湖北省2023-2024学年高三数学上学期10月半月考试题（PDF版附答案）.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司荆州中学 2024 届高三数学十月半月考一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1已知复数12iz （i 为虚数单位），则 iz （）A 12i B 2i C 2i D12i2设,a b 为两条直线，,为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A若,ab，则ab B若,ab，则abC若,abab，则 D若,abab，则a3函数5sin4yx的一条对称轴为（）A34x B2x C3x D54x4等比数列 na的各项均为实数，其前n 项和为nS，已知367,63SS，则7a （）A4 B16 C32 D6

2、45由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的六位数，其中奇数不相邻，且 2 不在第二位，则这样的六位数个数为（）A120 种 B108 种 C96 种 D72 种6已知544558,138，设5813log 3,log 5,log 8abc，则（）Abac Bbca Cabc Dcab7若曲线lnyx与曲线22(0)yxxa x有公切线，则实数a 的取值范围是（）A(ln 2 1,)B ln 2 1,)C(ln 2 1,)D ln 2 1,)8已知O 为坐标原点，P 是椭圆2222:1(0)xyEabab上位于 x 上方的点，F 为右焦点延长,PO PF交椭圆 E 于,Q R 两点，,|

3、3|QFFR QFFR，则椭圆 E 的离心率为（）A33 B22 C53 D 104二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）9设随机变量128,8,33XBYB，则下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司A,X Y 服从正态分布 B817(6)3P X C()(),()()E XE YD XD Y D当且仅当5k 时，()P Yk取最大值10如图所示，该曲线W 是由 4 个圆：22222222(1)1,(1)1,(1)1,(1)1xyxyxyxy 的一部分所构成，则下列

4、叙述正确的是（）A曲线W 围成的封闭图形面积为42B若圆222(0)xyrr与曲线W 有 8 个交点，则22rC BD 与 DE 的公切线方程为120 xy D曲线W 上的点到直线5 210 xy 的距离的最小值为 411如图，正方体1111ABCDA B C D棱长为 1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A BP 的最小值为62 B当 P 在1A D 上运动时，都有11C PBDC当 P 在直线1A D 上运动时，三棱锥1AB PC的体积不变 D PAPC的最小值为2212已知双曲线22:11xyC tt的一条渐近线方程为20 xy，圆22:2O xy上任意一点 P 处的

5、切线l 交双曲线C 于,M N 两点，则（）A2t B满足|2 2MN 的直线l 仅有 2 条学科网（北京）股份有限公司C满足OMON的直线l 仅有 4 条 D|PMPN为定值 2三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13设,a b为两个不共线向量，若向量45mab与2nab共线，则实数 _14以模型ekxyc去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy，其变换后得到线性回归方程0.23zx，则c _15设Ra，函数2|1|,0,()2,0,xxf xxax x 若函数()yff x恰有 3 个零点，则实数a 的取值范围为_16设函数 f x 的定义域为(0,)，对于任

6、意的12xx，当12,(0,)x x ，有 122112x f xx f xxx，若(2)3f，则不等式()1f xx 的解集为_四、解答题（本小题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）已知函数()sinsin3sin cos44f xxxxx（1）求6f的值；（2）在ABC中，若12Af ，求sinsinBC的最大值18（12 分）如图，三棱柱111ABCA B C的所有棱长都是 2，1AA 平面,ABC D E 分别是1,AC CC 的中点（1）求证：平面 BAE 平面1A BD；（2）求1AA 和平面1A BD 所成角的正弦值19（12 分）如

7、图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球设各层球数构成一个数列 na学科网（北京）股份有限公司（1）写出na 与*1Nnan的递推关系，并求数列 na的通项公式；（2）记数列 nb的前n 项和为nS，且3322nnSb，在nb 与1nb 之间插入n 个数，若这2n 个数恰能组成一个公差为nd 的等差数列，求数列nnad的前n 项和nT 20（12 分）已知函数2()ln(1 2)1f xxmxm x（1）若1m ，求()f x 的极值；（2）若对任意0,()0 xf x恒成立，求整数m 的最小值

8、21（12 分）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令第一轮给每位选手提供 5 个诗词接龙的题目，选手从中抽取 2 个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在 10 秒内正确回答出下句可得 10 分，若不能在 10 秒内正确回答出下句得 0 分（1）已知某位选手会 5 个诗词接龙题目中的 3 个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题记第n 次回答的是甲的概率为nP，若11P 求23,P P；正

9、明：数列14nP为等比数列，并比较第 7 次回答的是甲和第 8 次回答的是甲的可能性的大小22（12 分）已知抛物线2:4E yx，过点(1,1)P作斜率互为相反数的直线,m n，分别交抛物线 E 于,A B 及,C D 两点（1）若3PABP，求直线 AB 的方程；（2）求证：CAPBDP 学科网（北京）股份有限公司荆州中学 2024 届高三数学十月半月考参考答案1-4C D A D 5-8B C A B 9BC 10ACD 11ABC 12AD132.5 143e 15(1,0)16(0,2)17（1）1 （2）3学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）()sinsin3sin cos44

10、f xxxxxsinsin3sin cos424xxxxsincos3sin cos44xxxx13cos2sin 222xxsin 26x，sin 21666f 5 分（2）由题意可知，sin126AfA，而0A可得：62A，即3A，233sinsinsinsinsincos3sin3226BCBBBBB，2510,sin1366626BBB，sinsinBC的最大值为 3 10 分18（1）证明见解析 （2）55【详解】（1）取11AC 的中点O，连接1,B O OD，则1111,OBAC ODAA，又因为1AA 平面 ABC，所以OD 平面 ABC，则11,OA OD OB 两两垂直，2

