2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数的交点问题.docx

1、2023年中考数学高频考点突破-反比例函数与一次函数的交点问题1如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y= kx （k0）的图象与AD边交于E（4， 12 ），F（m，2）两点 （1）求k，m的值；（2）写出函数y= kx 图象在菱形ABCD内x的取值范围 2平面直角坐标系xOy中，将直线yx+b向上平移2个单位长度后与函数y 4x （x0）的图象交于点Q（2，m） （1）求m，b的值； （2）已知点P（a，0）（a0）是x轴上一动点，过点P作平行于y轴的直线，交直线yx+b于点M，交函数y 4x （x0）的图象于点N 当a4时，求MN的长；若MNPN，

2、结合图象，直接写出a的取值范围3如图，直线y=2x与反比例函数y= kx （k0，x0）的图象交于点A（1，a），B是反比例函数图象上一点，直线OB与x轴的夹角为，tan= 12 （1）求k的值 （2）求点B的坐标 （3）设点P（m，0），使PAB的面积为2，求m的值 4如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2= ax 的图象相交于A，B两点，直线AB与x轴相交于点C，点B的坐标为（6，m），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且cosAOE= 35 （1）求反比例函数的解析式； （2）求证：SAOC=2SBOC； （3）直接写出当y1y2时，x的取值范围 5如图，在直角坐标系中，直

3、线y1axb与双曲线y2kx（k0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点已知OC3，tanACO23 （1）求y1，y2对应的函数表达式；（2）求AOB的面积；（3）直接写出不等式axbkx0的解集6在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y kx 的图象与一次函数y2x1的图象交于A、B两点，已知A（m，3） （1）求k及点B的坐标； （2）若点C是y轴上一点，且SABC5，直接写出点C的坐标 7如图，一次函数 y=kx+b(k0) 的图象与反比例函数 y=mx(m0) 的图象交于点 A 、 B ，与 y 轴交于点 C 过点 A 作 ADx 轴于点 D ，

4、AD=2 ， CAD=45 ，连接 CD ，已知 ADC 的面积等于6 （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点 E 是点 C 关于 x 轴的对称点，求 ABE 的面积. 8如图一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y= kx 的图象交于A（4，2）、B（1，a）两点，且与x轴交于点C （1）试确定上述两个函数的解析式； （2）求AOB的面积； （3）根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值时x的取值范围 9如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx的图象与反比例函数y kx （x0）的图象相交于点A（4，m） （1）求反比例函数y kx 的解析式； （2）若点P在x轴上，AP5

5、，直接写出点P的坐标10如图，在直角坐标系xOy中，直线y=2x+6 与反比例函数 y=kx(x0) 的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B ，与y 轴交于点D . （1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线，交反比例函数的图象于点M，交直线AB于点N，且点M在点A下方，连接BM.若 SBNM=14SBOD ，求n的值. 11如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，与反比例函数 y2=mx （ m0 ）的图象交于点 C(1,2) ， D(2,n) . （1）分别求出两个函数的解析式；（2）连接

6、OD ，求 BOD 的面积. 12如图，正比例函数 y=kx 的图像与反比例函数 y=8x(x0) 的图像交于点 A(a，4) .点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D. （1）求a的值及正比例函数 y=kx 的表达式； （2）若 BD=10 ，求 ACD 的面积. 13如图， y1=x+4 与双曲线 y2=kx(x0) 交于点 A(1,m) ，与 x 轴交于点 B （1）求双曲线的函数表达式； （2）直接写出当 x0 时，不等式 y1y2 的解集 14已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= kx 的图象交于点A（3，2） （1

7、）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）点M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0m3，过点M作直线MBx轴，交y轴于点B；过点A作直线ACy轴交x轴于点C，交直线MB于点D当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由 15如图，平面直角坐标系中，已知A（4，a），B（2，4）是一次函数yk1x+b的图象和反比例函数y k2x 的图象的交点. （1）求反比例函数和直线AB的解折式； （2）将直线OA沿y轴向下平移m个单位后，得到直线l，设直线l与直线AB的交点为P，

