2023年中考数学高频考点突破-二次函数与几何问题.docx

1、2023年中考数学高频考点突破-二次函数与几何问题1如图，用40m的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m垂直于墙的边长为xm围成的矩形场地的面积为ym2（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求这个矩形场地面积的最大值2在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm （1）若花园的面积为192m2，求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值 3如图，一张正方形纸板的边长

2、为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）设AE=BF=CG=DH=xcm，四边形EFGH的面积为ycm2， （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围； （2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值； （3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm2吗？请说明理由 4某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n，且nm2，大正方形的面积为S.（1）求S关于m的函数关系式；（2）若小正方形边长不大于3，当大正方形面积最大时，求m的值.5如图所示，将抛物线y 12 x2

3、沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新的抛物线 （1）直接写出新抛物线的解析式为 ； （2）设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，顶点为D，作CECD交抛物线于E，如图所示，探究如下问题：求点E的坐标；若一次函数ykx+1的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F，连接DE，猜测直线DE与对称轴的夹角和一次函数ykx+1的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明6已知，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y=ax22ax3a (a0) 分别交 x 轴于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的侧），与 y 轴交于点 C ，连接 AC ， tanACO=13 .

4、（1）如图1，求 a 的值； （2）如图2， D 是 x 轴上一点（不与点 A 、 B 重合），过点 D 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 E ，交直线 CB 于点 F . 当点 D 在点 B 右侧时，连接AF，当 AF=BE 时，求 AF 的长.当点 D 在运动时，若 DE 、 DF 、 EF 中有两条线段相等，求此时点 D 的坐标.7如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米（1）若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为

5、多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积8如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米。（取3）（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB。并求出x的取值范围。 （2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑） 9如图，抛物线 yx22x+c 与y轴交于点 A(0,3) ，与x轴交于B、C两点，且抛物线的对称轴方程为 x1 . （1）求抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线对称轴上第一象限内一点，若 PBC 的面积为4，求点P的坐标； （3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线的对称轴上一点，当以M、

6、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时（ BC 为平行四边形的一条边），求此时点M的坐标. 10如图抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1,0），tanCAB=3，且OB=OC（1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标 11已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PFBD，交射线BC于点F联结AP，画FPE=BAP，PE交BF于点E设PD=x，EF=y（1）当点A、P、F在一条直线上时，求ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于

7、x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若FPC=BPE，请直接写出PD的长12已知，点M是二次函数y=ax2（a0）图象上的一点，点F的坐标为（0， 14a ），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为 18 （1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MNx轴，垂足为点N，求证：MF=MN+OF13已知，抛物线y=ax2+3ax+c（a0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧点B的坐标为（1，0），OC=3OB（1）直接写出C点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点D

8、是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值14已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性AMB恒为等腰三角形，我们规定：当AMB为直角三角形时，就称AMB为该抛物线的“完美三角形”.（1）如图2，求出抛物线yx2的“完美三角形”斜边AB的长；抛物线yx2+1与yx2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是 ；（2）若抛物线yax2+4的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；（3）若抛物线ymx2+2x+n5的“完美三角形”斜边长为n，且ymx2+2x+n5的最大值为1，求m，n的值.15如图，抛物线y=x2+2x+3与x轴交

9、于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标16如图1，已知抛物线 y=x2+bx+c 交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0）、C，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作 AQPQ 于点Q，连接AP（A

10、P不平行x轴）. （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上运动，若 AQP AOC （点P与点C对应），求点P的坐标； （3）如图2，若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将 APQ 沿AP对折，点Q的对应点为点 Q ，当点 Q 落在x轴上时，求点P的坐标. 答案解析部分1【答案】（1）解：垂直于墙的边长为xm，平行于墙的边长为(402x)m，y=x(402x)，根据题意得：402x15402x0，解得252x20，y与x之间的函数关系式为y=2x2+40x(252x20)；（2）解：y=2x2+40x=2(x10)2+200，20，252x20，当x=252时，y最大，最大值为187.5，答

11、：这个矩形场地面积的最大值为187.5m2【知识点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）根据题意直接列出函数解析式y=2x2+40x(252x20)即可；（2）利用二次函数的性质求解即可。2【答案】（1）解：AB=x，则BC=（28x）， x（28x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值为12或16（2）解：AB=xm， BC=28x，S=x（28x）=x2+28x=（x14）2+196，在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，2815=13，6x13，当x=13时，S取到最大值为：S=（1314）2+196=195，答：花园面积S的最大值为195平方

12、米【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）根据题意得出长宽=192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S=x（28x）=x2+28x=（x14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值 3【答案】（1）解：在正方形纸上剪去4个全等的直角三角形， AHE=DGH，DGH+DHG=90，HG=HE，EHG=180AHEDHG，EHG=90，四边形EFGH为正方形，在AEH中，AE=x，AH=BE=ABAE=2x，A=90，HE2=AE2+AH2=x2+（2x）2=2x24x+4，正方形EFGH的面积y=HE2=2x24x+4，AE，AH均为正值

