2023年中考数学综合压轴题突破——二次函数与一次函数的综合应用.docx

1、2023年中考数学综合压轴题突破二次函数与一次函数的综合应用一、综合题1如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其顶点为D，直线DC的函数解析式为已知（1）求二次函数的函数解析式和直线DC的函数解析式；（2）连接BD，求的面积2若直线y=x+3与二次函数y=-x2+2x+3的图象交于A，B两点，（1）求A，B两点的坐标（2）求OAB的面积（3）x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？3如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线AB相交于A，B两点，其中 ， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求 面积的最大值；

2、（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由 4若二次函数 图象的顶点在一次函数 的图象上，则称 为 的伴随函数，如： 是 的伴随函数. （1）若 是 的伴随函数，求直线 与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数 的伴随函数 与 轴两个交点间的距离为4，求 ， 的值. 5在平面直角坐标系 中，抛物线 与直线 交于 ， 两点，且点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上. （1）直接写出点 的坐标； （2）

3、若 ，求直线 的解析式； （3）若 ，求 的取值范围. 6已知函数y1=a（xh）2与y2=kx+b的图象交于A、B两点，其中A（0，1），B（1，0）（1）求出y1与y2的解析式；（2）根据图象，说出当x取什么值时，y1y27如图1，抛物线，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A坐标为，点B坐标为，F为抛物线顶点，直线垂直于x轴于点E.（1）求抛物线的表达式：（2）点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D.当点P的横坐标为2时，求四边形的面积；如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问，是否为定值？如果是：请求出这个定值；如果不是，请说明理由.8如

4、图，抛物线y=a（xh）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C（1）求此抛物线的解析式（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标9已知，抛物线y=ax2+ax+b（a0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且ab（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求DMN的面积与a的关系式；（3）a=1时，直线y=2

5、x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围10某数学兴趣小组运用几何画板软件探究yax2（a0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线yx2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y.其中MF=MN，FH=2OH=1.（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y2

6、x2的焦点坐标和准线l的方程： ， .（2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线yx2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；（3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物线yax2（a0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC2BF，AF4，求a的值；（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：.后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.如图4所示，抛物线yx2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，1），E

7、为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当时，请直接写出HME的面积值.11如图，已知抛物线y1=ax+bx+c的顶点坐标为M（2,1），且经过点B ，抛物线对称轴左侧与 轴交于点A，与 轴交于点C （1）求抛物线解析式y1和直线BC的解析式y2； （2）连接AB、AC，求ABC的面积. （3）根据图象直接写出y1y2时自变量x的取值范围.（4）若点Q是抛物线上一点，且QAMA，求点Q的坐标. 12投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”，选自九年级下册教材P89，粹园的同学们学完此节内容后，开始探究正投影在平面直角坐标系的应用.若平面直角坐标系中，规定曲线AB在坐标轴上的正投影

8、的长度称为在该轴上的“影长”， 记为“l”.AB两点在对应坐标轴上的正投影之间的范围称为在该轴上的“影长范围”，例如：如图，曲线AB，其中A（ ，1）、B（1，3），则曲线AB在x轴上的的“影长”l为4，在x轴上的“影长范围”为 . （1）已知反比例函数 的部分图象在y轴上的“影长范围”是 ，求其在x轴上的“影长”以及“影长范围”. （2）若二次函数 的部分图象在x轴上的“影长范围”是 ，且在y轴上的“影长范围”的最大值为10，求满足条件的a的值. （3）已知二次函数 与一次函数 交于A、B两点，当 ，且实数 ，求线段AB在x轴上的“影长”的取值范围. 13如图，抛物线经过、两点，与轴交于点，

9、点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，连结、 （1）求抛物线的函数表达式（2）当的面积等于的面积的时，求的值（3）当时，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的的坐标；若不存在，请说明理由 14如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上

10、的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标15已知抛物线yx2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点A（1，0）（1）求该抛物线的解析式； （2）D为抛物线对称轴上一点，当ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）在抛物线上是否存在一点P，使CP恰好将以A，B，C，P为顶点的四边形的面积分为相等的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 16如图，直线l：y=3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax22ax+a+4（a0）经过点B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标

11、为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M写出点M的坐标；将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l，当直线l与直线AM重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l与线段BM交于点C，设点B、M到直线l的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l旋转的角度（即BAC的度数）17已知顶点为 抛物线 经过点 ，点 .（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若OPM=MAF，求POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A-B-C上一点

12、，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将QEN沿QE翻折得到QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.18如图，抛物线 经过点A(0，2)，与它的对称轴直线x=2交于点B. （1）求抛物线L的解析式；（2）在平面内是否存在点D，使得以A、B、O、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由；（3）过定点的直线 (k0时，当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=3.结合函数图象可得a3.当a0时，当a=1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=1.结合函数图象可得a1.综上所述，a的取值范围是a3.6

