2022版新教材高中数学 第4章 数列 1 数列提升训练（含解析）苏教版选择性必修第一册.docx

1、数列基础过关练题组一对数列概念的理解1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可以表示为1,3,5,7B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列C.数列0,2,4,6,可记为2n,nN*D.数列n+2n的第k项为1+2k2.下面四个结论:数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集1,2,3,n)上的函数;函数就是数列;数列的项数是无限的;数列的通项公式是唯一的.其中正确的是()A.B.C.D.题组二数列的通项公式3.数列-12,14,-18,116,的一个通项公式是an=()A.-12nB.(-1)n2nC.(-1)n+12nD.(-1)n2n+14.数列a

2、n的通项公式为an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,则a2a3=()A.70B.28C.20D.85.(2020四川成都外国语学校高一月考)已知数列3,3,15,21,则33是这个数列的第()A.8项B.7项C.6项D.5项6.根据下列5个图形及相应点的个数变化规律,试猜测第6个图形中有个点.7.根据下面数列的前几项写出数列的一个通项公式.(1)12,34,78,1516,3132,;(2)5,55,555,5 555,;(3)0.3,0.33,0.333,0.333 3,;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(5)-11+1,14+1,-19+1,116+1,.8.已知数列a

3、n的通项公式为an=-n2+4n+21(nN*).(1)写出数列an的前5项,并作出它的图象;(2)这个数列从第几项起各项均为负数?题组三数列的递推公式9.(2020浙江绍兴一中期中)在数列an中,a1=1,an=1+(-1)nan-1(n2),则a5等于()A.32B.53C.85D.2310.已知数列an中,an-1=man+1(nN*,n1),且a2=3,a3=5,则实数m等于()A.0B.25C.2D.511.已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于()A.-165B.-33C.-30D.-2112.数列an中,对所有nN*都有a1a2an=

4、n2,则a1+a3+a5=.13.根据下列数列的首项和递推公式,写出数列的前5项,并由此归纳出它的通项公式.(1)a1=2,an+1=3an+2;(2)a1=1,an+1=n+2n+1an.题组四数列的性质14.数列an中,若a1=1,an+1=1an+1-1,则a2 020=()A.-1B.-12C.12D.115.数列an中,an=-2n2+29n+3(nN*),则此数列中的最大值是()A.107B.108C.10818D.10916.(多选)下列四个命题中,正确的有()A.数列n+1n的第k项为1+1kB.已知数列an的通项公式为an=n2-n-50,nN*,则-8是该数列的第7项C.数

5、列3,5,9,17,33,的一个通项公式为an=2n-1D.数列an的通项公式为an=nn+1,nN*,则数列an是递增数列17.(2020河南郑州八校高二上期中联考)已知函数f(x)=(3-a)x-3,x7,ax-6,x7,若数列an满足an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是()A.94,3B.94,3C.(2,3)D.(1,3)18.已知an=9n(n+1)10n(nN*),则数列an中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.能力提升练题组一数列的通项公式及其应用1.(2020上海杨浦高级中学高二期末,)已知数列1、0、1、0、,可猜想此数列的一个

6、通项公式是()A.an=1+(-1)n-1(nN*)B.an=121+(-1)n(nN*)C.an=121+(-1)n+1+(n-1)(n-2)(nN*)D.an=12(1-cos n)(nN*)2.()某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=.题组二数列的递推公式及其应用3.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二期中,)已知在数列an中,a1=2,an+1=nn+1an,则a2 020的值为()A.12020

7、B.12019C.11010D.110094.(2020福建厦门高二期末,)已知数列an满足a1=1,an+1-an=1n(n+1),则a10=()A.910B.1011C.1910D.21115.()古印度“汉诺塔问题”:一块黄铜平板上装着A,B,C三根金铜石细柱,其中细柱A上套着大小不等的环形金盘,大的在下、小的在上.将这些盘子全部转移到另一根柱子上,移动规则如下:一次只能将一个金盘从一根柱子转移到另外一根柱子上,不允许将较大金盘放在较小金盘上面.若A柱上现有3个金盘(如图),将A柱上的金盘全部移到B柱上,至少需要移动的次数为()A.5B.7C.9D.116.()数列an中,a1=7,a9

