2022版数学人教A版必修二基础训练：4-1-1　圆的标准方程 WORD版含解析.docx

1、圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程基础过关练题组一圆的标准方程1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径长分别是()A.(-2,3),1B.(2,-3),3C.(-2,3),2D.(2,-3),22.若圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点,则()A.a2+b2=0B.a2+b2=r2C.a2+b2+r2=0D.a=0,b=03.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)4.若直线y=ax+b经过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于()A.第一象限B.

2、第二象限C.第三象限D.第四象限5.(2021四川内江高二上期末)圆心是(2,1),且与x轴相切的圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=56.(2021河南漯河高三上期末)已知某圆的圆心为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=527.已知圆C的半径长为2,圆心在x轴的正半轴上,且到直线3x+4y+4=0的距离等于

3、半径长,则圆C的标准方程是.8.已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4,直线l:14x+8y-31=0,求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程.9.已知圆过点A(1,-2),B(-1,4).(1)求周长最小的圆的标准方程;(2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.题组二点与圆的位置关系10.点(sin 30,cos 30)与圆x2+y2=12的位置关系是()A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定11.已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外12.(2021山东菏泽高二上期末)若点A(a+1,3)在圆

4、C:(x-a)2+(y-1)2=m内部,则实数m的取值范围是()A.(5,+)B.5,+)C.(0,5)D.0,513.已知圆C过原点O且圆心为C(-3,-4),求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C的位置关系.能力提升练一、选择题1.(2021天津河北区高三上期末,)圆(x-1)2+(y-4)2=4的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.22.()方程|x|-1=1-(y-1)2所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆3.()由曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形面积为()A.2

5、+2B.2+4C.4+4D.4+84.()设P是圆M:(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2二、填空题5.()若点M(5a+1,a)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则实数a的取值范围是.6.(2021浙江宁波高二月考,)数学家欧拉于1765年在其所著的三角形几何学一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上,后人称这条直线为欧拉线,已知ABC的顶点A(-2,0),B(2,4),其欧拉线的方程为x-y=0,则ABC的外接圆方程为.三、解答题7.()求过点A(-1,3),B(4,2),且与x轴交点的横坐标、y

6、轴交点的纵坐标之和是4的圆的标准方程.8.()已知圆C的方程为(x-m)2+(y+m-4)2=2(m为实数).(1)求圆心C的轨迹方程;(2)当|OC|最小时,求圆C的标准方程(O为坐标原点).9.()已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0).(1)求此圆的标准方程;(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求点P(x,y)到直线x-y+1=0的距离的最大值和最小值.10.(2021宁夏银川高一上期末,)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)求圆C的标准方程;(2)求圆C在点B处的切线在x轴上的截距.11.

7、(2020广东东莞高级中学高一期末,)在平面直角坐标系xOy中,已知ABC,A(-1,0),B(2,1),AC边上的中线所在直线的方程为y=1,BC边上的高所在直线的斜率为12.(1)求直线BC的方程;(2)求以线段AC为直径的圆的标准方程.第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程基础过关练1.D2.B3.C4.D5.A6.A10.C11.C12.A1.D由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径长为2.2.B由题意得(0-a)2+(0-b)2=r2,即a2+b2=r2.3.C由(x-a)2+(y-b)2=0,解得x=a,y=b,因此它只表示一个点(a,b).故选C.4.D由题意

8、知圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心为(-a,-b).由直线y=ax+b经过第一、二、四象限,得到a0,则-a0,-b0,则点C到直线3x+4y+4=0的距离为2,即|3a+40+4|32+42=2,解得a=2或a=-143(舍去),则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.8.解析设圆C2的圆心坐标为(m,n).由题意得直线l的斜率k=-74,圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4的圆心坐标为(-3,1),半径长为2,由对称性知n-1m+3=47,14-3+m2+81+n2-31=0,解得m=4,n=5.所以圆C2的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=4.9.解析(1)当线段AB为圆的

9、直径时,过点A,B的圆的半径最小,从而周长最小,即所求圆是以线段AB的中点(0,1)为圆心,12|AB|=10为半径长的圆.故所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.(2)解法一:直线AB的斜率k=4-(-2)-1-1=-3,则线段AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0.由x-3y+3=0,2x-y-4=0得x=3,y=2,即圆心坐标是(3,2),所以半径长为(1-3)2+(-2-2)2=25.所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.解法二:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=R2,则(1-a)2+(-2-b)2=R2,(-1-a)2+(4-b)

