福建省福州市2021-2022学年高三上学期期末质量抽测数学试卷官方答案解析（高考一检）.pdf

1、 高三数学参考答案及评分细则（第 1 页共 21 页）20212022 学年第一学期福州市高三期末质量检测数 学 试 题（完卷时间：120 分钟；满分:150 分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 到 3 页，第卷 3 至4 页注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案

2、无效3.考试结束，考生必须将答题卡交回第 卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合*22,120ABxxx N，则 AB AB21 1，C21 1 2，D21 0 1 2，【答案】C【解析】*121 2BxxN，所以 AB 21 1 2，故选 C【考查意图】本小题以集合为载体，主要考查集合的概念和基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性2.已知34iz，则+izz A1+3iB84iC9+3iD 29+3i【答案】C【解析】因为34iz，所以+i5+

3、34i i=9+3izz，故选 C【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本概念等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性3.已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为 16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是A这五位同学年龄的平均数变为 19B这五位同学年龄的中位数变为 19C这五位同学年龄的方差仍为 0.8D这五位同学年龄的方差变为 3.8【答案】D【考查意图】本小题以“五位同学的年龄”为载体，考查平均数、中位数、方差等基础知识；考查应用意识；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性 高三数学参考答案及

4、评分细则（第 2 页共 21 页）4.613xx展开式中的常数项为A 540B 15C15D135【答案】D【解 析】二 项 式613xx的 展 开 式 的 第1r 项 为616(3)rrrrTCxx36626(1)C 3rrrr x令3602 r，解得4r，所以42651353TC，所以613xx展开式中的常数项为 135故选 D.【考查意图】本小题以二项式为载体，主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性5.已知函数3310()0 xxf xaxbx，为偶函数，则 2+a b A3B 32C12D32【答案】B【解析】解法一、

5、当0 x 时，0 x，所以33()()1+1fxxx ，因为()f x 为偶函数，所以3()()+1f xfxx，又3()f xaxb，所以1,1ab ，所以32+2a b 解法二、因为()f x 为偶函数，所以 (1)1,(2)2,ffff所以2,89,abab 解得11ab ，经检验，11ab ，符合题意，所以32+2a b【考查意图】本小题以分段函数为载体，主要考查函数的奇偶性的定义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性6.已知一张边长为 2 的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转4 弧度，则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为A 2

6、B C D 【答案】C【解析】因为一个边长为 2的正方形纸片绕着一条边旋转4，所形成的几何体为柱体，该柱体是底面半径 r 为 2，高 h 为 2 的圆柱的八分之一，所以其表面积21 228Srhr 22221 22222828 ，故选 C 高三数学参考答案及评分细则（第 3 页共 21 页）【考查意图】本小题以旋转体为载体，主要考查旋转体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性7.已知函数 sinf xx的部分图象如图所示，则 f x 的单调递增区间为A15,66kkk ZB152,

7、2,66kkk ZC15,66kkkZD152,2,66kkkZ【答案】D【解析】解法一、由2342,3mmmm Z,Z解得2,3mm,Z sin2sin33f xxmx ，令232kxkk Z，解得1566k xk k Z 故选 D解法二、由图象知411,2,233TT 又1453326x时，()f x 取得最大值，排除 A、B、C.故选 D【考查意图】本小题以三角函数的图象为载体，考查三角函数的图象和性质等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性8.已知 O 为坐标原点，F 是双曲线2222:100 xyCabab，的

8、左焦点，A 为C 的右顶点过 F 作 C 的渐近线的垂线，垂足为 M，且与 y 轴交于点 P 若直线 AM 经过OP的中点，则 C 的离心率为A2B 32C3D 43【答案】A【解析】解法一、如图所示，设 AM 交 y 轴于Q，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N 由双曲线性质可知，FMb，OFc OMa，由FMNFPO，AQOAMN得 高三数学参考答案及评分细则（第 4 页共 21 页）FNMNFOPO,AOQOANMN,以上两式相乘得12FNAOFOAN，所以2212acacac ac，所以2212a caac ca，即12cac，所以1112e，解得2e 故选 A解法二、如图所示，设 A

