2023届新高考数学培优专练 专题09 数列求和方法之裂项相消法（教师版）.docx

1、专题 09 数列求和方法之裂项相消法 一、单选题1已知数列 na的前n 项和nS 满足12nn nS，则数列11nna a 的前 10 项的和为（）A 89B 910C1011D1112【答案】C【分析】首先根据12nn nS得到nan，设11111nnnba ann，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】当1n 时，111aS，当2n 时，11122nnnn nn naSSn.检验111aS，所以nan.设1111111nnnba an nnn，前n 项和为nT，则10111111101122310111111T.故选：C2谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的好玩的数学一书中，有一篇文章

2、五分钟挑出埃及分数，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为 1 的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数113，135，157，120192021的和是（）A 20202021B10102021C 10092019D 20182019【答案】B【分析】根据裂项相消法即可求和.【详解】因为 11 11222n nnn11111 33 55 720192021111111111233557201920211112202110102021，故选：B3设等差数列 na的前n 项和为nS，且4523SS，621S，若12111222nSSS恒成立，则的最小值为（）A1B2C3D4【答案】A【分析】由4523

3、SS，求得1ad，又由621S，求得11ad，求得(1)(1)22nn nn nSn，得到11121nSnn，进而求得12111112221nSSSn ，结合题意，即可求解.【详解】设等差数列 na的公差为 d，因为4523SS，所以114 325 445232adad，整理得1112181020adad，即1ad，由621S，可得16 56212ad，即161521ad，所以11ad，所以(1)(1)22nn nn nSn，所以 11112(1)1nSn nnn，所以1211111111111122222311nSSSnnn ，因为12111222nSSS恒成立，所以1，故 的最小值为 1.

4、故选：A.【点睛】若把一个数列的通项拆成两项之差，在去和时中间的一些项可以相互抵消，从而取得前n 和，其中常见裂项的技巧：111(1)1n nnn；11 11()(2)22n nnn；1111()(21)(21)2 2121nnnn；111nnnn；1111()(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn.4定义12nnppp为 n 个正数12,np pp 的“均倒数”，若已知数列 na的前n 项的“均倒数”为 12n，又2nnab，则1 22 39 10111bbb bb b（）A 817B1021C 1123D 919【答案】D【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前 n 项和，然

5、后利用前 n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.【详解】设数列 na的前 n 项和为nS，由题意可得：12nnSn，则：22nSn，当1n 时，112aS，当2n 时，142nnnaSSn，且14 1 22a ，据此可得42nan，故212nnabn，11111121212 2121nnb bnnnn，据此有：1 22 39 101111111111233517191.21891919bbb bb b故选：D5已知数列 na满足11a ，+121nnnaaa，则数列1nna a 的前n 项和nT （）A 21nn B 21nn C 221nn D 42nn【答案】B【分析】利用倒

6、数法求出数列 na的通项公式，进而利用裂项相消法可求得nT.【详解】已知数列 na满足11a ，+121nnnaaa，在等式+121nnnaaa 两边同时取倒数得112112nnnnaaaa，1112nnaa，所以，数列1na是等差数列，且首项为111a=，公差为2，则11 2121nnna ，121nan，1111121212 2121nna annnn，因此，111 111 111111111232 352 572 2121221nTnnn21nn.故选：B.【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上

7、造成正负相消是此法的根源与目的二、解答题6已知数列 na的前n 项和为nS，12a，32nnSna（1）求 na的通项公式；（2）设22nnnnba，求数列 nb的前n 项和nT【答案】（1）1nan n；（2）nT111 2nn.【分析】（1）当2n 时，由32nnSna得到1131nnSna，两式相减，然后再利用累积法求解.（2）由（1）得121121 221 2nnnnnbn nnn，然后利用裂项相消法求解.【详解】（1）当2n 时，1131nnSna，则1133321nnnnnaSSnana，整理得111nnanan故12211231113 2121231nnnnnnnaaaannna

