2023届高考数学 易错题专项突破——易错点26 空间向量（含解析）.docx

1、易错点26 空间向量一、单选题1. 已知向量a=(2,-3,0)，b=(0,3，4)，则向量a在向量b方向上的投影数量为A. -91313B. 91313C. 95D. -952. 如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，若AB=a，AD=b，AA=c，则BM=A. -12a+12b+cB. 12a+12b+cC. -12a-12b+cD. 12a-12b+c3. 三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AC=1，CC1=2，A1AB=A1AC=60，BAC=90.则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为A. 0B. 15C. 13D. 254. 在空间直角坐标系O-xyz中，O(0,0,0)

2、,E(22,0,0),F(0,22,0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足|CO|=|CB|=3，若cos=16，则OCOF=A. 9B. 7C. 5D. 35. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=2，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的平方取值范围为A. 1,2B. 15,12C. 15,22D. 15,16. 如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=a，PB=b，PC=c，PE=12PD，则BE=A. B. C. D. 7. 在下列命题中：若向量a,b共线，则a,b

3、所在的直线平行；若向量a,b所在的直线是异面直线，则a,b一定不共面；若三个向量a,b,c两两共面，则a,b,c三个向量一定也共面；已知三个向量a,b,c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc其中正确命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 38. 点P(x,y，z)满足(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2，则点P在A. 以点(1,1，-1)为圆心，2为半径的圆上B. 以点(1,1，-1)为中心，2为棱长的正方体内C. 以点(1,1，-1)为球心，2为半径的球面上D. 无法确定二、填空题9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AD=4，AB=6，如图

4、，建立空间直角坐标系D-xyz，则该长方体的中心M的坐标为_10. 在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2)，其中心M的坐标为(0,1，2)，则该正方体的棱长等于11. 已知A，P，PA=(-32,12,2)，平面的一个法向量n=(0,-12,-2)，则直线PA与平面所成角的余弦值为_12. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，则|AC1|等于_三、解答题13. 如图，在空间直角坐标系中，AA1/BB1/CC1，且AA1平面xOy，CA=CB=1，BCA=90

5、，AA1=2，M，N分别是A1B1，AA1的中点(1)求点M、N的坐标及MN的长；(2)求BNM的面积14. 已知向量，(1)当a+b与3a+2b平行时，求实数的值；(2)当a+b与3a+b垂直时，求实数的值15. 如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF/DE，DEAD，ADBE，AF=AD=12DE=1，AB=2(1)求证：BF/平面CDE；(2)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由16. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AA1的中点，E，P分别在线段AB，EG上，A1B1=B1

6、B=B1C1=2，A1B1B=120()若P为线段EC1的中点，求证：MP/平面ABC；()若平面B1C1CB平面B1BAA1，且B1C1CB为正方形，设E为线段AB的中点，P为线段EC1的中点，求二面角C1-B1P-M的平面角的余弦值一、单选题1. 已知向量a=(2,-3,0)，b=(0,3，4)，则向量a在向量b方向上的投影数量为A. -91313B. 91313C. 95D. -95【答案】D【解析】解：向量a=2,-3,0,b=0,3,4，b=02+32+42=5，ab=20+-33+04=-9，向量a在向量b方向上的投影为abb=-95故选D2. 如图，在平行六面体ABCD-ABCD

7、中，若AB=a，AD=b，AA=c，则BM=A. -12a+12b+cB. 12a+12b+cC. -12a-12b+cD. 12a-12b+c【答案】A【解析】解：在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=a，AD=b，AA=c，BM=BB+BM=AA+12BD=AA+12(BA+AD)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c故选A3. 三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AC=1，CC1=2，A1AB=A1AC=60，BAC=90.则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为A. 0B. 15C. 13D. 25【答案】A【解析】解：A1C=AC-AA1，BC1=BC+CC1=AC-AB

8、+CC1A1CBC1=(AC-AA1)(AC-AB+CC1)=(AC-AA1)(AC-AB+AA1)=AC2-ACAB+ACAA1-AA1AC+AA1AB-AA12=12-0+12cos60-12cos60+32cos60-22=1+3-4=0，A1CBC1，即异面直线A1C与BC1所成角为90，cos90=0，故选A4. 在空间直角坐标系O-xyz中，O(0,0,0),E(22,0,0),F(0,22,0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足|CO|=|CB|=3，若cos=16，则OCOF=A. 9B. 7C. 5D. 3【答案】D【解析】解：设C(x,y，z)，因为O0,0,0,E22,