10、2=R2,2a-b-4=0,解得a=3,b=2,R2=20.所以所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.10.C 因为sin230+cos230=122+322=112,所以点在圆外.11.C把点P的坐标代入圆的标准方程中,因为(3-2)2+(2-3)2=24,所以点P(3,2)在圆内,且不是圆心.故选C.12.A因为点A(a+1,3)在圆C:(x-a)2+(y-1)2=m内部,所以(a+1-a)2+(3-1)25,故选A.13.解析因为圆C过原点O,圆心为C(-3,-4),所以圆C的半径长r=|OC|=(-3-0)2+(-4-0)2=5,因此圆C的标准方程为(x+3)2+(y+4

11、)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=2025,所以点M3(3,-4)在圆C外.能力提升练1.A2.D3.D4.B一、选择题1.A由(x-1)2+(y-4)2=4,得圆心为(1,4).由条件知|a+4-1|a2+1=1,解得a=-43.故选A.2.D由题意得(|x|-1)2+(y-1)2=1,|x|-10,即(x-1)2+(y-1)2=1,x1或(x+1)2+(y-1)2=1,x-1,故原方程表示两个半圆.3.D曲线x2+y2=2|x|+2|y|可化为(|x|-1)2+(|y|-1)2=2,当x0,y0时,方程为(x-1)2+(y-1)2=2,当x0,y0时,方程为(x-1)2+(y+

12、1)2=2,当x0,y0时,方程为(x+1)2+(y-1)2=2,当x0,y0时,方程为(x+1)2+(y+1)2=2.如图,易知曲线关于x轴,y轴,原点对称,则此曲线所围成的图形由一个边长为22的正方形与四个半径为2的半圆组成,所围成的图形面积是2222+412(2)2=8+4.故选D.4.B如图,圆心M(3,-1)到定直线x=-3的距离为|MQ|=3-(-3)=6.因为圆的半径长为2,所以所求最短距离为6-2=4,即|PQ|的最小值为4.二、填空题5.答案0,1)解析因为点M在圆的内部,所以(5a+1-1)2+(a)2=26a26,解得a1.又a0,所以0a0).把点A,B的坐标代入,得(

13、-1-a)2+(3-b)2=r2,(4-a)2+(2-b)2=r2,消去r2,得b=5a-5.令x=0,则(y-b)2=r2-a2,y=br2-a2,圆与y轴交点的纵坐标之和是2b.令y=0,则(x-a)2=r2-b2,x=ar2-b2,圆与x轴交点的横坐标之和是2a.2a+2b=4,即a+b=2.由得a=76,b=56.r2=-1-762+3-562=16918.圆的标准方程为x-762+y-562=16918.8.解析(1)由题意知C(m,4-m),令x=m,y=4-m,则x+y-4=0,所以圆心C的轨迹方程为x+y-4=0.(2)由题意知|OC|=m2+(4-m)2=2m2-8m+16=

14、2(m-2)2+8,当m=2时,|OC|取得最小值,此时圆C的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.9.解析(1)由题意,结合图可知圆心坐标为C(3,0),半径长r=2,所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.(2)如图,过点C作CD垂直于直线x-y+1=0,垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|=|3-0+1|12+(-1)2=22.又P(x,y)是圆C上任意一点,且圆C的半径长为2,所以结合图形易知点P到直线x-y+1=0的距离的最大值为22+2,最小值为22-2.10.解析(1)由题意,设圆心C(1,r)(r为圆C的半径长),则r2=|AB|22+12=2,解得r=2(负值舍

15、去),所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)解法一:令x=0,得y=21,所以点B(0,2+1).又点C(1,2),所以直线BC的斜率kBC=-1,所以过点B的切线方程为y-(2+1)=x-0,即y=x+2+1.令y=0,得切线在x轴上的截距为-2-1.解法二:令x=0,得y=21,所以点B(0,2+1).设过点B的切线方程为y-(2+1)=kx,即kx-y+2+1=0.由题意,得圆心C(1,2)到直线kx-y+2+1=0的距离d=|k-2+2+1|k2+1=r=2,解得k=1.故切线方程为x-y+2+1=0.令y=0,得切线在x轴上的截距为-2-1.11.解析(1)因为BC边上的高所在直线的斜率为12,所以直线BC的斜率为-2,因为B(2,1),所以直线BC的方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.(2)设C(x0,y0),因为AC边上的中线所在直线的方程为y=1,所以y0+02=1,解得y0=2.因为直线BC的方程为2x+y-5=0,所以2x0+y0-5=0,解得x0=32,则C32,2,所以圆心为线段AC的中点14,1,半径长r=14+12+12=414,所以圆的标准方程为x-142+(y-1)2=4116.