湖北省云学名校联盟2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2023年湖北省云学名校联盟高一年级12月联考数学试卷及答案一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合=|1|1，=|2 0，则 =()A.|0 2 B.|0 2 C.|0 0，那么下列不等式一定成立的是()A.+B.1 2 D.2 4.已知函数=(12 +1)的定义域是2,4，则函数()=()ln(2)的定义域为()A.(2,3)B.(2,3 C.(2,3)(3,6 D.(2,3)(3,4 5.函数()=2ln|的部分图象大致为()A.B.C.D.6.升温系数是衡量空调制热效果好坏的

2、主要依据之一.把物体放在制热空调的房间里升温，如果物体初始温度为1，空气的温度为0，t 小时后物体的温度可由公式=0+(0 1)求得，其中 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的升温系数.现有 A、B 两个物体放在空气中升温，已知两物体的初始温度相同，升温 2 小时后，A、B 两个物体的温度分别为50、90，假设 A、B 两个物体的升温系数分别为、，则()A.=12 ln2 B.=12 ln2 C.=12 ln2 D.=12 ln2 7.设()=log12|，则()A.(37)47 (47)37 (log56)B.(47)37 (37)47 (log56)C.(log56)(47)37 (3

3、7)47 D.(log56)(37)47 (47)37 8.已知函数()=log2(+22)，()=4 2+1，1 103,6，0,1，有(1)=()成立，则实数 x 的取值集合为()学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A.(,log2(3+1)B.log2(3+1),+)C.(0,log2(3+1)D.(0,log2(3+1)二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列命题为真命题的是()A.命题“0 1，20 02”的否定是“1，2 2”B.“1 1，且2 1”是“1+2 21 2 1 的充要条件 C.函数()=ln，则函数(2 2 3

4、)的单调递增区间为(1,+)D.函数()=log(1)2(其中 0且 1)的图象过定点(2,2)10.已知关于 x 的不等式(2 )2 (+)1 0,0)的解集为(1,12)，则下列结论正确的是()A.2+=3 B.ab 的最大值为18 C.1+的最小值为 4 D.42+2的最小值为1211.通过对函数()=log(11+)，()=log(1 )log(1+)(其中 0且 1)的性质研究，下列关于其性质的说法正确的是()A.函数()的图象关于原点成中心对称 B.函数()与函数()不是同一函数 C.当0 1时，令()=()+1，则不等式(2+1)2 ()的解集为|1 0，若关于 x 的方程()=

5、()有 4 个不同的实数解，它们从小到大依次为1，2，3，4，则()A.0 1 B.3 4=81 C.0 1 2 3 4 81 D.函数()=()有 3 个零点 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13.已知()=(2 2 2)是幂函数，且(2)(1)，则实数=_.14.若关于 x 的方程2 +1=0在区间(34,2)内有实根，则实数 a 的取值范围是_.15.同构式通俗的讲是结构相同的表达式.如：()=+，(ln)=ln+ln=ln+，称+与 ln+为同构式.已知实数1，2满足1+1=10，ln32+23+2=83，则1+32=_.16.已知函数()，()的定义域均为 R，且=(2

6、+1)为偶函数，=(3+1)3为奇函数，对任意的 x 有()+()=2+2，则(0)(2)=_.四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题 10 分)学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司求值：(1)(1.53 126)2+10(3 2)1+(1300)12.(2)lg2 lg50+lg25+(lg2)2 12 lg0.1+3ln 2 18.(本小题 12 分)已知 ，全集=，集合=|19 3 27，函数=log13(2 1)的定义域为.(1)当=1时，求();(2)若 是 成立的充分不必要条件，求 a 的取值范围.19.

