2023年高考数学(文)一轮复习第8章培优课8.docx

1、8.2 球的切、接问题 题型一 特殊几何体的切、接问题例 1(1)已知正方体的棱长为 a，则它的外接球半径为_，与它各棱都相切的球的半径为_答案 32 a 22 a解析 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，为 3a，它的外接球的半径为 32 a，球与正方体的各棱都相切，则球的直径为面对角线，而正方体的面对角线长为 2a，与它各棱都相切的球的半径为 22 a.(2)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_答案 23 解析 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为 r.作出圆锥的轴截面 PAB，如图所示，则PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆在PAB 中

2、，PAPB3，D 为 AB 的中点，AB2，E 为切点，则 PD2 2，PEOPDB，故POPBOEDB，即2 2r3r1，解得 r 22，故内切球的体积为43223 23.思维升华(1)正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R 3a；若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a.(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R a2b2c2.(3)正四面体的外接球的半径 R 64 a，内切球的半径 r 612a，其半径 Rr31(a 为该正四面体的棱长)跟踪训练 1(1)(2022成

3、都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为323 的球 O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为()A4B8C12D16答案 B解析 如图所示，设球 O 的半径为 R，由球的体积公式得43R3323，解得 R2.设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为，则 r2cos，圆柱的高为 4sin，圆柱的侧面积为 4cos 4sin 8sin 2，当且仅当 4，sin 21 时，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积的最大值为 8.(2)(2022长沙检测)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1 内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB6，BC8，AA13，则 V 的最大值是_答案 92解析 易知 AC

4、10.设ABC 的内切圆的半径为 r，则126812(6810)r，所以 r2.因为 2r43，所以最大球的直径 2R3，即 R32，此时球的体积 V43R392.题型二 补形法例 2(1)在四面体 ABCD 中，若 ABCD 3，ACBD2，ADBC 5，则四面体 ABCD的外接球的表面积为()A2B4C6D8答案 C解析 由题意可采用补形法，考虑到四面体 ABCD 的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为 x，y，z 的长方体，并且 x2y23，x2z25，y2z24，则有(2R)2x2y2z26(R 为外接球的半径)，得 2R23，所以外接球的表面积为 S4R26.(2)(202

5、2重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形 ABCD 为矩形，CE平面ABCD，AB2，BCCE1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为_，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为_答案 13 6解析 如图添加的三棱锥为直三棱锥 EADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱 ADFBCE，因为 CE平面 ABCD，AB2，BCCE1，所以 SCBE12CEBC121112，直三棱柱 ADFBCE 的体积为VSEBCDC1221，添加的三棱锥的体积为13V13；如图，分别取 AF，BE 的中点 M，N，连接 MN，与 AE 交于点 O，因为四边形 AFEB 为

6、矩形，所以 O 为 AE，MN 的中点，在直三棱柱 ADFBCE 中，CE平面 ABCD，FD平面 ABCD，即ECBFDA90，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点 O，连接 DO，DO 即为球的半径，连接 DM，因为 DM12AF 22，MO1，所以 DO2DM2MO212132，所以外接球的表面积为 4DO26.思维升华 补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解跟踪训练 2 已知三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA1，PB2，PC3，则三棱锥 PAB

7、C 的外接球的表面积为()A.7 143B14C56D.14答案 B解析 以线段 PA，PB，PC 为相邻三条棱的长方体 PABBCAPC被平面 ABC 所截的三棱锥 PABC 符合要求，如图，长方体 PABBCAPC与三棱锥 PABC 有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线 PP，设外接球的半径为 R，则(2R)2PP2PA2PB2PC212223214，则所求表面积 S4R2(2R)214.题型三 定义法例 3(1)已知ABC90，PA平面 ABC，若 PAABBC1，则四面体 PABC 的外接球(顶点都在球面上)的体积为()AB.3C2D.32答案 D解析 如图，取 PC 的中点