9、M 交 y 轴于Q，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N 不妨设渐近线方程为byxa，则直线 FP 的方程为ayxcb，令0 x，得Pacyb由byxaayxcb，可得2aabMcc，则2AMabbckaacac，所以直线 AM 的方程为byxaac，令0 x 得Qabyac因为Q 为OP 中点，所以 2abacacb，整理得222222accbca，即2220caca，所以220ee，解得2e，或1e （舍去）故选 A解法三：如图所示，设 AM 交 y 轴于 Q 由双曲线性质可知，FMb，OFc，OMaOA，所 以OMQOAQ 在 RtOPM中，Q 为 OP 中 点，所 以MQOQPQ，所以

10、QOMOMQOAQ ，所以 RtRtOMPAOQ，所以MP OQ，所以MPQ为正三角形，所以60MPQ，故30MFO，所以2,ca所以2e.（也可以利用tan30FPakb，即212bea），故选 AxyOFAMPQNxyOFAMPQN 高三数学参考答案及评分细则（第 5 页共 21 页）【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中

11、，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.已知向量3 111，mn=mn=，则AmnnBmnnC2mnD45，m n【答案】BCD【解析】依题意，12 02，m=mnmn，12n=mn1 1，mn，所以 111 10，mnn，所以mnn，所以选项 A 错误，B 正确所以22mn，选项 C 正确；22cos222，m nm nm n，因为0180m n，所以45，m n，选项 D 正确【考查意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的坐标表示、平面向量共线与垂直、平面向量模长、夹角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程

12、思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性10.某人有 6 把钥匙，其中 n 把能打开门如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为 p，则下列结论正确的是A.当1n 时，16p B.当2n 时，13p，C.当3n 时，310p D.当4n 时，45p【答案】AC【解析】当1n 时，5 11656p，选项 A 正确；当2n 时，4246 515p，选项 B错误；当3n 时，3 336 510p，选项 C 正确；当4n 时，2446 515p，选项 D错误故选 AC【考查意图】本小题以“取钥匙开门”为载体，考查随机事件的概率等基础知识；考查推理论

13、证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想、或然与必然思想；xyOFAMPQ 高三数学参考答案及评分细则（第 6 页共 21 页）考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性11.已知 3 03 0AB，动点C 满足2CACB，记C 的轨迹为 过 A 的直线与交于 P Q，两点，直线 BP 与的另一个交点为 M，则AQ M，关于 x 轴对称BPAB的面积的最大值为 6 3C当45PMQ 时，4 2PQ D直线 AC 的斜率的取值范围为33，【答案】AC【解析】设C x y，由2CACB得 223xy2223xy，整理得 的方程 为 25x 2y 16，其 图 象 是

14、以5 0D，为 圆 心，半 径4r 的 圆 故max11641222PABSAB r，选项 B 错误因为2PAPB，2MAMB，所以PAPBMAMB，所以PABMAB，又轨迹的图象关于 x 轴对称，所以Q M，关于 x 轴对称，选项 A 正确当45PMQ 时，452PDQ 90，则DPQ为等腰直角三角形，24 2PQr，选项 C 正确当直线 AC 与圆 D 相切时，CDAC，此时822ADrCD，切线 AC 的倾斜角为 30 和150，结合图象，可得直线 AC 的斜率的取值范围为3333，选项 D 错误故选 AC【考查意图】本小题以圆为载体，主要考查直线与圆的位置关系、弦长、图象的对称性等基础

15、知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性12.设函数1()e1exxf xxx，则A()(1)f xfxxy12312345678912341234POABDQM 高三数学参考答案及评分细则（第 7 页共 21 页）B函数()f x 有极大值为eC若121xx，则1122()ex f xx f xD若121xx，且212x，则21()1f xfx【答案】ACD【解析】易验证 A 是正确的，也即函数()f x 关于直线12x 对称故选项 A 正确；因为11()ee2eexxxxfxxx1+1 e2 ex

16、xxx，所以1()02f，当12x 时，113()+1 e2 e(ee)2xxxxfxxx，此时1xx，所以()0fx，故函数()f x 在 1(,)2 上单调递增；由于函数()f x 关于直线12x 对称，所以函数()f x 在1(,)2上单调递减所以函数()f x 在12x 处有极小值，也是最小值，1()e2f故选项 B 错误；若121xx，且212x，则21112xx，由()f x 在 1(,)2 上单调递增得21()1f xfx故选项 D 正确；由于函数()f x 的最小值为e，所以1()ef x，若121xx，则211xx，所以 211f xfx，又因为 111f xfx，所以 12

17、f xf x，故112211211211()()()()()ex f xx f xx f xx f xxxf xf x，故选项 C 正确故选 ACD.【考查意图】本小题以函数为载体，考查函数与导数、函数的基本性质、函数的极值等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养；体现综合性与创新性第卷注意事项：用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.曲线3()2f xxx在0 x 处的切线方程是 【答案】20 xy

