2023年中考数学综合压轴题突破——二次函数的图象.docx

1、2023年中考数学综合压轴题突破二次函数的图象一、综合题1已知二次函数 （1）求该二次函数的图象与X轴的交点坐标. （2）当-1x5时，则y的范围是 y （直接写出答案）2已知二次函数y x2x4.（1）确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？ 3本题探究函数 的图象，请按要求探究并解决问题. （1）自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表如下，求表中 的值； -1-0.500.511.522.5331.2500.7510.7501.25（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出了部分点，画出了部

2、分图象；请在答题卷上描出另一部分点，并画出该函数图象的另一部分.（3）观察函数图象，并根据函数图象解决下面问题： 若方程 有4个实数根，求实数 的取值范围；若 是方程 的一个实数根，结合 的图象，直接写出方程 的另外实数根.4如图，已知二次函数的图象经过点（1）求a的值和图象的顶点坐标；（2）若横坐标为m的点B在该二次函数的图象上，且点B到x轴的距离不大于3，请求出m的取值范围5在直角坐标系中，设函数（m、n是实数）.（1）当时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式.（2）若，且当时，y随x的增大而减小，求m的取值范围.（3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数

3、），当时.求证：.6已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3）（3，0）（2，5），（1）求这个二次函数的解析式；（2）若这个二次函数的图象与x轴交于点C、D（C点在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使ABC是等腰三角形，求出点B的坐标7如图，在顶点为 P 的抛物线 y = a(x - h)2 + k （a0）的对称轴 l 上取点 ，过 A 作 BCl 交抛物线于 B、C 两点（B 在 C 的左侧），点 A和点 A关于点 P 对称；过 A作直线 ml，又分别过点 B、C 作 BEm 和 CDm，垂足为E、D在这里我们把点 A 叫此抛物线的

4、焦点，BC 叫此抛物线的直径，矩形 BCDE 叫此抛物线的焦点矩形（1）直接写出抛物线 的焦点坐标以及直径的长（2）求抛物线 的焦点坐标以及直径的长（3）已知抛物线 y = a(x - h)2 + k （a0）的直径为 ，求 a 的值（4）已知抛物线 y = ax2 + bx + c （a0）的焦点矩形的面积为 2，求 a 的值直接写出抛物线 的焦点矩形与抛物线 y = x2 - 2mx + m2 +1 有两个公共点时 m 的取值范围8已知，如图，将抛物线，（n为正整数）称为“系列抛物线”，其分别与x轴交于点O，A，B，C，E，F，（1）抛物线的顶点坐标为 ；该“系列抛物线”的顶点在 上；与x

5、轴的两交点之间的距离是 （2）是否存在整数n，使以的顶点及该抛物线与轴两交点为顶点的三角形是等边三角形？（3）以的顶点P为一个顶点作该二次函数图象的内接等边PMN（M，N两点在该二次函数的图象上），请问：的面积是否会随着n的变化而变化？若不会，请求出这个等边三角形的面积；若会，请说明理由9已知函数 ，将其图象不在y轴左侧的部分向下平移 个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G （1）当 时， 直接写出图象G对应的函数表达式；点 在图象G上，求k的值；（2）设图象G最低点的纵坐标为 ，若 ，直接写出m的取值范围；（3）若点M在函数 的图象上，且横坐标为 ，作点M关于直线 的对称点N，

6、当点M不在直线 上时，以点M、N为顶点构造矩形 ，使点P、Q落在x轴上，当图象G在矩形 内的部分所对应的函数值y随x的增大而成小时，直接写出m的取值范围；（4）矩形 的顶点坐标分别为 、 、 、 ，若图象G与矩形 的边有两个公共点，求m的取值范围10二次函数 的图象经过点 （0，-4）和 （-2，2）. （1）求 的值，并用含 的式子表示 ； （2）求证：此抛物线与 轴有两个不同交点； （3）当 时，若二次函数满足 随 的增大而减小，求 的取值范围； （4）直线 上有一点 （ ，5），将点 向右平移4个单位长度，得到点 ，若抛物线与线段 只有一个公共点，求 的取值范围. 11已知二次函数yx2

