高中数学常用公式大全及常用结论(理科).pdf

1、-1-高中数学常用公式大全及常用结论(理科 176 个)1.元素与集合的关系 UxAxC A,UxC AxA.2.德摩根公式 ();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B.3.包含关系 ABAABBUUABC BC AUAC B UC ABR4.容斥原理()()card ABcardAcardBcard AB()()card ABCcardAcardBcardCcard AB()()()()card A Bcard B Ccard C Acard A B C 5集合12,na aa的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n 1个；非空子集有2n 1 个；非空的真子集有2n 2 个

2、.6.常用二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.7.解连不等式()Nf xM常有以下转化形式()Nf xM ()()0f xMf xN|()|22MNMNf x()0()f xNMf x11()f xNMN.8.方 程0)(xf在),(21 kk上 有 且 只 有 一 个 实 根,与-2-0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21 kk内,等价于0)()(21kfkf,或

3、0)(1 kf且22211kkabk,或0)(2 kf且22122kabkk.9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a0时，若qpabx,2，则minmaxmax()(),()(),()2bf xff xf pf qa；qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，minmin()(),()f xf pf q.(2)当 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x()0

4、)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x，则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；-8-(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf 且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)若飞 f（x）+f(x+a)+f(x+2a)+f(x+3a)+f(x+4a)()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)若)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.30.分数指数幂 (1)

5、1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.31根式的性质（1）()nn aa.（2）当 n 为奇数时，nnaa；当 n 为偶数时，,0|,0nna aaaa a.32有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsr saaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则 ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式 logba NbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式 logloglogmamNN

6、a(0a,且1a ,0m,且1m ,0N).-9-推 论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m ,1n,0N).35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.36.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为 R,则0a，且0;若)(xf的值域为 R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,

7、)a 和 1(,)a 上log()axybx为增函数.(2)当ab时,在1(0,)a 和 1(,)a 上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a ，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.38.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x 的总产值 y，有(1)xyNp.39.数列的通项公式与前 n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn(数 列 na的 前n项 的 和 为12nnsaaa).-10-40.等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；其前 n 项和公式为 1

8、()2nnn aas1(1)2n nnad211()22d nad n.41.等比数列的通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq；其前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q 或11,11,1nnaa q qqsna q.42.等比差数列 na:11,(0)nnaqad ab q 的通项公式为 1(1),1(),11nnnbnd qabqdb qd qq；其前 n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbn qqqq.43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnabbxb 元(贷款 a 元,n 次还清,每期利率为 b).44常

9、见三角不等式 -11-（1）若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin|cos|1xx.45.同角三角函数的基本关系式 22sincos1，tan=cossin，tan1cot.46.正弦、余弦的诱导公式 212(1)sin,sin()2(1)s,nnnco 212(1)s,s()2(1)sin,nnconco 47.和角与差角公式 sin()sincoscossin;cos()coscossinsin;tantantan()1tantan.22sin()sin()sinsin(平方正弦公式);22cos()cos()cossin.sin

10、cosab=22 sin()ab(辅助角 所在象限由点(,)a b的象限决定,tanba ).48.二倍角公式 sin 2sincos.2222cos 2cossin2cos112sin .22tantan 21tan.(n 为偶数)(n 为奇数)(n 为偶数)(n 为奇数)-12-49.三角函数的周期公式 函数sin()yx，xR 函数cos()yx，xR(A,为常数，且 A0，0)的周期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,为常数，且 A0，0)的周期T.50.正弦定理 2sinsinsinabcRABC.51.余弦定理 2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;222

11、2coscababC.52.面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高）.（2）111sinsinsin222SabCbcAcaB.(3)221(|)()2OABSOAOBOA OB.53.三角形内角和定理在ABC 中，有()ABCCAB222CAB222()CAB.54.简单的三角方程的通解 sin(1)arcsin(,|1)kxaxka kZ a.s2arccos(,|1)co xaxka kZa.tanarctan(,)xaxka kZ aR.特别地,有 sinsin(1)()kkkZ.-13-scos2()cokkZ.tantan()k