9、0,0,F0,22,0，B为EF的中点，则B(2,2,0)，EF=(-22,22,0)，BC=(x-2,y-2,z)，因为|CO|=|CB|=3，若cosEF,BC=16，所以x2+y2+z2=(x-2)2+(y-2)2+z2=3,-22(x-2)+22(y-2)+0z43=16，解得x=24,y=324,z=312，所以OCOF=024+223243120=3，故选D5. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=2，AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的平方取值范围为A. 1,2

10、B. 15,12C. 15,22D. 15,1【答案】D【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，E(0,1，12)，G(12，0，1)，F(x,0，0)，D(0,y，0)GD=-12,y,-1,EF=x,-1,-12GDEF，x+2y-1=0，x=1-2yDF=x2+y2=1-2y2+y2=5y2-4y+1=5y-252+150y1当y=25时，线段DF长度的最小值是15又y=0时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故线段DF的长度的取值范围是：55,1)即线段DF的长度的平方取值范围为15,1,故选：D6. 如图，在正四棱锥P-ABCD中，已知PA=

11、a，PB=b，PC=c，PE=12PD，则BE=A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：如图，连接AC，BD，设交点为O，连接PO，则PO=12a+12c.又PO=12PD+12b，所以PD=a+c-b，故PE=12PD=12a+12c-12b，从而BE=BP+PE=12a-32b+12c，故选A7. 在下列命题中：若向量a,b共线，则a,b所在的直线平行；若向量a,b所在的直线是异面直线，则a,b一定不共面；若三个向量a,b,c两两共面，则a,b,c三个向量一定也共面；已知三个向量a,b,c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=xa+yb+zc其中正确命题的个数为A. 0B. 1C

12、. 2D. 3【答案】A【解析】解：对于：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于：若三个向量a,b,c两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，故选A8. 点P(x,y，z)满足(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=2，则点P在A. 以点(1,1，-1)为圆心，2为半径的圆上B. 以点(1,1，-1)为中心，2为棱长的正方体内C. 以点(1,1，-1)为球心，2为半径的球面上D. 无法确定【答案】C【解析】解：(

13、x-1)2+(y-1)2+(z+1)2=2的几何意义是到定点(1,1，-1)的距离为2的动点P(x,y，z)的集合，则点P在以点(1,1，-1)为球心，2为半径的球面上故选C二、填空题9. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AD=4，AB=6，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则该长方体的中心M的坐标为_【答案】(2,3，1)【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AD=4，AB=6，如图，建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0，2)，B(4,6，0)，该长方体的中心M的坐标为M(2,3，1)故答案为：(2,3，1)10. 在空间直角坐标系中，正方体

14、ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2)，其中心M的坐标为(0,1，2)，则该正方体的棱长等于【答案】2393【解析】解：设正方体的棱长为a，由|AM|=9+4+0=13，可知，正方体的体对角线长为3a=213，故a=2133=2393故答案为239311. 已知A，P，PA=(-32,12,2)，平面的一个法向量n=(0,-12,-2)，则直线PA与平面所成角的余弦值为_【答案】12【解析】解：由题意，PA=(-32,12,2)与法向量n=(0,-12,-2)夹角余弦值的绝对值，即为直线PA与平面所成角的正弦值，设直线PA与平面所成角为，则=-14-2(-32)2+(12)

15、2+2(-12)2+2=32，故答案为1212. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，则|AC1|等于_【答案】5【解析】解：如图：平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，AC1=AB+BC+CC1，AC12=(AB+BC+CC1)2=AB2+BC2+CC12+2ABBC+2ABCC1+2BCCC1=1+4+9+212cos60+213cos60+223cos60=25，|AC1|=5故答案为5三、解答题13. 如图