18、高三数学参考答案及评分细则（第 8 页共 21 页）【解析】依题意得，(0)0f，232fxx，所以 02f，所以所求的切线方程为2yx，即 20 xy【考查意图】本小题以三次函数为载体、考查导数的几何意义等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性14.在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，F 是线段11A B 上的动点，则1AFFC的最小值为 【答案】62【解析】将正三棱柱111ABCABC上底面沿11A B 展开至平面11ABB A 上，如图所示，因为1112AAAC，且1190+60=150

19、AAC，所以11112sin2AACACAA 22sin 75 62，所以1AFFC的最小值为62【考查意图】本小题以正三棱柱为载体，主要考查空间中动点到两定点的距离和最小值等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性15.抛物线2:2(0)E ypx p的焦点为 F，点 A 是 E 的准线与坐标轴的交点，点 P 在 E 上，若30PAF，则sinPFA 【答案】33【解析】过 P 作准线的垂线，垂足为 B，所以30BPAPAF ，PBPF在 RtBPA中，cos30PBPA ，即在PAF中，cos30PFPA ，xyOAPFB

20、高三数学参考答案及评分细则（第 9 页共 21 页）又由正弦定理sinsinPAPFPFAPAF，所以sin303sinsincos303PAPFAPAFPF【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的方程与定义、解三角形等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性16.函数 yx称为高斯函数，x 表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg991 已知数列 na满足33a，且1nnnan aa，若lgnnba，则数列 nb的前 2 022 项和为 【答案】4959【解析】利用累乘法(或13113nnaaann),得nan

21、记 nb的前 n 项和为nT，当19n时，0lg1na 时，lg0nnba；当1099n时，1lg2na 时，1nb ；当100999n时，2lg3na 时，2nb；当10002022n时，3lg4na 时，3nb；所以 2022122022lglglg90 1 900 2 1023 34959Taaa 【考查意图】本小题以数列为载体，考查数列求通项、递推数列、数列前 n 项的和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养；体现综合性与创新性四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字

22、说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）设数列 na是首项为 1 的等差数列，若2a 是1a，5a 的等比中项，且23aa.（1）求 na的通项公式；（2）设11nnnba a，求数列 nb的前 n 项的和nS【考查意图】本小题主要考查等比中项、等差数列的通项公式、裂项相消求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分【解】（1）设等差数列 na的公差为 d，因为11a ，且2a 是1a，5a 的等比中项，所以2215aa a，1 分 高三数学参考答案及评分细则（第 10 页共 21 页）

23、所以21114ada ad，2 分又因为11a ，所以2114dd解得2d，或0d，3 分又因为23aa，所以0d，所以2d，4 分所以1112121nandnan 5 分（2）由（1）知，21nan，因为11nnnaba，所以1111()(21)(21)2 2121nbnnnn，7 分所以11111111(1)()()()2335572121nSnn 8 分=11(1)221n9 分.21nn 10 分18.（12 分）为让人民享受到更优质的教育服务，我国逐年加大对教育的投入下图是我国 2001年至 2019 年间每年普通本科招生数 y（单位：万人）的条形图普通高等学校本科招生数（万人）（数

24、据来源：国家统计局网站）为了预测 2022 年全国普通本科招生数，建立了 y 与时间变量t 的三个回归模型其中根据 2001 年至 2019 年的数据（时间变量 t 的值依次为1 2 319，）建立模型：高三数学参考答案及评分细则（第 11 页共 21 页）0.058166.9ety，相关指数210.87R；模型：152.4 16.3yt，相关系数 20.97r，相关指数220.95R根据 2014 年至 2019 年的数据（时间变量t 的值依次为1 2 36，）建立模型：372.89.8yt，相关系数 30.99r，相关指数230.99R（1）可以根据模型得到 2022 年全国普通本科招生数

25、的预测值为 597.88 万人，请你分别利用模型、，求 2022 年全国普通本科招生数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【考查意图】本小题主要考查回归分析、相关指数、相关系数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分【解】（1）利用模型，2022 年全国普通本科招生数的预测值为152.4 16.3 22511y（万人）；3 分利用模型，2022 年全国普通本科招生数的预测值为372.89.8 9461y （万人）6 分（2

