2022高考数学人教B版一轮总复习学案：7-6　空间向量在立体几何中的应用 WORD版含解析.docx

1、7.6空间向量在立体几何中的应用必备知识预案自诊知识梳理1.空间中的点与空间向量一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量唯一确定,此时,OP通常称为点P的.2.空间中的直线与空间向量一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l,则称v为直线l的一个.此时,也称向量v与直线l,记作.(1)如果A,B是直线l上两个不同的点,则v=AB,即为直线l的一个.(2)如果v是直线l的一个方向向量,则对任意的实数0,空间向量v也是直线l的一个方向向量,而且直线l的任意两个方向向量都平行.(3)如果v为直线l的一个方向向量,A为直

2、线l上一个已知的点,则对于直线l上任意一点B,向量AB一定与非零向量v平行,从而可知存在唯一的实数,使得AB=v,这就是说,空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定.(4)如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1v2.3.空间中两条直线所成的角(1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为,则=或=,所以sin =,cos =.(2)=2v1v2=.4.异面直线与空间向量设v1,v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量.(1)如果l1与l2异面,则v1与v2是不可能平行的.(2)如果v1与v2不平行,则l1与l2可能异面,也可能相

3、交.(3)如果Al1,Bl2:则l1与l2异面时,可知v1,v2,AB是的;反之,如果v1,v2,AB不共面,则l1与l2是异面的.(4)公垂线段:一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,Ml1,Nl2,则称MN为l1与l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的.5.平面的法向量(1)如果是空间中的一个平面,n是空间中的一个,且表示n的有向线段所在的直线与平面,则称n为平面的一个法向量.此时也称n与平面垂直,记作n.(2)如果v是直线l的一个方向向量,n是平面的一个法向量,则nv;nv.(3)如果n1是平面1的一个法向量,n2是平面2的一个法向量,则n1n2;n1

4、n212,或1与2重合.6.三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理:如果平面内的一条直线与平面的在该平面内的垂直,则它也和这条垂直.(2)三垂线定理的逆定理:如果平面内的和这个平面的垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.7.直线和平面所成的角8.最小角定理9.用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量,n是平面的一个法向量,设直线l与平面所成角的大小为,则=或=,特别地cos =或sin =.10.二面角的概念(1)半平面:平面内的一条直线把平面分为两部分,都称为一个半平面.(2)二面角:从一条直线出发的所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的,称为二面角的面.棱为l,两

5、个面分别为,的二面角的面,记作,若A,B,则二面角也可以记作,二面角的范围为.(3)二面角的平面角:在二面角-l-的棱上,以O为垂足,分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.11.用空间向量求二面角的大小如果n1,n2分别是平面1,2的一个法向量,设1与2所成角的大小为,则=或=,sin =.12.用空间向量求空间距离(1)一般地,若A是平面外一点,B是平面内一点,n是平面的一个法向量,则点A到平面的距离为d=.(2)当直线与平面平行时,直线上称为这条直线与这个平面之间的距离,如果直线l与平面平行,n是平面的一个法向量,A,B分别是l上和内的点,

6、则直线l与平面之间的距离为d=|BAn|n|.(3)当平面与平面平行时,一个平面内任意一点称为这两个平行平面之间的距离.(4)如果平面与平面平行,n是平面的一个法向量(当然也是平面的一个法向量),A和B分别是平面和平面内的点,则平面和平面之间的距离为.1.平面的法向量的性质(1)如果直线l垂直于平面,则直线l的任意一个方向向量都是平面的一个法向量.(2)如果n是平面的一个法向量,则对任意的实数0,空间向量n也是平面的一个法向量,且平面的任意两个法向量都平行.(3)如果n为平面的一个法向量,A为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点B,向量AB一定与向量n垂直,即nAB=0,从而可知平面的位置

7、可由n和A唯一确定.2.作二面角的平面角的方法(1)定义法:由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点,求解用到的是解三角形的有关知识.(2)垂面法:作(找)一个与棱垂直的平面,与两面的交线就构成了平面角.(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角,这种方法最为重要,其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.()(4)设n是平面的法向量,A是平面内一点,AB是平面的一条斜线,则

8、点B到的距离为d=|ABn|n|.()(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.()2.(多选)在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1为正方体,给出下列结论,其中正确的有()A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.2aB.3aC.23aD.33a4.(2020山东威海校际联考)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为

