2022年高考数学一轮复习 专题七 平面向量 1 平面向量的概念、线性运算及基本定理 综合集训（含解析）新人教A版.docx

1、专题七 平面向量 备考篇【考情探究】课标解读 考情分析 备考指导 主题 内容 一、平面向量的概念、线性运算及基本定理 1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考情况来看,考题难度以中低档为主,题型主要以选择题或填空题的形式出现,分值为 5 分.2.本专题内容在 2020 年的高考试题中多以平面向量的线性运算、平面向量的数量积为考查点(如 2020新高考卷第 7 题是以正六边形为背景考查向量数量积的运算,2020 课标卷理数第 14 题考查了单位向

2、量与用数量积求向量的模,2020 天津卷第 15 题以四边形为载体考查用基底表示平面向量及求数量积,同时与最值问题相联系),近几年的高考试题都注重学生对平面向量的基本知识和基本解题方法的考查.3.本专题重点考查的核心1.结合图形理解平面向量的概念、向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.2.理解平面向量基本定理的实质,会用给定的基底表示向量.3.通过建立平面直角坐标系能求出向量的坐标,会进行平面向量的和、差、数乘向量及数量积的坐标运算.4.掌握用数量积的定义、几何意义求两向量的数量积并能用数量积求两向量夹角,判断或证明向量垂直、求向量的模.5.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值

3、等综合问题.二、平面向量的数量积及向量的综合应用 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量基本定理及其意义.素养为数学运算和逻辑推理.【真题探秘】命题立意 本题以正六边形为背景,考查求两个向量数量积的取值范围问题.解题过程 如图,过点 P 作 PP1直线 AB 于 P1,过点 C 作 CC1直线 AB 于 C1,过点 F 作 FF1直线 AB 于F1,=|cosPAB,当PAB 为锐角时,|c

4、osPAB=|,当PAB 为钝角时,|cosPAB=-|,所以当点 P 与 C 重合时,最大,此时 =|=6,当点 P 与 F 重合时,最小,此时 =-|=-2,又因为点 P 是正六边形 ABCDEF 内的一点,所以-2|b|且 a 与 b 同向,则 ab;若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合;若 ab,bc,则 ac.A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A 2.设 D 为ABC 中 BC 边上的中点,且 O 为 AD 上靠近点 A 的三等分点,则()A.=-+B.=-C.=-D.=-+答案 D 3.设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任

5、意一点,则 +等于()A.B.2 C.3 D.4 答案 D 4.(2a-3b)-3(a+b)=.答案-7 a-4b 考点二 平面向量基本定理及坐标运算 5.如图,在ABC 中,=,P 是 BN 的中点,若 =m +,则实数 m 的值是()A.B.1 C.D.答案 C 6.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 同方向的单位向量为()A.(-)B.(-)C.(-)D.(-)答案 A 7.向量 a=(),b=(cos,1),且 ab,则 cos2=()A.B.-C.7 D.-7 答案 C 8.已知向量 a=(1,1),b=(2,x),若(a+b)(4b-2a),则实数 x 的值是()A.-

6、2 B.3 C.D.2 答案 D 9.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=+b(,R),则 =.答案 4 教师专用题组【基础集训】考点一 平面向量的概念及线性运算 1.(2019 天津耀华中学统练(2),2)已知 A、B、C、D 是平面内任意四点,现给出下列式子:+=+;+=+;-=+.其中正确的有()A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案 C 式的等价式是 -=-,左边=+,右边=+,不一定相等;式的等价式是 -=-,即 =成立;式的等价式是 =+=成立.综上可知正确的是.故选 C.2.(2016 青海西宁二诊,7)已知点 P 为ABC 所在平面内一点,边

