湖南省郴州市2021届高三数学下学期3月第三次教学质量监测试题PDF.pdf

1、高三数学参考答案1.C【解析】|16Axx=，|2Bx x=，)2,6AB=，故选C.2.A【解析】由题得21 i(1 i)2ii1 i(1 i)(1 i)2z=+，所以iz=故选：A.3.A【解析】4=ab，1cos,4=a b，()2222161530=aabaa bbbb，2 b=.故选：A.4.B【解析】同时开放1m，2m 两个安全出口，疏散 1000 名乘客需要时间为 120（s），同时开放2m，3m两个安全出口，疏散 1000 名乘客需要时间为 140（s），得1m 比3m 快；同时开放3m，4m 两个安全出口，疏 1000 名乘客需要时间为 190（s），同时开放1m，3m 两个

2、安全出口，疏散 1000 名乘客需要时间为 160（s），得1m 比4m 快；同时开放2m，3m 两个安全出口，疏 1000 名乘客需要时间为 140（s），同时开放1m，3m 两个安全出口，疏散 1000 名乘客需要时间为 160（s），得2m 比1m 快.综上所述：疏散乘客最快的一个安全出口的编号是2m，故选：B.5.B【解析】此函数定义域为|0 x x.因为()0f x，排除 A 选项；函数()fx 不是偶函数，函数图象不关于 y 轴对称，排除 C 选项；当 x +时，()0f x 排除选项 D.故选：B.6.C【解析】由题意知，五年累计总投入资金为：()()1234513131125

3、35155310aaaaaaaaaaaa+=+=+=+，()()22222121122121010210 2120aaaa aaaa+=+=，当且仅当12aa=时等号成立，所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为 120 万元.故选 C.7.D【解析】如图所示：222(0)xyrr+=上存在点 N 使得4OMN=，则OMN的最大值大于或者等于 4 时，一定存在点 N 使得4OMN=，当 MN 与圆相切时，OMN取得最大值，此时，2sin22 3ONONOMNOM=，解得：6rON=，又()3,3M在圆外，2 3r 综上所述：62 3r.故选：D.8.B【解析】对于,a b 的大小：44ln

4、3ln3ln81a=，33ln4lnln644b=，明显 ab；对于,a c 的大小：构造函数ln()xf xx=，则21 ln()xfxx=，当(0,)xe时，()0,()fxf x在(0,)e 上单调递增，当(,)xe+时，()0,()fxf x在(,)e+上单调递减，3,()(3)eff即33lnln3,3lnln3,lnln3,33，ac；对于,b c 的大小：3ln4b=，3434lnlnc=，4 4，cb.故选 B9.AC【解析】对于 A，12 天中，只有 2 月 6 日的2.5PM日均值大于375/g m，故 2 月 6 日空气质量超标，A 正确；对于 B，12 天的2.5PM日

5、均值按照从小到大顺序排列，位于第 6 和第 7 位的日均值为350/g m和353/g m，故中位数为 505351.52+=3/g m，B 错误；对于 C，平均数355455665688253464236385053/12g m+=，C 正确；对于 D，2 月11日的2.5PM日均值大于 2 月10 日的2.5PM日均值，D 错误.故选：AC.10.BCD【解析】因为()2sincos1sin()3f xxaxax=+=+，所以()f x 的最大值为212a+=，解得3a=或3a=(舍去)，所以()sin3 cos2sin3f xxxx=+=+，当()2 32xkkz+=+时，函数()f x

6、 取得最大值，当0 x 时，取得前两个最大值时，k 分别为 0 和 1，当1k=时，由232xk+=+，得1336x=，所以1318，故选 BCD.11.ACD【解析】选项 A，取 AC 中点O，连接 OB，OD，则 ACOB，且 ACOD，所以 AC 平面 OBD，所以 ACBD，异面直线 AC 与 BD 所成的角为90，/MNBD又，所以异面直线 AC 与 MN 所成的角为定值，故选项 A 正确；选项 B，若直线 AD 与直线 BC 垂直，因为直线 AB 与直线 BC 也垂直，则直线 BC 平面 ABD，所以直线 BC 直线 BD，又因为 BDAC，所以 BD 平面 ABC，所以 BDOB