8、an nnaaaannn当1n 时，12a 满足上式，故1nan n（2）121121 221 2nnnnnbn nnn，22311111112 22 22 23 221 2nnnTnn，111 2nn【点睛】方法点睛：求数列的前 n 项和的方法(1)公式法：等差数列的前 n 项和公式，11122nnn aan nSnad等比数列的前 n 项和公式11,11,11nnna qSaqqq；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差

9、数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前 n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解7数列 na各项都为正数，前n 项和为nS，12a，25a，当3n 时，222113nnnnSSaa.（1）求na；（2）求数列11nna a 的前n 项和nT.【答案】（1）31nan；（2）64nn.【分析】（1）当3n 时，结合条件可得 11113nnnnnnaaaaaa，即可得13nnaa（3n），经验证可得1

10、3nnaa（2n），从而数列 na是首项为 2 公差为 3 的等差数列，可得出答案.（2）111111313233132nnaannnn用裂项相消可得答案.【详解】（1）当3n 时，222113nnnnSSaa，所以2212113nnnnnnaaSSaa，所以 11113nnnnnnaaaaaa.因为 na各项都为正数，所以10nnaa ，故13nnaa（3n）.又因为12a，25a，所以213aa，故13nnaa（2n），所以数列 na是首项为 2 公差为 3 的等差数列，故31nan.（2）111111313233132nnaannnn，所以111111111132558313232326

11、4nnTnnnn.8等差数列 na各项都为正数，12a，25a，当3n 时，2221(13)nnnnSSaa.（1）求na；（2）求数列11nna a 的前n 项和nT.【答案】（1）31nan；（2）64nn.【分析】（1）由2221(13)nnnnSSaa可得 11113nnnnnnaaaaaa，即可得133nnaan，再结合213aa，即可得 na是等差数列，进而求得 na的通项公式；（2）利用裂项求和即可，111111313233132nnaannnn.【详解】（1）当3n 时，222113nnnnSSaa，所以2212113nnnnnnaaSSaa，所以 11113nnnnnnaaa

12、aaa.因为 na各项都为正数，所以10nnaa ，故133nnaan.又因为12a，25a，所以213aa，故132nnaan，所以数列 na是首项为 2，公差为 3 的等差数列，所以31nan.（2）因为 111111313233132nnaannnn，所以1111111111325583132323264nnTnnnn.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列 na的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前

13、n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如 1nnaf n 类型，可采用两项合并求解.9已知数列 na是等差数列，若12a，且3a，22a，421a 成等比数列，数列 nb满足2321132322nbbbbnnnL（1）求数列 na，数列 nb的通项公式；（2）若数列 na为正项等差数列，设1nnncab，求证：数

14、列 nc的前n 项和34nT【答案】（1）1nan 或51344nan，2nbnn nN；（2）证明见解析【分析】（1）na是等差数列，设公差为 d，由3a，22a，421a 成等比数列，列方程解出公差，进而得出数列 na；当2n 时，23121131123122nbbbbnnnL，与原式作差得数列 nb；（2）22111 1121222ncnnnnnn，利用裂项相消法计算出放缩后的数列和，即可证得不等式成立【详解】（1）数列 na是等差数列，设公差为 d，则2342212aaa，即 2226342ddd，解得1d 或54d，故1nan 或51344nan，令1n，得12b，当2n 时，231

15、21131123122nbbbbnnnL，与原式作差得1nbnn ，22nbnn n，验证得12b 满足通项，故2nbnn nN（2）因为数列 na为正项等差数列，由（1）可知1nan，22111 1121222ncnnnnnn，则1111111112324352nTnnL，即1111113112212224nTnn，不等式得证【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的放缩与求和，考查了学生计算能力，数列求和的方法有：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位

16、相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和10设数列 na的前n 项和为nS，已知1a、na、nS 成等差数列，且432aS（1）求 na的通项公式；（2）若2212231loglognnnbaa，nb的前n 项和为nT，求使71nT 成立的最大正整数n 的值【答案】（1）2nna；（2）8【分析】（1）本题首先可根据1a、na、nS 成等差数列得出12nnaSa以及1112nnaSa，然后两式相减，得出12nnaa，最后根据432aS求出12a，即可求出 na的通项公式；（2）本

