2023届高考数学二轮复习 专题22 二项式定理必刷小题100题（教师版）.docx

1、专题22 二项式定理必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1的展开式中的常数项为（ ）A8B28C56D70【答案】B【分析】先得出的展开式的通项公式，从而得出常数项.【详解】的展开式的通项公式为 令，得所以的展开式中的常数项为故选：B2在的二项展开式中，的系数为（ ）A40B20C-40D-20【答案】A【分析】由二项式得到展开式通项，进而确定的系数.【详解】的展开式的通项，令，解得，故的系数为，故选：A.3的展开式中的系数为（ ）A12B16C20D24【答案】B【分析】利用乘法运算律进行展开可得，再分别求得系数即可得解.【详解】因为，所以的系数为展开式中，的系数之和

2、，由于，（），对于项，需取，系数为，对于项，需取，系数为，所以的系数为，故选：B4对任意实数，有.则下列结论不成立的是（ ）ABCD【答案】B【分析】令，利用展开式通项可判断A选项的正误，利用赋值法可判断BCD选项的正误.【详解】令，则，令.对于A选项，的展开式通项为，令，可得，则，A对；对于B选项，B错；对于C选项，C对；对于D选项，D对.故选：B.5已知，的二展开式中，常数项等于60，则（ ）A3B2C6D4【答案】B【分析】先写出展开式的通项，然后令的指数部分为零，求解出的值，则常数项可求.【详解】展开式的通项为，令，所以，所以常数项为，所以，所以，故选：B.6在的展开式中，的系数为（

3、）A70B35CD【答案】D【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出的系数.【详解】对于的展开式中，通项为：，则，所以的系数为：.故选：D7若n为正奇数，则被9除所得余数是（ ）A0B3C-1D8【答案】D【分析】利用二项式定理可得结论.【详解】解：因为是正奇数，则 又n正奇数，倒数第一项而从第一项到倒数第二项，每项都能被9整除，被9除所得余数是8.故选：D.8二项式的展开式中有理项的个数为（ ）A5B6C7D8【答案】B【分析】根据二项式定理展开：，要为有理项，则为整数即可.【详解】由题可得：展开式的通项为，要为有理项，则为整数，故r可取0,2,4,6,8,10共有6项有理数.故选：B.9若

4、的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ）A10B8C6D4【答案】B【分析】由给定条件求出幂指数n值，再求出展开式的通项即可作答.【详解】在的二项展开式中，令得所有项的系数和为，解得，于是得展开式的通项为，令，得，常数项为.故选：B10已知正整数n7，若的展开式中不含x5的项，则n的值为（ ）A7B8C9D10【答案】D【分析】结合二项式的展开式，求出的项的系数，根据题意建立方程，解方程即可求出结果.【详解】的二项展开式中第k+1项为又因为的展开式不含的项所以即所以，故选：D.11展开式中的各二项式系数之和为1024，则的系数是（ ）A-210B-960C960D210【答案】

5、B【分析】由二项式系数和等于，求得n的值，写出通项公式，再按指定项计算可得.【详解】依题意得：，解得，于是得展开式的通项为，由，解得，从而有，所以的系数是-960.故选：B12已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）ABC9D10【答案】C【分析】根据的展开式中各项系数之和为0，令可得参数，再根据通项公式可求解.【详解】的展开式中各项系数之和为0.令得，解得.则展开式的通项公式为：则展开式的常数满足：则或，则该展开式的常数项是.故选：C.13已知 (a，b为有理数)，则a（ ）A0B2C66D76【答案】D【分析】根据二项式定理将展开，根据a，b为有理数对应相等求得a的值.【

6、详解】因为，所以，因为，且a，b为有理数，所以a76，故选：D14(x2+2ax-a)5的展开式中各项的系数和为1024，则a的值为（ ）A1B2C3D4【答案】C【分析】赋值即可.【详解】赋值法：令x=1可知道展开式中各项系数和为(a+1)5=1024，所以a=3.故选：C15，则（ ）A5B3C0D【答案】C【分析】根据展开式，利用赋值法取求值即可.【详解】令，.故选：C16的展开式中的系数为（ ）A-80B-180C180D80【答案】C【分析】先求得展开式的通项公式，分别令和，计算整理，即可得答案.【详解】展开式的通项公式为：，令，得，令，得，所以原式展开中含的系数为故选：C.17的展

