2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数的图象.docx

1、2023年中考数学综合压轴题训练二次函数的图象一、综合题1在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B直线 与 轴， 轴分别交于点C，D （1）该抛物线的对称轴为 ；（2）点C的坐标为 ，点D的坐标为 ；（3）若点A与点D关于 轴对称： 求点B的坐标；若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围2把函数的图像绕点旋转180，得到新函数C2的图像，我们称是关于点P的相关函数.C2的图像的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）.（1）填空：t的值为 （用含m的代数式表示）.（2）若，当时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且，求C2的解析式.（

2、3）当时，C2的图像与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）.与y轴相交于点D.把线段原点O逆时针旋转90，得到它的对应线段，若线与C2的图像有公共点，结合函数图象，求a的取值范围.3函数 的图象的对称轴为直线 . （1）求m的值；（2）将函数 的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象G 直接写出函数图象G的表达式；设直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B,当线段AB与图象G只有一个公共点时，直接写出t的取值范围.4已知抛物线 经过点 .（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标.（2）直线 交抛物线于点 ， ， 为正数.若点 在抛物线上且在直线 下方（不与点 ， 重合），分别求出点 横坐标与纵坐标

3、的取值范围，5如图，一次函数 的图象与坐标轴交于点 、 ，二次函数 的图象过 、 两点 （1）求二次函数的表达式；（2）已知点 在对称轴上，且点 位于 轴上方，连接 ，若 ，求点 的坐标 6：在平面直角坐标系中，设二次函数y1（xm）（xm2），其中m0（1）求证：函数y1与x轴有交点；（2）若函数y2mxn经过函数y1的顶点，求实数m，n的关系式；（3）已知点P（3，a），Q（x1，b）在函数y1的图象上，若ab，求x1的取值范围7已知二次函数（1）二次函数图象的对称轴是直线 ；（2）当时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；（3）若，对于二次函数图象上的两点，当时，均满足，请

4、结合函数图象，直接写出t的取值范围8已知函数 （m为常数）. （1）试说明该函数的图象与x轴始终有交点； （2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上. （3）当 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围. 9已知函数yax2+ax-1（a为常数）.（1）无论a取何值，函数图象都过定点 .（2）若对于任意实数x，函数yax2+ax-1的图象始终在x轴下方，求a的取值范围；（3）若a1，设函数yax2+ax-1（a为常数）图象的顶点为M，且与经过点F 的直线l相交于A，B两点，过点A作直线y的垂线，垂足为D.求证：B、M、D三点共线.10如图，已知二次函数 图象的顶点为 ，与

5、轴交于点 ，点 （与顶点 不重合）在该函数的图象上. （1）当 时，求 的值； （2）当 时，若点 在第三象限内，结合图象，求当 时，自变量 的取值范围； （3）作直线 与 轴相交于点 .当点 在 轴下方，且在线段 上时，求 的取值范围. 11如图1，抛物线y x2+ x+6与x轴交于A、B（B在A的左侧）两点，与y轴交于点C，将直线AC沿y轴正方向平移2个单位得到直线AC，将抛物线的对称轴沿x轴正方向平移 个单位得到直线l （1）求直线AC的解析式； （2）如图2，点P为直线AC上方抛物线上一动点，连接PC，PA与直线AC分别交于点E、F，过点P作PP1l于点P1，M是线段AC上一动点，过M

6、作MNAC于点N，连接P1M，当PCA的面积最大时，求P1M+MN+ NA的最小值； （3）如图3，连接BC，将BOC绕点A顺时针旋转60后得到B1O1C1，点R是直线l上一点，在直角坐标平面内是否存在一点S，使得以点O1、C1、R、S为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由 12已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如：如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形。（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣

7、正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数y= (k0)，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D(2，m)(m2)在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式； （3）若某函数是二次函数y=ax+c(a0)，它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为(3，4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ，写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？ 。(本小题只需直接写出答案)13若函数 、 满足 ，则称函数y是 、 的“融合函数”.例如，一次函数 和二次函数 ，则 、 的“融合函数”为 . （1）若反比例函数 和一次函数 ，它们的“融

