数学文化专项习题集110题（解析版）.pdf

1、页 12021 年数学文化专项习题集 110 题 一、数学文化与阅读.2 二、数学文化与函数.8 三、数学文化与数列.11 四、数学文化与新定义.20 五、数学文化与三角函数.25 六、数学文化与立体几何.30 七、数学文化与概率统计.42 八、数学文化与排列组合.50 九、数学文化与解析几何.51 页 2一、数学文化与阅读例1.在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261 年)一书中,用如图 1 所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623 年以后,法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形

2、”(Chinese triangle).17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式:C+C+1=C+1+1,其中 n 是行数,rN.请类比上式,在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 .图 1 图 2【解析】类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数1C+11,而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数,故类比式子C+C+1=C+1+1,有1C+21C+1+1C+21C+1+1=1C+11C.例2.在数学中，泰勒级数用无限项连加式级数来表示一个函数，包括正弦，余弦，正切三角函数等等，其中泰勒级数是以于 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布

3、鲁克泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的.1715 年，泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数，这就是后来被人们所熟知的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：01230!0!1!2!3!nnxnxxxxxxenn=+，其中 xR，*nN，!1 234nn=，例如：0!1=，1!1=，2!2=，3!6=.试用上述公式估计12e 的近似值为（精确到 0.001）（）A1.601B1.642C1.648D1.647【解析】由题意，只需要精确到 0.001 即可，令0.5,4xn=，代入可得，页 3()012340.500.50.50.50.50.50.51.648

4、4341.6484!0!1!2!3!4!nne=+=，所以12e 的近似值为1.648，例3.“克拉茨猜想”又称“31n+猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半；如果 n 是奇数，就将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到 1.已知正整数 n 经过 7次运算后首次得到 1，则 n 的所有不同取值的集合为_.【解析】由题,由正整数 n 经过 7 次运算后首次得到 1,即可设第 7 次的运算结果为71a=,若第 6 次为奇数,则6311a+=,解得60a=,不符合；若第 6 次为偶数

5、,则6112 a=,解得62a=；若第 5 次为奇数,则5312a+=,解得513a=,不符合；若第 5 次为偶数,则5122 a=,解得54a=；若第 4 次为奇数,则4314a+=,解得41a=,不符合；若第 4 次为偶数,则4142 a=,解得48a=；若第 3 次为奇数,则3318a+=,解得373a=,不符合；若第 3 次为偶数,则3182 a=,解得316a=；若第 2 次为奇数,则23116a+=,解得25a=；若第 2 次为偶数,则21162 a=,解得232a=；若第 1 次为奇数,则1315a+=,解得143a=,不符合；13132a+=,解得1313a=,不符合；若第 1

6、 次为偶数,则1152 a=,解得110a=；11322 a=,解得164a=；若 n 为奇数,则页 4 3110n+=,解得3n=；3164n+=,解得21n=；若 n 为偶数,则 1102 n=,解得20n=；1642 n=,解得128n=.综上,n 的所有不同取值的集合为3,20,21,128,故答案为:3,20,21,128例4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然是 1.这个题目在东方被称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各

7、种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明.例如取13n=，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数是（）A9B10C11D12【解析】由题意：任取一个正整数 n，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1.第一步：13n=为奇数，则133140n=+=；第二步：40n=为偶数，则40202n=；第三步：20n=为偶数，则20102n=；第四步：10n=为偶数，则1052n=；第五步：5n=为奇数，则53116n=+=；第六步：16n=为偶数，则1682n=；第七步：8n=为偶数，则842n=；第八步：4

8、n=为偶数，则422n=；第九步：2n=为偶数，则212n=.所以共需要经过的运算步数是 9.页 5例5.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，则 56846 可用算筹表示为（）ABCD【解析】根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846用算筹表示应为：纵 5 横 6 纵 8 横 4 纵 6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为 B 中的故选

9、：B 例6.用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图 1 所示.金元时期的数学家李冶在测圆海镜中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设 x 为某某”.如图 2 所示的天元式表示方程10110nnnna xa xaxa+=，其中0a，1a，1na ，na 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.页 6试根据上述数学史料，判断图 3 天元式表示的方程是（）A22861743

10、0 xx+=B4227841630 xxx+=C2174328610 xx+=D43163842710 xxx+=【解析】由题意可得，题图 3 中从上至下三个数字分别为 1，286，1743，由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610 xx+=.故选：C.例7.分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在 20 世纪 70 年代创立的一门数学新分支，其中的“谢尔宾斯基”图形的作法是:先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”.按上述方法无限连续地作下去直到无穷，最终

11、所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形(如图所示)，按上述操作 7 次后，“谢尔宾斯基”图形中的小正三角形的个数为（）A53B63C73D83【解析】如图，根据题意第 1 次操作后，图形中有 3 个小正三角.页 7第 2 次操作后，图形中有 33=23 个小正三角.第 3 次操作后，图形中有 93=33 个小正三角.所以第 7 次操作后，图形中有73 个小正三角.故选：C例8.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者

12、按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅癸酉，甲戌、乙亥、丙子癸未，甲申、乙酉、丙戌癸巳，共得到 60 个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么 2026 年是“干支纪年法”中的A甲辰年B乙巳年C丙午年D丁未年【解析】根据规则，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故选：C.例9.周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计

13、数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八封所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113页 8依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A33B34C36D35【解析】选 B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为 02012102202302412534.故选 B.例10.中国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位古人在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记

14、录捕鱼条数，由图可知，这位古人共捕鱼（）A89 条B113 条C324 条D445 条【解析】该图的五进制数为 324，根据进位制的定义将五进制转换成十进制计算可得：324(5)450+251+35289，故选 A二、数学文化与函数例11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美定义：图象能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆 O 的一个“太极函数”，给出下列命题：对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个；函数 f(x)ln(x2 x21)可以是某个圆的“太极函数”；正弦函数 y

15、sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；函数 yf(x)是“太极函数”的充要条件为函数 yf(x)的图象是中心对称图形其中正确的命题为()ABCD【解析】选 A 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆 O，其“太极函数”有无数个，故正确；函数 f(x)ln(x2 x21)的图象如图所示，页 9故其不可能为圆的“太极函数”，故错误；将圆的圆心放在正弦函数 ysin x 图象的对称中心上，则正弦函数 ysin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数 ysin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故正确；函数 yf(x)的图象是中心对称图形，则 yf(x)是“太极函

16、数”，但函数 yf(x)是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故错误故选 A.例12.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了 1850 年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(.M R Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5 lglgmmEE=.其中星等为im 的星的亮度为()1,2iE i=.已知“心宿二”的星等是 1.0