7、开式中的系数为（ ）A15B-15C10D-10【答案】D【分析】根据二项展开式通项公式，解方程即可得解.【详解】，令解得，所以展开式中的系数为故选：D18在多项式的展开式中，含项的系数为（ ）ABCD【答案】C【分析】求出中和的系数，然后由多项式乘法法则计算可得【详解】，展开式通项为，所求的系数为故选：C二、多选题19已知二项式，则下列说法正确的是（ ）A若，则展开式的常数为60B展开式中有理项的个数为3C若展开式中各项系数之和为64，则D展开式中二项式系数最大为第4项【答案】AD【分析】写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析【详解】A选项：当时，其中为整数，且，令，解得：，此时，故

8、常数项为60；A正确；B选项：，其中为整数，且，当时，当时，当时，当时，满足有理项要求，故有4项，故B错误；C选项：令中的得：，所以或，故C错误；D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确故选：AD20已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）A2，n，10成等差数列B各项系数之和为64C展开式中二项式系数最大的项是第3项D展开式中第5项为常数项【答案】ABD【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项.【详解】由的二项式系数之和

9、为，得，得2，6，10成等差数列，A正确；令，则的各项系数之和为64，B正确；的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；的展开式中的第5项为为常数项，D正确.故选:ABD21已知的二项展开式中二项式系数之和为，则下列结论正确的是（ ）A二项展开式中无常数项B二项展开式中第项为C二项展开式中各项系数之和为D二项展开式中第项的二项式系数最大【答案】BCD【分析】根据二项式定理展开式验证选项即可得出答案.【详解】由题意可知，解得，所以二项展开式的通式为，当时，解得，所以展开式的第项为常数项，选项A错误；二项展开式中第项为， 选项B正确；令，则，即二项展开式中各项系数之和为，选项C正确

10、；，则二项展开式中第项的二项式系数最大，选项D正确.故选：BCD22若，则（ ）ABCD【答案】ACD【分析】设，利用赋值法可判断各选项的正误.【详解】设，对于A选项，A对；对于BC选项，所以，B错，C对；对于D选项，D对.故选：ACD.23已知，设的展开式的二项式系数之和为，则下列说法正确的是（ ）ABC为奇数时，；为偶数时，D【答案】BC【分析】根据二项式系数之和公式，结合赋值法进行判断即可.【详解】设的展开式的二项式系数之和为，所以有：，在中，令，得，当为偶数时，当为奇数时，所以A说法不正确；在中，令，所以有，而，所以，因此选项B说法正确；当为偶数时，即，当为奇数时，即，因此选项C说法正

11、确，选项D说法不正确，故选：BC24已知，则（ ）ABCD【答案】ABC【分析】令即可求得可判断选项A；令，求得，进而求得可判断选项C；根据二项式定理写出该二项展开式的通项，即可得可判断选项B；利用导数即可得，可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】因为令，得，故选项A正确；令，得，所以，故选项C正确；易知该二项展开式的通项 ，所以，故选项B正确；对两边同时求导，得，令，得，故选项D错误.故选:：ABC第II卷（非选择题）三、填空题25已知的展开式中x的系数等于8，则a等于_【答案】【分析】把和展开，根据展开式中的系数等于8，求出的值【详解】解：，所以展开式中的系数等于，解得或，因为，所以故答

12、案为：26杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是_.（用数字作答）【答案】15【分析】根据杨辉三角得到规律是第n行，第r()个数为求解.【详解】由杨辉三角知：第1行：，第2行：，第3行：，第4行：，由此可得第n行，第r()个数为，所以第15行第15个数是，故答案为：1527若的展开式中各项系数的和为，则该展开式的常数项为_.【答案】【分析】根据的展开式中各项系数的和为0，令求得a，再利用通项公式求解.【详解】因为的展开式中各项系数的和为0，令得，解得，所以的常数项为.故答案为：-12028如果，则_.【答案】127【分析