8、合函数”过点 ，求 的值； （2）若 为二次函数，且 ，在 时取得最值， 是一次函数，且 的“融合函数”为 ，当 时，求函数 的最小值（用含 的式子表示）； （3）若二次函数 与一次函数 ，其中 且 ，若它们的“融合函数”与 轴交点为 、 ，求 的取值范围. 14在平面直角坐标系中，抛物线 与y轴交于点P，将点P向右平移2个单位长度，得到点Q，点Q在抛物线上 （1）点Q的坐标为 （用含a的代数式表示） （2）求抛物线的对称轴 （3）已知点 ， .若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 15已知：抛物线y=x2+（2m1）x+m21经过坐标原点，且当x0时，y随x的增大而

9、减小（1）求抛物线的解析式；（2）结合图象写出，0x4时，直接写出y的取值范围 ；（3）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B，DCx轴于点C当BC=1时，求出矩形ABCD的周长16已知二次函数图象的顶点为（3，1），与y轴交于点（0，4）（1）求二次函数解析式；（2）求函数值y4时，自变量x的取值范围17已知：抛物线y2ax2ax3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标； （2）如图，当ACBC时，求a的值和AB的长； （3）在（2）的条件下，若点

10、P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PHx轴于点H，交BC于点D，作PEAC交BC于点E，设ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标 18在平面直角坐标系中，抛物线 （a，b是常数， ）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线 （1）填空： （用含a的代数式表示）； （2）当 时，抛物线上的点到x轴的最大距离为5，求a的值； （3）若点A的坐标为 ，点E的坐标为 （其中 ），点Q为抛物线上一动点，是否存在以 为斜边的等腰直角三角形 ？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 答案解析部分1【答案】（1）x=2（2）（5，0

11、）；（0，3）（3）解：点 的坐标为（0，3）抛物线与 轴的交点 与点 关于 轴对称， 点 的坐标为（0，3）；将点 向右平移2个单位长度，得到点 ，点 的坐标为（2，3）；抛物线为 ，顶点为 当 时，如图2-1，令 ，得 ，即点 总在抛物线上的点 的下方， ，点 总在抛物线顶点 的上方，结合函数图象，可知当 时，抛物线与线段 恰有一个公共点当 时，如图2-2，当抛物线过点 时， ，解得 ，结合函数图象，可得 ，综上所述， 的取值范围是 或 2【答案】（1）2m-1（2）解：当时，当 时， 时，有最小值 ，时，有最大，则 ，无解；当 时， 时，有最大，时，有最小， （舍去）当 时， 时，有最大

12、，时，有最小， ，解得：，（不符合题意舍去）故：（3）解：当，： ，点A、B、D、 、的坐标分别为 ，当 ，a越大，则越大，则点越靠左，当过时， ，解得，当过时，同理可得：，故： 或，当，当过时， ，解得，故，综上所述：或或.3【答案】（1）解： 的对称轴为直线 ， ，解得：m=3； （2）解：直线y2x+2t（tm）与x轴交于点A，与y轴交于点B，A（t，0），B（0，2t），新的函数图象G的顶点为（3，0），与y的交点为（0，9），当线段AB与图象G只有一个公共点时，如图，2t9，解得t ，故t的取值范围是t 4【答案】（1）解：把 代入 ，得 ， 解得 ， 抛物线的函数表达式为 ，配方得

13、 ， 顶点坐标为 （2）解：当 时， . 当 时， ，解得 ， . 为正数， . 点 在抛物线上且在直线 的下方（不与点 ， 重合）， . 0开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7， 5【答案】（1）解：在 中，令 得 ，令 得 ， ， 二次函数 的图象过 、 两点， ，解得 二次函数的表达式为 ；（2）解：由（1）得 ， 抛物线的对称轴是直线 由勾股定理得 ，过点 作 轴于 ，如图，则 ， 点 的坐标是 6【答案】（1）证明：， ，函数与x轴有交点；（2）解：， 顶点坐标为：，函数经过函数的顶点

