2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：3-3-1 抛物线及其标准方程 WORD版含答案.docx

1、3.3 抛物线3.3.1 抛物线及其标准方程课标解读课标要求素养要求1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.理解p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线的标准方程问题.1.逻辑推理能够推导出抛物线的标准方程.2.数学运算会根据条件求抛物线的标准方程.自主学习必备知识教材研习 教材原句1.抛物线的定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离 相等 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 准线 .2.抛物线的标准方程：图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p0) F(p2,0) x=-p2y2=-2p

2、x(p0) F(-p2,0)x=p2x2=2py(p0) F(0,p2) y=-p2x2=-2py(p0) F(0,-p2)y=p2自主思考1.平面内与一个定点F(1,0) 和定直线l:x=1 的距离相等的点的轨迹是什么？提示 由已知l 经过点F，所以轨迹是过点F，且垂直于l的直线.2.已知抛物线y2=8x ，则焦点到准线的距离是多少？提示 由已知得2p=8 ，所以p=4 ，根据p 的几何意义，焦点到准线的距离是4.3.在左侧四个抛物线中，哪些可以看作是二次函数的图象？提示 第三个和第四个.名师点睛1.求抛物线的标准方程时需注意的两个问题（1）把握开口方向与方程间的对应关系.根据抛物线的方程中

3、一次式2px ，2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上.（2）当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2=mx(m0) 或x2=ny(n0) ，这样可以减少讨论情况的种数.2.与抛物线定义有关的常用结论（1）抛物线y2=2px(p0) 上一点P(x0,y0) 到焦点F(p2,0) 的距离|PF|=x0+p2 ，也称为抛物线的焦半径.（2）y2=ax(a0) 的焦点坐标为(a4,0) ，准线方程为x=-a4 .互动探究关键能力探究点一 抛物线的标准方程精讲精练例 求适合下列条件的抛物线的标准方程.（1）过点(-3,2

4、) ；（2）焦点在直线x-2y-4=0 上答案：（1）设抛物线的标准方程为y2=-2px 或x2=2py(p0) ，将点(-3,2) 代入方程得2p=43 或2p=92 ， 所求抛物线的标准方程为y2=-43x 或x2=92y .（2）当焦点在y 轴上时，令x=0 ，由方程x-2y-4=0 得y=-2 ， 抛物线的焦点为F(0,-2) ，设抛物线方程为x2=-2py(p0) ，则由p2=2 得2p=8 ， 所求抛物线方程为x2=-8y ；当焦点在x 轴上时，同理可得y2=16x .综上所述，所求抛物线的标准方程为x2=-8y 或y2=16x .解题感悟求抛物线标准方程的两种方法：（1）当焦点位

5、置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于p 的方程，求出p 的值，进而写出抛物线的标准方程.（2）当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2=mx(m0) 或x2=ny(n0) ，利用已知条件求出m ，n 的值，进而写出抛物线的标准方程.迁移应用根据下列条件，求抛物线的标准方程.（1）焦点到准线的距离是6；（2）准线方程为y=-23 .答案：（1）由已知得p=6 ，因为焦点位置不确定，所以抛物线的标准方程为y2=12x ，y2=-12x ，x2=12y ，x2=-12y .（2）因为抛物线的准线交y 轴于负半轴，且p2=23 ，所以p=43 ，所以所求抛物线的标准方

6、程为x2=83y .探究点二 抛物线的定义及应用精讲精练类型1 求抛物线上的点与焦点的距离例1已知F 是抛物线y2=x 的焦点.（1）若A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3 ，求线段AB 的中点到y 轴的距离；（2）若A(x0,y0) 是抛物线上一点，|AF|=54x0 ，求x0 的值.答案：（1）由题意知抛物线的准线方程为x=-14 .|AF| ，|BF| 分别为A ，B 到准线l 的距离d1 ，d2 （如图所示）.则线段AB 的中点到准线的距离d=d1+d22=32 ， 线段AB 的中点到y 轴的距离为32-14=54 .（2）因为|AF|=54x0 ，所以根据抛物线的定义

7、可得x0+14=|AF|=54x0 ，解得x0=1 .解题感悟根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.类型2 求最值例2（2021四川江油一中高二期中）已知直线l 为抛物线y2=8x 的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点A 的坐标为(1,4) ，则|AM|+d 的最小值是( ) A.17 B.4 C.2D.1+17思路分析 设抛物线的焦点为F ，则F(2,0) ，利用抛物线的定义可得|AM|+d=|AM|+|MF| ，当A ，M ，F 共线时，|AM|+d 取得最小值，由此求得答案.答案：A解析：设抛物线y