13、，0x2，故y关于x的函数表达式为：y=2x24x+4，自变量x的取值范围0x2（2）解：将y=3代入y=2x24x+4中，整理得：2x24x+1=0， 解得：x1=1+ 22 ，x2=1 22 ，故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+ 22 或1 22 （3）解：四边形EFGH的面积为：y=2x24x+4=2（x1）2+2，（0x2）， （x1）20，y2，四边形EFGH的面积不能为1.5cm2【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正

14、方形面积公式即可解决问题；（2）代入y值，解一元二次方程即可；（3）将面积y=2x24x+4改写成完全平方的形式，可得知y2，故不能为cm2 4【答案】（1）解：小正方形的边长m，直角三角形较短直角边长n， 直角三角形较长边长为m+n，由勾股定理及正方形的面积公式可知：S（m+n）2+n2，nm2，S（m+m2）2+（m2）24m28m+4+m24m+45m212m+8，nm20，m2.S关于m的函数关系式为S5m212m+8（m2）（2）解：由（1）知，S5m212m+85（m1.2）2+0.8， S关于m的二次函数的对称轴为直线m1.2，二次项系数为正，当2m3时，S随m的增大而增大，当m

15、3时，S最大.当大正方形面积最大时，m3【知识点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再由勾股定理及正方形的面积公式可得S关于m和n的函数关系式，然后将nm2代入化简即可；（2）将（1）中的函数关系式配成顶点式，根据二次函数的性质及m的取值范围可求解5【答案】（1）y （x2）21（2）解：y 12 （x2）21， 令x0，则y1，则点C坐标为（0，1），顶点D的坐标为（2，1），把点C、D的坐标代入一次函数表达式：ykx+b，解得：k1，b1，则：CD解析式为：yx+1；CDCE，CE的解析式为：yx+1，联立并解得：x6（已舍去不合

16、题意的值），E（6，7）；将一次函数表达式ykx+1与二次函数表达式联立得： 12 （x2）21kx+1，b24ac0，解得：k2，则一次函数的表达式为：y2x+1，当x2时，y3，即：点F坐标为：（2，3）；将直线CF向上平移两个单位过点D，此时一次函数为：y2x+3，而E关于对称轴的点的坐标为：E（2，7），当x2时，y7，故：点E在一次函数上y2x+3，DEE是等腰三角形，所以两角相等【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：（1）抛物线y 12 x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 抛物线表达

17、式为：y 12 （x2）21，故：答案是：y 12 （x2）21 【分析】（1）利用二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，可得出平移后的抛物线的解析式。 （2）利用新的抛物线的解析式，由x-0求出y的值，就可得出点C的坐标，求出顶点D的坐标，再由点C、D的坐标求出直线CD的函数解析式， 由CDCE ，可求出直线CE的函数解析式，将抛物线的解析式和直线CE的函数解析式联立方程组，解方程组，就可求出点E的坐标；将一次函数解析式y=kx+1与二次函数解析式联立方程组，再由b24ac0，求出k的值，就可得到一次函数解析式，从而可求出点F的坐标，利用图像平移的规律，可求得一次函数解析式为y2x+3

18、，根据对称性求出点E的坐标，即可验证点E在一次函数上y2x+3上，继而可证得DEE是等腰三角形，可得到结论。6【答案】（1）解： y=a(x22x3) (a0)令 y=0 ，即 a(x+1)(x3)=0 ，解得 x1=1 ， x2=3 ，A(1，0) ， B(3，0) ，OA=1 ， C(0，3a)又tanACO=OAOC=13 ，a=1（2）解：由（1）得抛物线 y=x22x3 ，BC所在直线 yBC=x3 ， 设 D(m，0) ，F(m，m3) ， E(m，m22m3)ABC=FBC=45 ， EDx 轴，BFD 为等腰直角三角形，又AF=BE ，RtADFRtEDB(HL) ，AD=ED

19、 而 AD=m+1 ，m+1=m22m3 ，(m4)(m+1)=0 ， m=4 ，D(4，0) ，AF=26当 DF=EF3m=m2+3m(m1)(m3)=0 ，m=1 ，D(1，0)当 DE=DFm22m3=3m ，m2m6=0 ，即 (m+2)(m3)=0 ，m=2 ，D（-2，0），综上， D 的坐标为 (1，0) ， (2，0)【知识点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）由ax2ax3a0，可得A（1，0），B（3，0），OA1，再根据tanACO 13 ，可求得C（0，3），即可求出a的值；（2）构造全等三角形 RtADFRtEDB(HL) ，由此ADED，设 D(m

20、，0) ，建立方程求解；分两种情况讨论，分别建立方程进行求解即可得到答案.7【答案】（1）解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为(202x)米，S=x(202x)=2x2+20x；0202x18，解得：1x10；S与x之间的函数关系式为：S=2x2+20x，（1x10）；（2）解：由（1）可知，S=2x2+20x，S=2x2+20x=2(x210x+25)+50=2(x5)2+50；20，当x=5时，S有最大值，最大值为50；当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米；【知识点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）设这个苗圃园垂直