7、(本小题 12 分)已知函数()=+为奇函数.(1)求实数 a 的值;(2)若函数()是定义在 R 上的奇函数，若 (1,2)，使得1+()2=0成立，求实数 m 的取值范围.20.(本小题 12 分)已知函数()对任意的实数 x，y 都有()=()()+2，并且当 2.(1)判断并证明()的单调性;(2)当 0时，求关于 x 的不等式(2)+2 (+1)+(1)的解集.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 21.(本小题 12 分)泡泡青被誉为“随州美食四宝”之一，以口感鲜美，营养丰富而闻名全国.通过调查一泡泡青个体销售点自立冬以来的日销售情况，发现：在过去的一个月内(以 3

8、0 天计)，每公斤的销售价格()(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系近似满足()=5+1，日销售量()(单位：公斤)是时间(取整数，单位：天)的函数，统计得到以下五个点在函数()的图象上：(10,50)、(15,55)、(20,60)、(25,55)、(30,50)(1)李同学结合自己所学的知识，将这个实际问题抽象为以下四个函数模型：()=+;()=|+;()=;()=log.结合所给数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量()与时间 x 的变化关系，并求出该函数的解析式;(2)设该泡泡青个体销售点日销售收入为()(单位：元)，求()的最小值(四舍五入，精确到整数).22.(

9、本小题 12 分)已知函数()=2+32+2，()=4+2+1+2 3(1)当0 1时，函数()的最小值为 5，求实数 m 的取值范围;(2)对于函数()和()，若满足：对1 ，2 ，有(1)+(1)2(2)成立，称函数()是()在区间 D 上的“相伴不减函数”，若函数()是()在区间1,2的“相伴不减函数”，求实数 m 的取值范围.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题.求出 A，B 中不等式的解集，找出 A 与 B 的交集即可.【解答】解：由|1|1，即1 1 1，即0

10、 2，即=|0 2，由 2 0，解得0 2，即=|0 2，则 =|0 2.故选：.2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查了函数零点的判断方法，属于基础题.由函数的解析式可得(12)(1)0，再利用函数的零点的判定定理即可求解【解答】解：函数()=+2 3在 R 上连续且单调递增，(12)=+1 3 0，故(12)(1)0，所以1 1 0，所以 1 0，所以 2，故 D 正确.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司4.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查求抽象函数及具体函数的定义域，属于基础题，属于基础题.由函数=(12 +1)的定义域求得()的定义域，进而结合对数函数的定义

11、域可求()的定义域.【解答】解：函数 =(12 +1)的定义域为 2,4，2 4,1 12 2,2 12 +1 3，所以()的定义域为 2,3，由题得 2 0 2 12 3，所以2 3，所以函数的定义域为(2,3)，故选：.5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于基础题.根据函数的奇偶性及特殊值，结合排除法求出结果.【解答】解：函数()=2ln|的定义域为|0，且()=2ln|=2ln|=()，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除 BD；又(2)=2ln22=ln2 0，排除 C，故选：.6.【答案】C 【解析】【分析】本题考查指对数的实际问题，属于中档题.由已知可得出

12、0+(1 0)2=500+(1 0)2=90，变形可得(1 0)2=40(1 0)2=80，化简计算即可.【解答】解：由题意可得0+(1 0)2=500+(1 0)2=90，则(1 0)2=40(1 0)2=80，化简可得2()=2，所以，2()=ln 2，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司即 =12 ln 2.故选.7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查利用对数函数的图象与性质比较大小，属于中档题.比较出0 3747 4737 0时，()=log12在(0,+)上为减函数，即可求出结果.【解答】解：因为()=log12|，所以(37)47=log123747，(47)37

13、=log124737，(log56)=log12(log56)，又0 3747 3737 4737 1，所以0 3747 4737 0时，()=log12在(0,+)上为减函数，所以(37)47 (47)37 (log56).故选.8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查指对数函数的性质，考查一元二次不等式及指数不等式的求解，属于一般题.()=log2 1+42，根据对数函数与复合函数的单调性可得 103,6时，()1,2.设()=4 2+1,0,1，根据一次函数的性质可得()2+1,4 2+1，由题意可得1,2 2+1,4 2+1，即4 2+1 2，解不等式即可.【解答】解：()=log2+