7、，而 OBD 是以OB 和OD为腰长的等腰三角形，这显然不可能，故选项 B 不正确；选项 C，M、N 分别为正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点，所以三角形 ACD 与 ACN 面积比为 21，B 到面 ACD 的距离与 M 到面 ACN 距离之比为 2：1，三棱锥 N-ACM 与 B-ACD 体积之比值为定值 14，故选项 C 正确；选项 D，外接球球心 O 在 AC 中点，易知外接球半径为22R=，34233VR=，故选项 D 正确.故选 ACD.12.BCD【解析】()f x 的定义域为 R，()sin()()xfxexf x=，()f x是奇函数，但是()()()sinsinxx

8、f xexexf x+=+=，()f x不是周期为 的函数，故选项 A，错误；当(,0)4x 时，()sinxf xex=，(cos()sin)0 xxfxex=，()f x 单调递增，当3(0,)4x时，()sinxf xex=，(sin)0c(osxxfxex+=，()f x 单调递增，且()f x 在3(,)44连续，故()f x 在3(,)44单调递增，故选项 B 正确；当0,10)x时，()sinxf xex=，(sinc)s()oxfxexx+=，令()0fx=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4xkk=+=，当(10,0)x 时，()sinxf xex=，(co(s

9、)sin)xxfxex=，令()0fx=得，(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)4xkk=+=，因此，()f x 在(10,10)内有 20 个极值点，故选项 C 正确；当0 x=时，()00f xax=，则 aR，当(0,4x时，()sinxexf xaxax设sin()xexg xx=，2(sincossin)()xexxxxxg xx+=，令()sincossinh xxxxxx=+，(0,4x()sin(cossin)0h xxxxx=+，()h x 单调递增，()(0)0h xh=，()0g x，()g x 在(0,4 单调递增，()44max22 2244eeg xg=故答

10、案 D 正确.故选 BCD.13.4 23【解析】设正四棱锥底面边长为 2a，且侧棱与底面所成角为 45，则四棱锥高为2a，侧面三角形的高为3a，侧面积为 4 3，单个侧面三角形面积为3，12332aa=，得 a1正四棱锥的高为2 则该棱锥的体积为214 22233=14.154【解析】621xax的展开式中3x 项为66 366211rrrrrrC xC xaax=，3x 的系数是3，所以1613Ca=，解得2a=，621xax的常数项为22611524C=.15.3【解析】设双曲线的右焦点为1F，如图连结1AF，1BF，由直线 ykx=与双曲线都关于原点对称，可得四边形1AFBF 为平行四

11、边形，所以1|BFAF=，由双曲线的定义可得：122AFAFAFBFBFa=，所以 BFa=，3AFa=，在 BFO 中，,OBOAb OFc BFa=，所以222222OBBFabcOF+=+=，所以 BFO 为直角三角形，即90FBA=，在 RtFBA中，()2222243ABBFaba+=+=，即223ac=，所以3=cea，故答案为：3.16.9 3【解析】ABD中，设AB=a，又余弦定理得BD=3a，由托勒密定理得()3a BCCDACa+=，即3BCCDAC+=，又30,30BCABDADCADBA=，所 以 四 边 形 ABCD 的 面 积()21113sin30sin309 3

12、2244SBC ACCD ACBCCDACAC=+=+=.17.【解析】若选：因为sincos6aBbA=，sinsinabAB=，所以sinsinsincos6ABBA=，因为sin0B，所以31sincoscossin622AAAA=+，即 tan3A=，因为 0A，3A=，5 分3AB AC=，cos3bcA=6bc=，又由余弦定理得()22222cosabcbcAbcbc=+=+，bc，3bc=.10 分若选：25coscos24AA+=，21coscos04AA+=，1cos2A=，(0,)A，3A=.5 分下同选若选：sinsin2BCA+=，BCA+=，Asin=sin2A，co

13、s2sincos222AAA=，(0,)A，(0,)22A，cos02A，1sin 22A=，26A=，3A=5 分下同选18.【解析】(1)11a=，111S=，1 1(1)nSnnn=+=，即2nSn=，1 分当2n 时，121(2)nnnaSSnn=，当1n=时，12a=符合上式，*21().nannN=3 分111112 2121nna ann=+，111111111.12335212122121nnTnnnn=+=+.6分（2）由（1）可得，2nSn=，由33mSSP=，得229(222)mqq=+，所以22912qqm=+，因为0q，所以2912m ，即3 22m，由于 mN，所以