17、题可根据题意得出1(21)(23)nbnn并将其转化为1112 2123nbnn，然后通过裂项相消法求和得出3(23)nnTn，最后根据71nT 得出713(23)nn，通过计算即可得出结果.【详解】（1）因为1a、na、nS 成等差数列，所以12nnaSa，当2n，有1112nnaSa，两式相减，可得1122nnnnnaaSSa，即12nnaa，由题意易知10a，故 na是公比为 2 的等比数列，1 21nnSa，因为432aS，所以3311221aa，解得12a，故 na的通项公式为2nna.（2）因为2212231loglognnnbaa，2nna，所以1111(21)(23)2 212

18、3nbnnnn，故1 1111111 112 355721232 3233(23)nnTnnnn，因为71nT，所以713(23)nn，解得9n，故71nT 成立的最大正整数n 的值为 8.【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查等差中项以及等比数列前n 项和公式的应用，常见的裂项有 11111n nnn、11 11n nkknnk、111nnnn 等，考查计算能力，是中档题.11等差数列 na的前n 项和为nS，已知110a，2a 为整数，且4nSS.（1）求 na的通项公式；（2）设11nnnba a，求数列 nb的前n 项和nT.【答案】（1）13 3nan，*nN；（

19、2）nT10(103)nn.【分析】（1）根据条件，可得数列na的公差 d 为整数，且450,0aa，利用等差数列通项公式，可得1,a d 的关系，即可求得 d 的值，代入公式即可得答案；（2）由知：13 3nan，可得nb 的表达式，利用裂项相消法求和即可得答案.【详解】（1）由110a，2a 为整数知，等差数列na的公差 d 为整数，又4nSS，故450,0aa，即：1030,1040dd解得：10532d，因为 d 为整数，所以3d ，所以等差数列na的通项公式为：13 3nan，*nN.（2）由（1）知：13 3nan，*nN，所以1111()(13 3)(103)310313 3nb

20、nnnn，所以12.nnTbbb1111111()().()37104710313 3nn111()3 10310n10(103)nn.【点睛】本题考查数列求通项，裂项相消法求前 n 项和，常见的裂项技巧：（1）11 11n nkknnk；（2）()11n knkn kn=+-+；（3）111121212 2121nnnn；（4）1112121221 2121 21nnnnnnn1112121nn；裂项时，容易出现多项或丢项的问题，需注意，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.12给出下列三个条件：34a，43a，52a 成等差数列；37S；.对于*n，点,nn S均在函数2xya的图像上，

21、其中a 为常数.请从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并求解.设na是一个公比为 0,1q qq的等比数列，且它的首项11a，（填所选条件序号）.（1）求数列na的通项公式；（2）令2log1(*)nnbanN，设数列11nnb b 的前n 项和为nT，求nT【答案】选择见解析；（1）1=2nna；（2）1nn.【分析】（1）若选：解得2q=，即得数列的通项；若选：解31(1)71aqq得公比，即得数列的通项；若选：求出2q=，即得数列的通项；（2）求得nbn，再利用裂项相消求出数列11nnb b 的前n 项和为nT.【详解】（1）若选：因为3454,3,2aaa 成等差数列，所以435

22、2 3=42aaa.又因为数列 na是等比数列，即2320qq解得2q=或1q （舍去）又11a ，所以数列 na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 na的通项公式1=2nna若选：37S，因为 na是公比为(0,1)q qq的等比数列，所以31(1)71aqq，即260qq解得2q=或3q （舍去）所以数列 na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以数列 na的通项公式为1=2nna若选：点(,)nn S均在函数2xya的图像上，所以2nnSa，又因为112aSa，所以1a ，所以21nnS ，所以23S，所以22,2aq.所以数列 na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，