7、+6x5（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1x4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当txt+3时，函数的最大值为m，最小值为n，求t的值12在平面直角坐标系中，已知抛物线（m为常数）.（1）求此抛物线的顶点坐标.（用含m的式子表示）（2）当时，抛物线对应的函数值y随x的增大而先增大后减小，求m的取值范围.（3）将抛物线（m为常数）在y轴右侧的部分沿着直线翻折，翻折后的图像与原抛物线剩余部分合称为图像G.当时，在如图的平面直角坐标系中画出图像G.当，且图像G与直线有且只有两个公共点时，求这两个公共点之间的距离.正方形的顶点的坐标为，顶点B的坐标为，当图像G和正方形的边有且只有四个公

8、共点时，直接写出m的取值范围.13如图，在平面直角坐标系中，直线y= -x-2与抛物线y=x2-2mx+n相交于A、B两个不同的点，其中点A在x轴上.（1）n= （用含m的代数式表示）（2）若点B为该抛物线的顶点，分别求出m和n的值；（3）若-3x0时，二次函数y=x2-2mx+n的最小值为-4，求m的值.14如图，直线 交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4) （1）求k的值和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得 PAB的周长最小，并求出最小值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存

9、在，请说明理由 15已知二次函数： . （1）该二次函数图象的对称轴是 ，它恒经过两个定点的坐标为 ；（2）在直角坐标系中，点 、点 ，若此二次函数的图象与线段 恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围.（3）若该二次函数的最大值为4.求二次函数的表达式；当 时，函数的最大值为m，最小值为n，若 ，求t的值.16已知抛物线 （ ）的顶点为 ，点 、 、 在该抛物线上（1）当 ， ， 时，求顶点 的坐标；求 的值（2）当 恒成立时，求 的最小值17如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上. （1）当m=5时，求n的值. （2

10、）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围. （3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围. 18已知抛物线c:y=x22x3和直线l:y= xd。将抛物线c在x轴上方的部分沿x轴翻折180，其余部分保持不变，翻折后的图象与x轴下方的部分组成一个“M”型的新图象(即新函数m：y=|x22x3|的图象)。 （1）当直线l与这个新图象有且只有一个公共点时，d= ； （2）当直线l与这个新图象有且只有三个公共点时，求d的值； （3）当直线l与这个新图象有且只有两个公共点时，求d的取值范围； （4）当直线l与这个新图象有四个公共点

11、时，直接写出d的取值范围 答案解析部分1【答案】（1）解：设 ,x=3或-1，二次函数的图象与x轴的交点坐标为：（3,0），（-1,0）；（2）-4；122【答案】（1）解：将二次函数y x2x4配方，得y (x1)2 . 所以抛物线的开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为x1.（2）解：当x1时，y随x的增大而减小；当x1时，y随x的增大而增大 3【答案】（1）解：将 代入 得， ，即 ； （2）描点，画函数图象，如下： （3）方程 有4个实数根 函数 的图象与 有四个交点，由函数的图象可知： 取值范围为 是方程 的一个实数根，则 ，故 ，函数 的图象如下：观察图象可得另外实数根为 或 ；4【答案

12、】（1）解：二次函数的图象经过点二次函数图象的顶点坐标为（2）解：根据（1）的结论，得的对称轴为：的图象经过点的图象经过点当时，得，当点B到x轴的距离不大于3时，或5【答案】（1）解：当时，则，把点代入得，即；（2）解：，抛物线与轴的交点为，抛物线的对称轴为直线，对称轴为直线，抛物线开口向上且当时，随的增大而减小，；（3）证明：函数的图象经过，两点，是实数），.6【答案】（1）解：将三点坐标代入y=ax2+bx+c，得：解得：这个二次函数的解析式为（2）解：由y=x2+2x+3可知，C（1，0），A（1，4），由于B点在对称轴上，则设B点坐标为（1，y）由于ABC是等腰三角形，则分三种情况：A