8、=8,且(n-1)an=a1+a2+an-1(n3,nN*),则a2等于.题组三数列的性质及其应用7. (2021江苏南通平潮高级中学高二期中,)已知数列bn满足bn=2-12n-1-n2,若数列bn是单调递减数列,则实数的取值范围是()A.-1,103B.-12,103C.(-1,1)D.-12,18.(2020浙江浙南名校联盟高二上期中联考,)已知数列an对任意的nN*都有an+11B.数列an+1-an为单调递增数列,且a51C.数列an+1-an为单调递减数列,且a51D.数列an+1-an为单调递增数列,且a5an,求实数k的取值范围.答案全解全析基础过关练1.DA中,1,3,5,7

9、表示集合,不是数列;B中,两个数列的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;C中,数列应记为2(n-1),nN*;易知D正确.故选D.2.A数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集1,2,3,n)上的函数,但函数不一定是数列,故正确,错误;数列的项数可以是有限的,也可以是无限的,故错误;数列的通项公式可能不唯一,比如数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,的通项公式可以是an=sinn2,也可以是an=cos(n+3)2,故错误.故选A.3.B解法一:所给的数列每一项的分子都是1,分母等于2n,每一项的符号为(-1)n,故此数列的一个通项公式是an=(-1)n2n.解法二:将-12,

10、14,-18,116代入各选项,验证可得B符合.4.C由通项公式得a2=22-2=2,a3=33+1=10,所以a2a3=20.5.C数列3,3,15,21,可化为数列3,9,15,21,则数列的一个通项公式为an=6n-3,令an=6n-3=33,则6n-3=33,解得n=6,故33是这个数列的第6项.故选C.6.答案31解析观察题图得图(1)有1个点,图(2)有3=12+1个点,图(3)有7=23+1个点,图(4)有13=34+1个点,图(5)有21=45+1个点,所以猜想第n个图有(n-1)n+1个点,故第6个图形有(6-1)6+1=31个点.7.解析(1)易知该数列中每一项分子比分母少

11、1,且分母可写成21,22,23,24,25,故所求数列的一个通项公式为an=2n-12n,nN*.(2)这个数列的前4项可以变为599,5999,59999,599999,即59(10-1),59(100-1),59(1000-1),59(10000-1),即59(10-1),59(102-1),59(103-1),59(104-1),所以它的一个通项公式为an=59(10n-1),nN*.(3)因为数列0.9,0.99,0.999,0.9999,的一个通项公式为bn=1-110n,而数列0.3,0.33,0.333,0.3333,的每一项都是上面数列对应项的13,所以该数列的一个通项公式为

12、an=131-110n,nN*.(4)原数列可变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,所以该数列的一个通项公式为an=n+1+(-1)n2,nN*.(5)第n项的符号为(-1)n,分子都是1,分母是n2+1,所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n1n2+1,nN*.8.解析(1)a1=-12+41+21=24,a2=-22+42+21=25,a3=-32+43+21=24,a4=-42+44+21=21,a5=-52+45+21=16.图象如图所示:(2)令an=-n2+4n+210,n7或n7,数列从第8项起各项均为负数.9.D由a1=1,得a2=2

13、,a3=12,a4=3,a5=23.故选D.10.B由递推公式知a2=ma3+1,故3=5m+1,解得m=25.11.C对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq,p=q=n时,有a2n=2an.又a2=-6,a8=2a4=4a2=-24,a10=a2+a8=-30.12.答案7716解析解法一:因为a1a2a3an=n2,所以a1=1,a1a2=22=4,a1a2a3=4a3=32=9,a1a2a3a4=42=16,a1a2a3a4a5=16a5=52=25,所以a3=94,a5=2516,所以a1+a3+a5=7716.解法二:当n=1时,a1=12=1,当n2时,an=n2(n-1)2,