8、O，连接 OA，OB，由题意得 PABC，又因为 ABBC，PAABA，PA，AB平面 PAB，所以 BC平面 PAB，所以 BCPB，在 RtPBC 中，OB12PC，同理 OA12PC，所以 OAOBOC12PC，因此 P，A，B，C 四点在以 O 为球心的球面上，在 RtABC 中，AC AB2BC2 2.在 RtPAC 中，PC PA2AC2 3，球 O 的半径 R12PC 32，所以球的体积为43323 32.延伸探究 本例(1)条件不变，则四面体 PABC 的内切球的半径为_答案 212解析 设四面体 PABC 的内切球半径为 r.由本例(1)知，SPAC12PAAC121 2 2

9、2，SPAB12PAAB121112，SABC12ABBC121112，SPBC12PBBC12 21 22，VPABC1312ABBCPA131211116，VPABC13(SPACSPABSABCSPBC)r1322 1212 22r16，r 212.(2)在矩形 ABCD 中，BC4，M 为 BC 的中点，将ABM 和DCM 分别沿 AM，DM 翻折，使点 B 与点 C 重合于点 P，若APD150，则三棱锥 MPAD 的外接球的表面积为()A12B34C68D126答案 C解析 如图，由题意可知，MPPA，MPPD.且 PAPDP，PA平面 PAD，PD平面 PAD，所以 MP平面 P

10、AD.设ADP 的外接圆的半径为 r，则由正弦定理可得ADsinAPD2r，即4sin 1502r，所以 r4.设三棱锥 MPAD 的外接球的半径为 R，则(2R)2PM2(2r)2，即(2R)246468，所以 4R268，所以外接球的表面积为 4R268.思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可跟踪训练 3(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为 3，则这个球的体积为_答案 43解析 设正六棱柱

11、的底面边长为 x，高为 h，则有6x3，986 34 x2h，x12，h 3.正六棱柱的底面外接圆的半径 r12，球心到底面的距离 d 32.外接球的半径 R r2d21.V 球43.(2)(2022哈尔滨模拟)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，其中 AD1，AB2，平面 PAD平面 ABCD，PAD 为等边三角形，则四棱锥 PABCD 的外接球表面积为()A.163B.763C.643D.193答案 A解析 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PAPD，取 AD 的中点 E，则 PEAD，PE平面 ABCD，则 PE

12、AB，由 ADAB，ADPEE，AD，PE平面 PAD，可知 AB平面 PAD，由PAD 为等边三角形，E 为 AD 的中点知，PE 的三等分点 F(距离 E 较近的三等分点)是三角形的中心，过 F 作平面 PAD 的垂线，过矩形 ABCD 的中心 O 作平面 ABCD 的垂线，两垂线交于点 I，则 I 即外接球的球心OIEF13PE13 32 36，AO12AC 52，设外接球半径为 R，则 R2AI2AO2OI252236243，所以四棱锥 PABCD 的外接球表面积为 S4R2443163.课时精练1正方体的外接球与内切球的表面积之比为()A.3B3 3C3D.13答案 C解析 设正方体

13、的外接球的半径为 R，内切球的半径为 r，棱长为 1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即 2R 3，所以 R 32，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即 2r1，即 r12，所以Rr 3，正方体的外接球与内切球的表面积之比为4R24r2R2r23.2(2022开封模拟)已知一个圆锥的母线长为 2 6，侧面展开图是圆心角为2 33的扇形，则该圆锥的外接球的体积为()A36B48C36D24 2答案 A解析 设圆锥的底面半径为 r，由侧面展开图是圆心角为2 33的扇形，得 2r2 332 6，解得 r2 2.作出圆锥的轴截面如图所示设圆锥的高为 h，则 h2 622 224.设该圆锥的

14、外接球的球心为 O，半径为 R，则有 R hR2r2，即 R4R22 22，解得 R3，所以该圆锥的外接球的体积为4R33 433336.3已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3，体积为 6，则这个球的表面积为()A16B20C24D32答案 A解析 如图所示，在正四棱锥 PABCD 中，O1 为底面对角线的交点，O 为外接球的球心VPABCD13S 正方形 ABCD36，所以 S 正方形 ABCD6，即 AB 6.因为 O1C12 66 3.设正四棱锥外接球的半径为 R，则 OCR，OO13R，所以(3R)2(3)2R2，解得 R2.所以外接球的表面积为 42216.4已知棱长为 1

