2022版新教材数学人教A版必修第一册学案：第三章 加练课3 恒成立与能成立问题 WORD版含答案.docx

1、加练课3 恒成立与能成立问题学习目标1.了解不等式中“恒成立与能成立”问题的三种常见类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型.掌握不等式恒成立与能成立问题的解题方法.2.运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想和数学方法分析和解决问题.自主检测必备知识 一、概念辨析，判断正误1.当x=-1 或x=2 时，都能使不等式2x-30 成立.( )2.设f(x)=ax+b ，若f(x)0 在m,n 上恒成立，则f(m)0 和f(n)0 同时成立.( )3.若f(x) 在区间a,b 上单调递减，且f(x0)0,x0(a,b) ，则f(x)0 恒成立.( )二、夯实基础，自我检测4.（20

2、20河北尚义第一中学高一期中）若命题p ：xR,x2+ax+10 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.a2 B.a-2C.-2a2 D.a-2 或a2答案：C解析：令f(x)=x2+ax+1 ，则必有=a2-40 ，解得-2a2 ，所以实数a 的取值范围是-2a2 .故选C.5.（2021四川成都树德中学高一月考）若关于x 的不等式ax2-2ax+30 无解，则实数a 的取值范围是( )A.a0 或a3 B.0a3C.a0 或a3 D.0a3答案：B解析：ax2-2ax+30 无解ax2-2ax+30 恒成立，当a=0 时，30 恒成立；当a0 时，a0,=4a2-12a0, 解得0a3

3、 .综上，实数a 的取值范围是0a3 .故选B.6.（2020山西太原高一月考）若关于x 的不等式2x2-8x-4+a0 在1x3 内有解，则实数a 的取值范围是( )A.a12 B.a10C.a12 D.a10答案：C解析：由题意，可得-a2x2-8x-4 ，设f(x)=2x2-8x-4=2(x-2)2-12 ，若1x3 ，则-12f(x)-10 ，若使不等式2x2-8x-4+a0 在1x3 内有解，则只需-af(x)min ，即-a-12 ，解得a12 .故选C.7.若不等式mx2+2mx+10 的解集为R ，则实数m 的取值范围是 .答案：0,1)8.当x(1,2) 时，不等式x2+mx

4、+20 恒成立，则m 的取值范围是 .答案：(-22,+)解析：当x(1,2) 时，不等式x2+mx+20 恒成立，等价于m-x-2x 恒成立.设f(x)=-x-2x ，其中x(1,2) ，则f(x)=-(x+2x)-2x2x=-22 ，当且仅当x=2 时取“=”.f(x) 的最大值为-22 .m 的取值范围是(-22,+) .互动探究关键能力探究点一 不等式能成立问题精讲精练例（2020浙江温州中学高一期中）已知函数f(x)=2x2-(m+3)x+1 .（1）当m=-2 时，求不等式f(x)2 的解集；（2）若关于x 的不等式f(x)2 在1,2 上有解，求实数m 的取值范围.答案：（1）当

5、m=-2 时，f(x)=2x2-x+12 ，即2x2-x-10 ，即(2x+1)(x-1)0 ，解得-12x1 ，故不等式的解集为x|-12x1 .（2）由题意得，2x2-(m+3)x+12 在x1,2 上有解，即m2x2-3x-1x=2x-1x-3 在x1,2 上有解，记g(x)=2x-1x-3,x1,2 ，则mg(x)min ，又g(x) 在1,2 上单调递增，所以g(x)min=g(1)=-2 ，所以m-2 .解题感悟解决不等式有解问题，可按以下规则进行转化：一般地，已知函数y=f(x),xa,b ，（1）若x1a,b,f(x1)m 有解，f(x)minm 有解，f(x)minm .迁移

6、应用1.已知函数f(x)=ax2-(2a+3)x+6(aR) .（1）当a=1 时，求函数y=f(x) 的零点；（2）解关于x 的不等式f(x)0(a0) ；（3）当a=1 时，函数f(x)-(m+5)x+3+m 在-2,2 上有解，求实数m 的取值范围.答案：（1）当a=1 时，f(x)=x2-5x+6=(x-2)(x-3) ，所以函数y=f(x) 的零点为2，3（2）由f(x)=ax2-(2a+3)x+60 可得(ax-3)(x-2)0,g(1)=x-2+x2-4x+40,解得x1 或x3 .故当x的取值范围是(-,1)(3,+) 时，对任意的m-1,1 ，函数f(x) 的值恒大于零.例2

7、（2020江苏淮安阳光学校高一月考）设mR ，二次函数y=x2-5x+m .（1）若该二次函数的两个零点都在区间(1,+) 内，求m 的取值范围；（2）若对任意的x1,2 ，不等式x2-5x+m2x2+mx+m2 恒成立，求m 的取值范围.答案：（1）二次函数y=x2-5x+m 图象的对称轴为直线x=52 ，由题意可得=(-5)2-4m0,f(1)=1-51+m0,解得m4,所以m 的取值范围为4m254 .（2）不等式x2-5x+m2x2+mx+m2 对于任意的x1,2 恒成立，即x2+(m+5)x+m2-m0 对于任意的x1,2 恒成立，设g(x)=x2+(m+5)x+m2-m ，函数图象

