2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：第二章 直线和圆的方程 章末总结 WORD版含答案.docx

1、章末总结体系构建 题型整合 题型1 直线的倾斜角与斜率例1已知直线l 过P(-2,-1) ，且与以A(-4,2) ，B(1,3) 为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为 .答案： (-,-3243,+)解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，由已知得直线PA 的斜率kPA=-32 ，直线PB 的斜率kPB=43 ，由图可知，当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90 ，故斜率的取值范围是43,+) ；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 时，它的倾斜角由90 增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是(-,-32 .综上可知，直线l 的斜率的取值范

2、围是(-,-3243,+) .方法归纳求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角0,2) 时，随着 的增大，直线的斜率k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(2,) 时，随着 的增大，直线的斜率k 为负值且逐渐变大.迁移应用1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点P(0,-1) 作直线l ，若直线l 与以A(1,-2) ，B(2,1) 为端点的线段AB 相交，则l 的倾斜角的取值范围是( )A.0,4 B.4,34C.34,) D.0,434,)答案：D解析：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为 ，由题意知kPA=-

3、1-(-2)0-1=-1 ，kPB=-1-10-2=1 ，由图可知，-1k1 ，所以04 或34 .题型2 直线的方程及其应用例2（2021重庆十八中高二期中）已知点A(-1,0) 和点B 关于直线l ：x+y-1=0 对称.（1）若直线l1 过点B ，且使得点A 到直线l1 的距离最大，求直线l1 的方程；（2）若直线l2 过点A ，且与直线l 交于点C ，ABC 的面积为2，求直线l2 的方程.答案：（1）设点B(m,n) ，则-1+m2+n2-1=0,nm+1=1, 解得m=1,n=2,所以点A(-1,0) 关于直线l ：x+y-1=0 对称的点B 的坐标为(1,2).若直线l1 过点B

4、 ，且使得点A 到直线l1 的距离最大，则直线l1 与过点A ，B 的直线垂直，所以直线l1 的斜率k=-1kAB=-1 ，故直线l1 的方程为y-2=-(x-1) ，即x+y-3=0 .（2）|AB|=(2-0)2+(1+1)2=22 ，因为ABC 的面积为2，所以ABC 的AB 边上的高h=2222=2 ，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，所以点C 到直线AB 的距离为2 .易知直线AB 的方程为y=x+1 ，设C(a,b) ，则|a-b+1|2=2 ，即b=a-1 或b=a+3 ，又b=1-a ，解得a=1,b=0 或a=-1,b=2,则直线l2 的方程为y=0 或x=-1

5、 .方法归纳求直线方程的两种方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待定系数法：设出含有参数的直线方程，由已知条件求出参数的值，即可得到所求直线方程.迁移应用2.（2021安徽宿州十三所重点中学高二期中）已知直线l ：2x+3y+6=0 .（1）求经过点P(2,-1) 且与直线l 平行的直线的方程；（2）求与直线l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3的直线方程.答案： （1）由题意可设所求直线的方程为2x+3y+=0(6) .把点P(2,-1) 代入得4-3+=0 ，即=-1 ，故所求直线

6、的方程为2x+3y-1=0 .（2）由题意可设所求直线的方程为3x-2y+m=0 .令y=0 ，则x=-m3 ；令x=0 ，则y=m2 .由题意知，12|-m3|m2|=3 ，解得m=6 ，故所求直线的方程为3x-2y-6=0 或3x-2y+6=0 .题型3 与圆有关的最值问题例3已知M(m,n) 为圆C ：x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点.（1）求n-3m+2 的最大值和最小值；（2）求m2+n2 的最大值和最小值.答案：（1）由题意知圆C的圆心为C(2,7) ，半径r=22 .记点Q(-2,3) ，n-3m+2 表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y-3=k(x+2)

7、，即kx-y+2k+3=0 ， 直线MQ 与圆C 有公共点，|2k-7+2k+3|k2+122 ，解得2-3k2+3 ，n-3m+2 的最大值为2+3 ，最小值为2-3 .（2）设=(m-0)2+(n-0)2 ，则该式等价于点M(m,n) 与原点的距离的平方，max=(2-0)2+(7-0)2+r)2=(53+22)2=61+4106 ，min=(2-0)2+(7-0)2-r)2=(53-22)2=61-4106 ，m2+n2 的最大值为61+4106 ，最小值为61-4106 .方法归纳（1）求x-ay-b 型的最大值和最小值可转化为求过点(x,y) 和(a,b) 的直线斜率的最大值和最小值