8、若SOAP2SOAB，求m的值. 16如图，一次函数 y=kx+b 的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数 y=nx 图象于A（ 32 ，4），B（3，m）两点. （1）求直线CD的表达式； （2）点E是线段OD上一点，若 SAEB=154 ，求E点的坐标；（3）请你根据图象直接写出不等式 kx+bnx 的解集.答案解析部分1【答案】（1）解：点E（4， 12 ）在y= kx 上，k=2，反比例函数的解析式为y= 2x F（m，2）在y= 2x 上，m=1 （2）解：函数y= kx 图象在菱形ABCD内x的取值范围为：4x1或1x4 【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数

9、与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）将E点的坐标代入 y= kx （k0） 即可算出k的值，从而得出反比例函数的解析式；然后将 F（m，2） 代入反比例函数的解析式即可算出m的值，从而得出F点的坐标； （2）根据图形可知，求 函数y= kx 图象在菱形ABCD内x的取值范围，就是求反比例函数的图象在直线AD下方部分的自变量的取值范围，及反比例函数的图象在直线BC上方部分的自变量的取值范围，根据E，F点的坐标及反比例函数的对称性即可直接写出。2【答案】（1）解：函数y 4x 经过点Q（2，m） m2Q（2，2）直线yx+b+2经过点Q（2，2）2+b+22b2；（2）解：如图1，当a4时，

10、P（4，0） 反比例函数的表达式为y 4x ，直线解析式为yx2M（4，2），N（4，1）MN211；a的取值范围是0a2或a4【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：（1）函数y 4x 经过点Q（2，m）m2Q（2，2）直线yx+b+2经过点Q（2，2）2+b+22b2；（2） 如图1，当a4时，P（4，0）反比例函数的表达式为y 4x ，直线解析式为yx2M（4，2），N（4，1）MN211；点P（a，0）（a0），PMy轴，M（a，a2），N（a， 4a ）由 4x x2解得：x1+ 5 或1 5 （舍）交点A（1+ 5 ， 5 1）分两种情况：a：当0a1+ 5 时

11、，如图2MNPN4a （a2） 4a a2即当0a2时，MNPNb：当a1+ 5 时，如图3MNPNa2 4a 4a a2 8a 如图4，函数ya2与y 8a 在第一象限的交点为B（4，2）a4即a4时，MNPN综上，a的取值范围是0a2或a4【分析】（1）将点Q（2，m）代入y=4x中，求出m=2，那么Q（2，2），再将Q的坐标代入y=x+b+2中，即可求得b的值.（2）当a=4时，P（4，0），再求出M和N的坐标，其纵坐标的差就是MN的长；当MNPN时，存在两种情况，过点P与y轴平行的直线在两函数交点的两侧时，列不等式求解并结合图像得出结论.3【答案】（1）解：把点A（1，a）代入y=2x

12、， 得a=2，则A（1，2）把A（1，2）代入y= kx ，得k=12=2；（2）解：过B作BCx轴于点C 在RtBOC中，tan= 12 ，可设B（2h，h）B（2h，h）在反比例函数y= 2x 的图象上，2h2=2，解得h=1，h0，h=1，B（2，1）；（3）解：A（1，2），B（2，1）， 直线AB的解析式为y=x+3，设直线AB与x轴交于点D，则D（3，0）SPAB=SPADSPBD=2，点P（m，0），12 |3m|（21）=2，解得m1=1，m2=7【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）把点A（1，a）代入y=2x，求出a=2，再把A（1，2）代入y= k

13、x ，即可求出k的值；（2）过B作BCx轴于点C在RtBOC中，由tan= 12 ，可设B（2h，h）将B（2h，h）代入y= 2x ，求出h的值，即可得到点B的坐标；（3）由A（1，2），B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+3，那么直线AB与x轴交点D的坐标为（3，0）根据PAB的面积为2列出方程 12 |3m|（21）=2，解方程即可求出m的值 4【答案】（1）解： 过点A作ADx轴于点DcosAOE= OD5 = 35OD=3AD= 5232 =4A（3，4）将点A的坐标代入反比例函数y2= ax 得，a=12反比例函数解析式为 y2=12x（2）解：将点B（6，m