17、0.“天津四”的星等是 1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，则与 r 最接近的是(当 x 较小时，21012.32.7xxx+)A1.24B1.25C1.26D1.27【解析】根据题意可得：()211 1.252.5 lgElgE=，可得12110Elg E=，解得1110210ErE=，根据参考公式可得1112.32.71.25710100r +=，故与 r 最接近的是1.26.故选：C.例13.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当我们的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长

18、边为 w，厚度为 x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为 12 w，厚度变为 4x.在理想情况下，对折次数 n 有下列关系：22 log3wnx（注：lg20.3），根据以上信息，一张长为 21cm，厚度为 0.05mm 的纸最多能对折_次.页 10【解析】2222222221221log 4200log 4log 1000log23log 10log3320320n=+=+，因为221121log 100log1lg20.320=，所以22218log320nn+的最大值为 8故答案为：8例14.如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷它主要由九个

19、圆环及框架组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定，圆环在框架上可以解下或者套上九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上将第 n 个圆环解下最少需要移动的次数记为()f n（9n 且*nN），已知()11f=，()21f=，且通过该规则可得()()()1221f nf nf n=+，则解下第 5 个圆环最少需要移动的次数为（）A7 B16C19D21【解析】由已知()()()322111214fff=+=+=，()()()432214217fff=+=+=，()()()5423178116fff=+=+=，故选：B 例15.

20、秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.秦九韶算法是一种将一元 n 次多项式的求值问题转化为 n 个一次式的算法.其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.用秦九韶算法计算当0.6x=时函数()432234f xxxx=+的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为（）A3，5.6426B4，5.6426C3，5.6416D4，5.6416【解析】根据秦九韶算法的原理，可得()432234f xxxx=+32(23)4xxx x=+21(23)4xxx x=+(2)3)4xxx x=+，所以进行了三次加法运算，由于页

21、 1112342.6,4.56,2.736,5.6416vvvv=，所以函数的值为 5.6416，故选 C三、数学文化与数列例16.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第 1 天长高 3 尺，莞草第 1 天长高 1 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的 2 倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771，lg20.3010)【解析】由题意得，蒲草的长度组成首项为 a13，公比

22、为12的等比数列an，设其前 n 项和为 An；莞草的长度组成首项为 b11，公比为 2 的等比数列bn，设其前 n 项和为 Bn.则 An31 12n112，Bn2n121，令31 12n1122n121，化简得 2n 62n7(nN*)，解得 2n6，所以 nlg6lg21lg3lg23，即第 3 天时蒲草和莞草长度相等例17.腾讯公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度，设等级为 n 级需要的天数为(*)na nN，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152页 12660482496则等级为 50 级需要的天数50a=

23、_【解析】由表格知(523)57(23)(4)2nnnann n+=+=+，5050542700a=例18.我国古代数学名著孙子算经载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二.问物几何?”这里的几何指多少的意思.翻译成数学语言就是：求正整数 N，使 N 除以 3 余 2，除以 5 余 2.根据这一数学思想，今有由小到大排列的所有正整数数列 na、nb，na满足被 3 除余 2，12a=，nb满足被 5 除余 2，12b=，把数列 na与 nb相同的项从小到大组成一个新数列，记为 nc，则下列说法正确的是（）A211cab=+B62 3ca b=C1046ca=

24、D1242abc+=【解析】由条件可知()23131nann=+=，()25153nbnn=+=，()21511513ncnn=+=，对于 A，21117,4cab=+=，所以 A 错误；对于 B，62 377,60ca b=，所以 B 错误；对于C，1046137,137ca=，所以 C 正确；对于 D，124216,47abc+=，所以 D 错误；故选：C.例19.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天

25、的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A96 里B72 里C48 里D24 里【解析】由题意可知此人每天走的路程构成公比为 12的等比数列，设此人第一天走的路程页 13为1a，则61112378112a=，解得1192a=，从而可得3241119296,1922422aa=，故24962472aa=.故选：B例20.周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A一尺五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸

26、【解析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为 na，nS 是其前 n 项和，则()19959985.52aaSa+=尺，所以59.5a=尺，由题知1474331.5aaaa+=，所以410.5a=，所以公差541daa=，所以12572.5aad=+=尺.故选:B.例21.古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如 1，3，6，10，15，.我国宋元时期数学家朱世杰在（四元玉鉴中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（如图所示，顶上一层 1 个球，下一层 3 个球，再下一层 6 个球，）.若一“落一形”三角

27、锥垛有 10层，则该堆垛总共球的个数为（）A55B220C285D385页 14【解析】“三角形数”的通项公式()12nn na+=，前 n 项和公式为：()11362nn nS+=+222121222nn+=+()()()1 211124n nnn n+=+，当10n=时，()()()101010120110101220124S+=+=.故选：B.例22.造纸术是我国古代四大发明之一.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以 A0、A1、A10；B0、B1、B10 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用 A 系列和 B 系列，其中 A 系

28、列的幅面规格为：A0 规格的纸张的幅宽（以 x 表示）和长度（以 y 表示）的比例关系为:1:2x y=；将 A0 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 A2规格，如此对开至 A8 规格.现有 A0、A1、A2、A8 纸各一张.若 A4纸的面积为2624cm，则这 9 张纸的面积之和等于_2cm.【解析】由题可设，0A 纸的面积为 S，根据题意，纸张面积是首项为 S，公比为 12的等比数列，则容易知4A 纸张的面积为416242S=，故可得9984S=，故纸张面积是一个首项为 9984，公比为 12的等比数列，故 9 张纸的面积之和为911219

29、929112S=.故答案为：19929.例23.周髀算经中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为_【解析】从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列na，冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，14711213937.5114.5aaaadaad+=+=+=，解得1d=，页 15115.5a=冬至

30、的日影子长为 15.5 尺故答案为：15.5 尺例24.孙子算经是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为,m n，现有一个等差数列 na，其前 n 项和为nS，且2am=，6Sn=，则4a=（）A84B159C234D243【解析】由题意得39,9mn=，3269,9aS=，则13196159adad+=+=，即166,75ad=所以4663 75159a=+=，故选：B例25.在进行123100+的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后

31、对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列24034nnam=+，则122016.maaa+=（）A5042m+B5044m+C504m+D 2504m+【解析】依题意，记122016.mSaaa+=+，则1220152016.24034240342403424034mmSmmmm+=+，又2016201521.24034240342403424034mmSmmmm+=+，两式相加可得201720172017201720162.240342403424034240342mmmmmSmmmm+=+=+，则201650444mmS+=+，例26.九章算术是我国古代的数学名

