2022年高考数学一轮复习 考点规范练50 双曲线（含解析）新人教A版（理）.docx

1、考点规范练50双曲线基础巩固1.若双曲线y2a2-x29=1(a0)的一条渐近线与直线y=13x垂直,则此双曲线的实轴长为()A.2B.4C.18D.36答案:C解析:双曲线的一条渐近线的方程为y=-a3x,所以-a313=-1,解得a=9,所以双曲线的实轴长为2a=18,故选C.2.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.x242-y232=1B.x2132-y252=1C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1答案:A解析:由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),

2、F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则|PF1|-|PF2|=8.由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242-y232=1.3.当双曲线M:x2m2-y22m+6=1(-2m0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32答案:B解析:由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=bax.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以SODE=122ba=ab=8.所以c2=a2+b22ab=16,当且仅当a=b=22时取等号.所以c4,所以2c8.

3、所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()A.x216-y29=1B.x23-y24=1C.x29-y216=1D.x24-y23=1答案:C解析:点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上,c=5,可得a2+b2=25.又点(3,4)在双曲线的渐近线y=bax上,ba=43.联立解得a=3,b=4,可得双曲线的方程为x29-y216=1.6.双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF

4、|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.32答案:A解析:由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,F(6,0).|PO|=|PF|,xP=62.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上,yP=2262=32.SPFO=12|OF|yP|=12632=324.故选A.7.(2020全国,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.答案:2解析:由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a2+b2.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可

5、得点B的坐标为Bc,b2a.AB的斜率为3,Bc,b2a.kAB=b2ac-a=b2a(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,e=2.8.双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案:9解析:由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2b2a+4a=212+8=9.9.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲

6、线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解:(1)由题意知a=23,故可得一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3.所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=12.故x0y0=433,x0212-y023=1,解得x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,

7、点D的坐标为(43,3).10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OAOB的最小值.解:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=c2-a2=2.所以W的方程为x22-y22=1(x2).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y1=-y2,从而OAOB=x1x2+y1y2=x12-y12=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx

8、+m(k1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则x1+x2=2km1-k2,x1x2=m2+2k2-1,所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(m2+2)k2-1+2k2m21-k2+m2=2k2+2k2-1=2+4k2-1.又因为x1x20,所以k2-10.所以OAOB2.综上所述,当ABx轴时,OAOB取得最小值2.能力提升11.设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|P

9、Q|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5答案:A解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.|PQ|=|OF|=c,|PA|=c2.PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,|OA|=c2.Pc2,c2.又点P在圆x2+y2=a2上,c24+c24=a2,即c22=a2,e2=c2a2=2,e=2,故选A.12.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案:B解析:如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,

10、且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,|MF2|=2.点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=20,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为.答案:53解析:由定义,知|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|=4|PF2|,|PF1|=83a,|PF2|=23a.在PF1F2中,由余弦定理,得cosF1PF2=649a2+49a2-4c2283a23a=178-98e2.要求e的

11、最大值,即求cosF1PF2的最小值,当cosF1PF2=-1时,得e=53,即e的最大值为53.14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为2,求实数k的值.解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组x2-y2=1,y=kx-1有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.故1-k20,=4k2+8(1-k2)0,解得-2k|x2|时,SOAB=SOAD-SOBD=12(|x1|-|x2|)=12|x1-x2|;当A,B在双曲线的两支上且x1x

12、2时,SOAB=SODA+SOBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|.故SOAB=12|x1-x2|=2,即(x1-x2)2=(22)2,即-2k1-k22+81-k2=8,解得k=0或k=62.又-2k0,b10)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2b20)均过点P233,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.

13、因为点P233,1在双曲线x2-y2b12=1上,所以2332-1b12=1.故b12=3.由椭圆的定义知2a2=2332+(1-1)2+2332+(1+1)2=23.于是a2=3,b22=a22-c22=2.故C1,C2的方程分别为x2-y23=1,y23+x22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=2或x=-2.当x=2时,易知A(2,3),B(2,-3),所以|OA+OB|=22,|AB|=23.此时,|OA+OB|AB|.当x=-2时,同理可知,|OA+OB|AB|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由

14、y=kx+m,x2-y23=1得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3k2-3m2k2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此OAOB=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=

15、-k2-3k2-30,于是OA2+OB2+2OAOBOA2+OB2-2OAOB,即|OA+OB|2|OA-OB|2,故|OA+OB|AB|.综合可知,不存在符合题设条件的直线.高考预测16.已知双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若ABF为等腰三角形,则该双曲线的离心率为()A.1+3B.5C.3D.2答案:A解析:由题意得F(-c,0),A(a,0),不妨设B(0,b),则|BF|=b2+c2c,|AF|=a+cc,|AB|=a2+b2=c,ABF为等腰三角形,只能是|AF|=|BF|,a+c=c2+b2.a2+c2+2ac=c2+c2-a2.c2-2a2-2ac=0,即e2-2e-2=0,e=1+3(舍去负值),选A.