11、 分如图，以O 为原点，11,OA OD OB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则1(1,2,0),(0,2,3),(0,2,0),(1,0,0),(1,1,0)ABDAE，可得11(1,2,0),(1,2,3),(1,0,3),(1,1,3)A DA BBABE ，设11112222,nx y znxyz分别为平面1A BD 和平面 BAE 的法向量，学科网（北京）股份有限公司由11111111120230A D nxyA B nxyz ，令11y，则112,0 xz，可得1(2,1,0)n 是平面1A BD 的一个法向量，4 分由22222223030BA nx

12、zBE nxyz ，令21z，则223,2 3xy，可得2(3,2 3,1)n 是平面 BAE 的一个法向量，6 分因为21232 300nn，即12nn，所以平面 BAE 平面1A BD 7 分（2）由（1）可得：11(0,2,0),(2,1,0)A An是平面1A BD 的一个法向量，设1AA 和平面1A BD 所成角为，则11111125sincos,552|nA An A AnA A ，所以1AA 和平面1A BD 所成角的正弦值为55 12 分19（1）*1(1)(1),N,N2nnnn naannan（2）13(21)34nnnT【详解】（1）由题意可知，1211,3122aaa，

13、32161233,.,nnaaaan，所以数列 na的一个递推关系为*1(1),Nnnaann，2 分所以当2n 时，利用累加法可得 121321(1)1232nnnn naaaaaaaan ，学科网（北京）股份有限公司将1n 代入得11 212a，符合(1)2nn na，5 分所以数列 na的通项公式为*(1),N2nn nan 6 分（2）当1n 时，113322Sb，即13b，当2n 时，3322nnSb，113322nnSb，得113322nnnnnbSSbb，即13nnbb，8 分所以数列 nb是以 3 为首项，3 为公比等比数列，所以113,3nnnnbb，由题意可知1(2 1)n

14、nnbbnd，所以12 311nnnnbbdnn，所以(1)2 3321nnnnn nadnn，9 分所以12311 32 33 3(1)33nnnTnn ，234131 32 33 3(1)33nnnTnn ，得1231233333nnnTn，1133231 3nnnTn 11 分所以13(21)34nnnT，所以数列nnad的前n 项和13(21)34nnnT 12 分20（1）极大值为11ln 224f ，无极小值 （2）1【详解】（1）当1m 时，2()ln1(0)f xxxxx，1(1)(21)()21xxfxxxx 学科网（北京）股份有限公司当102x时，()0f x，则()f x

15、 在10,2上单调递增；当12x 时，()0fx，则()f x 在 1,2上单调递减所以()f x 在12x 时取得极大值且极大值为11ln 224f ，无极小值；5 分（2）因为对任意0,()0 xf x恒成立，所以2ln12xxm xx 在(0,)上恒成立，即2ln12xxmxx在(0,)上恒成立，设2ln1()2xxF xxx，则22(1)(2ln)()2xxxF xxx设()(2ln)xxx，显然()x在(0,)上单调递减，因为1111(1)10,2ln2ln 202222 ，所以01,12x，使得 00 x，即002ln0 xx，8 分当00,xx时，()0,()0 xF x；当0,

16、xx 时，()0,()0 xF x，所以()F x 在00,x上单调递增，在0,x 上单调递减，所以00max02000ln11()22xxF xF xxxx，10 分因为01,12x，所以011,122x，故整数m 的最小值为 1 12 分21（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则10，易知 的所有可能取值为0，1，2，则11222332222555CCCC133(0),(1),(2)C10C5C10PPP，故 的分布列为学科网（北京）股份有限公司012P11035310则1336()012105105E ，所以()10()12EE 4 分（2）由题意可知，第一次是甲回答

17、，第二次甲不回答，20P，则313P 由第n 次回答的是甲的概率为nP，得当2n 时，第1n 次回答的是甲的概率为1nP ，第1n 次回答的不是甲的概率为11nP，则1111101133nnnnPPPP 即1111434nnPP ，又1131,444nPP是以 34为首项，13为公比的等比数列，则17687311311311,434434434nnPPP ，第 7 次回答的是甲的可能性比第 8 次回答的是甲的可能性大 12 分22（1）yx（2）证明见解析【详解】（1）设11222211,(1,1),1,1,1,1A x yB xyPBPxyPAxy，211221123 11433,3 114

18、3xxxxPABPyyyy又2211224,434 43yxyx，即2222384yyx，又22222224,480,0yxyyy或22y，当20y 时，2110,4,4xxy；当22y 时，2111,1,2xxy ，此时直线 AB 的斜率不存在，舍去，(4,4),(0,0)AB，直线 AB 的方程为：yx 4 分（2）设直线:(1)1AB yk x，则直线:(1)1CD yk x ，设 11223344,A x yB xyC xyD xy，学科网（北京）股份有限公司由2(1)14yk xyx，即21(1)14xykyx，则24440yykk，所以121244,4yyy ykk，又122211|11,|11APyBPykk，1212122222111441|111111413 1APBPyyy yyykkkkkk，同理可证：2211|3 13 1()CPDPkk，|,|APCPAPBPCPDPDPBP，又,CPABPDAPCBPDCAPBDP 12 分