2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：微专题1 圆锥曲线中的最值与范围问题 WORD版含答案.docx

1、微专题1 圆锥曲线中的最值与范围问题学习目标1.进一步掌握圆锥曲线的定义、性质.2.掌握求解圆锥曲线中最值和范围问题的基本方法.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.椭圆中的最短弦长为2b2a .( )2.在抛物线x2=2py 中，x0 .( )3.已知与向量v=(1,0) 平行的直线l 与双曲线x24-y2=1 相交于A ，B 两点，则|AB| 的最小值为4.( )二、夯实基础，自我检测4.（2020福建三明泰宁一中高二段考）已知椭圆x28+y2=1 的左、右焦点分别为F1、F2 ，点P 在椭圆上，则|PF1|PF2| 的最大值是( )A.22 B.8C.10D.42答案：B5.已知O

2、为坐标原点，点F 为椭圆x24+y23=1 的左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OPFP 的最大值为( )A.2B.3C.6D.8答案：C6.已知F1 ，F2 分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点，过F1 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABF2 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .答案：(1+2,+)解析：由题意可知ABF2 为等腰三角形，只要AF2B 为钝角即可，所以有b2a2c ，即b22ac ，所以c2-a22ac ，即e2-2e-10 ，所以e1+2 .7.（2020河南商丘一中高二期中）已知F1 ，F2 为椭圆C:x2a2+y

3、2b2=1(ab0) 的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF1 的中垂线恰好经过焦点F2 ，则椭圆C 离心率的取值范围为 .答案：13e1解析：如图， 线段PF1 的中垂线经过F2 ，|PF2|=|F1F2|=2c ，即在椭圆C 上存在一点P ，使得|PF2|=2c ，|PF2|min2c ，即a-c2c ，即a3c ，ca13 ，即e13 ，又e1 ， 椭圆C 离心率的取值范围是13e1 . 互动探究关键能力探究点一 几何法精讲精练例已知椭圆x24+y23=1 上一动点P ，圆(x-1)2+y2=1 上一动点Q ，圆(x+1)2+y2=1 上一动点R ，则|PQ|+|PR| 的最

4、大值为( )A.3B.6C.8D.9解析：思路分析 结合图形可分析出|PQ|+|PR| 取得最大值时，PQ、PR 必经过焦点F1、F2 ，由椭圆的性质可求出最值.答案：B解析：如图所示，椭圆的焦点恰好为两圆的圆心，|PQ|+|PR| 取得最大值时，PQ、PR 必经过焦点F1、F2 ，则|PQ|+|PR|PQ|+|PR|=|PF1|+|PF2|+2 ，根据椭圆的性质可知|PF1|+|PF2|=2a=4 ，故(|PQ|+|PR|)max=4+2=6 ，故选B.解题感悟几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等）

5、.迁移应用（2021天津津南咸水沽一中高二期中）已知椭圆y29+x25=1 的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点A(23,0) ，当点M 在 椭圆上运动时，|MA|+|MF| 的最大值为( )A.4B.6C.8D.10答案：D解析：如图所示，设椭圆的下焦点为F ，则|AF|=|AF|=4 ，|MF|+|MF|=2a=6 ，|MA|-|MF|AF| ，当且仅当F 在线段AM 上时等号成立，|MA|+|MF|=|MA|+6-|MF|AF|+6=4+6=10 .探究点二 不等式法精讲精练例（2021湖南郴州高二期末）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，左、右顶

6、点分别为A1(-2,0) ，A2(2,0) ，P 为椭圆上的动点（不与A1 ，A2 重合），且直线PA1 与PA2 的斜率的乘积为-12 .（1）求该椭圆的方程；（2）已知Q(-4,0) ，过Q 的直线与椭圆交于D ，E 两点，求DEF1 面积的最大值.答案：（1）设P(x,y) ，由题意得yx+2yx-2=-12 ，化简得椭圆方程为x22+y2=1 .（2）根据题意可知直线DE 的斜率存在，且不为0.设D(x1,y1) ，E(x2,y2) ，直线DE 的方程为x=ty-4 ，代入椭圆方程，整理得(2+t2)y2-8ty+14=0, 则y1+y2=8t2+t2 ，y1y2=142+t2 ，=(

7、-8t)2-414(2+t2)=8(t2-14) ，由0 ，得t214 ，|DE|=1+t2(y1+y2)2-4y1y2=1+t222t2-14t2+2 ，焦点F1(-1,0) 到DE 的距离d=31+t2 ，则SDEF1=12|DE|d=32t2-14t2+2 ，设m=t2-14 ，则SDEF1=32mm2+16=321m+16m328 ，当且仅当m=16m, 即m2=16 时取“=”（此时t2=30 满足0 的条件）.故DEF1 面积的最大值为328 .解题感悟利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.若用两个参数表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则考虑

8、使用均值不等式. 迁移应用在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为32 ，直线y=x 被椭圆C 截得的弦长为4105 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且ADAB ，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，求OMN 面积的最大值.答案： （1）由题意知，e=ca=32 ，又a2=b2+c2 ，所以a2=4b2 ，联立得x2+4y2=a2,y=x, 解得x=55a ，所以弦长=1+125a5=4105 ，解得a=2 ，所以椭圆C 的标准方程为x24+y2=1

9、.（2）设A(x1,y1) ，D(x2,y2) ，则B(-x1,-y1) ，所以kAB=y1x1 ，因为ABAD ，所以kAD=-x1y1 .设直线AD 的方程为y=kx+m ，由题意知k0 ，m0 ，由y=kx+m,x24+y2=1, 消去y 得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0 ，所以x1+x2=-8mk1+4k2 ，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2 ，所以kBD=y1+y2x1+x2=-14k=y14x1 ，所以直线BD 的方程为y+y1=y14x1(x+x1) .令y=0 ，得x=3x1 ，即M(3x1,0) ，令x=0 ，得y=-34y1 ，即N(0,-3