14、22=log2 1+42，当 103,6，()在 103,6上单调递减，且 103 =2,(6)=1，所以 103,6时，()1,2.设()=4 2+1,0,1，因为4 0，所以()(0),(1)，即()2+1,4 2+1.由题意可得1,2 2+1,4 2+1，所以4 2+1 2，即4 2+1 2 0，解得2 3+1或2 1 3(舍)，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司所以 log2 3+1.所以实数 x 的取值集合为log2 3+1,+.故选.9.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查了存在量词命题的否定、充要条件的判断、复合函数的单调性及对数型函数过定点的问题，属于中档题

15、 根据存在量词命题的否定判断 A，根据不等式的性质及特殊值判断 B，根据复合函数的单调性判断 C，根据对数型函数性质判断.【解答】解：.命题“0 1，20 02”的否定是“1，2 2”，故 A 正确；B.“1 1，且2 1”能推出1+2 21 2 1，反之不一定成立，例如1=5,2=12，故 B 错误；C.设=2 2 3，则=ln，由=2 2 3 0，解可得 3或 0，且是增函数，(2 2 3)在(3,+)上单调递增，在区间(,1)上，=2 2 3 0，且为减函数，故(2 2 3)在(,1)上单调递减，则函数(2 2 3)的单调递增区间为(3,+)，C 错误 D.令=2，可得(2)=log1

16、2=2，所以()=(1)2(0,1)过定点(2,2)，故 D 正确.10.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系和利用基本不等式求最值，属于中档题。由二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的对应关系和利用基本不等式，依次判断选项即可.【解答】解：由题意，2 0，且方程(2 )2 (+)1=0的两根为1和12，所以1+12=+2，1 12=12，所以2 =2，+=1，所以2+=1，A 错误;因为 0，0，所以2+=1 2 2，可得 18，当且仅当2=12时取等号，所以 ab 的最大值为18，B 正确；1+=2+=2+2+2 =4，当且仅当=，即=

17、13时取等号，所以1+的最小值为 4，C 正确；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司42+2=(2)2+2 12(2+)2=12，当且仅当2=12时取等号，所以42+2的最小值为12，所以 D 正确.故选.11.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查对数型函数的定义域与值域、考查对数函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于一般题.先求出函数()的定义域，根据奇偶性的定义可判断 A；求出()的定义域，根据对数的运算及同一函数的概念可判断 B；分离常数，结合对数函数的性质可判断 C；根据函数()的奇偶性可将(2+1)2 ()转化为(2+1)()，根据函数的定义域及单调性即可判断.【解

18、答】解：对于 A，因为()=log(1 )log(1+)，所以函数()的定义域为(1,1)，()=log(1+)log(1 )=()，所以函数()为奇函数，其图象关于原点中心对称，故 A 正确;对于 B，令11+0，可得1 1，所以()的定义域为(1,1)，且()=log11+=log(1 )log(1+)，所以函数()与函数()是同一函数，故 B 错误;对于 C，()=log11+=log 1+21+，因为1 1，所以0 +1 1，1+21+0，因为0 2 ()，可得(2+1)1 1 ()，即(2+1)().因为函数()为奇函数，所以(2+1)().因为()=log(1 )log(1+)，1

19、，所以()在(1,1)上单调递减.由(2+1)()，可得2+1 1 2+1 11 1，解得1 13，故 D 正确.12.【答案】BCD 【解析】【分析】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司本题考查函数的零点与方程根的关系，考查分段函数的图像，考查基本不等式，属于较难题 在同一直角坐标系中分别画出函数=()与函数=的图像，由图像可得判断 A；根据二次函数与对数函数的图像与性质可得(log33 2)=(log34 2)，1+2=2，且2 1 1 2 0，结合基本不等式可判断BC；由()=0，可得()=1或()=9，结合图像可判断.【解答】解：在同一直角坐标系中分别画出函数=()与函

20、数=的图像，如下图所示：对于 A，由图可知：当0 1时，满足函数=()与函数=有四个不同的交点，故 A 不正确；对于 B，因为|log33 2|=|log34 2|，所以(log33 2)=(log34 2)，即log33+log34=4，即log3(34)=4，所以34=34=81，故 B 正确；对于 C，=2+2+1的对称轴为=1，所以1+2=2，且2 1 1 2 0，所以12 1+222=1，且12 0，所以1234=8112 0,81),故 C 正确；由()=0，可得=1或=9，所以由()=0，可得()=1或()=9.由图可得方程()=1无解，()=9有 3 个解，所以函数()=()有