9、2,侧棱长为22,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为.关键能力学案突破考点利用空间向量证明平行、垂直【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30.求证:(1)CM平面PAD;(2)平面PAB平面PAD.思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法?解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:证明两平面的

10、法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.对点训练1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN平面A1B1C1;(2)平面MBC1平面BB1C1C.考点异面直线所成的角【例2】(1)(2017全国2,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直

11、线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33(2)在三棱锥P-ABC中,ABC和PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.58B.34C.78D.14解题心得1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是:(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式|cos|=|v1v2|v1|v2|求解.2.两异面直线所成角的范围是0,2,两向量的夹角的范围是0,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是这两条异面直线的夹角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是

12、异面直线的夹角.对点训练2(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.3030B.3015C.3010D.1515(2)(2020重庆南开中学高三期中)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=22,D为棱A1B1的中点,则异面直线AD与CB1所成角的大小为.考点直线与平面所成的角【例3】(2020全国2,理20)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点,过B1C1和P的平面交AB于点E,交AC于点F.(1)证明:AA1MN,且

13、平面A1AMN平面EB1C1F;(2)设O为A1B1C1的中心,若AO平面EB1C1F,且AO=AB,求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.解题心得利用向量求线面角的两种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角,若这个角是锐角,就取其余角,若这个角是钝角,就用这个角减去90,从而得到斜线与平面所成的角.对点训练3(2020浙江,19)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面ACFD平面ABC,ACB=ACD=45,DC=2BC.(1)证明:EFDB;(2)求直线DF与

14、平面DBC所成角的正弦值.考点二面角【例4】如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O底面ABCD;(2)若CBA=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.思路探究(1)充分利用图形中的垂直关系,用传统的方法(综合法)可证.(2)利用垂直关系建立空间直角坐标系,用法向量求二面角的余弦值.变式发散1(变问法)本例(2)条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.变式发散2(变条件、变问法)本例四棱柱中,CBA=60改为CBA=90,设E,F分别是棱BC,CD的中点,求平面AB1

15、E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值.解题心得利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.对点训练4如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ABCD,AB=BC=CC1=2CD,E为线段AB的中点,F是线段DD1上的动点.(1)求证:EF平面BCC1B1;(2)若BCD=C1CD=60,且平面D1C1CD平面ABCD,求平

16、面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值.考点公式cos=cos1cos2的应用【例5】BOC在平面内,OA是平面的一条斜线,若AOB=AOC=60,OA=OB=OC=a,BC=2a,求OA与平面所成的角.解题心得求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置,只有确定了射影,才能将空间角转化为平面角.在本例中,也可以直接作AHBC于点H,进而证明AH平面,从而证明H是点A在平面内的射影.方法2则灵活应用公式cos=cos1cos2求线面角,也是常用的方法.对点训练5如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形,PD平面ABCD.若PBC=60,求直线PB与平面ABCD所成的角.

17、考点求空间距离【例4】如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=23,求点A到平面MBC的距离.解题心得求点面距一般有以下三种方法(1)作点到面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量法.其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便.对点训练4如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,BCA=90,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,且BA1AC1.(1)求证:AC1平面A1BC;(2)求CC1到平面A1AB的距离.高考大题专项(四)立体几何考情分析从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重

18、点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积,点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.必备知识1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理证线线平行;利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形

19、底边上的中线即高线的性质;勾股定理;线面垂直的性质:要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,即l,ala.2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.3.求几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰

20、三角形,圆台的轴截面是等腰梯形,要注意应用这些轴截面.4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.5.空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可以构建空间角,把角的计算归结为平面图形中的角的计算.利用空间向量解题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.突破1空间中的位置

21、关系与表面积、体积【例题】(2020安徽高三三模)如图,边长为2的等边三角形ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,且BCB1C1,BC=2B1C1,A1C=3AC1.(1)求证:A1B1平面ABC;(2)求多面体ABC-A1B1C1的体积.解题心得处理体积问题的思路(1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高;(2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算;(3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼

22、补的方法.对点训练如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为长方形,三角形SBC为边长为2的正三角形,将三角形SBC沿BC折起,使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上.(1)当AB=2时,证明:平面SAB平面SCD;(2)当AB=1时,求四棱锥S-ABCD的侧面积.突破2空间角和距离题型一空间中的位置关系与异面直线所成的角【例1】在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形,ADBC,ADAB,PA=AD=2,AB=BC=1,Q为PD的中点.(1)求证:PDBQ;(2)求异面直线PC与BQ所成角的余弦值.解题心得用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两

23、垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.对点训练1(2020北京人大附中高三月考)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ADE平面ABCD,O,M分别为线段AD,DE的中点.四边形BCDO是边长为1的正方形,AE=DE,AEDE.(1)求证:CM平面ABE;(2)求直线CM与BD所成角的余弦值.题型二空间的位置关系与线面角【例2】如图,菱形ABCD与等边三角形BCE所在平面互相垂直,FD平面ABCD,BC=2,FD=3.(1)证明:EF平面A

24、BCD;(2)若CBA=60,求直线EF与平面AFB所成角的正弦值.解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面的法向量;第四,破“应用公式关”.对点训练2(2020辽宁高三三模)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,AB=BD=2,BB1=2,BD与AC相交于点E,A1D与AD1相交于点O.(1)求证:AC平面BB1D1D;(2)求直线OB与平面OB1D1所成的角的

25、正弦值.题型三空间中的位置关系与二面角【例3】(2020全国1,理18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=66DO.(1)证明:PA平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.解题心得如图,设平面,的法向量分别为n1,n2,二面角的平面角为(0),则|cos|=|cos|=|n1n2|n1|n2|,结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.对点训练3(2020山东烟台龙口一中诊测)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DCEB,DC=EB=1,AB=4.(1)

26、证明:平面ADE平面ACD;(2)当C点为半圆的中点时,求二面角D-AE-B的平面角的余弦值.题型四空间中的位置关系与空间距离【例4】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是边长为2的正三角形,AA1=26,D是CC1的中点,E是A1B1的中点.(1)证明:DE平面A1BC;(2)求点A到平面A1BC的距离.解题心得求解点到平面的距离可直接转化为求向量在平面的法向量上的投影向量的长度.如图,设点P在平面外,点O是点P在平面上的射影,n为平面的法向量,在平面内任取一不同于点O的点Q,则点P到平面的距离PO=|PQn|n|.对点训练4(2020福建高三模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,底面

27、ABCD为矩形,点E在线段PA上,PC平面BDE.若PAD是等边三角形,AB=2AD,平面PAD平面ABCD,四棱锥P-ABCD的体积为93,求点E到平面PCD的距离.突破3立体几何中的创新综合问题题型一折叠与展开问题【例1】(2019全国3,理19)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.解题心得折叠问题的关键有二:画好两个图折叠前的平面图和折叠后的立体图

28、;分析好两个关系折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化,哪些没有改变.一般地,在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的.涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的.分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱.对点训练1(2020陕西汉中龙岗学校高三模考)如图1,在边长为4的正方形ABCD中,E是AD的中点,F是CD的中点,现将三角形DEF沿EF翻折成如图2所示的五棱锥P-ABCFE.(1)求证:AC平面PEF;(2)若平面PEF平面ABCFE,求直线PB与平面PAE所成角的正弦值.题型二范围与最值问题【例2】(2020江苏天一中学高三模拟)给出两块相同的正三角形铁皮

29、(如图1,图2),(1)要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小.(2)设正三角形铁皮的边长为a,将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图3),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?解题心得求解立体几何的最值问题主要应用代数中的有关函数知识或不等式有关知识求解.解题的关键是恰当地引入参变量(一元或二元),建立目标函数,然后由表达式的特点求最值;如果应用

30、几何法求解,要明确空间几何体的结构特征以及形成规律,要正确实施空间向平面的转化.对点训练2(2020广东普宁华美实验学校高三月考)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.题型三开放与探索问题【例3】(2020天津北辰二模)已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PAD是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点.(1)求证:PO平面ABCD;(

31、2)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小;(3)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为6,若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由.解题心得1.先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.2.空间向量很适合解决这类探索性问题,解题时无需进行复杂的作图、论证、推理,只需把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解”,即通过坐标运算进行判断,这就是计算推理法.对点训练3(2020黑龙江大庆中学高三期末)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM平面ABCD,DAB=60,AD=2,AM=1,E为AB的中点.(1)求证:AN平面MEC;(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为3?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.