12、kZ.55.最简单的三角不等式及其解集 sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ.sin(|1)(2arcsin,2arcsin),xa axkaka kZ.cos(|1)(2arccos,2arccos),xa axkaka kZ.cos(|1)(2arccos,22arccos),xa axkaka kZ.tan()(arctan,),2xa aRxka kkZ.tan()(,arctan),2xa aRxkka kZ.56.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么(1)结合律：(a)=()a;(2)第一分配律：(+)a=a+a;(3)第二分配律：(a+b

13、)=a+b.57.向量的数量积的运算律：(1)ab=ba（交换律）;(2)（a）b=（ab）=ab=a（b）;(3)（a+b）c=a c+bc.58.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.59向量平行的坐标表示 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b 0，则 ab(b 0)12210 x yx y.60.a 与 b 的数量积(或内积)ab=|a|b|cos61.ab 的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a

14、|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积 62.平面向量的坐标运算 -14-(1)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a+b=1212(,)xxyy.(2)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy.(3)设 A11(,)x y，B22(,)xy,则2121(,)ABOBOAxx yy.(4)设 a=(,),x yR，则 a=(,)xy.(5)设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y.63.两向量的夹角公式 121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)x y,b=22(,

15、)xy).64.平面两点间的距离公式,A Bd=|ABAB AB 222121()()xxyy(A11(,)x y，B22(,)xy).65.向量的平行与垂直 设 a=11(,)x y,b=22(,)xy，且 b 0，则 Ab b=a 12210 x yx y.a b(a 0)ab=012120 x xy y.66.线段的定比分公式 设111(,)P x y，222(,)P xy，(,)P x y 是线段12PP 的分点,是实数，且12PPPP，则 121211xxxyyy 121OPOPOP12(1)OPtOPt OP（11t）.67.三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为11A

16、(x,y)、22B(x,y)、33C(x,y)则ABC 的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyG.-15-68.点的平移公式xxhxxhyykyykOPOPPP.【注】:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形F 上的对应点为(,)P x y，且PP的坐标为(,)h k.69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量 a=(,)h k 平移后得到点(,)P xh yk.(2)函数()yf x的图象 C 按向量 a=(,)h k平移后得到图象C,则C 的函数解析式为()yf xhk）.(3)图象C 按向量 a=(,)h k平移后得到图象 C,若 C 的解析式()

17、yf x，则C 的函数解析式为()yf xhk.(4)曲线C:(,)0f x y 按向量 a=(,)h k 平移后得到图象C,则C 的方程为(,)0f xh yk.(5)向 量 m=(,)x y 按 向 量 a=(,)h k平 移 后 得 到 的 向 量 仍 然 为m=(,)x y.70.三角形五“心”向量形式的充要条件设 O 为 ABC所在平面上一点，角,A B C 所对边长分别为,a b c，则（1）O 为 ABC的外心222OAOBOC.（2）O 为 ABC的重心0OAOBOC.（3）O 为 ABC的垂心OA OBOB OCOC OA .（4）O 为 ABC的内心0aOAbOBcOC.（

18、5）O 为 ABC的A 的旁心aOAbOBcOC.71.常用不等式：（1）,a bR222abab(当且仅当 ab 时取“=”号)-16-（2）,a bR2abab(当且仅当 ab 时取“=”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）柯西不等式：22222()()(),.abcdacbda b c dR（5）绝对值不等式：bababa.72.极值定理 已知yx,都是正数，则有（1）若积 xy 是定 p，则当yx 时和yx 有最小值p2；（2）若和yx 是定 s，则当yx 时积 xy 有最大值241 s.推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22(1)若积 xy 是定值

19、,则当|yx 最大时,|yx 最大；当|yx 最小时,|yx 最小.(2)若和|yx 是定值,则当|yx 最大时,|xy 最小；当|yx 最小时,|xy 最大.73.一元二次不等式 20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果 a 与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果 a 与2axbxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或.74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有22xaxaaxa.22xaxaxa或 xa.-17-75.无理不等式（1）()0()()()

