重庆市直属校（重庆市第八中学等）2020届高三3月月考数学（理）试题.pdf

1、高 2020 级高三（下）3 月月考理科数学试题 第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合2|9Ax x，3,2,1,0,1,2B ，则 AB A0,1,2B1,0,1,2C2,1,0,1,2D2,1,02设2)(1(biai，其中ba,是实数，i 为虚数单位，则bia3A2 B7 C22 D 103已知数列 na是各项均为正数的等比数列，21 a，32216aa，则29log a A15 B16 C17 D18 4若实数,x y 满足约束条件20,20,240,xyxyxy ，则 zxy的最小值为 A 8 B 6 C1 D3 5我

2、国古代有着辉煌的数学研究成果，其中周髀算经、九章算术、海岛算经、孙子算经、缉古算经有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 5 部专著中有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期现拟从这 5 部专著中选择 2 部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选 2 部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 A 35 B 710 C 45 D 9106如图，四棱柱1111ABCDA B C D中，ABCD为平行四边形，,E F 分别在线段1,DB DD 上，且112DEDFEBFD，G 在1CC上且平面 AEF 平面1BD G，则1CGCC A 12 B 13 C 23 D 147在直

3、角坐标系 xOy 中，半径为1m的C 在0t 时圆心C 与原点O 重合,C 沿 x 轴以1/m s 的速度匀速向右移动，C 被 y 轴所截的左方圆弧长记为 x,令cosyx,则 y 关于时间t (01t,单位:s)的函数的图象大致为 A B C D GFD1B1C1ABCDA1E8)()(Nnxmxn的展开式中，各二项式系数和为 32，各项系数和为 243，则展开式中3x 的系数为 A40 B30 C20 D10 9设函数)0,0)()(cos()(Rxxxf的部分图象如图所示，如果)127,12(,21xx，21xx，且)()(21xfxf，则)(21xxf A32 B12 C32 D 12

4、 10已知三棱锥 PABC的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，ABC是边长为6 的等边三角形，记 ABC的外心为1O 若三棱锥 PABC的体积为12 3，则1PO A2 3 B2 5 C2 6 D2 7 11设双曲线2222:10,0 xyCabab的左顶点为 A，右焦点为,0F c，若圆222:Axaya 与直线0bxay交于坐标原点O 及另一点 E，且存在以O 为圆心的圆与线段 EF 相切，切点为 EF 的中点，则双曲线的离心率为 A62 B2 C 3 D3 12函数 1ln00 xxxf xxex，若关于 x 的方程 220fxaf xaa有四个不等的实数根，则a 的取值范围是

5、 A 4,15 B,11,C ,11 D 1,01 第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量a 与b 的夹角为0120，且(1,3)a ，10b，则a b _ 14已知函数|()3()x af xaR满足()(4)f xfx，则实数 a 的值为_ 15设各项均为正数的数列 na的前 n项和nS 满足022222nnSnnSnn，Nn，则数列11nnaa的前 2020项和2020T_ 16设抛物线22yx的焦点为 F，准线为l，弦 AB 过点 F 且中点为 M，过点,F M 分别作 AB 的垂线交l 于点,P Q，若3AFBF，则

6、 FPMQ _ 三、解答题：（共 70 分）17（本小题满分 12 分）在 ABC中，角CBA,的对边分别为cba,，且满足).sin3(cosAAbc（）求角 B 的大小；（）若4a，且 BC 边上的高为 3，求 ABC的周长 18（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD为平行四边形，点 E 在 AB 上，22AEEB，且ABDE 以 DE 为折痕把 ADE折起，使点 A 到达点 F 的位置，且60FEB（）求证：平面 BFC 平面 BCDE；（）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 155，求二面角 EDFC的正弦值 19（本小题满分 12 分）为了保障某治疗新冠肺炎药品

7、的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取 20 件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布2(,)N 在一天内抽取的 20 件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在(3,3)之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查（）下面是检验员在 2 月 24 日抽取的 20 件药品的主要药理成分含量：9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 1

8、0.13 9.91 9.95 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12 经计算得20119.9620iixx，20202221111()(20)0.192020iiiisxxxx 其中ix 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1i ，2，20用样本平均数 x 作为 的估计值，用样本标准差 s 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（）假设生产状态正常，记 X 表示某天抽取的 20 件产品中其主要药理成分含量在(3,3)之外的药品件数，求(1)P X 及 X 的数学期望 附：若随机变量 Z 服从正态分布2(,)