13、】依题意可得，计算，然后计算即可.【详解】由题可知: ，所以所以，由，所以结果为127故答案为：12729二项式的展开式中，奇数项的系数和为_（用数字表示结果）.【答案】【分析】根据二项展开式，分别令和，两式相加，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式为令，则，令，则，两式相加，可得，所以.故答案为：.30已知，则_【答案】180【分析】将改写成，利用二项式的展开式的通项公式即可求出结果.【详解】因为，其展开式的通项公式为，令，则，故答案为为：180.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（ ）ABCD【答案】B【分析】先由正态分布的概率情况求

14、出，然后由二项式定理展开式的通项公式可得答案【详解】由随机变量，且，则 则由的展开式的通项公式为： 令，解得，令，解得 所以的展开式中的常数项为：故选：B.2的展开式中项的系数为（ ）A140BCD1120【答案】B【分析】利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数.【详解】，的展开式的通项公式为，令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以，所以的展开式中项的系数.故选：B.3若二项式的展开式中所有项的系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）ABCD【答案】A【分析】令，根据展开式中系数的绝对值的和得到再判断二项式系数最大的项为第4项，根据二项式定理计算得

15、到答案.【详解】令，可得展开式中系数的绝对值的和为，解得展开式有项，二项式展开式中二项式系数最大的为第项，.故选4设，则（ ）AB0C1D2【答案】A【分析】分别令x为1和-1得到两个等式，进而将因式分解即可解出答案.【详解】令得，令得，.故选：A.5在二项式的展开式中各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为（ ）ABCD【答案】A【分析】令得到，再结合二项式系数的性质得到，利用可以求出的值，进而结合二项式展开式的通项公式即可求出结果.【详解】令，则，即，而，由，则，令，则，解得，即，故，则的二项式的展开式的通项公式为，令，则展开式中含项的系数为，故选：A.6在的展开式

16、中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ）ABCD28【答案】B【分析】根据题意可得：，求展开式的常数项，要先写出展开式的通项，令的指数为0，则为常数项，求出的值代入展开式，可以求得常数项的值【详解】展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以，展开式的通项为： ，若为常数项，则，所以， ，得常数项为：故选：B7的展开式中有理项的项数为（ ）A3B4C5D6【答案】C【分析】先化简原二项式为，再由二项式的展开式的通项公式可得选项.【详解】解：.又的展开式的通项，所以.当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5.故选

17、：C.8已知，则（ ）ABCD【答案】A【分析】令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，当为偶数时，然后令可得出的值.【详解】令，可得，则，二项式的展开式通项为，则.当为奇数时，当为偶数时，因此，.故选：A.9的展开式中项的系数为（ ）A96BC120D【答案】A【分析】题意通项公式为,接着讨论当时；当时，求出相应的，即可求出对应系数.【详解】解:依题意的展开式的通项公式为，当时，得；当时，得，故可得展开式中含的项为，即展开式中项的系数为96.故选:A10设随机变量，若二项式，则（ ）A，B，C，D，【答案】C【分析】利用二项式的通项公式，建立方程组，解出，代入公式得到结果.【详解】二

18、项式展开式的通项公式为，又，即 ，解得：，此时，经检验可得， ，故选：C11已知，当时，则当时，的值为（ ）ABCD【答案】B【分析】本题首先可令，求出，然后令，通过求出，最后通过二项展开式求出、，即可求出结果.【详解】，令，则；令，则，因为，所以，当时，则，故选：B.12设，则的值为（ ）ABCD【答案】B【分析】设，计算可得，即可得解.【详解】设，则，所以，.故选：B.13在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）ABCD【答案】D【分析】令求出各项系数和，然后利用展开式通项求出常数项，两者相减可得结果.【详解】在的展开式中，令，可得展开式中各项系数和为，的展开式通项为，的展开式通