7、AB 的中点为 D,若2 =(1-)+,其中 R,则 P 点一定在()A.AB 边所在的直线上 B.BC 边所在的直线上 C.AC 边所在的直线上 D.ABC 的内部 答案 C 因为 2 =(1-)+,所以2(+)=-+,2 +2 =-+,+2 -=-,因为 D 为边 AB 的中点,所以 =-,所以 P 点一定在 AC 边所在的直线上.思路分析 利用向量的线性运算化简后,结合共线向量定理求解.解题关键 由向量的线性运算得 =-是求解关键.3.(2018 江西师大附中 12 月模拟,10)设 D,E,F 分别为ABC 三边 BC,CA,AB 的中点,则 +2 +3 =()A.B.C.D.答案 D

8、 因为 D,E,F 分别为ABC 的三边 BC,AC,AB 的中点,所以 +2 +3 =(+)+(+)+(+)=+=+=+=,故选 D.4.(2018 福建高三 4 月质检,3)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系:在如图所示的正五角星中,以 A,B,C,D,E 为顶点的多边形为正五边形,且 =-.下列关系中正确的是()A.-=B.+=C.-=-D.+=-答案 A 由题意得,-=-=-=,所以 A 正确;+=+=,所以 B 错误;-=-=-,所以 C 错误;+=+,-=-,若 +=-,则 =0,不合题意,所以 D 错误.

9、故选 A.5.(2019 湖南顶级名校摸底考试,4)如图,已知 =a,=b,=4 ,=3 ,则 =()A.b-a B.a-b C.a-b D.b-a 答案 D =+=+=(-)-=-=b-a.选 D.6.(2018 吉林调研,8)已知 a,b 是不共线的非零向量,=+b,=a+b(,R),若A,B,C 三点共线,则,的关系一定成立的是()A.=1 B.=-1 C.-=1 D.+=2 答案 A 若 A,B,C 共线,则 ,即存在实数 k,使得 =k .=a+b,=+b a+b=k(+b),即(1-k)a+(-k)b=0.a,b 是不共线的非零向量 -解得=1.故 A,B,C 三点共线的充要条件为

10、=1.故选 A.7.如图,在直角梯形 ABCD 中,AB=2AD=2DC,E 为 BC 边上一点,=3 ,F 为 AE 的中点,则 =()A.-B.-C.-+D.-+答案 C 如图,取 AB 的中点 G,连接 DG,CG,易知四边形 DCBG 为平行四边形,所以 =-=-,=+=+=+(-)=+,于是 =-=-=()-=-+,故选 C.解题关键 选定向量 、为基底,正确利用向量的线性运算是求解关键.8.(2018 吉林长春模拟,6)在ABC 中,D 为三角形所在平面内一点,且 =+,则 =()A.B.C.D.答案 B 设直线 AD 与 BC 交于点 E,=x .=+=+.E、B、C 三点共线,

11、+=x=,=+=5 .=+(-)=(-),=.设 SDEC=2x,则 SDBE=3x,=5 SABD=x=15x,=.考点二 平面向量基本定理及坐标运算 1.(2018 辽宁丹东五校协作体联考,4)向量 a=(),b=(cos,1),且 ab,则 cos2=()A.B.-C.7 D.-7 答案 C ab,a=(),b=(cos,1),-tancos=0,即 sin=,cos=1-2sin2=1-()=7.故选 C.2.(2018 河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c 都可以唯一地表示成 c=+b(,为实数),则 m

12、的取值范围是()A.(-)B.(+)C.(-+)D.(-)(+)答案 D 根据题意知,向量 a,b 是不共线的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-)-,解得 m2.m 的取值范围是(-)(+).故选 D.3.(2019 安徽合肥第一次质检,5)设向量 a=(-3,4),向量 b 与向量 a 方向相反,且|b|=10,则向量 b 的坐标为()A.(-)B.(-6,8)C.(-)D.(6,-8)答案 D 因为向量 b 与向量 a 方向相反,所以可设 b=(-3,4),0,则|b|=5|=-5=10,所以=-2,所以 b=(6,-8).故选 D.4.(2019 浙江温州高三适应性测试,4)在A