20、0()()f xf xg xg xf xg x.（2）2()0()0()()()0()0()()f xf xf xg xg xg xf xg x或.（3）2()0()()()0()()f xf xg xg xf xg x.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x.(2)当01a 时,()()()()f xg xaaf xg x;()0log()log()()0()()aaf xf xg xg xf xg x77.斜率公式2121yykxx（111(,)P x y

21、、222(,)P xy）.78.直线的五种方程 （1）点斜式 11()yyk xx(直线l过点111(,)P x y，且斜率为 k)（2）斜截式 ykxb(b 为直线l 在 y 轴上的截距).（3）两点式 112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)P x y、222(,)P xy-18-(12xx).(4)截距式 1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)（5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0).79.两条直线的平行和垂直 (1)若 111:lyk xb，222:lyk xb 121212|,llkk bb;12121llk k .(2)若 1111:0l

22、A xB yC,2222:0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零,11112222|ABCllABC；1212120llA AB B；80.夹角公式 (1)212 1tan|1kkk k.(111:lyk xb，222:lyk xb,1 21k k )(2)12211212tan|A BA BA AB B.(1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC,12120A AB B).直线 12ll时，直线 l1与 l2的夹角是 2.81四种常用直线系方程(1)定 点 直 线 系 方 程：经 过 定 点000(,)P xy的 直 线 系 方 程 为00()yyk xx(

23、除直线0 xx),其中 k 是待定的系数;经过定点000(,)P xy的直线系方程为00()()0A xxB yy,其中,A B 是待定的系数(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0lA xB yC,2222:0lA xB yC的交点的直线系方-19-程为111222()()0A xB yCA xB yC(除 2l)，其中是待定的系数(3)平行直线系方程：直线 ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，是参变量(4)垂直直线系方程：与直线0AxByC(A0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy,是参变量 82.点到直线的

24、距离 0022|AxByCdAB(点00(,)P xy,直线l：0AxByC).83.圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr.（2）圆的一般方程220 xyDxEyF(224DEF0).（3）圆的参数方程 cossinxarybr.（4）圆的直径式方程1212()()()()0 xxxxyyyy(圆 的 直 径 的 端 点 是11(,)A x y、22(,)B xy).84.圆系方程(1)过点11(,)A x y,22(,)B xy的圆系方程是 1212112112()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx1212()()()()()0 xxxxyyy

25、yaxbyc,其中0axbyc是直线 AB 的方程,是待定的系数(2)过直线l:0AxByC与圆 C:220 xyDxEyF的交点的圆系方程是22()0 xyDxEyFAxByC,是待定的系数(3)过圆1C:221110 xyD xE yF与圆2C:222220 xyD xE yF的交点的圆系方程是 2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF,是待定的系-20-数 85.点与圆的位置关系 点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种 若2200()()daxby，则 dr 点 p 在圆外;dr 点 p 在圆上;dr 点 p 在圆内.86.直线与圆的位置

26、关系 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:0相离rd;0相切rd;0相交rd.其中22BACBbAad.87.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，d=O1O2 条公切线外离421rrd;条公切线外切321rrd;条公切线相交22121rrdrr;条公切线内切121rrd;无公切线内含 210rrd.88.圆的切线方程(1)已知圆220 xyDxEyF 若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 0000()()022D xxE yyx xy yF.当00(,)xy圆外时,0000()()022D xxE yyx

27、xy yF表示过-21-两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为 00()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为 ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线(2)已知圆222xyr 过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr;斜率为k 的圆的切线方程为21ykxrk.89 椭圆的定义、标准方程、图象及几何性质：定义平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a（2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。定点 F1、F2 叫做焦点，定点间的距离叫焦距。定义式：|PF1|+|PF2|=2a