10、4y1) ，所以SOMN=123|x1|34|y1|=98|x1|y1| ，又因为|x1|y1|x124+y12=1 ，当且仅当|x1|2=|y1|=22 时，等号成立，所以OMN 面积的最大值为98 .探究点三 函数法精讲精练例（2021陕西商洛高二期末）已知椭圆C ：x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为255 ，焦距为8.（1）求C 的方程；（2）设直线l 的倾斜角为3 ，且与C 交于A ，B 两点，求AOB （O 为坐标原点）面积的最大值.答案：（1）依题意可知e=1-b2a2=255,2c=8, a2=b2+c2, 解得a2=20,b2=4, 故C的方程为x220+y24=1

11、.（2）依题意可设直线l的方程为y=3x+m ，联立得y=3x+m,x220+y24=1, 整理得16x2+103mx+5m2-20=0 ，则=300m2-64(5m2-20)0 ，解得-8m8 ，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x1+x2=-53m8 ，x1x2=5m2-2016 ，则|AB|=1+3(x1+x2)2-4x1x2=275m264-5m2-204=-5m2+3204 .又原点到直线l 的距离d=|m|1+3=|m|2 ，则AOB 的面积S=12d|AB|=12|m|2-5m2+3204=-5(m2-32)2+512016 ，当m2=32 ，即m=42 时，AOB 的

12、面积有最大值，且最大值为25 .解题感悟利用函数法求圆锥曲线中的最值、范围问题，关键是选取适当的变量建立目标函数，然后利用函数的性质求解.对大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题.利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.迁移应用设抛物线E:x2=2py(p0) 的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为(1,1) .（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BABC ，求点C 的横坐标的取值范围.答案：（1）依题意得F(0,p2) ，设A(x0

13、,y0) ，由AF 的中点坐标为(1,1) ，得1=x02, 1=y0+p22,即x0=2 ，y0=2-p2 ，所以4=2p(2-p2) ，得p2-4p+4=0 ，即p=2 ，所以抛物线E 的标准方程为x2=4y .（2）由题意知A(2,1) ，设B(x1,x124) ，C(x2,x224) ，则kBA=x124-1x1-2=14(x1+2) ，因为x1-2 ，所以kBC=-4x1+2 ，故BC所在的直线方程为y-x124=-4x1+2(x-x1) ，联立得y-x124=-4x1+2(x-x1),x2=4y, 因为xx1 ，所以(x+x1)(x1+2)+16=0 ，即x12+(x+2)x1+2

14、x+16=0 ，因为=(x+2)2-4(2x+16)0 ，即x2-4x-600 ，所以x10 或x-6 .经检验，当x=-6 时，不满足题意，所以点C 的横坐标的取值范围是(-,-6)10,+) .评价检测素养提升 1.（2021广东中山一中高二第二次统测）如图，在平面直角坐标系中，椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为22 ，过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，|AB|+|CD|=32 .（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.答案：（1）由题意知，e=ca=22 ，则a=2c ，b=c ，当

15、直线AB 的斜率为0时，|AB|+|CD|=2a+2b2a=22c+2c=32 ，c=b=1 ，a=2 ， 椭圆的标准方程为x22+y2=1 .（2）当直线AB 与CD 中有一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，由题意知四边形ADBC的面积S=12|AB|CD|=12222=2 .当两条直线的斜率均存在且不为0时，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，直线AB 的方程为y=k(x-1) ，则直线CD 的方程为y=-1k(x-1) .将直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0 ，由题意可知0 ，x1+x2=4k21+2k2 ，x1x2=2k2-

16、21+2k2 ，|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=22(k2+1)1+2k2 ，同理可得|CD|=22(1k2+1)1+21k2=22(k2+1)k2+2 ， 四边形ADBC 的面积S=12ABCD=1222(k2+1)1+2k222(k2+1)k2+2=4(k2+1)22k4+5k2+2=4(k+1k)22(k+1k)2+1=2-22(k+1k)2+1 ，2(k+1k)2+12(2k1k)2+1=9 ，当且仅当k=1 时取等号， 四边形ADBC 的面积S169,2) .综上可知，四边形ADBC 面积的取值范围为169,2 .2.已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴正

17、半轴上，过F 的直线l 与抛物线交于A、B 两点，且满足OAOB=-3 .（1）求抛物线的方程；（2）若在x 轴负半轴上存在一点M(m,0) ，使得AMB 是锐角，求m 的取值范围.答案：（1）设抛物线方程为y2=2px(p0) ，直线l 的方程为x=ty+p2 ，将两方程联立，消去x 得y2=2p(ty+p2) ，即y2-2pty-p2=0 ，其中0 ，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则y1+y2=2pt ，y1y2=-p2 ，所以x1x2=(ty1+p2)(ty2+p2)=t2y1y2+pt2(y1+y2)+p24=t2(-p2)+pt22pt+p24=p24 ，所以OAOB=x1x2+y1y2=p24-p2=-34p2=-3 ，解得p=2 或p=-2 （舍去），故所求抛物线方程为y2=4x .（2）因为AMB 是锐角，所以MAMB0 恒成立，即(x1-m)(x2-m)+y1y20 ，所以x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y20 ，由（1）得x1x2=1 ，y1y2=-4 ，y1+y2=4t,x1+x2=t(y1+y2)+p=4t2+2 ，所以1-m(4t2+2)+m2-40 ，又m0 ，所以t2m2-2m-34m 对于任意tR 恒成立，所以m2-2m-34m0 ，又m0 ，所以m2-2m-30,m0, 解得m-1 ，所以m 的取值范围为(-,-1) .