23、所以数列 na的通项公式1=2nna（2）证明：因为1=2nna，所以2log1nnban 所以11111(1)1nnb bn nnn所以12231111111111?2231nnnTb bb bb bnn 1111nnn.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）分组求和法；（4）裂项相消法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征，灵活选用，认真计算.13已知等差数列 na的前n 项和为nS，918a，10110S（1）求数列 na的通项公式na；（2）设1nnbS，求数列 nb的前n 项和nT.【答案】（1）2nan；（2）1nnTn【分析】（1）设等差

24、数列 na的公差为 d，根据已知条件可得出关于1a、d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列 na的通项公式；（2）求得111nbnn，利用裂项相消法可求得nT.【详解】（1）设等差数列 na的公差为 d，由911018181045110aadSad，解得12ad，所以，112naandn，故数列 na的通项公式2nan；（2）由（1）可得2212nnnSn n，所以111111nnbSn nnn，所以111111111122334111nnTnnnn.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于nna b型数列，其中 n

25、a是等差数列，nb是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于nnab型数列，利用分组求和法；（4）对于11nna a 型数列，其中 na是公差为 0d d 的等差数列，利用裂项相消法.14已知等差数列 na的前n 项和为nS，10nnaa，23a，且1a，3a，712a成等比数列（1）求na 和nS；（2）设11nnnbS S，数列 nb的前n 项和为nT，求证：112nT【答案】（1）21nan，2nSn；（2）证明见解析.【分析】（1）设等差数列 na的公差为 d，首项为1a，由223173,(12),aaaa求出11a，2d 即可求解；（2）由2nSn，可得11111nnnbS Snn，

26、利用裂项相消求和求出nT，再利用不等式的性质和数列的单调性即可求证.【详解】解：（1）设等差数列 na的公差为 d，首项为1a，由10nnaa，得0d，则223173,(12),aaaa所以121113,(2)(126).adadaad解得11a ，2d，所以21nan，21 212nnnSn（2）因为11111(1)1nnnbS Sn nnn 所以1111111111112233411nTnnn 因为111nTn 单调递增所以112nTT，综上，112T【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列an的前 n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列

27、的前 n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前 n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如 an=(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.15已知数列na，nb，nc满足1111abc，1nnncaa，12nnnnbccb

28、，*nN.（1）若 nb为等比数列，公比0q，且12362bbb，求q 的值及数列na的通项公式；（2）若 nb为等差数列，且265bb，证明1233ncccc，*nN.【答案】（1）2q=；2743nna；（2）证明见解析.【分析】（1）先由题设求得q，从而求得nb 及114nncc，然后求得nc，再利用叠加法求得na 即可；（2）先由题设求得等差数列 nb的公差 d，然后求得nb 及113nncncn，再利用累乘法求得nc，最后利用裂项相消法求得123ncccc，即可证明结论.【详解】（1）解：由题设知：262qq，解得：2q=或32q （舍)，12nnb，12nnnnbccb，*nN，1

29、112124nnnnnccc，即114nncc，11c，11()4nnc，1nnncaa，11a ，211aa，3214aa，2431()4aa，211()4nnnaa，2n，将以上式子相加可得：122111()11141411()()1()14443414nnnna ，2n，2743nna，2n，又当1n 时，11a 也适合，2743nna；（2）证明：26452bbb，452b，11b，公差4114 12bbd，111(1)22nnbn，1213nnnnnbncccbn，113nncncn，2124cc，3235cc，4346cc，1211nncncn，12nncncn，2n，将以上式子相

30、乘可得：12 3(1)(2)nccnn，2n，11c，116()12ncnn，2n，又当1n 时，11c 也适合上式，116()12ncnn，1231111111116()6()63233412222nccccnnn.【点睛】方法点睛：该题主要考查数列的问题，方法如下：（1）利用叠加法求通项公式；（2）累乘法求通项公式；（3）裂项相消法求和.16已知数列na为正项等比数列，12a，数列 nb满足25b，且11 12 23 32(21)2nn na ba ba ba bn.（1）求数列na和 nb的通项公式；（2）若11nnb b 的前n 项和nT，求nT 的取值范围.【答案】（1）2nna，2