28、,(2a|F1F2|).注：若 2a=|F1F2|,动点 P 的轨迹是线段 F1F2；若 2a|F1F2|,动点 P 的轨迹不存在。图 形 中心在原点，焦点在 x轴上中心在原点，焦点在 y 轴上标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay参数方程 cos()sinxayb 为参数cos()sinxbya 为参数顶 点 1212(,0),(,0),(0,),(0,)AaA aBb Bb1212(,0),(,0),(0,),(0,)AbA bBa Ba对称轴 x轴，y 轴；短轴为 b2，长轴为 a2xOF1 F2 P y A2 B2 B1 A1 x OF1 F2 P yA2 A

29、1 B1 B2 -22-焦 点)0,(),0,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦 距)0(2|21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）准 线 cax2cay2焦半径 10|PFaex，20|PFaex10|PFaey，20|PFaey通 径 epab222（p 为焦准距）焦点弦)(2|BAxxeaAB)(2|BAyyeaAB焦准距 cbccap2290、双曲线的定义、标准方程、图象及几何性质：定义平面内与两定点 F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。定点 F1、F2叫做焦点，定点间的距离叫焦距。定义式：|PF1

30、|-|PF2|=2a,(2a|F1F2|,轨迹不存在。图 形 中心在原点，焦点在 x轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 xOF1 P B2 B1 F2 yx OF1 F2 P yA2 A1 -23-标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay顶 点)0,(),0,(21aAaA),0(),0(21aBaB对称轴 x轴，y 轴；虚轴为 b2，实轴为 a2焦 点)0,(),0,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦 距)0(2|21ccFF222bac离心率(1)ceea（离心率越大，开口越大）准 线 cax2cay2渐近线 xabyxbay焦半径 P 在左支0201|e

31、xaPFexaPFP 在右支0201|exaPFexaPFP 在下支0201|eyaPFeyaPFP 在上支0201|eyaPFeyaPF通 径 epab222（p 为焦准距）焦准距 cbcacp2291、抛物线的定义、标准方程、图象及几何性质：0p 定义平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线，其中Fl。-24-图形 焦点在 x轴上，开口向右 焦点在 x轴上，开口向左 焦点在 y 轴上，开口向上 焦点在 y 轴上，开口向下 标准方程pxy22 pxy22pyx22 pyx22准线 2px2px 2py2py 焦点)0,

32、2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF对称轴 x轴 y 轴 焦半径 2|0pxPF2|0pyPF顶点)0,0(O离心率 1e通径 p2焦点221sin2ppxx（为焦点弦的倾斜角,当2 时，为 p2 OF P ylxOF P y lxOF P y lxxOF P yl-25-弦 通径）焦准距 p92 圆锥曲线的统一定义：若平面内一个动点 M 到一个定点 F 和一条定直线l 的距离之比等于一个常数)0(ee，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点 F 为焦点，定直线l 为准线，e 为离心率。当10 e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线。1.圆锥曲线焦点位置的判断

33、（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 x 2,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（答：)23,1()1,(）（2）双曲线：由 x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。【特别提醒】：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点 F 1，F 2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解

34、抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。2、焦点三角形问题（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy 到两焦点12,F F 的距离分别为 12,r r，焦点12F PF的面积为S，-26-（1）在椭圆12222 byax中，)12arccos(212rrb，且当 12rr 即 P 为短轴端点时，最大为 max 222arccosacb；20tan|2Sbc y，当0|yb 即 P 为短轴端点时，maxS的最大值为 bc；（2）对于双曲线22221x

35、yab 的焦点三角形有：21221arccosrrb；2cotsin21221brrS。3几个重要结论（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数，0）。若0，焦点在 x 轴上，若0，焦点在 y 轴上。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（5）若 OA、OB 是过抛物线22(0)ypx p顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点(2,0)p(6)等轴双曲线：实轴长与虚轴长相等，

36、即 a=b,从而离心率 e=2.（7）抛物线)0(22ppxy的焦点为 F，过 F 的焦点弦 AB 的倾斜角为，则 sin2|2pAB.以上述焦点弦 AB 为直径的圆与其准线相切。93、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.（1）直线与圆锥曲线的交点：直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.-27-（2）直线与圆锥曲线的位置关系：判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置