14、，化简可得：，实数m，n的关系式为：；（3）解：抛物线的对称轴为：， 二次项系数，开口向上，作草图如下：（-3，a）与（1，a）关于对称，根据函数图象的性质可得：，的取值范围为：7【答案】（1）2（2）解：，二次函数的顶点坐标为（2，-4a），当a0时，在0x5中，最大值是当x=5时y的值，即，最小值是当x=2时y的值，即-4a，5a-（-4a）=9，a=1，该二次函数的解析式为，当a0时，在0x5中，最大值是当x=2时y的值，即-4a，最小值是当x=5时y的值，即，-4a-5a=9，a=-1，该二次函数的表达式为，综上所述，该二次函数的表达式为或；（3）解：0t48【答案】（1）解：令y0，

15、则 ， ，所以函数图象与x轴始终有交点；（2）证明：顶点坐标为 将 代入 ，得 ，所以函数图象的顶点都在 上；（3）解：令 ， 当m1时取得最小值0；当m3时，取得最大值4，所以 .9【答案】（1）（0，-1）和（-1，-1）（2）解：当，函数在x轴下方；当时，函数在x轴下方，则a0，且0，即，解得：，综上，a的取值范围为：；（3）证明：当a1时，函数解析式为，点M的坐标为：，设点A、B的坐标为：、 ，设过点F的直线m表达式为：，将点F的坐标代入上式并解得：，将直线m的表达式与二次函数表达式联立并整理得：， 则点D，点B如果B、M、D三点共线，则直线DM和直线BM对应一次函数表达式中的k值相等

16、， ，同理可得：，假设，则，整理得：即：00，故B、M、D三点共线.10【答案】（1）解：当 时， . 当 时， ；（2）解：当 时，将 代入函数解析式 ，得 ，解得 或1.点 在第三象限， .此时抛物线的对称轴 . 点坐标为 ，根据抛物线的对称性可知，当 时， 或 . 的取值范围为 ；（3）解：点 与点 不重合， .当 时， .点 的坐标为 .当抛物线向右平移时， 逐渐增大，点 沿 轴正方向移动.当点 与点 重合时， ，解得 或 .当点 与点 重合时，如图，顶点 也与 ， 重合，点 到达最低点. ，解得 .当抛物线继续向右平移时，点 不在线段 上. 点在线段 上时， 的取值范围是： 或 .1

17、1【答案】（1）解：令y0，则 x2+ x+60， 解得x16 ，x22 ，B在A的左侧 A（6 ，0），B（2 ，0）令x0，则y6，即C（0，6），设直线AC解析式为ykx+b，把A（6 ，0），C（0，6）代入， ，解得： ， 所以直线AC解析式为： （2）解：如图，过P作PHx轴交AC于点H， SPCA PH（xAxC）3 PH，当PH取最大值时，SPCA最大，设P（m， m2+ m+6），H（m， m+6），PH m2+ m，（0m6 ）， （m3 ）2+ ，当m3 时，PH取最大值，此时P（3 ， ），在抛物线y x2+ x+6中，对称轴为x 2 ，由平移知直线l为：x ，P1（

18、， ），设直线l与x轴的垂足为Q，连接P1A，在RtP1AQ中，QA ，P1Q ，P1A5 ，tanP1AQ ，P1AQ60，作P1关于直线AC的对称点P1，连接P1P1，与直线AC、AC分别交于S、T点，则AP1P1是等边三角形，P1AP1A5 ，P1（ ，0），MNAC，CC2，CAA30，MN ，将P1沿MN方向平移 个单位得到P1（ ， ），将直线AC绕点A顺时针旋转45得到直线l1，过点P1作P1Gl1于点G，与AC的交点即为N点，易知P1TN和AGN都为等腰直角三角形，P1N P1T ，ANATTN ，GN ，（P1M+MN+ NA）最小 + ；（3）解：连接OO1，则OO1B为等