32、著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、页 16乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为_.【解析】【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,2ad ad a ad ad+,则22adadaadad+=+,解得6ad=,又225,adadaadad+=1a=,则4422633aadaa=.例27.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原

33、文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1 到 2020 这 2020 个自然数中被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A56383B57171C59189D61242【解析】被 5 除余 3 且被 7 除余 2 的正整数构成首项为 23，公差为5735=的等差数列，记数列 na则()233513512nann=+=，令35122020nan=，解得258 35n.，故该数列各项之和为5857582335591892+=.故选：C.例28.张邱建算经是我国古代内容

34、极其丰富的数学名著书中有如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里问日行几何？”其意思是：“现有一匹马，行走的速度逐渐变慢，每天走的里程是前一天的一半，连续行走 7 天，共走 700 里路，问每天走的里数为多少？”则该马第 4 天走的里数为()A128127B700127C5 600127D44 800127【解析】依题意，马每天走的里程形成一个等比数列，设其首项为 a1，公比为 q，则 q12.又 S7a1(1q7)1q700，解得 a144 800127，从而 a444 800127 1235 600127.故选 C例29.在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣，“放牧人粗心

35、大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样马吃了页 17牛的一半，羊吃了马的一半”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1 斗=10 升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）A 25 50 100,777B 25 25 50,1477C100 200 400,777D 50 100 200,777【解析】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则1

36、23,a a a 成等比数列,且公比1232,50qaaa=+=,则1(1aq+)250q+=,故1250501227a=+,2110027aa=,23120027aa=.故选:D.例30.张丘建算经是公元 5 世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈.问半月积几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按 30 天计)共织布 9 匹 3 丈.问：前半个月(按 15 天计)共织多少布？”已知 1 匹4 丈，1 丈10 尺，可估算出前半个月一共织的布约有（）A195 尺B133 尺C130 尺D

37、135 尺【解析】9 匹 3 丈为 390 尺，每天的织布数成等差数列，首项15a=，记公差为 d3030295303902Sd=+=，1629d=，1515 1416157 16157 1615 5757575561312292930S =+=+=+=，15157 167513528S+=故选：B例31.张丘建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 5 尺布，现一月（按 30天计）共织 390 尺布”，则第 30 天织布（）A7 尺B14 尺C21 尺D28 尺【解析】依题意可知，织布数量是首项为15a=

38、，公差5d=的等差数列，且页 1813030303902aaS+=，即()30155390a+=，解得3021a=（尺）.故选：C例32.朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下一段话：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人”其大意为“官府陆续派遣 1864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人”该段话中的 1 864 人全部派遣到位需要的天数为()A9B16C18D20【解析】选 B 根据题意设每天派出的人数组成数列an，分析可得数列an是首项 a164，公差 d7 的等差数列设

39、1 864 人全部派遣到位需要 n 天，则 64nn(n1)271 864，即7n2121n3 7280，解得 n16 或 n2337(舍去)故选 B.例33.我国古代的天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(u)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A五寸B二尺五寸C三尺五寸D四尺五寸【解析】选 B 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列an，公差为 d，a115，

40、a13135，则 1512d135，解得 d10.所以 a2151025，所以小暑的晷长是 25 寸故选 B.例34.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为 1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列 na为“斐波那契”数列，nS 为数列 na的前项和，若2020a=M 则2018=S_(用 M 表示)页 19【解析】由“斐波那契”数列可知211121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa+=+=+=+1211nnnaaaa=+.所以1121nnnnSaaaa+=+=，所以201820

41、2011SaM=例35.“斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的数列中的一系列数字常被人们称为神奇数具体数列为：1,1,2,3,5,8,13，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和已知数列an为“斐波那契”数列，Sn 为数列an的前 n 项和，若 a2 021m，则 S2 019()A2mB2m12Cm1Dm1【解析】；因为 an2anan1anan1ananan1an2an1anan1an2an3an2anan1an2an3a2a1a2Sn1，所以 S2 019a2 0211m1.故选 D.例36.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于

42、解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前 10 项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则此数列的第 20 项为()A220 B200C180D162【解析】选 B 由 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，可得偶数项的通项公式为 a2n2n2(nN*)则此数列的第 20 项为 2102200.故选 B.例37.九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃

43、了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A.507 斗粟B107 斗粟C.157 斗粟D207 斗粟【解析】选 C 法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为 a1，a1，a3，则这 3 个数依次成等比数列，公比 q2，所以 a12a14a15，解得 a157，故 a3207，a3a1207 57页 20157.故选 C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是 124，故牛主人应赔偿 547207(斗)，羊主人应赔偿51757(斗)，故牛主

44、人比羊主人多赔偿了207 57157(斗)故选 C.例38.九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,问几天两只老鼠能相遇,相遇时各自打了多少尺的墙.如果墙足够厚,Sn 为前 n 天两只老鼠打洞长度之和,则 Sn=尺.【解析】由题意可知大老鼠每天打洞的距离是以 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,前 n 天打洞之和为1-21-2=2n-1,同理,小老鼠每天打洞的距离1-(12)1

45、-12=2-12-1,所以 Sn=2n-1+2-12-1=2n-12-1+1.例39.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续,若共得到 4 095 个正方形,设初始正方形的边长为22,则最小正方形的边长为 .【解析】依题意,正方形的边长构成以22 为首项,公比为22 的等比数列,因为共有 4 095 个正方形,则 1+2+22+2n-1=4 095,n=12.所以最小正方形的边长为22 (22)12-1=(22)12=164.四、数学文化与新定义例40.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=1,为有理

46、数,0,为无理数称为狄利克雷函数,则关于函数 f(x)有以下四个命题:f(f(x)=1;页 21函数 f(x)是偶函数;任意一个非零有理数 T,f(x+T)=f(x)对任意 xR 恒成立;存在三个点 A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),C(x3,f(x3),使得ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】由 f(x)是有理数f(f(x)=1,故命题正确;易得 f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,故正确;易得 f(x+T)=f(x)成立,故正确;取 A 1-33,0,B(1,1),C(1+33,0),可得ABC 为等边三角形,故正确,综上真命题的个数有

47、4 个.例41.规定记号“”表示一种运算，即 abab ab，a，bR.若 1k3，则函数 f(x)kx 的值域是_【解析】由 1k3，得k 1k3，解得 k1，所以 f(x)x1x(x0)，f(x)在0，)内是增函数，故 f(x)1，即 f(x)的值域为1，)例42.定义一种运算“”，对于任意 nN*均满足以下运算性质：(1)220171；(2)(2n2)2017(2n)20173.则 20182017_.【解析】设 an(2n)2017，则由运算性质(1)知 a11，由运算性质(2)知 an1an3，即 an1an3.于是，数列an是等差数列，且首项为 1，公差为 3.故 20182017