13、【答案】（1）解：y1=a（xh）2经过点A（0，1），B（1，0）， ，解得 ，所以，y1=（x1）2，y2=kx+b的图象经过点A（0，1），B（1，0）， ，解得 ，所以，y2=x1；（2）解：如图， 0x1时，y1y27【答案】（1）解：把代入得到，a2+c=09a+6+c=0，解得：，抛物线的表达式为：（2）解：把代入得：，.又当，线段轴，；是定值，求解过程如下：设，直线，因此可得：0=k1+b1m2+2m+3=k1m+b1，0=3k2+b2m2+2m+3=k2m+b2，解得：k1=3mb1=3m或k2=1mb2=3m+3，直线，.令得，.8【答案】（1）解：抛物线y=a（xh）2+

14、k顶点坐标为B（1，2），y=a（x1）2+2，抛物线经过点A（0，1），a（01）2+2=1，a=1，此抛物线的解析式为y=（x1）2+2或y=x2+2x+1；（2）解：A（0，1），C（1，0），OA=OC，OAC是等腰直角三角形过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l是AC的中垂线，l与抛物线的交点即为点P如图，直线l的解析式为y=x，解方程组 ，得 ， （不合题意舍去），点P的坐标为（ ， ）；（3）解：点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点由（1）知，点C的坐标为（1，0）设直线AC的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ，直线AC的解析式为y=x+1设与A

15、C平行的直线的解析式为y=x+m解方程组 ，代入消元，得x2+2x+1=x+m，此点与AC距离最远，直线y=x+m与抛物线有且只有一个交点，即方程x2+2x+1=x+m有两个相等的实数根整理方程得：x23x+m1=0，=94（m1）=0，解之得m= 则x23x+ 1=0，解之得x1=x2= ，此时y= 第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（ ， ）9【答案】（1）解：抛物线 有一个公共点M(1，0)，a+a+b=0，即b=2a，抛物线顶点D的坐标为 （2）解：直线y=2x+m经过点M(1，0)，0=21+m，解得m=2，y=2x2，则 得 (x1)(ax+2a2)=0，解得x=1或

16、N点坐标为 ab，即a2a，a0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，抛物线对称轴为 设DMN的面积为S，（3）解：当a=1时，抛物线的解析式为： 有 解得： G(1，2)，点G、H关于原点对称，H(1，2)，设直线GH平移后的解析式为：y=2x+t，x2x+2=2x+t，x2x2+t=0，=14(t2)=0， 当点H平移后落在抛物线上时，坐标为(1，0)，把(1，0)代入y=2x+t，t=2，当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是 10【答案】（1）（0，）；，（2）解：由题意得抛物线yx2的准线方程为， 点P到准线l的距离为6，点P的纵坐标为4，当时，解得，点P的坐标为（，4

17、）或（，4 ）（3）解：如图所示，过点B作BDy轴于D，过点A作AEy轴于E， 由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y，FDBFHC，BC=2BF，CF=3BF，点B的纵坐标为，解得（负值舍去），AEFBDF，EF=2，点A的坐标为（，），解得（负值舍去）（4）解：或11【答案】（1）解：抛物线的顶点坐标为(2,1)， y1=a(x2)2+1，抛物线经过点 ， ，解得a=1，y1=(x2)2+1=x2+4x3，当x=0，y=3，C(0,3)，设直线BC解析式为y2=kx+b(k0)，则有 ，解得 所以,直线BC的解析式为 ；（2）解：对于y1=x2+4x3,当y=0时,x2+4x3

18、=0， 即x24x+3=0，解得x1=1,x2=3，点A的坐标为(1,0)，设直线BC与x轴相交于D，对于 ,当y=0时, ，解得x=2，点D的坐标为(2,0)，AD=21=1，则SABC=SABD+SACD，= = = .（3）x （4）解：连接MD，AM，过点A作AQAM. M（2,1），D（2,0）MD x轴A（1,0）AD=MD，即ADM为等腰直角三角形，MAD=45，即QAD=45，设Q（m，1-m）则 ,解得m1=1（舍去），m2=4，Q（4，-3）.12【答案】（1）解：把 ， 分别代入 中，得：x=3，x=1 比例系数30当x4时，当 时，函数值随x的增大而增大当x=2时，-4

19、+4a=10解得：a=3.5(舍去)当 ，即a0，c2b=-2(a+c)，得 ；由2b=-2(a+c)3c，得 二次函数 当 时，函数值随自变量的增大而减小当 时， ；当 时， 线段AB在x轴上的“影长”的取值范围为 13【答案】（1）解：由抛物线交点式表达式得： ， 即 ，解得： ，故抛物线的表达式为： ；（2）解：由抛物线的表达式知，点 ， 由点 、 的坐标，得直线 的表达式为： ，如图所示，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，设点 ，则点 ，则 ， ，即： ，解得： 或 舍去 ，故 ；（3）解：当 时，点 ， 设点 ，点 ，则 ，当 是边时，点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，

