2022年高考数学一轮复习 高考大题专项练五 高考中的解析几何（含解析）新人教A版（理）.docx

1、高考大题专项练五 高考中的解析几何 一、非选择题 1.已知抛物线 C:y2=3x 的焦点为 F,斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A,B,与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|+|BF|=4,求 l 的方程;(2)若 =3 ,求|AB|.解:设直线 l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得 F(),故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得 x1+x2=.由 可得 9x2+12(t-1)x+4t2=0,则 x1+x2=-.从而-,得 t=-.所以 l 的方程为 y=x-.(2)由 =3 可得 y1=-3y2.由 可得 y2-2y+2t=0.所以 y1+y2=

2、2.从而-3y2+y2=2,故 y2=-1,y1=3.代入 C 的方程得 x1=3,x2=.故|AB|=.2.(2020 全国,理 19)已知椭圆 C1:=1(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合,C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A,B 两点,交 C2于 C,D 两点,且|CD|=|AB|.(1)求 C1的离心率;(2)设 M 是 C1与 C2的公共点.若|MF|=5,求 C1与 C2的标准方程.解:(1)由已知可设 C2的方程为 y2=4cx,其中 c=-.不妨设 A,C 在第一象限,由题设得 A,B 的纵坐标分别为 ,-;C,D 的纵坐标分

3、别为 2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c.由|CD|=|AB|得 4c=,即 3 =2-2(),解得 =-2(舍去),.所以 C1的离心率为 .(2)由(1)知 a=2c,b=c,故 C1:=1.设 M(x0,y0),则 =1,=4cx0,故 =1.由于 C2的准线为 x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故 x0=5-c,代入得 -=1,即 c2-2c-3=0,解得 c=-1(舍去),c=3.所以 C1的标准方程为 =1,C2的标准方程为 y2=12x.3.已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交 C 于 A,B 两点,交 C

4、的准线于P,Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 ARFQ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.解:由题知 F().设直线 l1:y=a,直线 l2:y=b,则 ab0,且 A(),B(),P(-),Q(-),R(-).记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于 F 在线段 AB 上,故 1+ab=0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率为 k2,则 k1=-=-b=k2.所以 ARFQ.(2)设 l 与 x 轴的交点为 D(x1,0),则 SABF=|b-a|FD|=|

5、b-a|-|,SPQF=-.由题设可得|b-a|-|-,所以 x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB=kDE可得,-(x1).而 =y,所以 y2=x-1(x1).当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合.所以,所求轨迹方程为 y2=x-1.4.已知抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1).过点()作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M,N,过点 M 作x 轴的垂线分别与直线 OP,ON 交于点 A,B,其中 O 为原点.(1)求抛物线 C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A 为线段 BM 的

6、中点.答案:(1)解由抛物线 C:y2=2px 过点 P(1,1),得 p=.所以抛物线 C 的方程为 y2=x.抛物线 C 的焦点坐标为(),准线方程为 x=-.(2)证明由题意,设直线 l 的方程为 y=kx+(k0),l 与抛物线 C 的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2).由 得 4k2x2+(4k-4)x+1=0.则 x1+x2=-,x1x2=.因为点 P 的坐标为(1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A 的坐标为(x1,x1),直线 ON 的方程为 y=x,点 B 的坐标为().因为 y1+-2x1=-=()()-=-=-=0,所以 y1+=2x1.故 A 为线段

7、 BM 的中点.5.已知曲线 C:y=,D 为直线 y=-上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B.(1)证明:直线 AB 过定点;(2)若以 E()为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求四边形 ADBE 的面积.答案:(1)证明设 D(-),A(x1,y1),则 =2y1.由于 y=x,所以切线 DA 的斜率为 x1,故 -=x1.整理得 2tx1-2y1+1=0.设 B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0.故直线 AB 的方程为 2tx-2y+1=0.所以直线 AB 过定点().(2)解由(1)得直线 AB 的方程为 y=tx+.由 可得

8、 x2-2tx-1=0.于是 x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=|x1-x2|=-=2(t2+1).设 d1,d2分别为点 D,E 到直线 AB 的距离,则 d1=,d2=.因此,四边形 ADBE 的面积 S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).设 M 为线段 AB 的中点,则 M().由于 ,而 =(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以 t+(t2-2)t=0.解得 t=0 或 t=1.当 t=0 时,S=3;当 t=1 时,S=4.因此,四边形 ADBE 的面积为 3 或 4.6.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆,离

9、心率 e=,且椭圆过点().(1)求椭圆的方程;(2)椭圆左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B,则F1AB 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意可设椭圆方程为 =1(ab0).则 解得 a2=4,b2=3.椭圆方程为 =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),不妨令 y10,y20).由 得 x=.记 u=,则 P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线 QG 的斜率为 ,方程为 y=(x-u).由 -得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.()设 G(xG,yG),则-u 和 xG是方程()的解,故 xG=,由此得 yG=.从而直线 PG 的斜率为 -=-.所以 PQPG,即PQG 是直角三角形.由得|PQ|=2u ,|PG|=,所以PQG 的面积 S=|PQ|PG|=.设 t=k+,则由 k0,得 t 当且仅当 k=1 时取等号.因为 S=在区间2,+)内单调递减,所以当 t=2,即 k=1 时,S 取得最大值,最大值为 .因此,PQG 面积的最大值为 .