48、(21009)2017a10091100833025.例43.定义：若数列an对任意的正整数 n，都有|an1|an|d(d 为常数)，则称an为“绝对和数列”，d 叫作“绝对公和”在“绝对和数列”an中，a12，“绝对公和”为 3，则其前 2 019项的和 S2019 的最小值为()A3022 B3022C3025 D3035【解析】依题意，要使其前 2 019 项的和 S2 019 的值最小，只需每一项都取最小值即可因为|an1|an|3，所以有a3a2a5a4a2 019a2 0183，即 a3a2a5a4a2 019a2 0183，所以 S2 019 的最小值为 22 01912(3)

49、3 025.故选 C例44.设集合 A1,0,1，集合 B0,1,2,3，定义 A*B(x，y)|xAB，yAB，则A*B 中元素的个数是()A7 B10 C25 D52【解析】因为 A1,0,1，B0,1,2,3，所以 AB0,1，AB1,0,1,2,3由 x页 22AB，可知 x 可取 0,1；由 yAB，可知 y 可取1,0,1,2,3.所以 A*B 中的元素共有 2510个例45.中国古代数学名草周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为()222*,abca b cN+=，我们把 a，b，c 叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；

50、9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组股数的三个数依次是_.【解析】观察、先找出勾股数的规律:以上各组数均满足()222*,abca b cN+=;最小的数 a 是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续的正整数;最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,如22222345,51213,72425,94041,116061=+=+=+=+=+由以上特点我们可知第组勾股数:2116061=+,故答案为:11,60,61例46.设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 PQz|zab，aP，bQ，若 P1,0,1，Q2,2，则集合 PQ 中元素的个数是()A2 B

51、3 C4 D5【解析】当 a0 时，无论 b 取何值，zab0；当 a1，b2 时，z12；当 a1，b2 时，z12；当 a1，b2 时，z12；当 a1，b2 时，z12.故 PQ0，12，12，该集合中共有 3 个元素，所以选 B.例47.设向量 a 与 b 的夹角为，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模|ab|a|b|sin，若 a(3，1)，b(1，3)，则|ab|()A 3 B2C2 3 D4【解析】根据题意，可求得|a 2，|b 2，ab2 3，则 cos ab|a|b 32，所以 56，故|ab|a|b sin 22122.页 23例48.如果把四个面都是直

52、角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为_【解析】从长方体 ABCDA1B1C1D1 中任选四个顶点的选法有 C4870(种)，以 A 为其中一个顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有 AA1D1C1，AA1B1C1，ABB1C1，ABCC1，ADCC1，ADD1C1，共 6 个同理，以 B，C，D，A1，B1，C1，D1 为其中一个顶点的三棱锥也各有 6 个，但所有列举的三棱锥均出现 2 次，所以四个面都是直角三角形的三棱锥有128624(个)故所求的概率 P24701235.例49.中国古代近似计算方法源远流长，早在八

53、世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法一二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数()yf x=在1xx=，2xx=，()3123xxxxx=处的函数值分别为()11yf x=，()22yf x=，()33yf x=则在区间3,ix x上()f x 可以用二次函数来近似代替：()()()111212()f xykxxkxxxx=+，其中21121yykxx=，3232yykxx=，1231kkkxx=，若令10 x=，22x=，3x=，请依据上述算法，估算2sin 5 是（）A 35B 1625C 1725D

54、2425【解析】函数()sinyf xx=在0 x=，2x=，x=处的函数值分别为1(0)0yf=，212yf=，3()0yf=，故211212yykxx=，32322yykxx=，122314kkkxx=.故2222444()2f xxx xxx=+，即2244sin xxx+，22224(2)4224sin 55525+=，例50.设函数 f(x)xx，其中x表示不超过 x 的最大整数，如1.22，1.21，11.将函数 f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为 m，函数 f(x)与 g(x)x3的图象的交点个数记为 n，则定积分mn g(x)dx_.【解析】由题意可知，当 0 x1 时，

55、x0，f(x)x；当 1x2 时，x1，f(x)x页 241，据此可画出函数 yf(x)的图象，如图所示(显然该函数的图象具有周期性，最小正周期为 1)由图观察可知，当 x(0,2)时，函数 f(x)有 1 个零点由函数 yf(x)与 yg(x)的图象可知两个函数的图象有 4 个交点，所以 m1，n4.故mng(x)dx14x3 dxx26|4152.例51.若计算由曲线 y x及直线 x1 和 x 轴所围成的曲边三角形的面积时，可将区间0,1等分为若干个小区间，并以直代曲得到若干个窄边矩形，其面积表示为 xix(i1,2,3，)当区间0,1被无限细分时，这些窄边矩形的面积之和将趋近于曲边三角

56、形的面积，且面积 S01 xdx.类比曲边三角形面积的求法，计算曲线 y x及直线 x1 和 x 轴所围成的曲边三角形绕 x 轴旋转 360所成旋转体的体积，则体积 V 可以表示为()A.01 xdxB.01(x)2dxC.01x xdx D.019(x)2dx【解析】把区间0,1等分并无限细分后，在每段上经过 360旋转后的空间几何体可看作一个圆柱，其体积是(xi)2x(i1,2,3)，所有这些圆柱的体积之和为所求的空间几何体体积的近似值，故所求体积 V01(x)2dx.故选 B.例52.已知 x 为实数，x表示不超过实数 x 的最大整数，则函数 f(x)xx在 R 上为()A奇函数B偶函数

57、C增函数D周期函数【解析】当 0 x1 时，x0，f(x)xxx0 x；当 1x2 时，x1，f(x)xxx1；当 2x3 时，x2，f(x)xxx2；当 3x4 时，x3，f(x)xxx3；当1x0 时，x1，f(x)xxx1；当2x1 时，x2，f(x)xxx2；所以可作出函数 f(x)的图象如图所示由图象可知，f(x)在 R 上为周期函数故选 D例53.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A(2,3)且法向量为 n(4，1)的直线(点法式)页 25方程为 4(x2)(1)(y3)0，化简得 4xy110.类比以上方

58、法，在空间直角坐标系中，经过点 B(1,2,3)且法向量为 m(1，2,1)的平面(点法式)方程为_【解析】由题意可设 Q(x，y，z)为所求平面内的任一点，则根据m，得 m0，所以(1)(x1)(2)(y2)1(z3)0，化简得 x2yz20.故所求平面方程为 x2yz20.五、数学文化与三角函数例54.第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较大的锐角为，那么 tan4 _.【解析】依题意得大、小正方形的边长分别是 1,5，于是有