14、）代入反比例函数 y2=12x 得，m=2 B（6，2）将A（3，4），B（6，m）代入一次函数y1=kx+b，得3k+b=46k+b=2 ，解得 k=23b=2一次函数解析式为 y=23x+2当y=0时， 0=23x+2 ，即x=3C（3，0）OC=3AOC的面积= 12 34=6BOC的面积= 12 32=3SAOC=2SBOC（3）解：当y1y2时，x的取值范围为6x0或x3【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）通过解直角三角形求出点A的坐标，进而得出反比例函数解析式；（2）先根据反比例函数解析式求得点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式

15、，进而得到OC的长，最后计算AOC和BOC的面积并得出结论；（3）结合两函数图象，找出反比例函数图象在一次函数图象下方时x的取值范围即可 5【答案】（1）解：设直线y1ax+b与y轴交于点D，在RtOCD中，OC3，tanACO =ODOC=23OD2，C（3，0），D（0，2）， 把点D（0，2），C（3，0）代入直线y1ax+b得，3a+b=0b=2解得，a=23b=2，直线的关系式为y123x+2；把A（m，4），B（6，n）代入y123x+2得，m3，n2，A（3，4），B（6，2）， k3412，反比例函数的关系式为y2 12x，y123x+2，y212x，（2）解：SABO=SAO

16、C+SBOC ，而SAOC=12OC|yA|=1234=6 ，SBOC=12OC|yB|=1232=3 ，SAOB=6+3=9.（3）解：x3或0x6.【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：（3）A(3，4)，B(6，2)， 所以根据图象不等式23x+bkx0的解集为：x3或0x6. 【分析】（1）先求出点D、C的坐标，再利用待定系数法求出直线y123x+2，再求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）利用割补法列出SABO=SAOC+SBOC求解即可； （3）结合函数图象，利用函数值大

17、的图象在上方的原则求解即可。6【答案】（1）解：把y3代入y2x1得x1， A（1，3）；又反比例函数y kx 的图象经过点A，k3，y=3xy=2x1 ，解得 x1=1y1=3 ， x2=32y2=2 ，B（ 32 ，2）（2）解：设直线AB的解析式为ykx+b， 则 k+b=332k+b=2 ，解得 k=2b=1 直线AB的解析式为y2x1，所以直线AB与y轴交于点（0，1），设点C的纵坐标为y，当点C在y轴的正半轴时， 12(y+1)(32+1)=5 ，解得y3，当点C在y轴的负半轴时， 12(1y)(32+1)=5 ，解答y5.点C的坐标为（0，3）或（0，5）【知识点】反比例函数与一

18、次函数的交点问题；三角形的面积【解析】【分析】（1）由直线y=2x-1经过点A（m，-3），把y=-3代入解析式即可求出m的值；再根据反比例函数经过点A即可得出k的值；联立两个函数解析式可求出点B的坐标；（2）求出直线AB与y轴的交点坐标，再根据A、B两点的横坐标以及三角形的面积公式解答即可。7【答案】（1）解：ADx 轴于点 D ， A(a,2) ，AD=2 ，CAD=45 ，AFD=45 ， FD=AD=2 ， 连接 AO ，AD y轴 ， SAOD=SADC=6 ， OD=6 ，ymx A(6,2) ， 将 A(6,2) 代入得 m=12 ， 反比例函数解析式为 y12x ，OCF=CA

19、D=45 ， 在 RtCOF 中， OC=OF=ODFD=62=4 ， C(0,4)将点 A （6，2），点 C （0，-4）代入 ykxb 得： b=46k+b=2 ，解得 k=1b=4 ， 一次函数解析式为 yx4 .（2）解：点 E 是点 C 关于 x 轴的对称点， E(0,4)y=12xy=x4 ，解方程组 x=2y=6 或 x=6y=2 ， CE=8 ， B(2,6) ，SABE=SBCE+SACE=12CE|Bx|+12CE|Ax|=1282+1286=32 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】根据AD以

20、及CAD的度数得出FD=2，根据AOD的面积得出OD的长度，从而得出点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式；根据RtCOF的性质求出点C的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式；(2)、根据对称求出点E的坐标，利用交点的求法得出点B的坐标，从而得出ABE的面积8【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为y= kx ，因为经过A（4，2）， k=8，反比例函数的解析式为y= 8x 因为B（1，a）在y= 8x 上，a=8，B的坐标是（1，8）把A（4，2）、B（1，8）代入y=mx+n，得 4m+n=2m+n=8 ，解得： m=2n=6 ，y=2x6（2）解：y=2x6中， 当y=0时