21、于墙的一边的长为x米，则另一边为(20-2x)米，根据矩形的面积公式可得S与x的关系，由00 .B 、 C 两点的坐标分别为 (1,0) ， (3,0) ，BC=4 ，SPBC=12BCy=2y=4 ，y=2 ， 点 P 的坐标为 (1,2)（3）解：当以 BC 为边时，如图， 以 M 、 N 、 B 、 C 为顶点的四边形是平行四边形，MN=BC=4 ，即 M1N=M2N=4 ，M1 的横坐标为5， M2 的横坐标为 3 ，y=x22x3 ， 当 x=5 时， y=25103=12 ；当 x=3 时， y=9+63=12 ，M 点坐标为 (3,12) 或 (5,12) .【知识点】待定系数法

22、求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）将点 A(0,3) 代入 y=x22x+c ，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设点 P 的坐标为 (1,y) ，由点P在第一象限，可知 y0 ，根据B、C两点的坐标得出 BC=4 ，由三角形的面积公式得到 SPBC=12BCy=2y=4 ，求出 y 的值，进而得到点P的坐标；（3）当以BC为边时，根据平行四边形的性质得到 MN=BC=4 ，则可确定点M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M的纵坐标. 10【答案】（1）解：A（-1,0），OA=1，tanCAB=OCOA=3，OC=OB=3OA=3，C（0,3），B（

23、-3,0），设抛物线的解析式：y=a(x-3)(x+1),则3=a(0-3)(0+1)=-3a,a=-1,抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,抛物线的对称轴为：x=1.（2）解：设直线CP交x轴于点E，SPCB：SPCA=12EB（yC-yP）:12AE（yC-yP）=BE：AE，BE：AE=3:5，或BE：AE=5：3，AB=3-（-1）=4，AE=52或32，即E点坐标为（32,0），（12,0），设直线PC的解析式为y=kx+b,将E（32,0），C（0,3）代入得：32k+b=0b=3,解得：k=2b=3,直线CP的表达式为：y=-2x+3,将E（12,0），C

24、（0,3）代入得：12k+b=0b=3,解得：k=6b=3,直线CP的表达式为：y=-6x+3,y=x2+2x+3y=2x+3解得：x=4y=5或x=0y=3（舍去），或y=x2+2x+3y=6x+3，解得：x=8y=45或x=0y=3（舍去），P点坐标为：（4，-5）或（8，-45）.【知识点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）根据A点坐标，结合tanCAB=3，先求出A、C点坐标，再由OB=OC即可求出B点坐标，最后根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由于直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 根据面积关系列式求出BE和AE的比值，结合AB的长度，则可求出

25、AE和BE的长度，从而求出E点坐标，于是利用待定系数法即可求出直线CP的解析式，再和抛物线的解析式联立求出P点坐标即可.11【答案】（1）解：如图，矩形ABCD ，BAD=ABF=90 ，ABD+ADB=90 ，A、P、F在一条直线上，且PFBD，BPA=90 ，ABD+BAF=90 ，ADB=BAF ，tanADB=ABAD=24=12 ，tanBAF=BFAB=12 ， BF=1 ，SABF=12ABBF=1221=1 ；（2）解：PFBP ，BPF=90 ，PFB+PBF=90 ，ABF=90 ，PBF+ABP=90 ，ABP=PFB ， 又BAP =FPE，BAP FPE ，ABPF=

26、BPEF ，AD/BC ， ADB=PBF ，tanPBF=tanADB=12 ， 即 PFBP=12 ，BP=25x ， PF=12(25x) ，225x2=25xy ，y=(25x)24(255x0,由此可知c32) ， 当点 Q 落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图，则 PQ=4(m2+3m+4)=m23m ，APQ 沿AP对折，点Q的对应点为点 Q ，AQP=AQP=90 ， AQ=AQ=m ， PQ=PQ=m23m ，AQO+PQH=90 ， QPH+PQH=90 ，AQO=QPH ，RtAOQRtQHP ，OAQH=AQPQ ，即 4QH=mm23m ，解得： QH=4m12 ，O

27、Q=m(4m12)=123m ，在 RtAOQ 中，由勾股定理得： 42+(123m)2=m2 ，整理得： m29m+20=0 ，解得 m1=4 ， m2=5 ，此时P点坐标为 (4,0) 或 (5,6) ；综上所述，点P的坐标为 (4,0) 或 (5,6) .【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）先求出点C坐标，由 AQP AOC 可得 AQ=4PQ ，于是设 PQ=k ， AQ=4k ，当点P在点Q下方时，则 P(4k,4k) ，当点P在点Q上方时，则 P(4k,4+k) ，分别代入抛物线的解析式，求出k后即得点P坐标；（3）设 P(m,m2+3m+4) ，当点 Q 落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图，则PQ可用含m的代数式表示，易证 RtAOQRtQHP ，则由相似三角形的性质和折叠的性质可得 QH 与m的关系式，从而可得 OQ 与m的关系式，在 RtAOQ 中，利用勾股定理即可列出关于m的方程，解方程即可求出m，进一步即可求出点P的坐标.