19、项为，所以，的展开式通项可表示为，令，可得或或，所以，展开式中常数项为，因此，展开式中除常数项外，其余各项系数的和为.故选：D.14在的展开式中，除项外，其余各项的系数之和为（ ）A230B231C232D233【答案】C【分析】令，求得的展开式各项的系数之和，然后求得的通项公式，再分， ， ，求解.【详解】令，则的展开式各项的系数之和为，的通项公式为：,当时，无项出现，当时，无项出现，当时，当时，项的系数为，当时，无项出现，当时，当时，项的系数为，当时，无项出现，所以除项外，其余各项的系数之和为32-（-40-160）=232，故选：C15已知，其中为展开式中项的系数，则下列说法不正确的有（

20、 ）A，BCD是中的最大项【答案】C【分析】依题意，写出的展开式，再一一判断即可；【详解】解：依题意所以由上式可知，选项，正确；展开式中，的的系数和为：，而，故，故正确；由式子可得，故选项不正确故选：16若，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】C【分析】A令可计算出的值；B令结合的结果可计算出的值；C分别令，然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出的值；D将原式求导，然后令即可得的值，再根据展开式的通项公式即可求解出的值，则的值可求.【详解】A令，所以，故错误；B令，所以，所以，故错误；C令，所以，又，所以，又因为的展开式通项为，所以当为奇数时，项的系数为负数，所以，故正确；D因为

21、，所以求导可得：，令，所以，又因为展开式通项为，当时，所以，故错误；故选：C.17若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（ ）AB或C或D【答案】B【分析】首先写出二项展开式的通项公式，由条件可知为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数的值.【详解】的通项公式是 设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数，注意到，对照选择项知、，逐一检验：时，不满足条件；时，、，成立；时，、5、8，成立故选：B.18已知(12x)2 019a0a1(x2)a2(x2)2a2 018(x2)2 018a2 019(x2)2 019(xR)，则a12a23a32 018a2 0182 019

22、a2 019（ ）A2019B2019C4038D0【答案】C【分析】先对展开式求导，再将x1代入计算即可.【详解】因为(12x)2 019a0a1(x2)a2(x2)2a2 018(x2)2 018a2 019(x2)2 019(xR)，两边分别对x求导可得2 0192(2x1)2 018a12a2(x2)2 018a2 018(x2)2 0172 019a2 019(x2)2 018(xR)，令x1得4 038a12a22 018a2 0182 019a2 019，故选:C.19下列命题中不正确命题的个数是（ ）已知a，b是实数，则“”是“”的充分而不必要条件；，使；若，则；若角的终边在第

23、一象限，则的取值集合为.A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】由，可判断出错误，由当时，可判断出错误，由可求出，可得到正确，由可得，然后可判断出正确.【详解】因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故错误因为当时，即，不存在使，故错误因为，所以，故正确因为角的终边在第一象限，即，所以当为奇数时，在第三象限，当为偶数时，在第一象限，所以的取值集合为，故正确综上：不正确命题的个数是2故选：B20设，那么的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】令和得到，再整体代入可得；【详解】解：因为，令得，令得，所以故选：C二、多选题21在的展开式中，下列说法正确的有（ ）A所有项的系数和为0B所有项的系数绝对值

24、和为64C常数项为20D系数最大的项为第4项【答案】AB【分析】赋值法求二项展开式的所有项的系数和可判断A；利用二项式系数和公式可判断B；写出二项展开式的通项，令x的次数为0求出r可判断C；写出所有项的系数可判断D.【详解】令可得的展开式中所有项的系数和为，A正确；因为，所以展开式中所有项的系数绝对值和为，B正确；通项为，令，解得，所以的展开式中常数项为，C错误；因为，各项的系数分别为，展开式系数最大的为、，是第3项或第5项，D错误.故选：AB.22已知，则下列结论正确的有（ ）ABCD【答案】ACD【分析】通过赋值根据选项一一判断即可得结果.【详解】取得，A正确；由展开式中第7项为 所以，B