8、为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x=-m+52 ，则只需g(x)min0 ，所以-m+522,g(x)min=g(2)0或-m+521,g(x)min=g(1)0或1-m+522,g(x)mis=g(-m+52)0,解得m-9,m2+m+140 或m-7,m2+60或-9m0(a0) 在m,n 上恒成立f(m)0,f(n)0.f(x)=ax+b0(a0) 在m,n 上恒成立f(m)0,f(n)0,0;若ax2+bx+c0 在R 上恒成立，则a0(a0) 在某个区间上恒成立，则利用图象法或转化为求函数的最值问题或分离变量法求解.迁移应用1.（2020江苏南京高一期中）已知函数f(x)=x2-4

9、ax+3a2 ，其中a 为实数.（1）当a=2 时，判断命题p ：xR,f(x)0 的真假，并说明理由；（2）若x1,2,f(x)0 ，求实数a 的取值范围.答案：（1）命题p 为真命题.理由：当a=2 时，f(x)=x2-8x+12 ，又f(2)=0 ，所以命题p ：xR,f(x)0 为真命题.（2）由题意得，函数f(x) 的图象关于直线x=2a 对称，f(x) 在(-,2a) 上是减函数，在(2a,+) 上是增函数，当322a 时，f(x) 的最大值为f(1) ，当322a 时，f(x) 的最大值为f(2) ，则要使x1,2,f(x)0 ，只需f(1)0 ，且f(2)0即3a2-4a+10

10、 ，且3a2-8a+40,解得13a1 ，且23a2 ，即23a1 ，所以实数a 的取值范围是23,1 .探究点三 变量分离型精讲精练例（2020山东烟台高一期中）已知函数f(x)=x2-3x+b ，不等式f(x)0 的解集为x|1xt,b,tR .（1）求b 和t 的值；（2）当x1,4 时，函数y=f(x) 的图象恒在y=kx2 图象的上方，求实数k 的取值范围.答案：（1）因为不等式f(x)0 的解集为x|1xt ，所以1和t 为方程x2-3x+b=0 的两根，所以1t=b,1+t=3, 解得b=t=2 .（2）由题意得，x1,4 ，恒有x2-3x+2kx2 .两边同时除以x2 得，k2

11、x2-3x+1 .令g(x)=2x2-3x+1,t=1x,则g(t)=2t2-3t+1 ，则k2x2-3x+1 等价于kg(t),t14,1 ，即kg(t)min又g(t)=2t2-3t+1=2(t-34)2-18 ，所以当t=34 时，g(t)min=-18 .所以实数k 的取值范围为k-18 .解题感悟函数恒成立问题的求解方法在求解恒成立问题时，把参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的代数式，另一端是一个区间上的具体函数，这样便于问题的解决.一般将函数的恒成立问题转化为求函数的最大值或最小值问题：af(x) 恒成立af(x)min ；af(x) 恒成立af(x)min .迁移应用1.（2

12、020江苏南京师范大学附属中学高一月考）已知二次函数f(x) 的值域为-4,+) ，且不等式f(x)0 的解集为(-1,3).（1）求f(x) 的解析式；（2）若对于任意的x-2,2,f(x)2x+m 恒成立，求实数m 的取值范围. 答案：（1）设f(x)=ax2+bx+c(a0) ，由题意可得，f(-1)=a-b+c=0,f(3)=9a+3b+c=0,f(1)=a+b+c=-4, 解得a=1,b=-2,c=-3, 即f(x)=x2-2x-3 .（2）由（1）得mx2-4x-3 对任意的x-2,2 恒成立，令g(x)=x2-4x-3=(x-2)2-7 ，当x-2,2 时，g(x)-7,9 ，所

13、以m-7 ，即实数m 的取值范围是(-,-7) .评价检测素养提升 1.（2020江苏南京第五高级中学高一月考）不等式2x2-kx-k0 对于一切实数x 恒成立，则k 的取值范围为( )A.(-8,0)B.(0,8)C.(-,-8)(0,+)D.(-,0)(8,+)答案：A2.（2020湖北宜昌高一期中）如果x0R ，使得x02+ax0+10 成立，那么实数a 的取值范围为( )A.(-,-2B.(-,-2)(2,+)C.2,+)D.答案：B3.已知当a-1,1 时，不等式x2+(a-4)x+4-2a0 恒成立，则实数x 的取值范围是 .答案：(-,1)(3,+)解析：令g(a)=x2+(a-

14、4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4 ，因为当a-1,1 时，不等式x2+(a-4)x+4-2a0 恒成立，所以g(-1)0,g(1)0, 即x2-5x+60,x2-3x+20, 解得x1 或x3 ，所以实数x 的取值范围为(-,1)(3,+) .4.已知函数f(x)=x2+mx-1 ，若对于任意的xm,m+1 ，都有f(x)0 成立，则实数m 的取值范围是 .答案：(-22,0)解析：由题意可得f(m)=2m2-10,f(m+1)=2m2+3m0,解得-22m0 ，所以实数m 的取值范围是(-22,0) .5.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0) 满足f(x+1)-f(x)

15、=2x ，且f(0)=1 .（1）求f(x) 的解析式；（2）当x1,3 时，不等式f(x)m(x+2) 恒成立，求实数m 的取值范围.答案：（1）由f(0)=1 ，可得c=1 ，由f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b=2x ，可得2a=2,a+b=0 ，解得a=1,b=-1 ，则f(x)=x2-x+1 .（2）由题意得，不等式x2-x+1m(x+2) 在x1,3 上恒成立，即x2-(1+m)x+1-2m0 在x1,3 上恒成立，设g(x)=x2-(1+m)x+1-2m ，则g(1)=1-(1+m)+1-2m0 ，且g(3)=9-3(1+m)+1-2m0解得m13 且m75 ，则m75 ，即m 的取值范围是(75,+) .