59、 5sin5cos102，即有 sincos15.从而(sincos)22(sincos)24925，则 sincos75，因此 sin45，cos35，tan43，故 tan4 tan11tan7例55.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是页 26222222142acbSa c+=，其中,a b c 是 ABC 的内角,A B C 的对边为.若sin2sincosCAB=，且222bc+=，则ABC 面积 S 的最大

60、值为_.【解析】sin2sincosCAB=，222222 cos22acbcaBaababac+=又222bc+=，222ac=，2222222222)211(4242acbcSa cc c+=2224154124455516ccc=+245c=时，ABC面积 S 的最大值为55.故答案为：55例56.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图是折扇的示意图，A为 OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（）A 14B 12C 34D 58【解析】设 ABr=，

61、圆心角为，则整个折扇的面积为212Sr=，扇面的面积为2221132228rsrr=，若在整个扇形区域内随机取一点，记此点取自扇面（扇环）部分为事件 M，则根据几何概型的概率公式得()22338142rP Mr=页 27故选：C例57.九章算术是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的

62、部分).已知弦1AB=尺，弓形高1CD=寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为()(注：1 丈10=尺100=寸，3.14，5sin22.513)A600 立方寸B610 立方寸C620 立方寸D633 立方寸【解析】连接,OA OB OD，设 O 的半径为 R，则()22215RR+=，所以13R=.由于5sin13ADAODR=，所以22.5AOD=，即45AOB=.所以OABACBOACBSSS=弓形扇形24513110 126.333602=平方寸该木材镶嵌在墙中的体积为100633ACBVS=弓形立方寸，故选 D页 28例58.赵爽是我国古代数学家大约在公元 222 年，他为周髀算经一书

63、作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ADABAC=+，若2DFAF=，则可以推出+=_.【解析】设1AF=，则3,1ADBDAF=，如图由题可知：120ADB=，由2222cosABADBDAD BDADB=+，所以13AB=，则13ACAB=，所以()133913,0,22BC，()0,0A又39sinsinsin26BDABBADBADADB=，所以27 13cos1sin26BAD

64、BAD=所以()cos,sinBADBADD ADAD，即21 13 3 39,2626D所以()21 13 3 39,13,02626,ADAB=，1339,22AC=，又 ADABAC=+页 29所以21 13139132621333 393913262=+=，所以1213+=，故答案为：1213例59.干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌

65、、亥十二个符号叫地支受此周期律的启发，可以求得函数2()sincos33xf xx=+的最小正周期为（）A15B12C 6D3【解析】由天干为 10 个，地支为 12 个，其周期为其公倍数：60故可得：2sin 3xy=的周期13T=,cos3yx=的周期223T=,12TT、的最小公倍数为 6，故()f x 的最小正周期为 6.故选：C.例60.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则ABC 的面积 S14c2a2c2a2b222.若 a2sinC4sinA，(ac)212b2，则用“三斜求

66、积”公式求得ABC 的面积为()A.3B2C3D.6【解析】根据正弦定理，由 a2sinC4sinA，得 ac4.再结合(ac)212b2，得 a2c2b24，则 S14c2a2c2a2b222 1644 3，故选 A.例61.公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为 5120.618，这一比值也可以表示为 m2sin 18.若 m2页 30n4，则m n2cos2271()A1B2 C4 D8【解析】由题设 n4m244sin2184(1si

67、n218)4cos218，m n2cos22712sin 18 4cos2182cos22712(2sin 18cos 18)cos 542sin 36sin 36 2.故选 B例62.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积12(弦矢矢 2)弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离(等于半径长与圆心到弦的距离之差)，现有圆心角为23，半径为 6 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_平方米(结果保留根号)【解析】如图，由题意可得AOB23，OA6.所以在 RtAOD 中，AOD3

68、，DAO6，OD12AO1263，可得 CD633.由 ADAOsin36 32 3 3，可得 AB2AD23 36 3.所以弧田面积 S12(弦矢矢 2)12(6 3332)9 392(平方米)六、数学文化与立体几何例63.我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是()(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸;台体的体积公式V=13(S 上+上下+S 下)h)A.2 寸B.3 寸C.4 寸D.5 寸页 31【解析】易知水面半径是 10 寸,根

69、据题意可得平地降雨量=139(102+10262+62)142=3,故选 B.例64.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图 1 所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的 13处将其顶角截去，截去 20 个顶角后剩下的如图 2 所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由 20 个边长为 3 的正三角形围成的封闭几何体，则如图 2所示的几何体中所有棱边数为_.【解析】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面 3 条棱，每条棱属于两个面，所以共有 320302=条棱，此外每个面会产生 3 条

70、新棱，共产生 32060=条新棱，共有 90 条棱.故答案为：90例65.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面体共有 个面，其棱长为 页 32【解析】中间层是一个正八棱柱，有 8 个侧面，上层是有81+，个面，下层也有81+个面，故共有 26 个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的

71、2cos452=倍该半正多面体共有 888226+=个面，设其棱长为 x，则22122xxx+=，解得21x=例66.学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111ABCDA B C D，挖去四棱锥 OEFGH后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，6ABBCcm=，14AAcm=，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g【解析】该模型为长方体1111ABCDA B C D，挖去四棱锥 OEFGH后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，6A

72、BBCcm=，14AAcm=，该模型体积为：1 1 11ABCD A B C DO EFGHVV11664(46432)332=314412132()cm=，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为：132 0.9118.8()g=例67.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积V 的近似公式2136VL h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3，那么，近似公式2

73、275VL h相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（）A 227B 258C15750D 355113页 33【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，高为 h，则2Lr=，2212(2)375r hrh=，258=故选：B 例68.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓，宽 3 丈，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛问该粮仓的高是多少？已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈为 10 尺，则该粮仓的外接球的表面积是（）A1214 平方丈B1274 平方丈C1334 平方丈D1394 平方丈【解

74、析】由题意画出图形，长方体1111ABCDA B C D中，3AD=，4.5AB=，3100002.7 1027V=，粮仓的高127234.5VAAAB AD=（丈)长方体1111ABCDA B C D的外接球的直径为222221133(2)()234.533.254RAC=+=，外接球的表面积为213344R=（平方丈），故选：C 例69.如图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形此图由正方形 ABCD、半径为 r 的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与 AD的中点 N 重合，斜边在直线 BC 上已知 S 为 BC 的中点，现将该图形绕直线 NS 旋