25、错误；由取得，C正确；由取得取得所以，D正确.故选：ACD23关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）A该二项展开式中二项式系数和是B该二项展开式中第七项为C该二项展开式中不含有理项D当时，除以100的余数是1【答案】BD【分析】求出二项式系数和判断A；求出二项展开式中第七项判断B；根据最后一项是有理项判断C；利用二项展开式的应用和整除问题的应用判断D【详解】对于A，该二项展开式中二项式系数和是，故错误；对于B，由于，即该二项展开式中第七项为，故正确对于C，该二项展开式中，最后一项为，是有理项，故错误对于D，当时，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当时，除以100的

26、余数是1，故正确故选：BD.24二项展开式，则（ ）ABCD【答案】ABC【分析】对A、D选项，给赋特值即可判断；对于C选项则需要根据二项式系数的公式即可得出；对于B选项求导以后赋特值即可求出.【详解】对A：令，可得，故A正确；对B：左右两边分别求导得：，令，得，故B正确；对C：，故C正确；对D：令，可得，而，所以，故D错误.故选：ABC.25已知，其中为展开式中项系数，则下列说法正确的有（ ）A，BCD是，是最大值【答案】ACD【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A，D正确，根据计算可得，所以C正确.【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是

27、上一行三个数之和，故，是，的中间项，故最大，所以A，D正确；令可知：；当时，所以.令可知，即；又因为.故，C正确.故选：ACD26已知，则下列结论正确的是（ ）ABCD【答案】ACD【分析】利用赋值法可判断AC选项的正误，利用二项展开式的通项可判断B选项的正误，求导后再利用赋值法可判断D选项的正误.【详解】令.对于A选项，所以，故A正确；对于B选项，令，可得，则有，的展开式通项为，所以，的展开式通项为，由，解得，所以，故B错误；对于C选项，因此，故C正确；对于D选项，因此，故D正确.故选：ACD.27若（），则（ ）ABCD【答案】ACD【分析】利用赋值法解决，对于A：通过给赋值即可作出判断；

28、对于B和C：通过给赋值和，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D：，通过给赋值得到结果即可作出判断.【详解】由题意，当时，当时，当时，所以，当时，所以.故选：ACD.28已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ）A展开式中所有项的系数之和为B展开式中系数最大项为第项C展开式中有项有理项D展开式中不含的一次项【答案】CD【分析】根据题意列关于的方程，求出值，然后根据二项展开式的通项公式以及赋值法，结合组合数的性质可解答此题【详解】在的展开式中，前3项的系数成等差数列，解得：或1（舍去）当时，所有项的系数和为：，错；通项为：展开式中第3项与第4项系数最大，错，当，6

29、时为有理项，共2项，对；由上面通项可令，解得不为整数，展开式不含一次项，对故选：29关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）A该二项式展开式中二项式系数和是B该二项式展开式中第8项为C当时，除以100的余数是9D该二项式展开式中不含有理项【答案】BC【分析】由二项式系数和与各项系数和可判断A；由展开式通项可判断B和D，变形展开式可判断C.【详解】对于选项A：令得展开式各项系数和为，但其二项式系数和为，故A错误；对于选项B：展开式中第8项为，故B正确；对于选项C：当时，能被100整除，而，除以100的余数是9，当时，除以100的余数是9，故正确；对于选项D：的展开式的通项，当为整数，即，3，202

30、1时，为有理项，故D错误.故选：BC.30若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是（ ）AB存在，使得C的最小值为2D【答案】AB【分析】依题意可得，即可判断A、D，再利用作商法判断B，利用基本不等式判断C；【详解】解：依题意可得，因为，所以A正确.因为，所以B正确.因为在上单调递增且在定义域上单调递增，所以在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以不正确.因为，当时，所以D不正确.故选：AB第II卷（非选择题）三、填空题31已知，则_.【答案】【分析】由，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定对应的r值，即可求.【详解】，则展开式