13、C边为腰，AC=AB，则B（1，42）或（1，4+2）；AC边为腰，AC=BC，则B（1，4）；AC边为底，AB=BC，则B（1，）7【答案】（1）（0，1），4（2）y=x2-x+=（x-3）2+2抛物线的焦点的横坐标为3，纵坐标为2+=3焦点的坐标为（3，3） 将y=3代入y=（x-3）2+2，得3=（x-3）2+2，解得，x1=5，x2=1抛物线的直径为5-1=4（3）焦点为（h，k+）k+=a（x-h）2+k，解得，x1=h+，x2=h-直径为h+-（h-）= 解得，a=（4）由（3）可得，BC= 又CD=AA=S=BCCD=2 解得，a=根据（2）可知，抛物线y=x2-x+的焦点矩形

14、顶点坐标为B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1） 当y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1过点B（1，3）时，m=1-或m=1+（舍去） 过点（5，3）时，m=5-（舍去），m=5+当m=1-或m=5+时，1个公共点 当1-m1或5m5+时，2个公共点 如图所示，公共点个数随m的变化关系为 当m1-时，无公共点 当m=1-时，1个公共点 当1-m1时，2个公共点 当1m5时，3个公共点 当5m5+时，2个公共点 当m=5+时，1个公共点 当m5+时，无公共点8【答案】（1）（1，1）；直线；（2）解：存在如图1，抛物线的顶点为，抛物线交x轴于G、K两点，作轴于H，则，为等

15、边三角形，在中，解得，（舍去），当n为3时，使以的顶点及该抛物线与x轴两交点为顶点的三角形是等边三角形；（3）解：的面积不会随着n的变化而变化如图2，作于H，点P为抛物线的顶点，为等边三角形，点M和点N为对称点，轴，设，则，为等边三角形，在中，即，即的面积不会随着n的变化而变化，它为定值9【答案】（1）解：当m=2时，则 ； 点Q（k，3）在图象G上，当k0时，k2-2k+2=3，解得 ， （舍去），当k0时，k2-2k+1=3，解得 （舍去）， ，k的值为 或 ；（2）（3）解： （4）解：当点B（-4，-4）落在y2上时，如图5，m=-4， 当m-4时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点

16、，当y轴左半边的图象顶点 落在BC上，如图6， ，解得： （舍去）或 ；当（0，m）落在AD上时，如图7，m=1， 时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，当（0，m-1）落在AD上时，如图8，m-1=1，得m=2，当点C（3，-4）落在y1上时，m=6，恰好为顶点，当m2时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，综上所述，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，m的取值范围为 或 或 10【答案】（1）解：把点A（0，-4）和B（-2，2）分别代入y=ax2+bx+c中，得c=-4，4a-2b+c=2. b=2a-3.（2）证明： 对于任意的 ，都有 ，此抛物线与 轴有两个不同交点；（3）

17、解：当a0时，依题意抛物线的对称轴需满足 -2， 解得 a0时，依题意抛物线的对称轴需满足 0，解得 0 a ，a的取值范围是 a0或00时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，(如图1)，则抛物线上的点（1，a+2a-3-4）在D点的下方，a+2a-3-45，解得a4，0a4；当a0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点.（如图2） .即 ，解得 （舍去）或 ，综上，a的取值范围是0a0时，x=0时，y=-4，m2-m2-4m-4=-4， m=0，不合题意舍弃.综上所述m=- 或m=0.14【答案】（1）解：当x=0时，y=3， 点B坐标为（0，3），过A、B两点的抛物线

18、的顶点坐标(1，4)，设抛物线的解析式为 ， ，解得： ，抛物线的解析式为 ，即 ，当y=0时， ，解得： ， ，点A在x轴负半轴，A（-1，0），C（3，0），把A（-1，0）代入 得：-k+3=0，解得：k=3（2）解：如图，连接BC，交对称轴于点P， 抛物线的解析式为 ，对称轴为直线x= ，抛物线与x轴交于点A、C，A、C关于对称轴对称，PA=PC，PA+PB=PB+PC=BC，PAB的周长的最小值为AB+BC，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），OA=1，OB=3，OC=3，AB+BC= = ，设直线BC的解析式为y=kx+b， ，解得：k=-1，直线BC的解析式为y=-x+3