75、转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（）A323rB3rC32 rD3103r页 34【解析】依题意，如图，2ESr=，BSOFr=设球的体积为V球，设由 RT NFO旋转得到的圆锥体积为1V，由 RT NSE旋转得到的圆锥体积为2V，由直角梯形OSEF 旋转得到的圆台的体积为V台 则由阴影区域旋转得到的体积11122VVVVV=+台球球223111211122(2)22233VVVVVVVrrrrr=+=台台故选：C 例70.古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则在该几何体中，圆柱的体积与球的体积之比为（）A 23

76、 B 43C 23 或 32D 32【解析】在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且与上，下底面相切，则：该圆柱的底面直径为 2r，高为 2r，所以圆柱的体积为：2322Vshrrr=，球的体积为：343Vr=，故3323:423rVVr=圆柱球故选：D 例71.在九章算术中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为羡除，现有一个羡除如图所示，面 ABCD、面 ABFE、面 CDEF 均为等腰梯形，ABCDEF，AB6，CD8，EF10，EF 到面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这个羡除的体积是（）A110B116C118D120页 35【解析】过 A 作

77、 APCD，AMEF，过 B 作 BQCD，BNEF，垂足分别为 P，M，Q，N，将一侧的几何体放到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为1210315.棱柱的高为 8，V158120.故选 D.例72.刘徽在他的九章算术注中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即18V 牟r3V 方盖差，r为球的半径，也即正方形的棱长均为 2r，从而计算出 V 球43r3.记所有棱长都为 r 的正四棱锥的体积为 V 正，棱长为 2r 的正方形的方盖差为

78、V 方盖差，则V方盖差V正 等于（）A.12B.22C.2D.3【解析】由题意，V 方盖差r318V 牟r318443r313r3，所有棱长都为 r 的正四棱锥的体积为 V 正13rr r222 r2 26 r3，V方盖差V正 13r326 r3 2.例73.我国古代数学名著九章算术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱如图为一个“堑堵”，即三棱柱 ABC A1B1C1，其中 ACBC，已知该“堑堵”的高为 6，体积为 48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为_页 36【解析】设 ACx，BCy，又 ACCB，且该“堑堵”的

79、高 h6，所以“堑堵”的体积 VSABCh12xy63xy48，所以 xy16.“堑堵”的外接球直径 2RAC2BC2CC21 x2y262 2xy362 17，当且仅当 xy4 时，等号成立，所以 R 17.所以“堑堵”的外接球体积的最小值为 Vmin4R33 43(17)368 173.例74.长方堑堵阳马鳖臑这些名词出自中国古代数学名著九章算术商功，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊椎体的称呼.取一长方，如图长方体1111ABCDA B C D，按平面11ABC D 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中与矩

80、形为底另有一棱与底面垂直的三棱锥1DABCD称为阳马，余下的三棱锥11DBCC是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体1111ABCDA B C D中2AB=，3BC=，14AA=，按以上操作得到阳马，则阳马的最长棱长为（）A 2 5B 5C29D 4 2【解析】根据题意知阳马的最长棱长为长方体的体对角线，最大值长为22223429+=，故选：C.例75.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 A-BCD中，AB平面 BCD，且有 BDCD，ABBD2，CD1，点 P 是 AC 上的一个动点，则三角形 PBD 的面积的最小值为_页 37【解析】作 PQBC 于

81、 Q，QMBD 于 M，连接 PM，因为在鳖臑 ABCD 中，AB平面 BCD，且有 BDCD，ABBD2，CD1，所以 PQAB，QMCD，PMBD，所以PQABQCBC，即PQ2 QC5，又QMDCBQBC，所以MQ1 BQ5，注意 QCBQ 5，得：PQ2QM2，设 QMx(0 x1)，则 PQ22x，PMx2 22x25x28x4，所以 x45时，PMmin2 55，(SPBD)min12BDPMmin2 55，所以三角形 PBD 的面积的最小值为2 55.例76.九章算术把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”现有

82、如图所示的“塹堵”111ABCA B C，其中1,1ACBC AAAC=，当“阳马”即四棱锥11BA ACC体积为 13时，则“堑堵”即三棱柱111ABCA B C的外接球的表面积为_.【解析】11111 1,1.33B A ACCVBCBC=此时“塹堵”即三棱柱111ABCA B C的外接球的页 38直径为22211113A B=+=，表面积为23432S=.故答案为：3例77.在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵已知在堑堵111ABCA B C中，90ABC=，12ABAA=，2 2BC=，则1CA与平面11ABB A 所成角的大小为（）A30B

83、 45C 60D90【解析】在堑堵111ABCA B C中，90ABC=，12ABAA=，2 2BC=，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴，1BB 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C，2 2，0)，1(2A，0，2)，1(2AC=，2 2，2)，平面11ABB A 的法向量(0n=，1，0)，设1CA 与平面11ABB A 所成角的大小为，则11|2 22sin2|16 1AC nACn=，1CA与平面11ABB A 所成角的大小为 45 故选：B 例78.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，

84、十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_(容器壁的厚度忽略不计)页 39【解析】由题意，该球形容器的半径的最小值为12 3641 412，该球形容器的表面积的最小值为 4414 41.例79.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆

85、锥的底面直径和高均为 8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计)(1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02 cm3 的沙，则该沙漏的一个沙时为多少秒(精确到 1 秒)?(2)细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，求此锥形沙堆的高度(精确到 0.1cm)【解析】(1)开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高为 H238163，底面半径为 r23483，V13r2H13(83)2163 39.71，V0.021 986(秒)所以沙全部漏入下部约需 1 986 秒(2)细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为 4，设高为 H，V1342H1 02481，H64272

86、.4.锥形沙堆的高度约为 2.4 cm.页 40例80.(2015 全国,理 6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米约有()A.14 斛B.22 斛C.36 斛D.66 斛【解析】设米堆的底面半径为 r 尺,则2r=8,所以 r=16,所以米堆的体积为 V=14 13r25=12(16)25320

87、9(立方尺).故堆放的米约有3209 1.6222(斛).例81.将一块正方形纸片先按如图 1 所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个体积为 8 63的四棱锥模型，该四棱锥底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心.将该四棱锥如图 2 放置，若其正视图为正三角形，则正方形纸片的边长为_.【解析】四棱锥正视图为正三角形，设正三角形的边长为 x，其高为32 x，即四棱锥的高为32 x，则231338 63263Vxxx=，316 2x=，设正方形纸片的边长为 a，又四棱锥的斜高为 x，由已知折叠过程可得1222xxa+=，23xa=，则3216 23 a=