26、）利用模型得到的预测值更可靠 7 分理由如下：（）从条形图可以看出，2001 年至 2010 年，2011 年至 2019 年两个区间增长率有显著区别，2014 年至 2019 年招生数增长速度趋于稳定，线性关系更为明显，故模型比模型、能更好地描述时间变量与招生数的变化趋势9 分（）从计算结果可以看出，模型的相关指数230.99R最高，说明其拟合效果最好模型的相关系数 30.99r 比模型的相关系数 20.97r 高，说明模型的两变量的相关性比模型更强，因此利用模型得到的预测值更可靠 12 分19.（12 分）记ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 已知coscoscaBcA（1

27、）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）设点 D 在边 AC 上，若 ADBD，sinsinADBABC，求 ab的值.【考查意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分【解】解法一、（1）ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形.1 分理由如下：在ABC中，因为coscoscaBcA，根据正弦定理得，sinsincossincosCABCA，2 分 高三数学参考答案及评分细则（第 12 页共 21 页）ABCD又因为()CAB，所以sin()sincossi

28、ncosABABCA，即sincoscossinsincossincosABABABCA，即 cossinsincosABCA，3 分所以cos0A 或sinsinBC，4 分若 cos0A，则2A，故此时ABC为直角三角形.分若sinsinBC，则由正弦定理得，bc.故此时ABC为等腰三角形.综上，ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形.6 分（2）由（1）知，2A 或bc，若2A，则 ADBD，这与已知条件 ADBD相矛盾，所以2A；7 分所以bc，所以ABCC.又因为sinsinADBABC，所以sin()sinADBC，即sinsinBDCC，故BDCC，8 分所以ADBC.在DBC中

29、，sinsinBCDBCBDCDC，在ABC中，sinsinBCABCAAC，9 分两式相乘得2BCAC DC，10 分(也可通过等腰ABCBDC得到2BCAC DC.)又ACADACBDACBCCD，所以2()ab ba，11 分解得512ab或512ab（舍去）所以 ab 的值为512 12 分解法二、（1）ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形.1 分理由如下：因为coscoscaBcA，高三数学参考答案及评分细则（第 13 页共 21 页）ABCD根据余弦定理，得22222222acbbcacacacbc，分22222222acbbcacb，所以22222222acbbcaccb，分即

30、2222222222cacbbcacb，所以222222()()b cbac bca，分所以222()()()()0bc bcbc bbcca bc，所以222()()0bc bca，分即222abc或bc，所以ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形.6 分（2）由（1）知，2A 或bc，若2A，则 ADBD，这与已知条件 ADBD相矛盾，所以2A；7 分所以bc，所以ABCC.又因为sinsinADBABC，所以sin()sinADBC，即sinsinBDCC，故BDCC，8 分所以ADBC.又因为 ADBD，所以ADBA ，即 BD 平分ABC，9 分所以 BADABCDC，10 分所以

31、caaba，所以 baaba，11 分解得512ab或512ab（舍去）所以 ab 的值为512 12 分 高三数学参考答案及评分细则（第 14 页共 21 页）20.（12 分）如 图，在 三 棱 锥 DABC中，DA 底 面 ABC，1ACBCDA，2AB，E 是 CD 的中点，点 F 在 DB 上，且 EFDB（1）证明:DB 平面 AEF；（2）求二面角 ADBC的大小【考查意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12

32、分【解】解法一、（1）DA 平面 ABC，且 BC 平面 ABC，DABC，12ACBCAB，222ACBCAB，ACBC，1 分DAACA，BC 平面 DAC，2 分AE 平面 DAC，BCAE又DAAC，E 是 CD 的中点，DCAE，3 分又 BCDCC，AE 平面 DBC DB 平面 DBC，DBAE，4 分,EFDB EFAEE，DB 平面 AEF 5 分（2）过点 A 作 AGBC，由（1）知 BC 平面 DAC，所以 AG 平面 DAC 以点 A 为原点，分别以向量 AC AG AD，为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，6 分则 0,0,0

33、A，1,0,0C，1,1,0B，0,0,1D，则0,0,1,AD 1,1,11,0,1BDCD ，设平面 ADB 的法向量111,mx y z，则0,0,m ADm BD所以11110,0,zxyz令11y ，DEFABC 高三数学参考答案及评分细则（第 15 页共 21 页）则1,1,0.m 8 分设平面 DBC 的法向量为222,nxy z，则0,0,n CDn BD 所以222220,0,xzxyz令21x ，则1,0,1n 10 分所以11cos,222m n，11 分又因为二面角 ADBC的平面角为锐角，所以二面角 ADBC的大小为3 12 分解法二、（1）DA 平面 ABC，且 B