21、，x=3，直线y=2x6和x轴交点是C（3，0），OC=3，SAOB= 12 34+ 12 36=15（3）解：由图象知当4x0，或x1时，一次函数的值小于反比例函数的值 【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）先把A（4，2）代入反比例函数的解析式为y= kx ，求出k的值进而求出反比例函数的解析式，由B点在此反比例函数上可求出此点坐标，把A、B两点坐标代入y=mx+n即可求出一次函数的解析式；（2）根据直线与坐标轴交点的特点可求出C点坐标，再由A、B两点的坐标及SAOB=SAOC+SBOC即可解答；（3）根据图象即可得到结果 9【答案】（1）解：A(4，m)在一次函数

22、yx上， m4，即A(4，4)，A在反比例函数y kx (x0)的图象上，k16，反比例函数y kx 的解析式是y 16x ；（2）解：RtABP中，ABP=90，AB=4，AP=5， BP= AP2AB2=5242 =3，-4-3=-7，-4+3=-1，P点的坐标是(7，0)或(1，0)【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）先求出A的坐标，再代入反比例的函数解析式求出即可；（2）根据勾股定理求出即可。10【答案】（1）解：根据题意把A（1，m）代入y=2x+6 中得m=2+6=8， 所以A(1，8)，把A(1，8)代入反比例函数y= kx

23、 中，得k=8. 所以反比例函数的表达式y= 8x ；（2）解：把y=0代入y=2x+6，得2x+6=0， 解得x=-3，点B坐标为（-3，0），把x=0代入y=2x+6得y=6，点D坐标为（0，6），SBOD= 12 36=9由题意得过点P（0，n）平行于x轴的直线交反比例函y= 8x 于点M（ 8n ，n），交直线y=2x+6于点N（ n62 ，n），0n8， SBNM=14SBOD ，12n(8nn62)=94整理得n2-6n-7=0 解得n=7，n=-1，经检验n=7，n=-1都是原分式方程的解，其中n=-1不合题意，舍去，n=7.【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析

24、】（1）根据题意把A（1，m）代入y=2x+6 中可求得m的值，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式可求得k的值；（2）由题意把y=0代入直线解析式可求得直线与x轴的交点B的坐标，把x=0代入直线解析式可求得直线与y轴的交点D的坐标，则SBOD=12xByD可求解；由题意得过点P（0，n）平行于x轴的直线交反比例函y= 8x 于点M的坐标可用含n的代数式表示，与直线y=2x+6的交点N的坐标也可用含n的代数式表示，在0n8中，根据SBNM=14SBOD可得关于n的方程，解方程可求解.11【答案】（1）解：双曲线 y2=mx （m0）过点C（1，2）和D（2，n）， 2=m1n=m2 ，解得，

25、m=2n=1 .反比例函数的解析式为 y2=2x .直线 y1=kx+b 过点C（1，2）和D（2，1），k+b=22k+b=1 ，解得， k=1b=3 .一次函数的解析式为 y1=x+3（2）解：当x=0时，y1=3，即B（0，3）. OB=3 .如图所示，过点D作DEy轴于点E.D（2，1），DE=2.SBOD=12OBDE=1232=3【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积【解析】【分析】（1）将点C，D的坐标分别代入反比例函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到反比例函数解析式及点D的坐标；再将点C，D分别代入一次

26、函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式.（2）利用一次函数解析式求出点B的坐标，可得到OB的长；过点D作DEy轴于点E，可得到点D的坐标，求出DE的长，利用三角形的面积公式求出BOD的面积.12【答案】（1）解：已知反比例函数解析式为y= 8x ，点A(a，4)在反比例函数图象上，将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x. 故a=2；y=2x.（2）解：根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点

27、坐标为(b，0)，则C点坐标为(b， 8b )、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5， 85 )，则在ACD中， SACD=12(1085)(52) = 635 . 故ACD的面积为 635 .【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求；（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b