8、；（2）求(x-a)2+(y-b)2 型的最大值和最小值可转化为求(x,y) 与(a,b) 的距离的最大值和最小值的平方.迁移应用3.（2021四川宜宾叙州二中高二月考）已知点(x,y) 满足x2+y2=1 ，则x+y 的取值范围是( )A.-2,2 B.-1,1C.1,2 D.(1,2答案：A解析：设x+y=b ，则圆心(0,0)到直线x+y=b 的距离小于或等于半径，即|b|12+121 ，解得-2b2 ，故-2x+y2 .题型4 直线与圆的综合问题例4（2021浙江湖州高二期中）如图，已知圆O:x2+y2=1 ，点P(t,4) 为直线y=4 上一点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M

9、，N .（1）已知t=1 ，求切线方程；（2）直线MN 是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；（3）当t1 时，两条切线分别交y 轴于点A ，B ，连接OM ，ON ，记四边形PMON 的面积为S1 ，三角形PAB 的面积为S2 ，求S1S2 的最小值.答案：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1 ，符合题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-1) ，即kx-y-k+4=0 .由d=r 得|4-k|k2+1=1 ，解得k=158 ，所以切线方程为y=158x+178 .综上，切线方程为x=1 或y=158x+178 .（2）由题意得M ，N 在以点P 为圆心

10、，切线长PM 为半径的圆上，则圆P ：(x-t)2+(y-4)2=t2+15 ，联立得(x-t)2+(y-4)2=t2+15,x2+y2=1, 化简得tx+4y-1=0 ，则x=0, 4y-1=0, 解得x=0,y=14,所以直线MN 过定点(0,14) .（3）连接PO ，易知S1=2SPMO=212|PM|OM|=t2+15 ，设lPM:y-4=k1(x-t) ，lPN:y-4=k2(x-t) ，则A(0,4-k1t) ，B(0,4-k2t) ，|AB|=|k1-k2|t ，SPAB=12|AB|t=12|k1-k2|t2 .过点P 作圆O 的切线方程记为y-4=k(x-t) ，即kx-y

11、-kt+4=0 ，由d=r 得|4-kt|k2+1=1 ，整理得(t2-1)k2-8tk+15=0, 则该方程的两根为k1 ，k2 ，所以k1+k2=8tt2-1 ，k1k2=15t2-1 ，则|k1-k2|=(k1+k2)2-4k1k2=2t2+15t2-1 ，所以S2=t2+15t2t2-1 ，则S1S2=t2(t2+15)t2-1(t1) ，令m=t2-1 ，则S1S2=(m+1)(m+16)m=m+16m+172m16m+17=25 ，当且仅当m=4 ，即t=5 时，等号成立，所以(S1S2)min=25 .方法归纳解决平面几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，用曲线的定义和平

12、面几何的有关结论来解决；二是将曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、判别式法、函数单调性法以及基本不等式法求解.迁移应用4.已知圆O:x2+y2=2 ，直线l:y=kx-2 .（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，且AOB=2 ，求k 的值；（2）若k=12 ，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC、PD ，切点为C、D ，试问：直线CD 是否过定点？请说明理由.答案：（1）根据题意，圆O 的圆心为O(0,0) ，半径r=2 ，若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，且AOB=2 ，则点O 到l 的距离d=22r=1 ，所以2k2+1=1

13、，解得k=3 .（2）由题意可知O、P、C、D 四点在以OP 为直径的圆上，设P(t,12t-2) ，则以OP 为直径的圆的方程为x(x-t)+y(y-12t+2)=0 ，即x2+y2-tx-(12t-2)y=0 ，又C、D 在圆O ：x2+y2=2 上，即直线CD 为两个圆的公共弦所在的直线，则直线CD 的方程为tx+(12t-2)y-2=0 ，即(x+y2)t-2(y+1)=0 ，令x+y2=0,y+1=0, 可得x=12,y=-1, 即直线CD 过定点(12,-1) .题型5 直线与圆的方程的应用例5 （2021江苏南京田家炳高级中学高二检测）如图，某海面上有O、A、B 三个小岛（面积大

14、小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45 方向且距O 岛402 千米处，B 岛在O 岛的正东方向且距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C 经过O、A、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船在O 岛的南偏西30 方向且距O 岛40千米的D 处，正沿着北偏东45 方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由.答案：（1）由题意得A(40,40) 、B(20,0) ，设过O、A、B 三点的圆C 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) ，则F=0, 402+402