19、边三角形， O1OAOAO1OO1A60，OO1O1AOA6 ，O1（3 ，9），B1（2 ，12），C1（6 ，12），如图21，当四边形Q1RS1C1为矩形时， xRxO1 3 ， 由题意知，QR与直线l的夹角为30， yQ1yR ，xS1xC1+ ，yS1yC1 ，S1（ ， ）， 同理可求出S2（ ， ），S3（ ， ），S4（ ， + ），综上所述：在直角坐标平面内存在一点S，使得以点O1、C1、R、S为顶点的四边形是矩形，坐标是S1（ ， ），S2（ ， ），S3（ ， ），S4（ ， + ）12【答案】（1）解： 或 （2）解：m=1，y= （3）(-1，3)(7，-3)(-4，

20、7)(4，1)；y= ，y= ，y= ，y=- ；偶数13【答案】（1）解：由题意得：反比例函数 和一次函数 ，它们的“融合函数”的解析式为 ， 点（1，5）在 函数图象上， ， ；（2）解：设函数 的解析式为 ， 由题意得： ， ，在 时，函数 取得最值， ， ， ， ， ， ，函数 的对称轴为 ，函数开口向上， 当 时， 在 处有最小值，最小值 ；当 时， 在 处有最小值，最小值 ；当 时， 在 处有最小值，最小值 ；综上所述， ；（3）解：由题意得：二次函数 与一次函数 的融合函数为 ， 它们的“融合函数”与 轴交点为 、 ， ， 是一元二次方程 的两根， ， ， ， ， ， ， ， ，

21、 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .14【答案】（1）（2）解：将Q 代入，得 所以对称轴为直线x = 1.（3）解： 15【答案】（1）解：y=x2+（2m1）x+m21经过坐标原点，0=0+0+m21，即m21=0解得m=1又当x0时，y随x的增大而减小，m=1，二次函数解析式为y=x23x（2） y4（3）解：如图2中，BC=1，B、C关于对称轴对称，B（，1，0），C（2，0），ABx轴，DCx轴，A（1，2），D（2，2），AB=DC=2，BC=AD=1，四边形ABCD的周长为6，当BC=1时，矩形的周长为616【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x3）2

22、1，把（0，4）代入得9a1=4，解得a= 所以二次函数解析式为y= （x3）21；（2）解：a= 0，抛物线开口向下，顶点为（3，1），点（0，4）对称点为（6，4），函数值y4时，自变量0x617【答案】（1）解：y2ax2ax3（a+1）a（2x2x3）3， 令2x2x30，解得：x 或1，故第三象限内的一个定点C为（1，3）（2）解：函数的对称轴为：x ， 设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（ ，0），则由勾股定理得CM ，则AB2CM ，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（ ，0）；将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a3a30，解得：a ，函数的表达式为：y （x+3）

23、（x ） x2 x （3）解：过点E作EFPH于点F， 设：ABC，则ABCHPEDEF，设直线BC的解析式为 将点B、C坐标代入一次函数表达式得 解得： 直线BC的表达式为： ，设点P（h， ），则点D（h， ），故tanABCtan ，则sin ，yDyEDEsinPDsinsin，SSABESABD AB（yDyE） 0，S有最大值，当h 时，S的最大值为： ，此时点P（ ）18【答案】（1）（2）解：当 时， ，此时点 到 轴的距离小于5， 当 时， ，解得 ；（3）解：存在， 是以 为斜边的等腰直角三角形， 设 ，如图，过点 作 轴的垂线 ，再分别过点 和点 作垂线 的垂线，分别交于点 和点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得 或 （舍去）， ， ， ；如图， 点 与点 关于直线 对称， 点的坐标为 点 和点 重合，点 和点 重合，此时 ；如图，过点 作 轴的垂线 ，再分别过点 和点 作垂线 的垂线，分别交于点 和点 ，同理： ， ， ， ，解得 ， （舍去）， ， ， ，综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ，