2022版新教材数学人教B版选择性必修第一册学案：1-1-1 第1课时空间向量的概念及线性运算 WORD版含答案.docx

1、第一章空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算第1课时空间向量的概念及线性运算课标解读课标要求素养要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的相关概念.2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.了解向量加法的交换律和结合律.4.掌握数乘向量的意义及运算律.1.数学抽象能快速形成空间向量的概念及相关概念.2.直观想象能理解向量加法与减法的三角形法则和平行四边形法则.3.数学运算能利用平行四边形法则和三角形法则进行空间向量的线性运算.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一空间向量的概念1.空

2、间向量的定义空间中既有 大小又有 方向的量称为空间向量（简称为向量）.2.空间向量的有关概念始点和终点 相同的向量称为零向量，零向量的方向是 不确定的.零向量在印刷时，通常用0表示；书写时，用0表示，零向量的模为0，即|0|=0 .模等于1的向量称为单位向量.因此，e是单位向量的充要条件是|e|=1 .大小 相等、方向 相同的向量称为相等的向量.向量a和b相等，记作a=b .要点二共线向量与共面向量如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.两个向量a和b平行，记作ab .两个向量平行也称为两个向量 共线 .一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的 有

3、向线段通过平移之后，都能在 同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.要点三空间向量的线性运算1.向量加法的三角形法则我们知道，给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，作出向量AC，则AC是向量a与b的和（也称AC为向量a与b的和向量）.向量a与b的和向量也记作a+b，因此AB+BC=AC .当平面向量a与b 不共线时，a，b，a+b正好能构成一个 三角形，如图所示，因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.2.向量加法的平行四边形法则空间向量的加法也可用平行四边形法则：任意给定两个 不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作AB=a,A

4、C=b，以AB,AC为 邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量AD，则AD=AB+AC .3.向量的加法满足的运算律空间向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意的向量a,b,c都有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c) .4.向量减法的三角形法则在空间中任取一点O，作OA=a，OB=b，作出向量BA，则向量BA就是向量a与b的差（也称BA为向量a与b的差向量），即OA-OB=BA .当a与b不共线时，向量a，b，a-b正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则.5.相反向量给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a

5、的相反向量记作 -a .因此，AB的相反向量是-AB，而且-AB=BA .因为零向量的始点与终点 相同，所以-0=0 .6.数乘向量给定一个实数与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作a，其中：（1）当0且a0时，a的模为|a|，而且a的方向：当0时，与a的方向 相同；当0时，与a的方向 相反 .（2）当=0或a=0时，a= 0 .上述实数与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量.自主思考1.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如果游客要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，那他发生的实际位移是什么？可以用什么数学

6、概念来表示位移？答案：提示游客的实际位移是OD，可以用空间向量来表示这个位移.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，和向量AB方向相同或相反的向量有哪些？答案：提示向量A1B1,DC,D1C1,BA,B1A1,CD,C1D1 .3.任意两个向量都共面吗？任意三个向量呢？答案：提示任意两个向量都共面，任意三个向量不一定共面.4.根据向量加法的三角形法则，化简A1A2+A2A3+A3A4+An-1An的结果是什么？答案：提示A1An .5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AD与AB1的和是什么？答案：提示AC1 .6.AB+CD+BC的运算结果是什么？答案：提示AB+CD+BC=AB

7、+BC+CD=AD .7.AB-AC的运算结果是什么？答案：提示CB .8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB的相反向量有哪些？答案：提示BA,CD,C1D1,B1A1 .9.向量a与向量a共线吗？答案：提示共线.名师点睛1.对空间向量的理解空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性.形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等.空间向量的数形双重性使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决.2.几类特殊向量（1）零向量和单位向量均是从向量的模的角度进行定义的，|0|=0，单位向量e的模|e|=1

8、 .（2）零向量不是没有方向，它的方向是任意的.（3）注意零向量的书写，必须是0这种形式.（4）两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，则称这两个向量为相等向量，与向量起点的选择无关.互动探究关键能力探究点一空间向量的有关概念自测自评1.（多选）下列说法中正确的是( )A.若|a|=|b|，则a,b的长度相等，方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b|C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p，则m=pD.在平行四边形ABCD中，一定有AB=CD答案：B ; C解析：|a|=|b|，说明a,b的长度相等，但方向不确定，故A中说法不正确；a的相反向量b=-a，故|