31、1nbn；（2）1 1,)15 6.【分析】（1）先求出2nna，再得到11 12 23 32(21)2nn na ba ba ba bn，当2n 时，1 12 23 3112(23)2nnna ba ba babn，两式相减得21nbn；（2）由题得11111()2 2123nnb bnn，利用裂项相消求出1 11()2 323nTn，再利用单调性求解.【详解】（1）令1n，则21 12(2 1)26a b，所以13b，令2n，则1 12 226a ba b，所以2 220a b，因为25b，所以24a，设数列na的公比为q，则212aqa，所以2nna.因为11 12 23 32(21)2

32、nn na ba ba ba bn，当2n 时，1 12 23 3112(23)2nnna ba ba babn，由-得12(21)2 2(23)2(21)2nnnn na bnnn，所以21nbn，当1n 时也成立，所以21nbn，（2）由（1）可知111111()(21)(23)2 2123nnb bnnnn，所以1111111()()()235572123nTnn 1 11()2 323n，因为nT 随着n 的增大而增大，当1n 时，1115T，当n 时，16nT，所以nT 的取值范围是 11,)15 6.【点睛】方法点睛：数列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂

33、项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征，灵活选择方法求和.17已知数列 na的前n 项和为nS，112a，且10nnSa（*nN）.（1）求数列 na的通项公式；（2）若21 lognnbna，数列*N1nnb的前n 项和为nS，求证：112nS.【答案】（1）12nna；（2）证明见解析.【分析】（1）根据10nnSa 得11102nnSan 两式作差，得出112nnaa，再由等比数列的通项公式，即可求出结果；（2）先由（1）得到1nbn n，由裂项相消的方法求出nS，进而可得结论成立.【详解】（1）10nnSa 11102nnSan，-得：112nnaa，2n；

34、数列 na是首项和公比都为 12 的等比数列，于是1111222nnna，*nN.（2）由（1）得21log1nnbnan n，111111nbn nnn，1211111111111122311nnSbbbnnn .又易知函数 111f xx 在1,上是增函数，且 1f x ，而112S，所以 112nS.【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型111111nnnna adaa，其中 na是公差为 0d d 的等差数列；（2）无理型1nknknnk；（3）指数型11nnnaaaa；（4）对数型11logloglognaanannaaaa.18数列 na中，12a，121nn

35、naan.（1）求证：数列nan是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）设nnnban，数列12nnnb b 的前n 项和为nS.求证：1nS.【答案】（1）证明见解析，2nnan；（2）证明见解析.【分析】（1）由121nnnaan，化简得到121nnaann，根据等比数列的定义，得到数列nan为等比数列，进而求得2nnan.（2）由（1）求得111122121nn nnnb b，结合裂项法，求得数列12nnnb b 的前n 项和为11121nnS，即可作出证明.【详解】（1）由题意，数列 na中，12a，121nnnaan，可得121nnnana，即121nnaann，又由12a，可得

36、121a，所以nan是以 2 为首项 2 为公比的等比数列，由等比数列的通项公式，可得2nnan，所以2nnan.（2）由（1）可得121nnnnban，所以1112112212121 21nnnnnnnnb b，数列12nnnb b 的前n 项和为122334111111111112121212121212()()1212()1)1nnnnS，又因为nN，所以11021n，所以111121n，即111121nnS.【点睛】关于裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式；累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，

37、得到数列的前n 项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.19已知等比数列na的公比0q，且满足1236aaa，2434aa，数列 nb的前n 项和(1)2nn nS，*nN.（1）求数列na和 nb的通项公式；（2）设2238,nnnnnnnbanb bca b n 为奇数为偶数，求数列 nc的前2n 项和2nT.【答案】（1）1,2nnanN；,nbnnN；（2）21251341184(21)92nnn.【分析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项1a 与公比q 的方程组，解出1a 与q 的值，即可计算出数列na的通项公式，再根据公式11,1,