8、2=8x 的焦点为F ，则F(2,0) ，准线方程为x=-2 ，连接FM ，MA ，由抛物线的定义知|MF|=d ，|AM|+d=|AM|+|MF|AF|=(1-2)2+(4-0)2=17 ，当且仅当A ，M ，F 三点共线时，取“=”号，|AM|+d 的最小值为17 .解题感悟在抛物线中求解与焦点有关的两点间的距离和的最小值问题时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.迁移应用 1.（2021北京房山高二期末）设抛物线x2=8y 的焦点为F ，点M(x0,3) 在抛物线上，则抛物线的准线方程为 ； |MF|= .答案：y=-2 ; 5解析：因为抛物线的方程为x2=8y ，所

9、以准线方程为y=-p2=-42=-2 ，|MF|=3+p2=5 .2.已知抛物线y2=2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A(3,2) ，则|PA|+|PF| 的最小值为 ，此时P 点的坐标为 .答案：72 ; (2,2)解析：如图，作PNl 于N （l 为准线），作ABl 于B ，则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|AB| ，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号，(|PA|+|PF|)min=|AB|=3+12=72 .此时yp=2 ，代入抛物线方程得xp=2 ，P 点的坐标为(2,2).探究点三 抛物线的实际应用精讲精练例如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形

10、的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米.（1）以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线的标准方程；（2）若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米. 答案：（1）根据题意可设该抛物线的标准方程为x2=-2py(p0) ，结合图象，可得点C 的坐标为(5,-5) ，又点C(5,-5) 在抛物线上，所以52=-2p(-5) ，解得p=52 ，所以该抛物线的标准方程为x2=-5y .（2）设车辆高为h 米，则|DB|=h+0.5 ，故D(3.5,h-6.5)

11、 ，将D 点的坐标代入方程x2=-5y ，得h=4.05 ，所以通过隧道的车辆限制高度为4.05米.解题感悟求抛物线实际应用的五个步骤：（1）建立适当的坐标系;（2）设出合适的抛物线的标准方程;（3）通过计算求出抛物线的标准方程;（4）求出需要的量;（5）还原到实际问题中，从而解决实际问题.迁移应用 1.（2020广东深圳高二期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为25m 时，水面下降了( )A.5m B.2mC.1m D.12m答案：D解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为x2=ay(a0) ，由点(2,-2)在抛物线上，

12、得a=-2 ，所以抛物线方程为x2=-2y ，当水面宽为25m 时，设拱顶高于水面hm ，由点(5,-h) 在抛物线上，得h=52 ，故水面下降了12m .2.如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为36m ，则此时欲经过桥洞的一艘宽12m 的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过( )A.6m B.6.5mC.7.5m D.8m答案：D解析：根据题意，画出抛物线如图所示：设宽度为36m 时，与抛物线的交点分别为A ，B ，当宽度为12m 时，与抛物线的交点为C ，D ，抛物线的标准方程为x2=-2py(p0) ，由题意可知2p=36 ，则抛物线的方程为x2=-

13、36y ，故A(18,-9) .当宽度为12m 时，设C(6,a) ，代入抛物线的方程可得62=-36a ，解得a=-1 ，所以直线AB 与直线CD 的距离h=(-1)-(-9)=8m ，即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过8m .评价检测素养提升1.抛物线x2=8y 的焦点坐标是( )A.(0,2)B.(0,-2)C.(4,0)D.(-4,0)答案：A解析：由抛物线的方程x2=8y 知，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以2p=8 ，p2=2 ，所以焦点坐标为(0,2).故选A.2.已知抛物线y2=2px(p0) ，若点A(2,-4) 在抛物线上，则点A 到焦点的距离为 .答案： 4解析：把点(2,-4)代入y2=2px ，得16=4p ，即p=4 ，从而抛物线的焦点坐标为(2,0)，故点A到焦点的距离为4.3.若抛物线y2=-2px(p0) 上有一点M ，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标.答案：由抛物线的方程y2=-2px(p0) ，得其焦点坐标为(-p2,0) ，准线方程为x=p2 .设点M 到准线的距离为d ，则d=|MF|=10 ，即p2-(-9)=10 ，得p=2 ，故抛物线的方程为y2=-4x .由点M(-9,yM) 在抛物线上，得yM=6 ，故点M 的坐标为(-9,6)或(-9,-6).