31、通项为，时，故答案为：32在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中项的系数为_.【答案】1120【分析】根据二项式展开式的二项式系数和为,求出n的值,再写出二项式的通项公式为,当时,即可求出的系数【详解】展开式的二项式系数之和为展开式的通项公式当时,即则展开式中的系数为1120故答案为：112033的展开式中第4项的二项式系数为_【答案】120【分析】已知的式子变形为，由二项式展开式可求得答案.【详解】解：因为，所以展开式中第4项的二项式系数为故答案为：120.34已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为_【答案】64【分析】由题意，列出不等式组，可解得，利用赋值法求系数和，即得解

32、【详解】由题意知，则，解得，又，因此，则令，可得的系数和为故答案为：6435若，则A的小数部分是_【答案】【分析】分析得到的奇数数项相同，偶数项相反，且绝对值相同，再得到的小数部分的和为1，求出的小数部分就是即得解.【详解】，,所以的奇数数项相同，偶数项相反，且绝对值相同，所以的结果是整数.所以的小数部分的和为1.下面求的小数部分：因为所以的小数部分就是.所以的小数部分为.故答案为：36已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有_；展开式中常数项为160；展开式中各项系数的绝对值的和1458；若为偶数，则展开式中和的系数相等【答案】【分析】由题意令为1，可求得a得值，即可判断；再根据二

33、项展开式得通项即可求得展开式中常数项，即可判断；展开式中各项系数的绝对值的和即为展开式系数的绝对值的和，从而可判断；根据二项展开式得通项即可判断.【详解】对于，令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，故正确；对于，展开式的通项为，当展开式是中常数项为：令，得，可得展开式中常数项为：，当展开式是中常数项为：，令，得（舍去），故的展开式中常数项为-160.故错误；对于，求其展开式系数的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等，令，可得：展开式系数的绝对值的和为：1458，故正确；对于，展开式的通项为，当为偶数，保证展开式中和的系数相等，和的系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：，此时和

34、的系数相等，和的系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：，此时和的系数相等，和的系数相等，展开式系数中系数为：，展开式系数中系数为：，此时和的系数相等，故正确.故答案为：.37若，则的值为_.【答案】-1【分析】对二项展开式用 “赋值法”： 可得令可得：，即可求出的值【详解】因为，令可得；令可得：；故故答案为：-138数列中，（），则_【答案】454【分析】由，结合等比数列的定义和通项公式可求出，结合二项式定理可求出的值.【详解】解：因为，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，则又，所以原式，故答案为：454.39杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代

35、数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为，则这一行是第_行.【答案】98【分析】根据二项式系数表示出相邻的三个数字的关系：，由此求解出n的值，则行数可求.【详解】三角形数阵中，第n行的数由二项式系数（，）组成，如果第n行中有，那么，解得.故答案为：98.40若对任意，都有，（ 为正整数），则的值等于 _ .【答案】4【分析】将式子变形后，重新组合，变为关于按的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间的关系，

36、推出，即可求得结果.【详解】,解得： ，即.故答案为：4.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1已知，则（ ）ABCD【答案】B【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.【详解】依题意，当时，于是得.故选：B2已知数列为有穷数列，共95项，且满足，则数列中的整数项的个数为（ ）A13B14C15D16【答案】C【分析】根据题意有均为整数，转化为，不难发现当时均为非负整数，验证当、时和是否为整数.【详解】解：由得，要使为整数，必有均为整数，所以，当时均为非负整数，所以为整数，共有14个，当时，在中因数2的个数为，同理计算可得因数2的个数为82，因数2

37、的个数为110，故中因数2的个数为，从而是整数，当时，同理中因数2的个数小于10，从而不是整数，因此，整数项的个数为，故选：C.3已知是数列的前n项和，若，数列的首项，则（ ）ABC2021D【答案】A【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，即可求解出的值.【详解】令，得.又因为，所以.由，得，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.故选：A.4设是常数，对于，都有，则（ ）ABCD【答案】A【分析】先令，求得的值，再将给定的恒等式两边求关于的导数，然后令，从而可得所求的值.【详解】因为，则令可得.又对两边求导可得