14、当n=1时,n2(n-1)2无意义,故an=1,n=1,n2(n-1)2,n2,所以a1+a3+a5=1+94+2516=7716.13.解析(1)a1=2,an+1=3an+2,a1=2=3-1,a2=32+2=8=32-1,a3=38+2=26=33-1,a4=326+2=80=34-1,a5=380+2=242=35-1,数列an的一个通项公式为an=3n-1(nN*).(2)a1=1,an+1=n+2n+1an,a1=1=22,a2=32,a3=2=42,a4=52,a5=3=62,数列an的通项公式为an=n+12(nN*).14.B令n=1,得a2=-12,再令n=2,得a3=1,

15、所以数列an是周期为2的周期数列.故a2020=a2=-12.15.B由已知,得an=-2n2+29n+3=-2n-2942+10818,由于nN*,因此当n取距离294最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列an中的最大值为a7=108.16.ABD对于A,数列n+1n的第k项为1+1k,A正确;对于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B正确;对于C,将3,5,9,17,33,的各项减去1,得2,4,8,16,32,设该数列为bn,则其通项公式为bn=2n(nN*),因此数列3,5,9,17,33,的一个通项公式为an=bn+1=2n+1(nN*),C错误;对于D

16、,an=nn+1=1-1n+1,则an+1-an=1n+1-1n+2=1(n+1)(n+2)0,因此数列an是递增数列,D正确.故选ABD.17.C根据题意,得an=f(n)=(3-a)n-3,n7,nN*,an-6,n7,nN*,要使an是递增数列,需满足3-a0,a1,(3-a)7-3a8-6,解得2a3.故选C.易错警示分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列an递增需满足a7a8,而函数f(x)递增则需满足(3-a)7-3a7-6,二者有较大的区别.18.解析解法一:由an=9n(n+1)10n(nN*)得,an+1-an=9

17、n+1(n+2)10n+1-9n(n+1)10n=9n(8-n)10n+1,nN*.当n0,即an+1an,即an在n8时,an+1-an0,即an+18时单调递减.所以数列an的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=99108.解法二:设an为最大项,则anan-1,anan+1(n2,nN*),即9n(n+1)10n9n-1n10n-1,9n(n+1)10n9n+1(n+2)10n+1,解得8n9.又因为nN*,所以n=8或n=9,故an的最大项为a8=a9=99108.能力提升练1.D对于A选项,a1=1+(-1)0=21,不符合题意;对于B选项,a1=12(1-1)=01,不符合题意;

18、对于C选项,a3=121+(-1)4+21=31,不符合题意;对于D选项,当n为奇数时,cosn=-1,此时an=12(1+1)=1,当n为偶数时,cosn=1,此时an=12(1-1)=0,符合题意.故选D.2.答案61信息提取(1)四个对称图形.(2)f(1)=1,f(2)=1+3+1,f(3)=1+3+5+3+1,f(4)=1+3+5+7+5+3+1.数学建模本题以小正方形的个数变化为背景,构建“数列模型”来解决小正方形个数问题.前四个图案中小正方形的个数分别是1,5,13,25,排成一列形成一个数列,从而把该实际问题抽象成一个以“数列”为模型的数学问题,再探索规律,总结出f(n).解析

19、由题图得,f(1)=1,f(2)=1+3+1=21+3=2(2-1)2+3,f(3)=1+3+5+3+1=2(1+3)+5=2(3-1)2+5,f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2(1+3+5)+7=2(4-1)2+7,故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1.当n=6时,f(6)=265+1=61.3.C解法一:由已知得a2=22,a3=23,a4=24,猜想an=2n,a2020=22020=11010.解法二:an+1=nn+1an,即an+1an=nn+1,an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=n-1nn-2n-1n-3n-2231