21、 3 个零点，故 D 正确.故选.13.【答案】1 【解析】【分析】本题考查幂函数的定义及性质，属于基础题目.根据幂函数定义确定 m 的取值，再根据条件(2)(1)得到结果.【解答】解：由题意可得2 2 2=1，解得=3或=1，又(2)(1)，函数在第一象限单调递减，所以=1.故答案为1.14.【答案】2,52)学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题主要考查方程的根以及函数的单调性和最值的运用，属于中档题.由题意可得=+1，再根据函数的单调性结合最值可得 a 的范围.【解答】解：由题意可得：=+1区间(34,2)内有实根，由于函数=+1在(34,1上是减函数，

22、在(1,2)上是增函数，当=1时，y 取得最小值 2，当 x 趋近于34时，y 趋近于2512，x 趋近于 2 时，y 趋近于52，的取值范围为2,52).故答案为2,52).15.【答案】8 【解析】【分析】本题考查函数的新定义，考查对数式的化简，考查指对互化，属于中档题.由()=+并结合已知条件易得(1)=10，(ln(32+2)=10，易知()=+在 R 上单调递增，则有1=ln(32+2)，整理并化简即可求出1+32的值.【解答】解：因为()=+，1+1=10，所以(1)=10，又ln32+23+2=13 ln(32+2)+2=83，所以ln(32+2)+32=8，所以ln(32+2)

23、+(32+2)=10，又(ln)=ln+ln=ln+，则(ln(32+2)=10，则(1)=(ln(32+2)，又易知()=+在 R 上单调递增，所以1=ln(32+2)，则1=32+2，又1+1=10，所以10 1=32+2，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司所以1+32=8，故答案为：8.16.【答案】3364 【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性与对称性，属于较难题.由题意，得=()的图象关于直线=1对称，=()关于点(1,3)对称，求出函数的解析式，从而求出(0)，(2)即可.【解答】解：=(2+1)为偶函数，即(2+1)=(2+1)，故=()的图象关于直线=1对称

24、，所以(2 )=()，=(3+1)3为奇函数，即(3+1)3=(3+1)+3，故=()的图象关于点(1,3)对称，所以(2 )=6 ()，均有()+()=2+2，故(2 )+(2 )=22+22+，所以()+6 ()=22+22+，与()+()=2+2，联立求出()=58 2+52 2 3，()=38 2 32 2+3，所以(0)=18，(2)=338，所以(0)(2)=3364.故答案为：3364.17.【答案】解：(1)原式=(94)13 1213+10 32+30012=3 10(3+2)+10 3=17.(2)原式=lg2 (2 lg2)+2lg5+(lg2)2+12+18=2lg2+

25、2lg5+58=218.【解析】本题考查指数幂的运算，对数的运算，属于基础题.(1)利用指数幂的运算法则即可得出答案；(2)利用对数的运算法则即可得出答案.18.【答案】解：(1)=|19 3 27=|32 3 33=|2 +3，即 =(2,+3.当 =1 时，=(1,4,由 13(2 1)0,，得 0 2 1 1，解得 12 1，即 =(12,1 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司=(,12 (1,+)，()=(1,12 (1,4 .(2)由 是 的充分不必要条件，可知集合 B 是集合 A 的真子集 所以 2 12+3 1(且两等号不能同时成立)，解得 2 52，经检验符合

26、集合 B 是集合 A 的真子集，所以 a 的取值范围是 2,52.【解析】本题主要考查集合的运算，考查转化能力，属于中档题.(1)根据指数和对数函数的单调性解不等式，即可根据集合的运算求解，(2)根据充分不必要条件，转化为集合间的关系分析即可求解.19.【答案】解：(1)因为()为奇函数，所以()+()=+=2 2+1 21+2=2(222)(2+)(1+2)=0，所以2 22=0，解得=1.当=1时，()的定义域为 R，满足题意；当=1时，()的定义域为|0，满足题意.因此，a 的值为 1 或1.(2)()为定义域为 R，由(1)知=1，1+()2=1+2=1+212+1 2=222+1 2