37、关系时，通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线的 r 的方程：F(x,y)=0,消去 y 得到一个关于 x 的一元方程。即 0),(,0yxFcByAx，消去 y 得0cbyax(1)当 a 0,则有 0，直线 l 与圆锥曲线相交；当=0 时，直线与曲线 r 相切；0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.152.标准正态分布密度函数 221,2 6xfxex .153.对于2(,)N ，取值小于 x 的概率 xF x .12201xxPxxPxxxP 21F xF x-39-21xx .154.回归直线方程 yabx，其中1122211nniiiiii

38、nniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx .155.相关系数 12211()()niiinniiiixxyyrxxyy1222211()()niiinniiiixxyyxnxyny.|r|1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.156.特殊数列的极限 （1）0|1lim11|11nnqqqqq 不存在或.（3）111lim11nnaqaSqq（S 无穷等比数列11na q (|1q)的和）.157.几个常用极限（1）1lim0nn，lim0nna（|1a ）；（2）00limxx xx，0011limxx xx.158.两个重要的极限 （1）0s

39、inlim1xxx；-40-（2）1lim 1xxex(e=2.718281845).159.函数极限的四则运算法则 若0lim()xx f xa，0lim()xx g xb，则(1)0limxxfxg xab；(2)0limxxfxg xa b;(3)0lim0 xxf xa bg xb.160.数列极限的四则运算法则 若 lim,limnnnnaabb，则(1)limnnnabab；(2)limnnnaba b；(3)lim0nnnaa bbb(4)limlimlimnnnnnc acac a(c 是常数).161.)(xf在0 x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim

40、limx xxxf xxf xyfxyxx .162.瞬时速度 00()()()limlimttss tts ts ttt .163.瞬时加速度 00()()()limlimttvv ttv tav ttt .164.)(xf在),(ba的导数()dydffxydxdx00()()limlimxxyf xxf xxx .-41-165.函数)(xfy 在点0 x 处的导数的几何意义 函 数)(xfy 在 点0 x处 的 导 数 是 曲 线)(xfy 在)(,(00 xfxP处 的 切 线 的 斜 率)(0 xf，相 应 的 切 线 方 程 是)(000 xxxfyy.166.几种常见函数的导数

41、(1)0C（C 为常数）.(2)1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(cos.(5)xx1)(ln；eaxxalog1)(log.(6)xxee)(;aaaxxln)(.167.导数的运算法则（1）()uvuv.（2）()uvu vuv.（3）2()(0)uu vuv vvv.168.复合函数的求导法则 设函数()ux在点 x 处有导数()xux，函数)(ufy 在点 x 处的对应点 U 处有导数()uyf u，则复合函数()yfx在 点x处 有 导 数，且xuxyyu，或 写 作()()()xfxfux.169.判别)(0 xf是极大（小）值的方法 当函数

42、)(xf在点0 x 处连续时，（1）如果在0 x 附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；-42-（2）如果在0 x 附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值.170.复数的相等,abicdiac bd.（,a b c dR）171.复数 zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab.172.复数的四则运算法则(1)()()()()abicdiacbd i;(2)()()()()abicdiacbd i;(3)()()()()abi cdiacbdbcad i;(4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd.173.复数

43、的乘法的运算律 对于任何123,z zzC，有 交换律:1221zzzz.结合律:123123()()zzzzzz.分配律:1231213()zzzzzzz.174.复平面上的两点间的距离公式 22122121|()()dzzxxyy（111zxy i，222zxy i）.175.向量的垂直 非零复数1zabi，2zcdi对应的向量分别是1OZ，2OZ，则 12OZOZ 12z z的 实 部 为 零 21zz为 纯 虚 数2221212|zzzz2221212|zzzz1212|zzzz-43-0acbd12ziz(为非零实数).176.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20axbxc，若240bac,则21,242bbacxa;若240bac,则122bxxa;若240bac，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集 C内有且仅有两个共轭复数根22(4)(40)2bbac ixbaca.