（暑期预习）2021九年级数学上册 知识点总结（pdf）.pdf

1、 九年级数学上册知识点汇总第二十一章一元二次方程22.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程.注意一下几点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2；是整式方程.知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：)0(02acbxax其中，2ax是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.方程的解的定义是解方程过程中验根的依据.22.2 降次解一元二次方程22.2

2、.1 配方法知识点一 直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方.一般地，对于形如)0(2aax的方程，根据平方根的定义可解得axax21.（2）直接开平方法适用于解形如px 2或)0(2mpamx）（形式的方程，如果 p0，就可以利用直接开平方法.（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一

3、元一次方程，求出原方程的根.知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开.（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解.22.2.2 公式法知识点一 公式法解一元二次方程（1）一般地，对于一元二次方程)0(02acbxax，如果042 acb，那么方程的两个根为aacbbx242，这个公式叫做一元二次方程的求根公

4、式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程)0(02acbxax的过程.（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：)0(02acbxax，一般 a 化为正值确定公式中 a,b,c 的值，注意符号；求出acb42 的值；若042 acb则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，042 acb，则方程无实数根.知识点二 一元二次方程根的判别式式子acb42 叫做方程)0(02acbxax根的判别式，通常用希腊字母表示它，即acb42,

5、22.23 因式分解法知识点一 因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法.（2）因式分解法的详细步骤：移项，将所有的项都移到左边，右边化为 0；把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解.知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称理论依据适用范围直接开平方法平方根的意义形如px 2或)0(2ppnmx）（配方法完全平方公式所有一元二次方程公式法配方法所有一元二次方程因

6、式分解法当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程.22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（了解）若 一 元 二 次 方 程02qpxx的 两 个 根 为1x,2x则 有qxxpxx2121,若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根1x，2x则有acxxabxx2121,22.3 实际问题与一元二次方程知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系.（2）设：是指设元，也就是设出未知数.（3）列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题

7、全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关 系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程.（4）解：就是解方程，求出未知数的值.（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意.（6）答：写出答案.知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为 x，则另两个数分别为 x-2,x+2.三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c.（2）增长率问题设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为 x，

8、则经过两次的增长或降低后的等量关系为bxa2)1(（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总销售量；利润=成本利润率（4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程.第二十二章 二次函数知识点一：二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数其中 a 是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2.二次函数2ya xhk 的图象与性质 （1）二次函数基本形

9、式2yax的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小（2）2yaxc 的图象与性质：上加下减 （3）2ya xh的图象与性质：左加右减 （4）二次函数2ya xhk 的图象与性质3.二次函数cbxaxy2的图像与性质（1）当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa ，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随 x的增大而减小；当2bxa 时，y随 x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值244acba（2）当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa ，顶点坐标为 2424bacbaa，当2bxa 时，y随 x的增大而增大；当2bxa 时，y随 x的增大而减小；当2bxa

10、时，y有最大值244acba 4.二次函数常见方法指导（1）二次函数2yaxbxc 图象的画法画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与 x 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；可以由抛物线2axy 经过适当的平移得到.具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个

11、单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax 2+ky=ax2平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”（3）用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图象上三点或三对）（yx,，的值，通常选择一般式.顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式：.已知图象与 轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2 的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx .运用抛物线的对称性：由于抛物线是以

12、对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.（5）抛物线cbxaxy2中，cba,的作用 a 决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的 a 完全一样.b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故如果0b时，对称轴为 y轴；如果0ab（即 a、b同号）时，对称轴在 y轴左侧；如果0ab（即 a、b异号）时，对称轴在 y轴右侧.c的大小决定抛物线cbxaxy2与 y轴交点的位置当0 x时，cy ，所以抛物线cbxaxy2与 y轴有且只有一个交点（0，c），故如果0c，抛物线经过原点；如果0c,与 y

13、轴交于正半轴；如果0c,与 y轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数cbxaxy2，当0y 时，得到一元二次方程20axbxc，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与 x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.（1）当二次函数的图象与 x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；（2）当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；（3）当二次函数的图象与 x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没

14、有实数解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识（1）y 轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,)c.（2）与 y 轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).（3）抛物线与 x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与 x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与 x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x轴相交；有一个交点（顶点在 x轴上）0抛物线与 x轴相切；没有交点0抛物线与 x轴相离.（4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0个交点、1 个交点、2 个交点.

