2，即+1 =3(+2 +1)，即+1=3+2，即+2=13+1，+1=13，2，又 1=13，2=49=1+2，2=19=13 1，+1=13，数列是以13为首项、13为公比的等比数列，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 =13；若选条件：2+=0(为常数)，当 2 时，有

20、21+1 =0，两式相减整理得：=13 1，2，又1=13，数列是以13为首项、13为公比的等比数列，=13；(2)证明：由(1)可得：=log13+1=log1313+1=+1，=+13，=23+332+13，又13 =232+333+3+13+1，两式相减得：23 =23+132+133+13 +13+1=23+132(1131)113+13+1，整理得：=54 2+54320.解：依题可得，2222221341aababc，解得213abc ，所以椭圆 C 的方程为2214xy【小问 2 详解】解：易知直线 AP 与 AQ 的斜率同号，所以直线 PQ 不垂直于 x 轴，故可设:PQykx

21、m，0k，1122,P x yQ xy，由2214xyykxm可得，222148440kxmkxm，所以，2121222844,1414mkmxxx xkk，2216 410km ，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司而120APAQkk，即121212220yyxx，化简可得，12122022kxmkxmxx，因为2222121484414kxmkxmkxxxx，所以，令2x 可得，22122161642214kmkmxxk，令mxk 可得，222222121222420802020201414mmmmkkkxmkxmkxxkkkkk，把代入得，2222161642080km

22、kmmk，化简得2260kmkm，所以，2mk 或3mk，所以直线:PQ2yk x或3yk x，因为直线 PQ 不经过点 A，所以直线 PQ 经过定点3,0设定点 3,0B，所以，12121522APQABPABQSSSAByyk xx22222216 41101 5521414kmkkkkk，因为21 50k，所以2105k，设29411,5tk，所以2225514951745922993APQttStt，当且仅当97t 即2114k 时取等号，即APQ 面积的最大值为 5321.【详解】解：（1）函数的定义域为(0,)，由 lnfxxkx，得11()kxfxkxx，学科网（北京）股份有限公

23、司学科网（北京）股份有限公司当0k 时，()0fx，所以 fx 在(0,)上单调递增，函数无极值点，当0k 时，由()0fx，得1xk=，当10 xk时，()0fx，当1xk时，()0fx，所以 fx 在10,k上单调递增，在 1,k上单调递减，所以 fx 有极大值点 1k，无极小值点，综上，当0k 时，fx 无极值点，当0k 时，fx 有极大值点 1k，无极小值点，（2）因为 1g xf x 恒成立，即(2)(ln)1xx exkx恒成立，所以1 ln2xxkex对0 x 恒成立，令1ln()2xxm xex，则2221(1 ln)ln()xxxxxx exm xexx，令2()lnxn x

24、xx e，则22ll()(2)(2)0(0)xxxn xxex eexxxxx ，所以()n x 在(0,)上单调递减，因为1 2110,(1)0enenee ，所以由零点存在性定理可知，存在唯一的零点01,1xe，使得 00n x，即0200lnxxx e，两边取对数可得000ln(ln)2lnxxx，即0000ln(ln)(ln)lnxxxx，因为函数lnyxx在(0,)上单调递增，所以00lnxx，所以当00 xx时，()0n x，当0 xx时，()0n x，所以()m x 在00,x上单调递增，在0,x 上单调递减，所以00000001ln11()()221xxxm xm xexxx，

25、所以0()1km x，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司所以 k 的取值范围为1,)22.曲线1C 的直角坐标方程为2211xy，即2220 xyx，将222xy，cosx代入并化简得1C 的极坐标方程为2cos，0,2 .由2cos1 sin 消去，并整理得2580，10 或285.所求异于极点的交点的极径为85.（2）由cos 3sin 3xtyt 消去参数t 得曲线3C 的普通方程为3yx，曲线3C 的极坐标方程为03和403由31 sin 和431 sin 得曲线3C 与曲线2C 两交点的极坐标为31,23M，3 41,23N，3311222MNOMON(O 为极点).23.【详解】（1）29,41,4529,5xxf xxxx，4x 时，1fx ，且5x 时，1fx ，min1fx，1m ；（2）由（1）知1231xxx，1231114xxx ，2222223312121231231234111111111xxxxxxxxxxxxxxx 21231xxx，22231212311114xxxxxx，当且仅当12313xxx取等号.