15、+40D+40E+F=0,202+20D+F=0, 解得D=-20 ，E=-60 ，F=0 ，所以圆C 的方程为x2+y2-20x-60y=0 .（2）由题意得D(-20,-203) ，且该船的航线所在的直线l 的斜率为1，故该船的航线为直线l：x-y+20-203=0 ，由（1）知圆心为C(10,30) ，半径r=1010 ，因为圆心C 到直线l 的距离d=|10-30+20-203|12+12=1061010 ，所以该船有触礁的危险.方法归纳直线与圆的方程的应用，一般先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示点，把直线和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，再用直线和圆上的点的坐标(x,y) 满

16、足的方程表示直线和圆，通过研究方程，解决实际问题.迁移应用5.树林的边界是直线l （如图CD 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l 的垂线AC 上的点A 和点B 处，|AB|=|BC|=a （a 为正常数），若兔子沿AD 方向以速度2 向树林逃跑，同时狼沿BM(MAD) 方向以速度 进行追击（ 为正常数），如果狼到达M 处的时间不多于兔子到达M 处的时间，那么狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a) ；（2）若兔子要想不被狼吃掉，求(=DAC) 的取值范围.答案：（1）如图，建立平面直角坐标系，则A(0,2a) ，B(0,a

17、) ，设M(x,y) ，由|BM|AM|2 得x2+(y-2a3)24a29 ，M 在以(0,2a3) 为圆心，2a3 为半径的圆上及其内部，S(a)=4a29 .（2）设lAD:y=kx+2a(k0) ，由兔子要想不被狼吃掉得|2a-2a3|1+k22a3 ，解得k(-3,0)(0,3) ，0ADC3 ，(6,2) .高考链接1.（2020课标文，6，5分）已知圆x2+y2-6x=0 ，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：根据题意，将圆的方程化为(x-3)2+y2=9 ，所以圆心为C(3,0) ，半径为3，设P(1,2) ，当过点P

18、 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，弦长最短，此时|CP|=(3-1)2+(0-2)2=22 ，所以弦长的最小值为29-|CP|2=2 .2.（2020北京，5，4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )A.4B.5C.6D.7答案：A解析：设圆心为C(x,y) ，则(x-3)2+(y-4)2=1 ，化简得(x-3)2+(y-4)2=1 ，所以圆心C 的轨迹是以M(3,4) 为圆心，1为半径的圆，所以|OC|OM|-1=32+42-1=4 ，所以|OC|4 ，当且仅当C 是线段OM 与圆M 的交点时取等号，故选A.3.（2020课标理，

19、5，5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0 的距离为( )A.55 B.255 C.355 D.455答案：B解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a) ，则圆的半径为a ，所以圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2 .由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2 ，整理得a2-6a+5=0 ，解得a=1 或a=5 ，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，则圆心(1,1)到直线2x-y-3=0 的距离d1=|21-1-3|5=255 ，圆心(5,5)到直线2x-y-3=0 的距离d2=|25-5-3|5=255 ，所以圆心到直线2

20、x-y-3=0 的距离为255 .4.（2020天津，12，5分）已知直线x-3y+8=0 和圆x2+y2=r2(r0) 相交于A ，B 两点.若|AB|=6 ，则r 的值为 .答案： 5解析：圆心(0,0)到直线x-3y+8=0 的距离d=81+3=4 ，由|AB|=2r2-d2 可得6=2r2-42 ，解得r=5 .5.（2018江苏，12，5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y=2x 上在第一象限内的点，B(5,0) ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若ABCD=0 ，则点A 的横坐标为 .答案：3解析：设A(a,2a)(a0) ，则由圆心C 为AB 的中点

21、得C(a+52,a) ，易得圆C ：(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0 ，与y=2x 联立解得点D 的横坐标为xD=1 ，所以D(1,2) .所以AB=(5-a,-2a) ，CD=(1-a+52,2-a) ，由ABCD=0 得(5-a)(1-a+52)+(-2a)(2-a)=0 ，整理得a2-2a-3=0 ，解得a=3 或a=-1 （舍去）.6.（2019浙江，12，6分）已知圆C 的圆心坐标是(0,m) ，半径长是r .若直线2x-y+3=0 与圆C 相切于点A(-2,-1) ，则m= ，r= .答案：-2; 5解析：由题意可知kAC=-12 直线AC 的方程为y+1=-12(x+2) ，把(0,m) 代入得m=-2 .此时r=|AC|=4+1=5 .