15、当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（5）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l与G有两个交点;方程组只有一组解时 l与G只有一个交点；方程组无解时 l与G没有交点.（6）抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与 x轴两交点为 0021，xBxA，由于1x、2x 是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121知识点四：利用二次函数解决实

16、际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问 题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.第二十三章旋转23.1 图形的旋转知识点一 旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做旋转中心，转动

17、的角叫做旋转角.我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素.知识点二 旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等.理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度.（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等.（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置.知识点三 利用旋转性质作图旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键.步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键

18、点与旋转中心；转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；接即连接到所连接的各点.23.2 中心对称知识点一 中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心.注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180两个图形能够完全重合.知识点二 作一个图形关于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点.最后将对称点按照原图形的形状

19、连接起来，即可得出成中心对称图形.知识点三 中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等.知识点四 中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.知识点五 关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点 p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）.第二十四章 圆24.1 圆24.1

20、.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆.固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径.第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有 到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合.比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆.知识点二 圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径.（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意 一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫

21、做半圆.（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆.（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧.24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.知识点二 垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且 CDAB，BDADBCACBMAMM垂足为垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于

22、点 M，BDADBCACABCDBMAM注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立.24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等.（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个 条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等.24.1.4 圆周角知识点一 圆周角定理（1）

23、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦是直径.（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系.“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类.知识点二 圆内接四边形及其性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.24.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系知识点一 点与圆的位置关

24、系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种.（2）用数量关系表示：若设O 的半径是 r，点 P 到圆的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外dr；点 p 在圆上d=r；点 p 在圆内dr.知识点二 过已知点作圆（1）经过一个点的圆以点 A 外的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA 为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个.（2）经过两点的圆以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点（如点 O）为圆心，以 OA（或 OB）为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个.（3）经过三点的圆 经过在同一条直线上的三个点不能作圆不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，

25、且只能作一个圆.如经过不在同一条直线上的三个点 A、B、C 作圆，作法：连接 AB、BC（或AB、AC 或 BC、AC）并 作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 O，以点 O 为圆心，以 OA（或 OB、OC）的长为半径作圆即可，这样的圆只能作一个.知识点三 三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.知识点四 反证法（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法.（2）反证法的一般步骤：假设命

26、题的结论不成立；从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确.24.2.2 直线和圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种.（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设O 的半径是 r，直线 l 与圆心 0 的距离为 d，则有：直线 l 和O 相交d r；直线 l 和O 相切d=r；直线 l 和O 相离d r.知识点二 切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.（3）切线

27、的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识点三 切线长定理（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点.知识点四 三角形的内切圆和内心（1）三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切

28、圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.（2）三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.（3）注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角.24.2.3 圆和圆的位置关系知识点一 圆与圆的位置关系（1）圆与圆的位置关系有五种：如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交.（2）圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：若设两圆圆心之间的距离为 d，两圆的半径分别是 r1 r2,且 r1 r2，则有 两圆外

29、离dr1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r2-r1dr1+r2 两圆内切d=r2-r1 两圆内含dr2-r124.3 正多边形和圆知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.知识点二 正多边

30、形的性质（1）正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的 直角三角形.（2）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心.（3）正 n 边形的每一个内角等于nn1802）（，中心角和外角相等，等于n36024.4 弧长和扇形面积知识点一 弧长公式180n Rl在半径为 R 的圆中，360的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2 R，所以 n的圆心角所对的弧长的计算公式1802360RnRnl.知识点二 扇形面积公式在半径为 R 的圆中

31、，360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积2RS，所以圆心角为 n的扇形的面积为3602RnS扇形.比较扇形的弧长公式和面积公式发现：lRRRnRnS21211803602扇形所以lRS21扇形 知识点三 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 r，因此圆锥的侧面积lrlrS221圆锥侧圆锥侧.圆锥的全面积为2rrlSSS低圆锥侧圆锥全.第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率25.1.1 随机事件知识点一 必然事件、不可能事件、随机

32、事件在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件.必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以 它们统称为确定性事件.知识点二 事件发生的可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.25.1.2 概率知识点 概率一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记作 P（A）.一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们

33、发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率nmAP)(.由 m 和 n 的含义可知 0mn，因此0 nm 1，因此 0P（A）1.当 A 为必然事件时，P（A）=1；当 A 为不可能事件时，P（A）=0.25.2 用列举法求概率 知识点一 用列举法求概率一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 发生的概率nmAP)(.知识点二 用列表发求概率当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种

34、情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.知识点三 用树形图求概率当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法.（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时 求概率的方法.（3）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.25.3 用频率估计概率知识点 用频率估计概率在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值.一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 nm 稳定于某一个常数 P，那么事件 A 发生的频率 P（A）=p.