9、N ，则(33)0.9974PZ，190.99740.95 20（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过点1F 的直线与 C 交于,A B 两点2ABF的周长为4 2，且椭圆的离心率为 22 （）求椭圆C 的标准方程；（）设点 P 为椭圆C 的下顶点，直线,PA PB 与2y 分别交于点,M N，当 MN 最小时，求直线AB 的方程 AFDEBC 21（本小题满分 12 分）已知函数()1axf xex ,且()0f x （）求 a；（）在函数()f x 的图象上取定两点11(,()A x f x，22(,()B xf x12()xx，记

10、直线 AB 的斜率为k，问：是否存在012(,)xx x，使0()fxk成立？若存在，求出0 x 的值（用21,xx表示）；若不存在，请说明理由 请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222cos3sin12，直线l 的参数方程为2xtyt （t 为参数），直线l 与曲线C 交于,M N两点（）若点

11、 P 的极坐标为2,，求 PMPN的值；（）求曲线C 的内接矩形周长的最大值 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数,f xx xa aR（）当 224ff时，求a 的取值范围；（）若0a，,x ya，不等式 3f xyya恒成立，求a 的取值范围 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 1 页 共 6 页 高 2020 级高三（下）3 月月考 理科数学参考答案 第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C B B B A D

12、 B D B D 10由题意39ABCS,2,3211OOAO,设 P 到平面 ABC 的高为 h,则由312V得4h,所以点 P 在小圆2O（如图所示，圆1O 与圆2O 所在平面平行）上运动，22 OO，所以322PO，所以72221221OOPOPO 11联立 00011222yxayaxaybx或22223222cbaycax，则22232,2cbacaE 因为存在以O 为圆心的圆与线段 EF 相切于其中点，所以OFOE，所以ccbaca22222322，化简即得2e 12当0 x时，)1()(1xexfx，所以当10 x时，0)(xf，)(xf单调递增；当1x时，0)(xf，)(xf单

13、调递减，且0)0(f，当x时，0)(xf当0 x时，)(xf单调递减，所以)(xf的图象如图所示：令 xft，则由上图可知当0t或1时，方程 xft 有两个实数根；当1,0t时，方程 xft 有三个实数根；当,10,t时，方程 xft 有一个实数根 所以关于 x 的方程 220fxaf xaa有四个不等的实数根等价于关于t 的方程022aaatt有两个实数根1,021tt或者,10,1,021tt 当1,021tt解得1a；当,10,1,021tt时，011002222aaaaaa，解得01a综上所述，10,1a 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 2 页 共 6 页

14、第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16 答案 5 2 202150591615由题意022nnSnnS，因为 na各项均为正数，所以0nS，可得nnSn2，所以nan21114114111nnnnaann，所以20215052021120201.3121211412020 T 16由对称性，不妨设 A 在一象限，设直线 AB 的倾斜角为 ，由BFAF3得cos13cos1pp得21cos，所以32,32,2MFBFAF记 AB 与l 的交点为S，x轴与l 的交点为 R，则2cosRFSF，,398tan,332

15、tanSMMQSFFP所以916 MQFP 三、解答题：（共 70 分）17解：（）由正弦定理可知：)sin3(cossinsinAABC 1 分 又因为 ABC中CBA，故)sin(sinBAC 2 分)sin3(cossin)sin(AABBAABABBABAsinsin3cossinsincoscossinABBAsinsin3cossin 4 分 又因为 A 为 ABC的内角，故0sinA BBsin3cos，(0,)B，6B 6 分 （）如图，63BAD，则32sinBADABc 9 分 又4a，在 ABC中，由余弦定理得：4cos2222Baccab 2 b 故三角形的周长.326

16、cba 12 分 18解：（）因为ABDE，所以EFDEEBDE,，所以DE平面 BEF，所以BFDE 2 分 因为22 EBAE，所以1,2EBEF，又o60FEB，由余弦定理得：3cos222FEBEBEFEBEFBF，所以222BFEBEF，所以EBFB 4 分 由得BF平面 BCDE，所以平面BFC平面 BCDE 5 分 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 3 页 共 6 页 （）建系如图，设aDE，则 3,0,0,0,0,1,0,1FEaD，3,1 aDF 因为直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切 值 为155，所 以 直 线 DF 与 平 面BCDE