38、：，令，则，所以，所以故，所以.故选：A.5已知当时，有，根据以上信息，若对任意都有，则（ ）ABCD以上答案都不对【答案】B【分析】,分别根据展开与,再根据二项式定理的方法求解即可.【详解】,要得出的系数,可取(1)式中的乘以式中的；(2)式中的乘以式中的；(3)式中的乘以式中的；(4)式中的乘以式中的；那么故选B6展开式中常数项为（ ）.A11BC8D【答案】B【分析】将看成一个整体，得到，再展开得到，分别取值得到答案.【详解】将看成一个整体，展开得到： 的展开式为：取 当时， 系数为： 当时， 系数为： 常数项为 故答案选B7已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为ABCD【答案】B【

39、分析】先将当做一项，写出的展开通项，结合题意分析，要想得到展开式中的项，只能是，和，然后分别讨论三种情况产生的的系数，将三种情况的系数相加即为原展开式中的系数，列出不等式，解出即可.【详解】解：因为展开式为要想得到展开式中的项，只能是，和当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为所以展开式中的系数为所以，解得故选B.8的展开式中，的系数为ABCD【答案】B【详解】分析：题中为独立项，所以展开式中含的为，其中中的系数为展开式中与的系数差最后再将两部分系数相乘即得所求详解：由，得含的项

40、为，中的项为系数为故选B.9已知（），设展开式的二项式系数和为，（），与的大小关系是ABC为奇数时，为偶数时，D【答案】C【详解】试题分析：由可令得；可令得；，而二项式系数和则比较易得；为奇数时，为偶数时，10若,则ABCD【答案】D【详解】试题分析：因为，所以，令，则，；所以，选D.11已知展开式的常数项的取值范围为，且恒成立.则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【分析】由二项展开式通项结合已知条件可求得实数的取值范围，再由恒成立结合参变量分离法可求得实数的取值范围，综合可得出结果.【详解】展开式的通项为，令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得或，令，其中，可得.当时，此时函数单调递减，

41、当时，此时函数单调递增，所以，由可得，其中，构造函数，其中，则，令，其中，则.当时，此时函数单调递减，当时，此时函数单调递增.所以，.所以，当时，此时函数单调递减当时，此时函数单调递增.所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.12的展开式中的系数为（ ）ABC120D200【答案】A【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.【详解】展开式的通项公式为，当时，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为.故选：A.13已知二项式，则展开式的常数项为ABCD【答案】D【详解】分析：首先将式子中的三项中将后两

42、项看作一个整体，之后借助于二项式定理将其展开，对式子进行分析，得到常数项所出现的位置，合并求得结果.详解：因为，因为和的展开式中没有常数项，展开式中的常数项是，展开式中的常数项是，所以二项式展开式的常数项为，故选D.14已知为满足（）能被整除的正数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为A第项B第项C第项D第项和第项【答案】B【详解】试题分析：由于，所以，从而的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第项，其系数为负，则第项系数最大15已知，其中为展开式中项系数，则下列说法不正确的有（ ）A，BCD是，是最大值【答案】B【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得

43、A，D正确，根据计算可得，所以C正确.【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，当时，故，是，的中间项，故最大，所以A，D正确；令可知：；当时，所以，所以B不正确；令可知，即；又因为.故，C正确.故选：B.二、多选题16甲乙两人进行围棋比赛，共比赛局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ）ABCD的最大值为【答案】BC【分析】由题设可得，又，可得，结合各选项即可判断正误.【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢局，而，故C正确；A： ，错误；B：，正确；D

44、：当时，由A知，显然的最大值不是，错误.故选：BC17对于二项式，以下判断正确的有（ ）A存在，展开式中有常数项B对任意，展开式中没有常数项C对任意，展开式中没有的一次项D存在，展开式中有的一次项【答案】AD【分析】求得二项式和的通项公式，得到二项式，展开式的通项为，分别考察的指数为0，1的情况，进而判定常数项和一次项的系数的存在性.【详解】解：对于二项式的展开式的通项公式为，而的通项公式为，.对于二项式，展开式的通项为，未知数的次数为当时，即，当，是其中一组解，由于的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误，当时，即，当，是其中一组解，由于的各项的系数都