9、a|=|b|，故B中说法正确；C中说法显然正确；AB与CD长度相等，但方向不同，所以不是相等向量，故D中说法不正确.2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：AB与C1D1；AC1与BD1；AD1与C1B；A1D与B1C .其中互为相反向量的有n对，则n等于( )A.1B.2C.3D.4答案：B解析：对于，AB与C1D1长度相等，方向相反，互为相反向量；对于，AD1与C1B长度相等，方向相反，互为相反向量；对于，AC1与BD1长度不一定相等，方向不相反，不互为相反向量；对于，A1D与B1C长度相等，方向相同，为相等向量.故互为相反向量的有2对.解题感悟解答空间向量有关概

10、念问题的注意点（1）空间向量的两大要素：大小和方向；两向量相等的充要条件：大小相等，方向相同.（2）两个特殊向量：零向量：长度为0的向量，方向任意；单位向量：长度为1的向量，方向不确定.探究点二空间向量的加法、减法运算精讲精练例已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式：（1）AC-AB=；（2）AB+BC+BA=；（3）12BC+12AB-12DD=；（4）AA+AB+BC=；（5）AB+BC-CC-AC= .答案：（1）BC（2）AD（3）12AC（4）AC（5）0解析：（1）AC-AB=AC+BA=BA+AC=BC .（2）AB+BC+BA=AB+BC+CD=AC+CD=AD .（

11、3）12BC+12AB-12DD=12AD+12AB+12AA=12(AD+AB+AA)=12(AC+AA)=12(AC+CC)=12AC .（4）AA+AB+BC=AB+BC=AC .（5）AB+BC-CC-AC=AB+BC+CC+CA=AC+CC+CA=AC+CA=0 .解题感悟（1）利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；进行减法运算时，注意“共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指向被减向量的终点.（2）平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算.注意：平行四边形的两条对角线所表示的向量恰为两邻边表示向量的和与差.迁移应用1.

12、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA=a,CB=b,CC1=c，则A1B= .（用a,b,c表示）答案：-a+b-c解析：如图，A1B=CB-CA1=CB-(CA+CC1)=-a+b-c .探究点三空间向量的数乘运算精讲精练例如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，AB=b，AD=c，M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量：（1）AP；（2）A1N；（3）MP+NC1 .答案：（1）AP=AD1+D1P=(AA1+AD)+12AB=a+c+12b .（2）A1N=A1A+AN=-AA1+AB+12AD=-a+b+12c .（3）

13、MP+NC1=(MA1+A1D1+D1P)+(NC+CC1)=12AA1+AD+12AB+12AD+AA1=32AA1+32AD+12AB=32a+12b+32c .变式若把本例中的“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且D1C1=3D1P ”，其他条件不变，如何表示AP？答案：AP=AD1+D1P=AA1+AD+13AB=a+c+13b .解题感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则将目标向量转化为已知向量.（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.迁移应用1.如图，在正方体ABCD-A1

14、B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点.用AB、AD、AA1表示向量MN，则MN= .答案：12AB+12AD+12AA1解析：MN=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+CC1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1 .评价检测素养提升课堂检测1.下列四个命题中正确的是( )A.方向相反的两个向量是相反向量B.若a,b满足|a|b|且a,b同向，则abC.不相等的两个空间向量的模必不相等D.对于任意向量a,b，必有|a+b|a|+|b|答案：D2.在空间四边形ABCD中，若BCD是正三角形，且点E为其重心，则AB+12BC-32DE-AD的化

15、简结果是( )A.AB B.2BDC.0 D.2DE答案：C3.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE= .（用a,b,c表示）答案：12a+14b+14c素养演练直观想象空间向量的线性运算1.如图所示，已知空间四边形ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，连接AE,AF，化简：（1）AB+BC+CD；（2）AB+GD+EC，并标出化简结果的向量.答案：（1）AB+BC+CD=AC+CD=AD，如图中向量AD .（2）如图，连接AG,GF，AB+GD+EC=AB+BG+EC=AG+GF=AF，如图中向量AF .素养探究：对空间向量表达式进行化简，一般要借助所涉及的几何体，在几何体中根据三角形法则或平行四边形法则进行空间向量的线性运算，在此过程中体现了直观想象的核心素养.