17、所成角的所成角的正弦值为 46，又1,0,0n为平面 BCDE 的法向量，所以46,cosDFnDFnDFn，即46432 a，解得2a 7 分 所以0,2,2,0,2,1CD，则3,2,1,0,2,0DFED，设平面 EDF 的法向量zyxm,，则zxyzyxymDFmED300320200，取1z得1,0,3m，9 分 同理可取平面 DFC 的法向量2,3,0p，10 分 所以77722,cospmpmpm，11 分 所以742,sinpm，即得二面角 EDFC的正弦值为742 12 分 19解：（）由9.96x，0.19s，得 的估计值为 9.96，的估计值为 0.19，由样本数据可以看

18、出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在(3，3)(9.39，10.53)之外，因此需对本次的生产过程进行检查 5 分（）抽取的一件药品的主要药理成分含量在(3,3)之内的概率为 0.9974，从而主要药理成分含量在(3,3)之外的概率为 0.0026，故(20,0.0026)XB 因此11920(1)(0.9974)0.0026200.950.00260.0494P XC，10 分 X 的数学期望为200.00260.052E X 12 分 20解：（）由题意可得：44 2,22,11caacba 22:12xCy 4 分（）点0,1P，11,0F，设 1122,A x yB xy，则

19、显然直线 AB 与 x 轴不重合，设:1AB xmy，则可知1m 由22122xmyxy得222210mymy 12122221,22myyy ymm 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 4 页 共 6 页 直线111:10PAyxx yx，令2y，可得1131Mxxy，6 分 同理2231Nxxy，7 分 122112121211113331111myymyyxxMNyyyy121212131myyy yyy222222124136 212221122mmmmmmmmm，9 分 当0m 时，6 2MN；当0m 时，2116 26 2221111MNmmmm，由于1,2

20、2,mm ，则11,11,2211mm，11 分 此时 MN 的最小值为66 2，在1m 处取得.综上，当 MN 最小时，直线:1AB xy，即1yx.12 分 21解：（）若0a，则对一切0 x，()f x10axex，这与题设矛盾；若0a，()1,axfxae令11()0,ln.fxxaa得 当11lnxaa时，()0,()fxf x单调递减；当11lnxaa时，()0,()fxf x单调递增，故当11lnxaa时，()f x 取最小值11111(ln)ln1.f aaaaa 于是对一切,()0 xR f x恒成立，当且仅当 111ln10aaa.令()ln1,g tttt 则()ln.g

21、 tt 当01t 时，()0,()g tg t单调递增；当1t 时，()0,()g tg t单调递减.故当1t 时，()g t 取最大值(1)0g.因此，当且仅当 11a 即1a 时，式成立.综上所述，1a .5 分 高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 5 页 共 6 页 （）由题意知，21212121()()1.xxf xf xeekxxxx令2121()(),xxxeexfxkexx()yx在区间12,x x上单调递增；且121()12121()()1,xxxexexxxx 212()21221()()1.xxxexexxxx 由（）得()10 xf xex 恒成立

22、，从而21()21()10 xxexx，12()12()10,xxexx 又1210,xexx 2210,xexx 所以1()0,x2()0.x 由零点存在性定理得，存在唯一012(,)xx x，使0()0,x且21021ln()xxeexxx.综上所述，存在012(,)xx x使0()fxk成立，且21021ln()xxeexxx.12 分 22解：（）曲线C 的直角坐标方程为22312xy因为点 P 的直角坐标为2,0，所以点 P 在直线l 上将直线l 的参数方程22222xtyt （t 为参数）代入曲线C 的直角 坐 标 方 程 中，得22222231224022tttt，则124PMPNt t 5 分（）不妨设 2 3cos,2sin0,2Q为矩形上的一顶点，则该矩形的周长为 4 2 3cos2sin16sin3，当且仅当6，其周长有最大值16 10 分 23解：（）22 22 24222222aaaaaaa 或 22222aaa 或 2222aaa，解得,1a 5 分（）maxmin3f xyya，其中当,x ya 时，3333yyayayaa（当且仅当3,ya 取等号），高 2020 级高三（下）3 月月考数学（理科）参考答案第 6 页 共 6 页 （24af xx xa 当且仅当2ax 取等号），所以234aa，解得0,6a 10 分