19、，当x=1时，y=-1+3=2，点P坐标为（1，2）PAB周长的最小值为 ，点P坐标为（1，2）（3）解：设点Q坐标为（1，m）， A（-1，0），B（0，3），AB= = ，QA= = ，QB= = ，当QA=AB时， = ，解得：m= ，Q1（1， ），Q2（1， ），当QB=AB时， = ，解得：m=6或m=0，直线AB的解析式为y=3x+3，x=1时，y=6，点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形，Q3（1，0），当QA=QB时， = ，解得：m=1，Q4（1，1），综上所述：存在点Q，使 ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1， ），Q2（1， ），Q3（1，0），Q4

20、（1，1）15【答案】（1）x=3；（0，-5）（6，-5）（2）解：函数图象如下： 当 时，开口向下，二次函数的图象与线段 恰有一个公共点则二次函数的顶点为 ，代入函数解析式可得 ，解得 当 时，开口向上，二次函数的图象与线段 恰有一个公共点由函数图象可得：函数图象与线段 的交点在 之间，即 时， ， 时， ，即 ，解得 （3）解：由题意可得，函数的顶点为 ，代入解析式得： ， 解得 ，函数解析式为 ，当 时，对t进行分类讨论，1）当计 时，即 ，y随着x的增大而增大，当 时， ，当 时， ， ， ，解得 （不合题意，舍去），2）当 时，顶点的横坐标在取值范围内， ，）当 时，在 时， ，

21、， ，解得 （不合题意，舍去）；）当 时，在 时， ， ， ，解得 （不合题意，舍去），3）当 时，y随着x的增大而减小，当 时， ，当 时， ， ， ，解得 （不合题意，舍去），综上所述， 或 .16【答案】（1）解：当 ， ， 时，抛物线的解yx26x15， 求抛物线顶点坐标为 (3，6)；点 、 、 在该抛物线yx26x15上， 22， 15， 10， （2）解：a0，抛物线 开口向上，而 0， 该抛物线与x轴至多有一个交点，即b24ac0，又a0， ( )2 ，已知 ， 2， 令 t(t2) ，则 3当且仅当 0，即t4时不等式取等号，也即bc4a时， 取得最小值317【答案】（1）解

22、：当m5时，y ， 当x1时， n .（2）解：当n2时，将C(1，2)代入函数表达式y ， 得2 ，解得m13， m21(舍去).此时抛物线的对称轴为直线x=3，根据抛物线的轴对称性，当y2时，有x11 ，x25.x的取值范围为1x5. （3）解：点A与点C不重合， m1.抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，抛物线的顶点在直线y4上.当x0时，y ， 点B的坐标为(0， ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动.当点B与点O重合时， 0， 解得 m1 ，m2 .当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点. 点B的点坐标为（0，4），

23、 4，解得 m0. 当抛物线从图2位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上. B点在线段OD上时，m的取值范围是0m1或1m2 .18【答案】（1）d= （2）解：设抛物线c:y=x22x3与x轴交于点A(3,0)，点B(1,0)， 直线l:y= xd与抛物线c:y=x22x3(3x1)相切于点P，则点P的横坐标恰好是方程 xd=x22x3，即2x23x2d6=0(3x1)的两个相等实数根，解=98(2d6)=0得d= ，点P的坐标为( ).当直线l经过点B(1,0)时，直线l与这个新图象有且只有三个公共点，解得d= ；当直线l经过点P( )时，直线l与这个新图象有且只有三个公共点，解得d= ；综合、得：d= 或d= （3）解：由平移直线l可得：直线l从经过点A(3,0)开始向下平移到直线l经过点P( )的过程中，直线l与这个新图象有且只有两个公共点，可得 d 直线l从经过点P( )继续向下平移的过程中，直线l与这个新图象有且只有两个公共点，可得d ；综合、得： d 或d （4） d 。