34、C 平面 ABC，DABC，12ACBCAB，222ACBCAB，ACBC，1 分DAACA，BC 平面 DAC，2 分过点 A 作 AGBC，所以 AG 平面 DAC.以点 A 为原点，分别以向量 AC AG AD，为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则1 10,0,0,1,1,0,0,0,10,2 2ABDE，所以1,1,1DB ，1 10,2 2AE ，111 01(1)022DB AE ，4 分DBAE，DBAE，DBEF，且 AEEFF，DB 平面 AEF.5 分（2）因为 EFDB，由（1）得 DBAF，所以AFE为二面角 ADBC的平面角，

35、6 分因为 1,0,0C，由（1）知，1,1,1DB.设,F x y z，则,z 1DFx y.7 分 高三数学参考答案及评分细则（第 16 页共 21 页）因为点 F 在 DB 上，所以存在实数 k，使得 DFkDB，所以,1xk yk zk，即,1F k kk，因为 AFDB，所以0AF DB，8 分所以 110kkk，解得13k，9 分所以点1 1 2,3 3 3F ，所以1 11,3 66FE ，112,333FA ，10 分所以116cos26663FA FEAFEFAFE，11 分又因为0,AFE，所以3AFE.所以二面角 ADBC的大小为.3 12 分解法三、（1）略，同解法一；

36、（2）因为 EFDB，由（1）得 DBAF，所以AFE为二面角 ADBC的平面角，6 分DA 底面 ABC，,DAAC DAAB因为1ACDA，所以1222AEDC，7 分因为2AB，所以1122DABSDAABDBAF，所以126312DAABAFDB，9 分由（1）知，AE 平面 DBC，因为 EF 平面 DBC，所以 AEEF，10 分所以232sin263AEAFEAF，11 分因为AFE为锐角，所以3AFE，所以二面角 ADBC的大小为.3 12 分21.（12 分）高三数学参考答案及评分细则（第 17 页共 21 页）定义：若点00(,)x y，00(,)xy 在椭圆2222:1x

37、yMab（0ab）上，且满足0000220 x xy yab，则称这两点是关于 M 的一对共轭点，或称00(,)x y关于 M 的一个共轭点为00(,)xy 已知点 A(3,1)在椭圆22:1124xyM，O 为坐标原点（1）求点 A 关于 M 的所有共轭点的坐标；（2）设点 P，Q 在 M 上，且 PQOA，求点 A 关于 M 的所有共轭点和点 P，Q 所围成封闭图形面积的最大值【考查意图】本小题主要考查新定义、点与椭圆的位置关系、平面向量共线、四边形的面积等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养

38、，体现基础性、综合性与创新性满分 12 分【解】解法一、（1）设点 A 关于 M 的共轭点的坐标为11(,)x y，依题意得，11221130,1241124xyxy，2 分解得113,3xy，或113,3xy；4 分即 A 关于 M 的两个共轭点1B，2B 的坐标分别为3,3，3,3 5 分（2）由（1）知，1B 3,3，2B 3,3，所以12B B=2233332 66 分设点,ppP xy，,qqQ xy则22221,1241124ppqqxyxy，两式相减得()()()()0124pqpqpqpqxxxxyyyy，7 分又 PQ OA，所以13pqpqyyxx，8 分故()pqpqyy

39、xx，则22pqpqyyxx，高三数学参考答案及评分细则（第 18 页共 21 页）所以线段 PQ 的中点在直线0 xy上，即线段 PQ 被12B B 平分9 分设点,ppP xy到0 xy的距离为 d，则点1B，P，2B，Q 所围成四边形面积121121=222 62PB BB PBQSSB Bdd四边形，10 分设过 P 与直线0 xy平行的直线l 为 xym，当l 与 M 相切时，d 取得最大值由22,1124xymxy，消去 y 得2246340 xmxm，令22364840mm，解得4m ，11 分所以42 22maxd，故点1B，P，2B，Q 所围成四边形面积的最大值为8 3 12

40、 分解法二、（1）略，同解法一.（2）由（1）知，1B 3,3，2B 3,3，设点,ppP xy，,qqQ xy由 PQOA，得直线 PQ 的斜率为 13，6 分故设直线 PQ 的方程为13yxt，联立221,31124yxtxy，消去 y 得，22469360 xtxt，7 分由222364 36(4)36(163)0ttt ，解得443333t,且32pqxxt，21(936)4pqx xt，8 分所以2211()3pqPQxx221031()4936924tt2101632t9 分设1B 3,3，2B 3,3到直线 PQ 的距离分别为1d,2d 高三数学参考答案及评分细则（第 19 页共