28、)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解.13【答案】（1）解：点 A(1,m) 在 y1 上， m=1+4=3 ，A(1,3) ，又：点 A(1,3) 在双曲线上，3=k1 ，k=3 ，y=3x（2）解：由题意得，如图： y=x+4y=3x ，解得： x=1y=3 或 x=3y=1 ，A（1，3），C（3，1），当 x0 时，不等式 y1y2 的解集： 1x3【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）先求出 A(1,3) ， 再利用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出 A（1，3），C（3，1）

29、， 再根据函数图象求解即可。14【答案】（1）解：将A（3，2）分别代入y= kx ，y=ax得：k=6，a= 23 ， 则反比例函数解析式为y= 6x ，正比例函数解析式为y= 23 x；（2）解：由图象得：在第一象限内，当0x3时，反比例函数的值大于一次函数的值；（3）解：BM=DM，理由为： SOMB=SOAC= 12 |k|=3，S矩形OBDC=S四边形OADM+SOMB+SOAC=3+3+6=12，即OCOB=12，OC=3，OB=4，即n=4，m= 6n = 32 ，MB= 32 ，MD=3 32 = 32 ，则MB=MD【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1

30、）将A坐标分别代入正比例与反比例函数解析式中求出a与k的值，即可确定出两函数解析式；（2）在图象上找出反比例在正比例上方时x的范围即可；（3）BM=DM，理由为：由反比例函数k的几何意义得到三角形OBM与三角形OAC面积为k的绝对值的一半，求出面积，矩形OBDC的面积=三角形OBM面积+四边形OADM面积+三角形OAC面积，求出矩形OBDC的面积，即为OB与OC的积，由OC的长求出OB的长，即为n的值，将n的值代入反比例解析式中求出m的值，即为BM的长，由BDBM求出MD的长，即可作出判断 15【答案】（1）解：如图， 将B（2，4）代入y k2x ，可得 k22 4，解得k28，反比例函数的

31、解折式为y2 8x ，当x4时，y 84 2，A（4，2），将A（4，2）、B（2，4）代入y1kx+b，可得： 4k+b=22k+b=4 ，解得 k=1b=2 ，直线AB的解折式为y1x2（2）解：A（4，2）， 直线OA的解析式为y 12 x，将直线OA沿y轴向下平移m个单位后，得到直线l，直线l的解析式为y 12 xm.SOAP2SOAB，B为AP的中点，A（4，2），B（2，4），P（8，10）.将P（8，10）代入y 12 xm，得10 12 （8）m，解得m6.故所求m的值为6.【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【

32、分析】（1）由题意把点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求解；由题意把x=4代入中求得的解析式可求得y的值，即为点A的坐标，然后用待定系数法求直线AB的解析式；（2） 用待定系数法求出直线OA的解析式，由平移的性质可得直线l的解析式为y12xm，根据SOAP2SOAB可知点B为线段AP的中点，由线段中点的意义可求得点P的坐标，由题意把点P的坐标代入直线l的解析式可求得m的值。16【答案】（1）解：把点A（ 32 ，4）代入 y=nx 中，得： 4=n32 解得 n=6反比例函数的解析式为 y=6x将点B（3，m）代入 y=6x 得m=2B（3，2）设直线AB的表达式为y=kx+b，则有32k+

33、b=43k+b=2 ， 解得 k=43b=6直线AB的表达式为 y=43x+6（2）解：设E点的坐标为 (0,b) 令 x=0 ，则 y=6 D点的坐标为 (0,6) DE=6-bSDEBSDEA=SAEB12(6b)312(6b)32=154解得： b=1E点的坐标为 (0,1)（3）解：A，B，两点坐标分别为（ 32 ，4），（3，2），由图像可知， 当 kx+bnx 时， 0x32 或 x3【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）把点A（ 32 ，4）代入 y=nx 中，化简计算可得反比例函数的解析式为 y=6x ，将点B（3，m）代入 y=6x ，可得B点坐标，再将A，B两点坐标代入 y=kx+b ，化简计算即可得直线AB的表达式，即是CD的表达式；（2）设E点的坐标为 (0,b) ，则可得D点的坐标为 (0,6) ，利用 SDEBSDEA=SAEB ，化简可得 b=1 ，即可得出E点的坐标；（3）由图像，直接得出结论即可.