88、，6a=.故答案为：6.例82.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高乘之，六而一”页 41其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一已知一个“刍童”的下底面是周长为 18 的矩形，上底面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为 3，则该“刍童”的体积的最大值为()A392B752C39D6018【解析】选 B 设下底面的长为 x92x9，则下底面的宽为182x29x.由

89、题可知上底面矩形的长为 3，宽为 2，“刍童”的高为 3，所以其体积 V163(32x)2(2x3)(9x)x217x2 392，故当 x92时，体积取得最大值，最大值为 92292172 392 752.故选 B.例83.九章算术中，将如图所示的几何体称为刍甍，底面 ABCD 为矩形，且 EF底面ABCD，EF 到平面 ABCD 的距离为 h，BCa，ABb，EFc，则VBCDEFVEABD 2 时，bc()A1 B32C23D12【解析】由题意，VEABDVFBCD1312abh16abh，VBDFCVBDEFbc，所以 VBDEF16ach，VBCDEFVBDEFVBCDF16(cb)a

90、h，VBCDEFVEABD bcb 2，所以 cb，bc1.例84.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑 ABCD中，AB平面 BCD，且 BDCD，ABBDCD，点 P 在棱 AC 上运动，设 CP 的长度为x，若PBD 的面积为 f(x)，则函数 yf(x)的图象大致是()【解析】选 A 如图，作 PQBC 于 Q，作 QRBD 于 R，连接 PR，则 PQAB，QRCD.因为 PQBD，又 PQQRQ，所以 BD平面 PQR，所以 BDPR，即 PR 为PBD 中 BD边上的高页 42设 ABBDCD1，则CPAC x3PQ1，即 PQ x3，又QR1 B

91、QBCAPAC 3x3，所以 QR 3x3，所 以 PR PQ2QR2 x323x32 332x22 3x3，所 以 f(x)362x22 3x3 66x 32234.故选 A.例85.九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱所在平面切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)在如图所示的堑堵 ABC-A1B1C1 中，AA1AC5，AB3，BC4，则阳马 C1-ABB1A1 的外接球的表面积是()A25B50C100D200【解析】选 B 由题意得阳马 C1

92、-ABB1A1 的外接球即为堑堵 ABC-A1B1C1 的外接球，球心在正方形 ACC1A1 的中心，所以外接球的半径 R5 22，表面积为 4R250.故选 B.七、数学文化与概率统计例86.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1 534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为()A.134 石B.169 石C.338 石D.1 365 石【解析】由分层抽样的含义,该批米内夹谷约为282541 534169(石).页 43例87.欧阳修在卖油翁中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,

93、而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径 4 厘米,中间有边长为 1 厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()A.2B.1C.12D.14【解析】易知铜钱的面积 S=22=4,铜钱小孔的面积 S0=1.根据几何概型,所求概率 P=0=14.例88.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数,如 343、12521 等,两位数的回文数有 11、22、33、99 共 9 个,则三位数的回文数中,偶数的概率是 .【解析】三位数的回文数为 ABA,A 共有 1 到 9 共 9 种可能,即 1

94、B1、2B2、3B3、B 共有 0 到 9 共 10 种可能,即 A0A、A1A、A2A、A3A、共有 910=90 个,其中的偶数即为 A 是偶数,共 4 种可能,即 2B2,4B4,6B6,8B8,B 共有 0 到 9 共 10 种可能.共有 410=40 个,三位数的回文数中,偶数的概率 P=4090=49.例89.2019 年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大.武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力

95、入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人.在排查期间，一户 6 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳页 44性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为 p（01p）且相互独立，该家庭至少检测了 5 个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p，当0pp=时，()f p 最大，则0p=（）A613B63C 12D313【解析】设事件 A：检测 5 个人确定为“感染高危户”,事件

96、B：检测 6 个人确定为“感染高危户”,()()41P App=,()()51P Bpp=.即()()()()45411(21)fpppppppp+=设10 xp=,则()()()()42411()1g xxx xf pxx=+=()()()()3222242222211412222327xxxg xxxxxx+=当且仅当2222xx=即63x=时取等号,即0613pp=.故选：A例90.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范围是：3.1415926 3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“

97、祖率”，让同学们从小数点后的 7 位数字 1,4,1,5,9,2,6 随机选取两位数字，整数部分 3 不变，那么得到的数字大于 3.14 的概率为 （）A 2831B 1921C 2231D 1721【解析】选择数字的方法有：56131+=种，其中得到的数字不大于 3.14 的数字为：3.11,3.12,3.14 ，据此可得：得到的数字大于 3.14 的概率为32813131p=.本题选择 A 选项.例91.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这 5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期

98、.现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）页 45A 35B 710C 45D 910【解析】由题意，5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数 n25C=10，所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数 m211223CC C=+=7，则所选2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 p710mn=.故选：B.例92.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书

99、是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为（）A 15B 120C 112D 340【解析】所有的情况数有：310120C=种，3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的情况有：()()()()()()()()()()1,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8,9,1,4,7,3,6,9,1,3,5,3,5,7,5,7,9,1,5,9，共10 种，所以目标事件的概率10112012P=.故选：C.例93.

100、我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成.其中有一种起卦方法称为“金钱起卦法”，其做法为：取三枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下使钱币翻滚摩擦，再随意抛撒钱币到桌面或平盘等硬物上，如此重复六次，得到六爻.若三枚钱币全部正面向上或全部反面向上，就称为变爻.若每一枚钱币正面向上的概率为 12，则一卦中恰有两个变爻的概率为（）页 46A 14B 1564C 240729D 12154096【解析】由已知可得三枚钱币全部正面或反面向上的概率3112()24p=，求一卦中恰有两个变爻的概率实际为求六次独立重复试验中发生两次的概率，2246131215(2)()()444096P xC=

101、故选：D.例94.意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是12(3,)nnnaaann=+，其中11a=，21a=.若从该数列的前100 项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A 13B 33100C 12D 67100【解析】数列第 1 个，第 2 个为奇数，故第 3 个为偶数，第 4 个，第 5 个为奇数，第 6 个为偶数.根据规律：共有偶数 10033

102、3=个，故33100p=.故选：B.例95.2019 年庆祝中华人民共和国成立 70 周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注.某单位有 6 位外国人，其中关注此次大阅兵的有 5 位，若从这 6 位外国人中任意选取 2 位做一次采访，则被采访者都关注了此次大阅兵的概率为（）A 13B 25C 23D 35【解析】这 6 位外国人分别记为 a,A,B,C,D,E,其中

