2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：3-1-2 椭圆的简单几何性质 WORD版含答案.docx

1、3.1.2 椭圆的简单几何性质课标解读课标要求素养要求1.掌握椭圆的简单几何性质，掌握a ，b ，c ，e 的几何意义及a ，b ，c ，e 之间的关系.2.利用椭圆的方程研究椭圆的简单几何性质.3.利用椭圆的知识解决简单的实际问题.1.数学抽象能抽象出椭圆的简单几何性质.2.数学建模会利用椭圆的知识解决应用问题.自主学习必备知识教材研习教材原句1.椭圆的简单几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1(ab0)y2a2+x2b2=1(ab0)范围 -axa且-byb -bxb且-aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心（中心）为原点顶点 A1(-a,0),A

2、2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)B1(0,-b),B2(0,b)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|= 2b ，长轴长|A1A2|= 2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|= 2c2.离心率（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比 ca 称为椭圆的离心率，用e 表示，即e=ca .（2）性质：离心率e 的范围是 (0,1) . 当e 越接近于1时，椭圆越扁平；当e 越接近于0时，椭圆就越接近于 圆 .自主思考1.观察下图中的椭圆x24+y2=1 ，它与坐标轴有交点吗？若有，请写出交点及交点坐标.提示 有，交点分别为A1

3、(-2,0) ，A2(2,0) ，B2(0,1) ，B1(0,-1) .2.除了e=ca 外，e 还有其他表示方法吗？离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示 有，e2=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2 ，所以 e=1-b2a2 .不一定，离心率相同的椭圆只是焦距与长轴长的比值相同，并不一定是同一个椭圆.名师点睛1.通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长，其长度为2b2a .2.椭圆x2a2+y2b2=k(k0,ab0) 与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 有相同的离心率.3.与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 共焦点的椭圆方程可设为x2a2+m+y2b2+m=1(ab0,m-b2)

4、.4.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 中线段的几何特征（如图，F1 ，F2 为焦点）：（1）|PF1|+|PF2|=2a ；（2）|A1F1|=|A2F2|=a-c ，|A1F2|=|A2F1|=a+c ，a-c|PF1|a+c .互动探究关键能力探究点一 椭圆的简单几何性质精讲精练类型1 求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标 例1 已知椭圆方程为mx2+4y2=4m(m0) ，且焦距与长轴长的比为12 ，试求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标.答案：椭圆方程可化为x24+y2m=1 .当0m4 ，即焦点在x 轴上时，a=2 ，b=m ，c=4-m ，e=ca=4-m2=12 ，m=3 ，b=3

5、 ，c=1 椭圆的长轴长和短轴长分别为4，23 ，顶点坐标为(-2,0)，(2,0)，(0,-3) ，(0,3) ；当m4 ，即焦点在y 轴上时，a=m ，b=2 ，c=m-4 ，e=ca=m-4m=12 ，解得m=163 ，a=433 ，c=233 ， 椭圆的长轴长和短轴长分别为833 ，4，顶点坐标为(0,-433) ，(0,433) ，(-2,0)，(2,0)解题感悟用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤：（1）将椭圆方程化为标准形式;（2）确定焦点位置（焦点位置不确定的要分类讨论）;（3）求出a ，b ，c ;（4）写出椭圆的几何性质.类型2 求椭圆的离心率 例2 已知椭圆C:x2a2+y

6、2b2=1(ab0) 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，点M(x1,y1) ，N(-x1,-y1) 在椭圆C 上，若2|MF1|=3|NF1| ，且且MF1N=120 ，则椭圆C 的离心率为( )A.75 B.57 C.710 D.257答案：A解析：由椭圆的对称性可知，四边形MF1NF2 为平行四边形，且MF1N=120 ，所以F1MF2=60 ，因为2|MF1|=3|NF1| ，所以在F1MF2 中，2|MF1|=3|MF2| ，设|MF1|=3m ，m0 ，则|MF2|=2m ，由余弦定理得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|MF2|cos60=7m2 ，即|F1F2

7、|=7m, 所以2c=7m ，由椭圆的定义得2a=|MF1|+|MF2|=5m ，故椭圆的离心率为e=ca=7m5m=75 .解题感悟求椭圆离心率的两种方法：（1）直接法：若a ，c 的值可求，则直接利用e=ca 求解;（2）方程法：若a ，c 的值不可求，则先根据条件建立关于a ，b ，c 的关系式，再将方程或不等式两边同时除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围.迁移应用1.（2021湖南岳阳平江一中高二段考）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为( )A.22

8、 B.3-12 C.5-12 D.32答案：C解析：如图所示，易知AFB、ABF 均为锐角，所以FAB 是以FAB 为直角的直角三角形，由题意可知，F(-c,0) 、A(0,b) 、B(a,0) ，则AF=(-c,-b) ，AB=(a,-b) ，所以AFAB=-ac+b2=0 ，且a2=b2+c2 ，所以a2-c2-ac=0 ，即c2+ac-a2=0 ，两边同时除以a2 可得e2+e-1=0 ，且0e1 ，解得e=5-12 .2.试写出椭圆m2x2+4m2y2=1(m0) 的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.答案：椭圆方程m2x2+4m2y2=1(m0) 可转化为x21m2+y214m2=1

9、 ，因为m2a1 ，c2c1 ，则a2+c2a1+c1 ，所以错误；由椭圆的几何性质可知|PF|=a1-c1 ，|PF|=a2-c2 ，即a1-c1=a2-c2 ，所以正确；由可知，a1+c2=a2+c1, 两边同时平方可得(a1+c2)2=(a2+c1)2 ，展开得a12+2a12+c22=a22+2a2c1+c12 ，移项变形可得a12-c12+2a1 ，根据椭圆的性质可知a12-c22=b22 ，所以b12+2a12=b22+2a2c1 .因为b1a2c1 ，两边同时除以a1a2 ，可得c2a2c1a1,所以正确；由可知a1c2a2c1 ，所以错误.综上可知，正确的为.评价检测素养提升1

10、.（2021福建华安一中高二期中）椭圆x25+y2=1 的焦点坐标为( )A.(1,0) B.(2,0)C.(0,1) D.(0,2)答案：B解析：由a2=5 ，b2=1 得c=5-1=2 ， 椭圆x25+y2=1 的焦点坐标是(2，0) ，(-2，0) .2.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为13 ，则ab= ( )A.89 B.322C.43 D.324答案：D解析：因为e=ca=a2-b2a2=13 ，所以8a2=9b2 ，所以ab=324 .3.已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于 .答案：45解析：根据题意得2b=6

11、 ，a+c=9 或a-c=9 （舍去）.因为a2-b2=c2 ，所以a=5 ，c=4 ，故e=ca=45 .4.求符合下列条件的椭圆的标准方程.（1）与椭圆x24+y23=1 有相同离心率且经过点(2,-3) ；（2）离心率为35 ，短轴长为8.答案：（1）若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x24+y23=t(t0) ，将点(2,-3) 代入得t=224+(-3)23=2 ，故所求方程为x28+y26=1 ；若焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为y24+x23=(0) ，将点(2,-3) 代入得=223+(-3)24=2512 ，故所求方程为y2253+x2254=1 .综上，椭圆的标准方程为x28+y26=1 或y2253+x2254=1 .（2）因为椭圆的离心率为35 ，短轴长为8，所以ca=35, 2b=8, a2=b2+c2, 解得a=5,b=4,c=3,若椭圆的焦点在x 轴上，则方程为x225+y216=1 ；若椭圆的焦点在y 轴上，则方程为y225+x216=1 .综上，椭圆的标准方程为x225+y216=1 或y225+x216=1 .