27、=0，化简得=22+1.令()=22+1，函数()在区间(1,2)上单调递减，(2)=24+1，(1)=22+1，故 m 的取值范围为(24+1,22+1).【解析】本题考查指数型函数的图像与性质，考查函数的奇偶性，属于一般题.(1)根据()+()=0，可得2 22=0，求解即可；(2)由(1)可得=1，由1+()2=0，得=22+1，根据指数函数的单调性即可求解.20.【答案】解：(1)令=0，解得(0)=2，又当 2，可判断()为减函数，证明如下：学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1,2 ,不妨设1 2，依题意(1 2)=(1)(2)+2，即(1)(2)=(1 2)2，因

28、为1 2，所以1 2 2，因此(1)(2)0，即(1)(2)，所以()为减函数.(2)原不等式可化为(2)(+1)+2 (1)，即：(2 (+1)(1)，因()单调递减，故2 (+1)1成立，即：2 (+1)+1 0，(1)(1)0，当0 1，解为1 1;当=1时，1=1，解为=1;当 1时，0 1 1，解为1 1.综上：当=1时，解集为1;当0 1时，解集为|1 1.【解析】本题考查函数的单调性和利用函数的单调性解不等式，属于中档题.(1)先赋值求得(0)=2，可判断()为减函数，再利用单调性定义证明；(2)利用已知，将原不等式化为(2)(+1)+2 (1)，进一步化为(2 (+1)(1)，

29、利用单调性化为2 (+1)1的求解，对 a 分类讨论即可.21.【答案】解：(1)由题可知，()图象上五点关于=20对称，且不单调，故选第种函数模型，即()=|+，此时=20，将(10,50)，(15,55)，(20,60)三点代入()解析式中，可得|10 20|+=50|15 20|+=5560=，解得=60=1.()=|20|+60(1 30，且 ).(2)当1 20时，()=|20|+60=(20 )+60=40+，销售点的销售收入：()=()()=(5+1)(40+)=201+5(+8).()在区间1,2上单调递减，在区间3,20上单调递增，故()最小值可能为(2)或(3).学科网（北

30、京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司又(2)=231(元)，(3)=229 13 229(元)，(3)229，综上()min=(3)229(元).【解析】本题考查函数模型的选择，考查分段函数模型，考查分段函数的最值，属于中档题.(1)根据()图象上五点关于=20对称，且不单调，可知()=|+，且=20，代入点坐标求出 a，b 即可；(2)当1 20时，()=201+5(+8)，当21 30时，()=399 5+80，根据函数的单调性即可求解.22.【答案】解：(1)令2=，因为0 1，所以 1,2，则()=4+2+1+2 3=2+2+2 3=(+)2 2+2 3，1,2，令()=(+)2

31、 2+2 3，1,2，当 1，即 1时，()在区间1,2上单调递增，()min=(1)=5，解得=74，成立;当 2，即 2时，则()在区间1,2上单调递减，则()min=(2)=5，解得=23 2，舍去;当1 2，即2 0 2 313 2+2=(+2)+193(+2)+4，令()=(+2)+193(+2)+4，函数()在区间52,174 上单调递减，()min=(174)=371300，则2 ()min=371300，所以 371600.【解析】本题考查由函数的最值求参，考查对勾函数的图象与性质，考查不等式的存在性与恒成立问题，考查函数的新定义，考查一元二次函数的图象与性质，属于较难题.(1)换元，令2=，1,2，则4+2+1+2 3=(+)2 2+2 3，令()=(+)2 2+2 3，1,2，再分 1，2，1 2三类分别讨论()的最小值，即可求出 m 的值；(2)依题意有1 1,2，2 1,2，有(1)+(1)2(2)，又()=12(+1+4+1 2)，利用对勾函数的单调性可求出()max，则原不等式可以化为()+()2()max在1,2上恒成立，即(4+4)+2(2+2)+4 6 73，换元，令2+2=，52,174，可得2+2+4 313 0，则2 313 2+2=(+2)+193(+2)+4，由此即可求出 m 的取值范围.