20、22=2n,a2020=22020=11010.故选C.4.C因为an+1-an=1n(n+1)=1n-1n+1,所以(a10-a9)+(a9-a8)+(a3-a2)+(a2-a1)=19-110+18-19+12-13+1-12=1-110=a10-1,解得a10=1910.故选C.5.B设细柱A上套着n个大小不等的环形金盘,至少需要移动的次数记为an.要把最下面的第n个金盘移到另一根柱子上,则必须把上面的n-1个金盘移到余下的一根柱子上,故至少需要移动an-1次把第n个金盘移到另一根柱子上后,再把n-1个金盘移到该柱子上,故又至少需要移动an-1次,所以an=2an-1+1,易知a1=1,

21、故a2=3,a3=7.故选B.6.答案9解析由(n-1)an=a1+a2+an-1(n3,nN*),得nan+1=a1+a2+an,两式相减,得nan+1-(n-1)an=an(n3,nN*),即an+1=an(n3,nN*).a9=8,a3=8.又2a3=a1+a2,a1=7,a2=2a3-a1=9.7.A数列bn是单调递减数列,bn+1bn(nN*)恒成立,即2-12n-(n+1)22-12n-1-n2恒成立,即6-12n-(2n+1)2n恒成立,y=-(2n+1)2n单调递减,n=1时,-(2n+1)2n取得最大值,最大值为-6,6-6,解得-1;当n为偶数时,6(2n+1)2n恒成立,

22、y=(2n+1)2n单调递增,n=2时,(2n+1)2n取得最小值,最小值为20,620,解得103.综上,-1103.故选A.8.D数列an对任意的nN*都有an+1an+1-an,an+1-an为单调递增数列,a6-a5a5-a4,即a4+a62a5,a7-a6a4-a3,即a3+a7a4+a6,同理可得,2a5a4+a6a3+a7a2+a89a5,即9a59,a51,故选D.9.BD解法一:3(2n-13)an+1=(2n-11)an,an+12n-11=13an2n-13,又a121-13=-11-11=1,数列an2n-13是首项为1,公比为13的等比数列,an2n-13=13n-1

23、,an=2n-133n-1.当n6时,an0.又an+1-an=2n-113n-2n-133n-1=4(7-n)3n,当n6时,an+1an;当n=7时,an+1=an;当n8时,an+10,解得n132且nN*;令13-62n-110,解得112n132,nN*,n=6.a1=-11,数列an的前6项都是负数,第七项及以后都是正数,故A错误.对于B,对所有的nN*,当n112时,满足013-62n-111,a1为负数,n1,2,3,4,5时,a1乘一个小于1的正数,an一直增加,当n=5时,a6=19a50,当n7时,a7为正数,a6乘一个小于1的正数,an在减少,故B正确.对于C,易知数列

24、an的最大项为第七项或第八项,故C错误.对于D,a7=-13a6=-1319a5=-131915a4=-131915521a3=-131915521727a2=-131915521727311a1=1729,故D正确.故选BD.10.CD选项A,由an=3n,得an+1-an=3,则an+1-an为常数列,不满足“差递减数列”的定义;选项B,由an=n2+1,得an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则an+1-an为递增数列,不满足“差递减数列”的定义;选项C,由an=n,得an+1-an=n+1-n=1n+1+n,显然an+1-an为递减数列,满足“差递减数列”的定义;选项D

25、,由an=lnnn+1,得an+1-an=lnn+1n+2-lnnn+1=ln(n+1)2n(n+2)=ln1+1n(n+2),随着n的增大,此值变小,所以an+1-an为递减数列,满足“差递减数列”的定义.故选CD.11.答案6574解析假设第n(nN*)项an为最大项,则anan-1,anan+1,即(n+2)67n(n+1)67n-1,(n+2)67n(n+3)67n+1,解得n5,n4,即4n5,又nN*,所以n的值为4或5,故数列an的最大项的值为a4=a5=6574.12.解析(1)由n2-5n+40,解得1nan,所以(n+1)2+k(n+1)+4n2+kn+4,整理得k-2n-1,又对任意的nN*,都有an+1an,所以k大于-2n-1的最大值,所以k-2-1=-3.所以实数k的取值范围为(-3,+).