45、是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，展开式中有一次项，故D正确，C错误，故选：AD.第II卷（非选择题）三、填空题18设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为_ .【答案】51【分析】由题意可得的二项展开式，令r=4可得项系数，令r=n-1可得xy项的系数，列出方程可得n的值.【详解】解：由题意得：.其中项，仅出现在求和指标r=4时的展开式中，其项系数为；而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式中，其xy项系数为.因此有.注意到n4，化简得，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，故答案为：51.19若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数

46、为1的项的系数为_.【答案】【分析】取，计算得到，再利用二项式定理计算系数得到答案.【详解】取，则的展开式中各项系数的和为：.故，则，的展开式：；的展开式：取得到：，取得到系数为；取得到：，取得到系数为；综上所述：该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。故答案为：。20某年数学竞赛邀请了一位来自星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题，然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答得题目则跳过（例如，他可以按照9、8、

47、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），这样所有题目均有作答，则这位选手可能的答题次序有_种.【答案】512【分析】按照规则，相当于将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按照规则排序，要求放在1左侧的数字从大到小，右侧从小到大（1可以在两端），可以设1左侧个数字，不同的排序方法种，一共有种.【详解】设从最后一题（第10题）开始往前看直到第2题（含第2题），做了道题，这道题的顺序只能从大到小或者不答题（），则不同的答题情况种，按照规则：接下来无论他是否会第一题，都必须做第一题，剩下的题目只有一种做题顺序.则剩下的道题只能一种答法，所以可能的答题次序一共有种.故答案为：51221已知数列

48、、的通项公式分别是，把数列、的公共项从小到大排列成新数列，那么数列的第项是中的第_项【答案】【分析】设，利用二项式定理得到为奇数时，满足，即，计算得到答案.【详解】设即 当为奇数时，满足 即 故答案为：22已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则_.【答案】12【分析】由的二项展开式的通项，可知展开式的二项式系数为，当时，二项式系数的最大值为，展开式的系数为，当满足时，系数的最大值为，求解即可.【详解】由题意可知展开式的二项式系数为，当时，取得最大值展开式的系数为，当满足时，系数最大.即，即解得又时，系数的最大值为则故答案为：1223若多项式，则_.【答案】46【分析】把化为，按照

49、二项式定理展开，可得的系数的值.【详解】,故答案为4624若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-4，则_【答案】8【解析】【分析】先由题意得到二项展开式的通项，进而得到含项与含项的系数，然后根据题意得到关于的方程，解方程可得所求【详解】二项式的展开式的通项为，令，得，所以含项的系数为；令，得，所以含项的系数为由题意得，整理得，解得故答案为：25设，则_【答案】【解析】,，故.26的展开式中不含的项的系数和为_（结果化成最简形式）【答案】【详解】试题分析：展开式中不含的项的系数和为.27设（，）是的展开式中x的一次项系数，则_【答案】17【解析】试题分析：（，）是的展开式中x的一次项系数，故答

50、案为1728若n是正整数，则除以9的余数是_.【答案】0或7【分析】根据二项式定理可知，又，分n为偶数和奇数两种情况讨论余数即可.【详解】根据二项式定理可知，又所以当n为偶数时，除以9的余数为0；当n为奇数时，除以9的余数为7.故答案为：0或729已知等差数列，对任意都有成立，则数列的前项和_【答案】【分析】根据二项式的性质化简可得，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则，因为，所以，所以，所以对恒成立，所以，所以等差数列的通项公式，所以，所以数列的前项和故答案为：.30“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前46项和为_.【答案】【分析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果.【详解】由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行则“杨辉三角”第行各项之和为：第行去掉所有为的项的各项之和为：从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为：则：，即至第行结束，数列共有项第项为第行第个不为的数，即为：前项的和为：本题正确结果：