14、12mm=或，当1m=时，271150,(22qqq+=解得舍负），当2m=时，21260,(84qqq+=解得舍负），所以 q 的值为1152+6.24+或12 分19.【解析】（1）证明：连接 AC 交 BE 于 H，连接 FH，,ABCEHABHCE=BHACHA=，ABHCEH，/AHCHFH PC=，FH 面,FBE PC 面 FBE，/PC面 FBE.5 分（2）取 AD 中点O，连 PO，OB.由 PAPD=，POAD，面 PAD 面 ABCD，PO 面 ABCD，又由60DAB=，ADAB=，OBAD，以,OA OB OP 分别为,X Y Z 轴建立如图所示空间直角坐标系，AB

15、CDEFPxyzHO设2AD=，则(1,0,0)A，(0,3,0)B，(1,0,0)D，11(0,0,1),(,0,)22PF，(2,0,0)EBDA=，11(,3,)22BF=，1(0,0,1)n=为面 BEC 的一个法向量，设面 FBE 的法向量为2000(,)nxyz=，依题意，2200EB nBF n=即000020113022xxyz=+=，令03y=，解得026.(0,3,6)zn=，121212,62 39cos,1339n nn nnn=，因为二面角CBEF为钝角，故其余弦值为2 3913.12 分20.【解析】（1）这 600 辆车在 9:2010:40 时间段内通过该收费点

16、的时刻的平均值为：(30 0.00550 0.01570 0.02090 0.010)2064+=，即 10：04.3 分（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在 10：00 前通过的车辆数就是位于时间分组中在 2060 这一区间内的车辆数，即(0.0050.015)20 104+=，所以 X 的可能的取值为 0，1，2，3，4.所以()464101014CP XC=，()31644108121C CP XC=，()2264410327C CP XC=，()13644104335C CP XC=，()4441014210CP XC=.所以 X 的分布列为：X0123

17、4P114821374351210()18341012341.61421735210E X=+=7 分（3）由（1）得64=，2222(3064)0.1(5064)0.3(7064)=+车辆20.4(9064)0.2324+=，所以18=，估计在 9:4610:40 之间通过的车辆数也就是在 46100 通过的车辆数，由()264,18TN，得(64 18642 18)PT+()2PT+=+(22)2PT+0.8186=所以估计在在 9:4610:40 之间通过的车辆数为1000 0.818681912 分21.【解析】（1）由题意，点 P 椭圆上的一动点，且1PF 的最小值是 1，得1ac=

18、，因为当1PF 垂直长轴时，132PF=，所以232ba=，即223ba=，又由222abc=+，解得2,3ab=，所以椭圆C 的标准方程为22143xy+=.4 分（2）假设存在斜率为1 的直线 l，设为 yxm=+由（1）知，F1（1，0），F2（1，0），所以以线段 F1F2 为直径的圆为 x2+y21由题意，圆心（0，0）到直线 l 的距离|12md=，得|2m，22|2 12 12mABd=222m，联立方程组，22143xyyxm+=+，消去 y，整理得 7x28mx+4m2120由题意，（8m）247（4m212）33648m248（7m2）0，解得 m27，又|2m，所以 m2

19、2设11(,)C x y，22(,)D xy，则1287mxx+=，2124127mx x=，所以221|1CDkxx=+=24 6 7277m=，若|CD|AB|24 27，则224 624 222777mm=，整理得 m49m2+80，解得21m=，或28m=又 m22，所以21m=，即1m=故存在符合条件的直线 l，其方程为1yx=+，或1yx=12 分22.【解析】（1）易得函数()fx 的定义域为()0,+.对函数()fx 求导得：()1fxaxx=.曲线()yf x=在1x=处的切线与直线0 xy=垂直，112aa=，()202fxx=（舍去负根），()fx 在202，上单调递增，

20、在2 12，上单调递减.函数()fx 有极大值即最大值221ln222f =+4 分（2）当1a=时，()21ln12f xxx=+，()211xfxxxx=，此时()fx 在()0,1 上单调递增，在()1,+上单调递减()()1102f xf=极大值，又10fe，()0f e，不妨设12xx，则有1201xx，令()()()2F xf xfx=，()0,1x，()()()()()()222122 11222xxxFxfxfxxxxx=+=+=.当()0,1x时，()0Fx，()F x 单调递增，()10,1x，()()()()111210F xf xfxF=，()()112f xfx，又()()120f xf x=，()()212f xfx，21x ，121x，()fx 在()1,+上单调递减，212xx，即122xx+.12 分