38、2nnnS nbSSn 进行计算可得数列 nb的通项公式；（2）先分n 为奇数和n 为偶数分别计算出数列 nc的通项公式，在求前2n 项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行计算即可得到前2n 项和2nT.【详解】（1）依题意，由1236aaa，2434aa，可得21113221164()aa qa qa qa q，因为0q，所以解得12q，112a，11 11()()2 22nnna，*nN，对于数列 nb：当1n 时，111bS，当2n 时，1(1)(1)22nnnn nn nbSSn，当1n 时，11b 也满足上式，nbn，*nN.（2）由题意及（1）

39、，可知：当 n 为奇数时，22223838111()(2)22(2)2nnnnnnnnbncab bn nnn，当 n 为偶数时，1()2nnnnca bn，令1321nAccc，242nBccc，则1321nAccc133521211111111 23 23 25 2(21)2(21)2nnnn121111 2(21)2 nn21112(21)2 nn，2462246211112()4()6()2()2222nnBccccn ，24622211111()2()4()(22)()2()22222nnBnn ，两式相减，可得2462223111112()2()2()2()2()422222nnB

40、n ，135212211111()()()()2()22222nnn，21222222211111()22112222()112211()22nnnnnn，21241()()332nn，21834 1()992nnB，2122nnTccc13212462()()nncccccccAB21211134 18()2(21)2929nnnn21251341()()184(21)92nnn.【点睛】关键点点睛：第二问中当n 为奇数时，求出nc，并对nc 进行裂项为2112(2)2nnncnn是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与

41、化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.20已知公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，S11 且 S1，S3，S101 成等比数列.（1）求an的通项公式；（2）设 bn16nna a，数列bn的前 n 项和为 Tn，求使得 Tn158成立的 n 的最小值.【答案】（1）32nan；（2）6.【分析】（1）由1S，3S，101S 成等比数列，得23101SS，再利用首项和等差数列的通项公式可得答案；（2）由（1）可得112 3231nbnn，再利用裂项相消法求出nS，然后解不等式可求出n 的最大值.【详解】（1）1S，3S

42、，101S 成等比数列，23101SS，设等差数列 na的公差为 d，则2113(3 1)10(10 1)310122adad，22111991810451ada dad，又111aS，2991810451ddd ，即23dd，又公差0d，3d，32nan.（2）由（1）知32nan，166112(32)(31)3231nnnba annnn，11111162 12 144732313131nnTnnnn，由615318nnTn可得：5n，故要使得158nT 成立，则n 的最小值为 6.【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查等比中项的应用，数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后

43、相关联，那么常选用裂项相消法求和.21等差数列na的前 n 项和为nS，已知113a，2a 为整数，当且仅当5n 时nS 取得最大值.（1）求na的通项公式；（2）设11nnnba a，求数列 nb的前 n 项和nT.【答案】（1）163nan；（2）13(13 3)nn.【分析】（1）根据条件列出关于 d 的不等式，再根据2a 为整数确定出 d 的值，从而 na的通项公式可求；（2）先计算出 nb的通项公式，然后采用裂项相消的方法求解出 nb的前n 项和nT.【详解】（1）由题意可知50a，且60a，13401350dd，解得 131345d，2a 为整数，3d ，na的通项公式为163na

44、n.（2）111111()(163)(133)3 133163nnnba annnn，12nnTbbb111111111()()()()3 10137104713 3163nnL111()3 13 31313(13 3)nnn.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）11111n nnn；（2）21111412 2121nnn；（3）111nnnn；（4）11211212121 21nnnnn.22已知正项数列 na的前n 项和为nS，且满足：11a，211nnnaSS.(1)求数列 na的通项公式；(2)设121 21 3 nnnannabaa，求数列 nb的前n 项和nT

45、.（1）nan；（2）111421 3nnTn.【分析】（1）根据211nnnaSS写出212nnnaSSn，通过作差以及化简说明 na为等差数列，并求解出通项公式；（2）将 nb的通项公式变形为1111421 321 3nnnbnn，采用裂项相消法求解出nT 的结果.【详解】(1)由211nnnaSS又有21nnnaSS，2n，两式相减得22112nnnnaaaan因为0na，所以112nnaan 又11a ，22121aaaa，解得22a，满足11nnaa 因此数列 na是等差数列，首项1a 为1，公差 d 为1所以11naandn(2)1121 213nnnbnn113111114 21