16、，在空间直角坐标系中，AA1/BB1/CC1，且AA1平面xOy，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M，N分别是A1B1，AA1的中点(1)求点M、N的坐标及MN的长；(2)求BNM的面积【答案】解：(1)A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2)，因为M，N是A1B1，AA1的中点，结合中点坐标公式可得：M12,12,2N1,0,1，所以MN=12-12+12-02+2-12=62(2)因为B0,1,0，BN=0-12+1-02+0-12=3，|BM|=(0-12)2+(1-12)2+(0-2)2=322，由MN2+BN2=BM2，所以BNM是直角三角

17、形，所以SBNM=12BNNM=12362=32414. 已知向量，(1)当a+b与3a+2b平行时，求实数的值；(2)当a+b与3a+b垂直时，求实数的值【答案】解：(1)由已知得a+b=(2-1,5-3,-3-2)，3a+2b=(4,1，-12)由a+b与3a+2b平行，得2-14=5-31=2+312，解得=32(2)由已知得a+b=(2-,5-3,-3-2)，3a+b=(5,-4,-9)由a+b与3a+b垂直，得5(2-)-4(5-3)+9(3+2)=0，解得=-2015. 如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AF/DE，DEAD，ADBE，

18、AF=AD=12DE=1，AB=2(1)求证：BF/平面CDE；(2)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由【答案】(1)证明：由底面ABCD为平行四边形，知AB/CD，又因为AB平面CDE，CD平面CDE，所以AB/平面CDE同理AF/平面CDE，又因为ABAF=A，AB,AF平面ABF，所以平面ABF/平面CDE又因为BF平面ABF，所以BF/平面CDE(2)解：连接BD，因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，DEAD，所以DE平面ABCD.DB平面ABCD，则DEDB又因为DEAD，ADBE，DEBE=E

19、，DE，BE平面BDE，所以AD平面BDE，又BD平面BDE，则ADBD故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，结论：线段BE上存在点Q，使得平面CDQ平面BEF证明如下：设BQ=BE=(0,-,2)(0,1)，所以DQ=DB+BQ=(0,1-,2)设平面CDQ的法向量为u=(a,b，c)，又因为DC=(-1,1,0)，所以uDQ=0，uDC=0，即(1-)b+2c=0,-a+b=0,若平面CDQ平面BEF，则mu=0，即a+2b+c=0，解得=170,1所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ平面BEF，且此时BQBE=171

20、6. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AA1的中点，E，P分别在线段AB，EG上，A1B1=B1B=B1C1=2，A1B1B=120()若P为线段EC1的中点，求证：MP/平面ABC；()若平面B1C1CB平面B1BAA1，且B1C1CB为正方形，设E为线段AB的中点，P为线段EC1的中点，求二面角C1-B1P-M的平面角的余弦值【答案】()证明：连接A1E，取A1E中点为N，连接NP，MN在A1EC1中因为P为棱EC1的中点，所以PN/C1A1.因为三棱柱ABC-A1B1C1中，CA/C1A1，所以PN/CA，在A1EA中，因为M为棱AA1的中点，所以MN/AE因为PNMN=N,PN,

21、MN面MNP，AC,AE平面ABC，所以，所以MP/平面ABC.()三棱柱ABC-A1B1C1中，因为A1B1=B1B=B1C1=2，所以四边形B1BAA1为菱形，因为A1B1B=120，所以A1B1A=60所以A1B1A是等边三角形.因为M为棱AA1的中点，所以MB1B1B因为平面B1C1CB平面B1BAA1，且交于B1B，MB1B1B所以MB1平面B1C1CB所以MB1C1B1，BB1C1B1，BB1B1M=B1，所以C1B1平面B1BAA1，所以可建立以B1为原点，分别以B1M，B1B，B1C1作为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系则A13,-1,0,B10,0,0,M3,0,0，C10,0,2,E32,32,0P(34,34,1)，因为B1A1平面B1EC1，所以可设平面C1B1P的法向量为m=B1A1=3,-1,0，B1P=(34,34,1)，而B1M=3,0,0，设平面MB1P的法向量为n=x,y,z，所以3x=034x+34y+z=0令y=4，可得z=-3，所以n=(0,4.-3).所以cosn,m=nm|n|m|=-452=-25，因为二面角C1-B1P-M为钝二面角，所以二面角C1-B1P-M的余弦值为-25.