41、 21 页）则134 310td，24 3310td，由443333t，得124 334 338 3101010ttdd 10 分所以四边形1B P2B Q 面积等于12121122B PB QSPQ dPQ d121()2 PQ dd21108 31632210t22 3 163t 11 分故当0t 时，12B PB QS取得最大值8 3，即点1B，P，2B，Q 所围成封闭图形面积的最大值为8 3 12 分22.（12 分）设函数2()lnf xaxxx（1）当1a 时，判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围【考查意图】本小题主要考查

42、函数的单调性、方程有解、导数的应用等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想、有限与无限思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分【解】解法一、（1）当1a 时，2()ln0f xxxx x，1 分所以221 2112121()21.xxxxxxfxxxxxx 2 分当 01x 时，()0fx，所以()f x 在(0,1)单调递增；3 分当1x 时，()0fx，所以()f x 在(1,)单调递减.4 分（2）因为函数()f x 的图象与 x 轴没有

43、公共点，所以()0f x 恒成立若()0f x 有解，则关于 x 的方程2ln0axxx x有解，等价于关于 x 的方程2ln0 xxaxx 有解.6 分令2ln()0 xxp xxx，则312ln()xxp xx，7 分 高三数学参考答案及评分细则（第 20 页共 21 页）令()12ln0q xxx x，则2()10q xx 恒成立，()q x在(0,)上单调递减，又(1)0,q当 01x 时，(1)0q xq；当1x 时，(1)0q xq；8 分所以，当 01x 时，0p x；当1x 时，0p x；()p x在(0,1)单调递增，在(1,)上单调递减，max()(1)1p xp，9 分当

44、0 x 且0 x 时，p x ；当1x 时，0p x；10 分若直线 ya 与函数()p x 的图象有交点，则1a，即1a，11 分要使函数()f x 的图象与 x 轴没有公共点，则 a 的取值范围为,1 12 分解法二、(1)略，同解法一；（2）因为2()ln0f xaxxx x，所以2121()21axxfxaxxx 5 分当0a 时，()0fx，所以()f x 在0,单调递增，且11()10,(e)1e0,eeff 所以函数()f x 有唯一的一个零点，这与()f x 的图象与 x 轴没有公共点相矛盾，所以0a；6 分当0a 时，()0fx，所以()f x 在(0,)单调递增；（）当1a

45、时，22111111()lnln1eeeeeefaaaaaaa21110ee，又因为(1)10,fa 所以函数()f x 有唯一的一个零点，这与()f x 的图象与 x 轴没有公共点相矛盾，所以1a不成立；7 分（）当 01a 时，22()lnlnf xaxxxxxx，令2()ln.h xxxx21111()()10eeeefh，(1)10fa，所以函数()f x 有唯一的一个零点，高三数学参考答案及评分细则（第 21 页共 21 页）这与()f x 的图象与 x 轴没有公共点相矛盾，所以 01a 不成立；8 分（）当0a 时，方程2210axx 有两根1x，2x，不妨设12xx，因为121

46、210,210,2xxax xa 所以120 xx，所以，当20 xx时，()0fx；当2xx时，()0fx；所以()f x 在2(0,)x上单调递增，在2(,)x 上单调递减，所以()f x 在2xx处取到唯一的 极大值，即函数()f x 的最大 值为2()f x，且222210.axx 9 分222222222211()lnlnln.222xxf xaxxxxxx 设1()ln22xu xx，则()u x 在(0,)单调递增，且(1)0,u当(0,1)x时，()0u x；当(1,)x 时，()0u x；即2(0,1)x 时，2()0f x；当2(1,)x 时，2()0f x；由于221111()ln10eeeeeeaaf，所以2(1,)x 时，()f x 的图象与 x 轴有公共点，这与()f x 的图象与 x 轴没有公共点相矛盾，所以2(1,)x ；10 分故2(0,1)x 时，()f x 的最大值2()f x小于 0，又2222210(01),axxx 即2222112(01)axxx，因为2222211111()224xxx ，11 分所以 22a ，即1.a 要使函数()f x 的图象与 x 轴没有公共点，则 a 的取值范围为,1 12 分