20、同样点 向左平移1个单位向上平移6个单位得到点 ，故 或 ，联立并解得： 不合题意的值已舍去 ；故点 的坐标为 或 或 ；当 是对角线时，由中点公式得： ，联立并解得 ，故点 的坐标为 ；综上，点 的坐标为 或 或 或 14【答案】（1）解：依题意得： ，解之得： ，抛物线解析式为y=x22x+3对称轴为x=1，且抛物线经过A（1，0），把B（3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得 ，解之得： ，直线y=mx+n的解析式为y=x+3（2）解：设直线BC与对称轴x=1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x=1代入直线y=x+3得，y=2，M（1，2），即当点M到点A的距离与到点C的

21、距离之和最小时M的坐标为（1，2）（3）解：设P（1，t），又B（3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（1+3）2+t2=4+t2，PC2=（1）2+（t3）2=t26t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t26t+10解之得：t=2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t26t+10=4+t2解之得：t=4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t26t+10=18解之得：t1= ，t2= ；综上所述P的坐标为（1，2）或（1，4）或（1， ） 或（1， ）15【答案】（1）解：抛物线yx2+bx+c经过点C（0，

22、3），则抛物线的表达式为：yx2+bx+3， 将点A的坐标代入上式并解得：b2，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）解：抛物线的对称轴为：x1，点A关于函数对称轴的对称点为点B（3，0）， 连接BC交抛物线的对称轴于点D，则点D为所求，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3，当x1时，y2，故点D（1，2）；（3）解：当点P在第一、二象限时，PC是四边形的边，故CP不可能平分以A，B，C，P为顶点的四边形的面积， 当点P在第三、四象限时，设点P（m，m2+2m+3），将点P、C的坐标代入一次函数表达式：ysx+n并解得：直线PC的表达式为：y（2m）x+3，过点A、B分别作C

23、P的等距离的平行线m、n，分别交y轴于点M、N，则直线m的表达式为：y（2m）x+k，将点A的坐标代入上式并解得：k3m6，即点M（0，3m6），同理可得：点N（0，2m），则点C是MN的中点，即63m6+2m，解得：m5，故点P（5，12）16【答案】（1）解：令x=0代入y=3x+3，y=3，B（0，3），把B（0，3）代入y=ax22ax+a+4，3=a+4，a=1，二次函数解析式为：y=x2+2x+3（2）解：令y=0代入y=x2+2x+3，0=x2+2x+3，x=1或3，抛物线与x轴的交点横坐标为1和3，M在抛物线上，且在第一象限内，0m3，令y=0代入y=3x+3，x=1，A的坐标

24、为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，m2+2m+3），S=S四边形OAMBSAOB=SOBM+SOAMSAOB= m3+ 1（m2+2m+3） 13= （m ）2+ 当m= 时，S取得最大值 （3）解：由（2）可知：M的坐标为（ ， ）；过点M作直线l1l，过点B作BFl1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，BFM=90，点F在以BM为直径的圆上，设直线AM与该圆相交于点H，点C在线段BM上，F在优弧 上，当F与M重合时，BF可取得最大值，此时BMl1，A（1，0），B（0，3），M（ ， ），由勾股定理可求得：AB= ，MB= ，MA= ，过点M作MGAB

25、于点G，设BG=x，由勾股定理可得：MB2BG2=MA2AG2， （ x）2= x2，x= ，cosMBG= = ，l1l，BCA=90，BAC=45方法二：过B点作BD垂直于l于D点，过M点作ME垂直于l于E点，则BD=d1，ME=d2，SABM= AC（d1+d2）当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当ACBM时取得最小值根据B（0，3）和M（ ， ）可得BM= ，SABM= ACBM= ，AC= ，当ACBM时，cosBAC= = = ，BAC=4517【答案】（1）解：把点 代入 ，解得：a=1，抛物线的解析式为： 或 .（2）解：设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A、

26、B的坐标得： ，解得： ，直线AB的解析式为：y=-2x-1，E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），OE=1，FE= ，OPM=MAF，当OPAF时，OPEFAE，OP= FA= ，设点P（t，-2t-1），OP= ，化简得：（15t+2）（3t+2）=0，解得 ， ，SOPE= OE ，当t=- 时 ，SOPE= 1 = ，当t=- 时 ，SOPE= 1 = ，综上，POE的面积为 或 .（3）Q（- ， ）.18【答案】（1）解：把A(0，2)代入 中， 解得：c=2， 对称轴为直线x=2， ， ， 抛物线L的解析式为 ；（2）解：如下图1，当 平行且等于 =2时，四边形 是平行四边形， 顶点 ， ；当 平行且等于 =2时，四边形 是平行四边形， ；当 平行且等于 时，四边形 是平行四边形，作 轴于H点，综上，D的坐标为(2，4)，(2，8)或(-2，-4)；（3）解： = ， 直线过定点R（2，8），如图2，设直线与抛物线的交点 ，将两个方程联立，得：作 对称轴与P点，作 对称轴于Q点， 舍去， .