13、BC 中,D 是线段 BC 上一点(不包括端点),=+(1-),则()A.-1 B.-10 C.01 答案 C 由已知可得 -=-+(1-)(-),即 =(1-),因为 D是线段 BC 上一点(不包括端点),所以 01-1,解得 00,b0,若 A,B,C 三点共线,则 +的最小值为()A.4 B.6 C.8 D.9 答案 C =(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),A,B,C 三点共线,=,即(a-1,1)=(-b-1,2),-(-)可得 2a+b=1,a0,b0,+=()(2a+b)=2+2+4+2 =8,当且仅当 =,即 a=,b=时

14、取等号,故 +的最小值为 8,故选 C.规律总结 三点共线常用的处理办法有:(1)转化为向量共线,再利用向量共线的坐标表示求解;(2)利用直线的斜率相等求解.综合篇【综合集训】考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略 1.(2020 河北邯郸一模,4)在平行四边形 ABCD 中,若 =4 ,则 =()A.-+B.+C.-+D.-+答案 A 2.(2020 河北廊坊第一次联考,6)在ABC 中,=2 ,E 是 AD 的中点,则 =()A.+B.-C.-D.+答案 A 3.(2020 山东滨州三模,5)已知点 O 是ABC 内一点,且满足 +2 +m =0,=7,则实数 m 的值为()A.-4 B

15、.-2 C.2 D.4 答案 D 4.(2019 安徽安庆调研,6)如图,直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 AB,AD 分别交于 E、F 两点,且交其对角线 AC 于 K,其中,=,=,=,则 的值为()A.B.7 C.D.答案 A 5.(2019 福建泉州四校第二次联考,11)如图,=2 ,=2 ,=m ,=n ,若 m=,则 n=()A.B.C.D.答案 A 考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略 6.(2020 百校联考高考考前冲刺(二),2)已知向量 a=(1,0),b=(1,),则与 2a-b 共线的单位向量为()A.(-)B.(-)C.(-)或(-)D.(-)或(-)答

16、案 D 7.(2020 河南开封二模,11)在ABC 中,A=,AB=3,AC=4,动点 P 在ABC 的内切圆上,若 =+,则+的最大值为()A.B.C.1 D.2 答案 C 8.(2019 北京西城月考,5)已知向量 =(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1),若 ,则实数 m 的值为()A.-7 B.-3 C.-D.答案 B 9.(2020 天津南开中学统练(23),5)如图,在平行四边形 ABCD 中,BAD=,AB=2,AD=1,若 M,N分别是边 AD,CD 上的点,且满足 =,其中 0,1,则 的取值范围是()A.-3,-1 B.-3,1 C.-1,1 D.1,3 答案

17、A 教师专用题组【综合集训】考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略 1.(2019 江苏扬州质检,9)若向量 a 与 b 既不平行也不垂直,则称向量 a 与 b 斜交.已知向量m=(1,3)与 n=(-2,t)斜交,则实数 t 的取值范围是()A.(-6)()B.(-6)(-)()C.(-)(+)D.(-)(-)(+)答案 B 根据题中定义,有 -(-)(-)解得 -.故实数 t 的取值范围是(-6)(-)().故选 B.2.(2018 天津六校期中联考,16)已知 A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),=5,=10.(1)求 D 点的坐标;(2)若 D 点在第二象限,用 ,表示 ;(3)设 =(m,2),若 3 +与 垂直,求 的坐标.解析(1)设 D(x,y),由题意得 =(1,2),=(x+1,y),()(3 分)即 ()解得 -或 .D 点的坐标为(-2,3)或(2,1).(5 分)()D 点在第二象限 D(-2,3).=(-1,3).设 =k +n =(-2,1),(-2,1)=k(1,2)+n(-1,3),(7 分)-=-+.(9 分)()+与 垂直(+)=0,(11 分)又 +=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),m+=m=-14,的坐标为(-14,2).(13 分)