46、2134213213nnnnnnn所以1201121111111111.4 1 33 34 3 35 3421 321 3nnnnTbbbnn111421 3nn.【点睛】结论点睛：常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）11111n nnn；（2）21111412 2121nnn；（3）111nnnn；（4）11211212121 21nnnnn.23已知各项均为正数的等差数列 na和等比数列 nb满足111ab，且236aa，238bba（1）求数列 na，nb的通项公式.（2）若2221lognnncab，求12nccc.【答案】（1）nan，12nnb；（2）21nn.【分析】（1）根

47、据已知条件求得等差数列 na的公差 d、等比数列 nb的公比q，由此求得数列 na，nb的通项公式.（2）利用裂项求和法求得12nccc.【详解】(1)因为 na为等差数列，且11a，所以可设公差为 d，则11nand，所以21ad，31 2ad.因为236aa，所以11 26dd，解得1d 或52d .又等差数列 na各项均为正数，所以52d 不合题意，舍去，所以nan.因为 nb为等比数列，且11b，所以可设公比为(0)q q，则1nnbq.因为2388b ba，所以128q q，解得2q=，满足各项均为正数，所以12nnb.(2)由(1)知1,2nnnan b，所以2221lognnnc

48、ab 121n n1 11=21nn.所以12nccc111111122231nn11121n21nn.24已知nS 为等差数列 na的前n 项和，满足410S，55a，nT 为数列 nb的前 n 项和，满足4 413nnT，*nN.（1）求 na和 nb的通项公式；（2）设211lognnnncba a，若数列 nc的前n 项和100nC，求n 的最大值.【答案】（1）*nannN，4nnb=，*nN；（2）9.【分析】（1）根据等差数列基本量运算，可得数列 na的通项公式，根据递推关系4 413nnT，多递推一项再相减，即可得答案；（2）求出1121ncnnn，再进行等差数列求和及裂项相消

49、求和；【详解】（1）na为等差数列，因为410S，55a，所以14610ad，145ad，解得11a ，1d，所以*nannN，.因为4 413nnT，所以当2n 时，11444141433nnnnnnbTT；当1n 时，114bT.综上，4nnb=，*nN.（2）2111log 4211nncnn nnn，所以121111112 12312231nnCcccnnn 111111nnnnnnn，所以11nnCnnn，因为11001nnCnnn，当1n 时，1111nCnnn 为关于n 的递增数列，8999010010CC，101011010011C，所以n 的最大值为 9.【点睛】已知数列的通

50、项和前n 项和的递推关系，常采用多递推一项再相减的思想；通过研究数列的单调性，进而研究数列项的最值或解不等式，是常用的方法.25已知数列 na前 n 项和nS 满足2*nSnnN（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列11nna a 的前 n 项和nT【答案】（1）21nan；（2）n21nTn.【分析】（1）根据11,1,2nnnS naSSn 求得数列 na的通项公式.（2）利用裂项求和法求得nT.【详解】（1）当1n 时，111aS，当2n 时，22121nSnnn，121nnnaSSn，当1n 时上式也符合.所以21nan.（2）由题意知，可设111111(21)(21)2 2121

51、nnnba annnnn12111111(1)()()23352121nTbbbnn则n11122121nTnn.三、填空题26已知数列 na满足23*1232222nnaaaan nN，若2211loglognnnbaa，则数列 nb的前 n 项和nS _.【答案】1nn【分析】先根据前n 项和与通项的关系得12nna，进而得111(1)1nbn nnn=-+，再根据裂项相消求和法求解即可得答案.【详解】因为23*1232222nnaaaan nN，所以231123122221nnaaaan(2)n，两式相减得21(2)nnan，当1n 时也满足，故12nna，2211loglognnnba