103、 a 未关注此次大阅兵,则基本事件有(),a A,(),a B,(),a C,(),a D,(),a E,(),A B,(),A C,(),A D,(),A E,(),B C,(),B D,(),B E,(),C D,页 47(),C E,(),D E,共 15 个,其中被采访者都关注了此次大阅兵的基本事件有 10 个,故所求概率为102153=.故选：C例96.齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若

104、有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（）A 49B 59C 23D 79【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为,A B C，田忌上等、中等、下等马分别为,a b c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),A aA bA cB aB bB cC aC bC c，共 9 种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),A aA bA cB bB cC c，共 6 种,齐王的马获胜的概率为6293P=，故选 C.例97.中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、

105、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A 15B 14C 13D 12【解析】从五种不同属性的物质中随机抽取 2 种，共2510C=种，而相生的有 5 种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P=故选：D例98.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是_【解析】不妨设小正方形的边长为 1，则两个小等腰直角三角形的三边长为 1,1，2，两个页 48大等腰直角三角形的三边长为 2,2,2

106、2，即最大正方形的边长为 2 2，则较大等腰直角三角形的三边长为 2，2，2，故所求概率 p11221122818.例99.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为A 3 2 fB 322 fC 1252 fD 1272 f【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为 12 2，所以1212(2,)nnaannN+=，又1af=，则127771281(2)

107、2aa qff=故选 D.例100.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为 3，宽为 1；第二部分为圆环部分，大圆半径为 3，小圆半径为 2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为()A.249B4249C.189D4189【解析】选 B 图标第一部分的面积为 83124；图标第二部分和第三部分的面积为 329；图标第三部分的面积为 224.则此点取自图

108、标第三部分的概率为4249.故选 B.例101.九章算术是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位现有一邪田，广分别为十步和二十步；正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为()A.215B25C.415D15【解析】选 B 由题意可得邪田的面积 S12(1020)10150，圭田的面积 S11285页 4920，则所求的概率 PS1S 20150 215.故选 B.例102.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相

109、反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被函数 y3sin6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为 1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A 136B 118C 112D19【解析】选 B 函数 y3sin6x 的图象与 x 轴相交于点(6,0)和点(6,0)，则大圆的半径为 6，面积为 36，而小圆的半径为 1，两个小圆的面积和为 2，所以所求的概率是 236 118.故选B.例103.九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几

110、何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是()A.15B25C.215D415【解析】选 C 因为该直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，所以其斜边长为 13 步，设其内切圆的半径为 r，则1251212(51213)r，解得 r2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率 P412512215.故选 C.例104.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随

111、机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是()A.13B14C.15D16【解析】选 A 从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马上上上中中中下下下田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有 3 种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率 P3913.故选 A.例105.(2019全国卷)西游记 三国演义 水浒传和红楼梦是中国古典文学页 50瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90 位，阅读过红楼梦的学生共有 80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位，则该校阅

112、读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A0.5B0.6C0.7D0.8【解析】选 C 法一：设调查的 100 位学生中阅读过西游记的学生人数为 x，则 x806090，解得 x70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 701000.7.故选 C.法二：用 Venn 图表示调查的 100 位学生中阅读过西游记和红楼梦的人数之间的关系如图：易知调查的 100 位学生中阅读过西游记的学生人数为 70，所以该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 701000.7.故选 C.八、数学文化与排列组合例106.公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的值的范

113、围是：3.1415926 3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把 3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的 7 位数字 1，4，1，5，9，2，6 进行随机排列，整数部分 3 不变，那么可以得到大于 3.14 的不同数字有（）A2280B2120C1440D720【解析】由于 1，4，1，5，9，2，6 这 7 位数字中有 2 个相同的数字 1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有7722AA，而只有小数点前两位为 11 或 12 时，排列后得到的数字不大于 3.14，故小于 3.14 的不同情况有552A，

114、故得到的数字大于 3.14 的不同情况有75752222280AAA=.故选：A页 51例107.五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成_种不同的音序.【解析】若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧，此时有22222 324AA=种；若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧；若“角”在第二个或第四个位置上,则有222228A A=种；综上，共有 24832+=种.故答案为：32九、数学文化与解析几何例108.数

115、学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222xyx y+=.给出下列四个结论：曲线 C 有四条对称轴；曲线 C 上的点到原点的最大距离为 14；曲线 C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为 18；四叶草面积小于4.其中，所有正确结论的序号是（）ABCD【解析】：当 x 变为x 时，()32222xyx y+=不变，所以四叶草图象关于 y 轴对称；当y 变为y 时，()32222xyx y+=不变，所以四叶草图象关于 x 轴对称；当 y 变为 x 时，()32222xyx y+=不变，所以四叶草图象关于 yx=轴对称；当

116、 y 变为x 时，页 52()32222xyx y+=不变，所以四叶草图象关于 yx=轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；：因为()32222xyx y+=，所以()222322222xyxyx y+=，所以2214xy+，所以2212xy+，取等号时2218xy=，所以最大距离为 12，故错误；：设任意一点(),P x y，所以围成的矩形面积为 xy，因为()32222xyx y+=，所以()()3322222x yxyxy=+，所以18xy，取等号时24xy=，所以围成矩形面积的最大值为 18，故正确；：由可知2214xy+，所以四叶草包含在圆2214xy+=的内部，因为圆的面积为：1

117、44S=，所以四叶草的面积小于4，故正确.故选：C.例109.太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为()()()2222224,11110 xyAx y xyxyx+=+或，设点(,)x yA，则2zxy=+的取值范围是()A 25，2 5B 2 5，2 5C 2 5，25+D 4，25+【解析】如图，作直线20 xy+=，当直线上移与圆22(1)1xy+=相切时，2zxy=+取最页 53

118、大值，此时，圆心(0,1)到直线2zxy=+的距离等于 1，即|2|15z=，解得 z 的最大值为：25+，当下移与圆224xy+=相切时，2xy+取最小值，同理|25z=，即 z 的最小值为：2 5，所以 2 5,25z +故选：C 例110.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222xy+，若将军从点()3,0A处出发，河岸线所在直线方程为4xy+=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A 2 5B 172C 17D32【解析】由题点()3,0A和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，设点()3,0A关于直线4xy+=的对称点(,)A a b，AA 中点3(,)22abM+在直线4xy+=上，3422013abba+=解得：41ab=，即(4,1)A，设将军饮马点为 P，到达营区点为 B，则总路程PBPAPBPA+=+，要使路程最短，只需 PBPA+最短，即点 A 到军营的最短距离，即点 A 到222xy+区域的最短距离为：2172OA=故选：B