52、a 111(1)1n nnn，故1111111223111nnSnnnn .故答案为：1nn【点睛】本题考查前 n 项和与通项的关系，裂项相消求和.解题的关键在于根据已知条件得2nna的前 n 项和为 n，再根据前n 项和与通项的关系求得12nna，进而再根据裂项相消求和即可.考查运算求解能力，是中档题.27已知等差数列 na的前n 项和为nS，55a，515S，则数列12nna a 的前 2020 项和为_【答案】40402021【分析】先根据等差数列的通项公式和求和公式可列出关于 a1和 d 的方程组，解出 a1和 d 的值，即可得到数列an的通项公式，即求出数列12nna a 的通项公式

53、，再利用裂项相消法求出前 2020 项和【详解】由题意，设等差数列an的公差为 d，则11455 45152adad，解得111ad数列an的通项公式为 an1+（n1）1n，nN*1221nna an n=1121nn（）设数列12nna a 的前 n 项和为 Tn，则 Tn12231222nna aa aa a 2221 22 31n n2（1111112231nn）2（111n）21nnT202040402021故答案为：40402021【点睛】方法点睛：本题主要考查等差数列的通项公式及数列求和的应用，属于基础题.常见数列求和方法为：1.公式法求和 2.裂项相消求和（注意提取系数）3.错

54、位相减求和，4 分组求和28已知na的前n 项和2nSn，数列111na 的前 5 项和5T _.【答案】524【分析】根据当2n 时，221(1)21nnnaSSnnn，当1n 时也满足，故2(21)nan，而11114(1)nan n，利用裂项相消法即可 得解.【详解】当2n 时，221(1)21nnnaSSnnn，当1n 时，111aS 满足上式，故21nan，所以2(21)nan，1111 11()14(1)41nan nnn，5111111155(1)=4223564624T，故答案为：52429在131nnnaaa；1na为等差数列，其中236111,1,aaa成等比数列；2123

55、111132nnnaaaa这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列na中，11a _.(1)求数列na的通项公式；(2)设1,nnnnba aT为数列 nb的前n 项和，求证：13nT.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）132nan；（2）证明见解析.【分析】（1）若选条件，0na，由数列的推式可得1113nnaa，从而得数列 1na是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可求得na的通项公式；若选择，设数列1na的公差为 d，由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得方程2(22)(1)(1 5)ddd，解之可得

56、na的通项公式；若选择，由2123111132nnnaaaa得，当2n 时，2123111113(1)(1),2nnnaaaa，两式相减可求得 1na，从而求得na的通项公式；（2）由（1）得11111323+13 323+1nnnba annnn，运用裂项求和法可得证.【详解】（1）若选条件，0na，1111,331nnnnnaaaaa，又111a=，所以数列1na是以 1 为首项，3为公差的等差数列，所以111+3132,32nnnnaan；若选择，设数列1na的公差为 d，则2361111+,12+2,1+5dddaaa，因为236111,1,aaa成等比数列，2(22)(1)(1 5)

57、ddd，解得3d 或1d ；当1d 时，2110da ，此时236111,1,aaa不能构成等比数列，所以3d，所以111+3132,32nnnnaan，若选择，由2123111132nnnaaaa得，当2n 时，2123111113(1)(1),2nnnaaaa，两式相减得，22133(1)(1)32,22nnnnnna所以1(2),32nann，当1n 时，11a 也适合上式，所以132nan，（2）由（1）得11111323+13 323+1nnnba annnn，所以11111111111(1)()()(1)344732313313933nTnnnn，故1.3nT【点睛】在由数列的求和

58、公式求数列的通项公式时，注意检验1n 的情况是否满足通项公式。证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手，用不等式的传递性等性质，舍去(或添上)一些正项或者负项，扩大或缩小分式的分子、分母，逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度，否则就不能同向传递 在数列求和型不等式证明中，一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和，则选择先求和后再放缩；若数列不易求和，要考虑先放缩后再求和 30数列 na前 n 项和为 Sn，若11nan n，则2020S _.【答案】20202021【分析】利用裂项求和法求得2020S.【详解】依题意111nann，所以20201111112020112232020202120212021S .故答案为：20202021