15、的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为()A.68 B.64 C.38 D.34 答案 A解析 如图将棱长为 1 的正四面体 B1ACD1 放入正方体 ABCDA1B1C1D1 中，且正方体的棱长为 1cos 45 22，所以正方体的体对角线AC1222222222 62，所以正方体外接球的直径 2RAC1 62，所以正方体外接球的体积为43R343643 68，因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为 68.5(2021天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为 13，则这两个圆锥的体积之和为()A

16、3B4C9D12答案 B解析 如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点 D，设圆锥 AD 和圆锥 BD 的高之比为 31，即 AD3BD，设球的半径为 R，则4R33 323，可得 R2，所以 ABADBD4BD4，所以 BD1，AD3，因为 CDAB，AB 为球的直径，所以ACDCBD，所以ADCDCDBD，所以 CD ADBD 3，因此，这两个圆锥的体积之和为13CD2(ADBD)13344.6(2022蚌埠模拟)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有

17、不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为 9 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：62.45，3.14)()A20 cm3B22 cm3C26 cm3D30 cm3答案 C解析 如图，正四面体 ABCD，其内切球 O 与底面 ABC 切于 O1，设正四面体棱长为 a，内切球半径为 r，连接 BO1 并延长交 AC 于 F，易知 O1 为ABC 的中心，点 F 为边 AC 的中点易得 BF 32 a，则 SABC 34 a2，BO123BF 33 a，DO1 BD2BO21 63 a，VDABC13SABCDO1 2

18、12a3，VDABCVOABCVOBCDVOABDVOACD4VOABC413 34 a2r 33 a2r，33 a2r 212a3r 612a，球 O 的体积V43612a 3436129 327 68278 2.453.1426(cm3)7已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA平面 ABC，PA6，ABAC，AB2，AC2 3，点 D 为 AB 的中点，过点 D 作球的截面，则截面的面积不可以是()A.2BC9D13答案 A解析 三棱锥 PABC 的外接球即为以 AB，AC，AP 为邻边的长方体的外接球，2R62222 322 13，R 13，取 BC 的中点 O1，O

19、1 为ABC 的外接圆圆心，OO1平面 ABC，如图当 OD截面时，截面的面积最小，OD OO21O1D232 322 3，此时截面圆的半径为 r R2OD21，截面面积为 r2，当截面过球心时，截面圆的面积最大为 R213，故截面面积的取值范围是，138(2021全国甲卷)已知 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 ACBC，ACBC1，则三棱锥 OABC 的体积为()A.212B.312C.24D.34答案 A解析 如图所示，因为 ACBC，所以 AB 为截面圆 O1 的直径，且 AB 2.连接 OO1，则 OO1平面 ABC，OO11AB221222 22，所以三棱锥

20、 OABC 的体积 V13SABCOO1131211 22 212.9已知三棱锥 SABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA1，SBSC2，则三棱锥 SABC 的外接球的半径是_答案 32解析 如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为 R，则(2R)21222229，4R29，R32.即这个外接球的半径是32.10已知正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 3，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为_答案 21解析 如图，过点 P 作 PD平面 ABC 于点 D，连接 AD 并延长交 BC 于点 E，连接 PE.因为ABC 是正三角形，所以 A

21、E 是 BC 边上的高和中线，D 为ABC 的中心因为 ABBC2 3，所以 SABC3 3，DE1，PE 2.所以 S 三棱锥表3122 3 23 33 63 3.因为 PD1，所以三棱锥的体积 V133 31 3.设球的半径为 r，以球心 O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，由13S 三棱锥表r 3，得 r3 33 63 3 21.11等腰三角形 ABC 的腰 ABAC5，BC6，将它沿高 AD 翻折，使二面角 BADC 成60，此时四面体 ABCD 外接球的体积为_答案 28 73解析 由题意，设BCD 所在的小圆为 O1，半径为 r，又因为二面角 BADC

22、为 60，即BDC60，所以BCD 为边长为 3 的等边三角形，由正弦定理可得，2r3sin 602 3，即 DE2 3，设外接球的半径为 R，且 AD4，在 RtADE 中，(2R)2AD2DE24R242(2 3)228，所以 R 7，所以外接球的体积为V43R343(7)328 73.12已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的表面上，若 ABAC1，AA12 3，BAC23，则球 O 的体积为_答案 323解析 设ABC 的外接圆圆心为 O1，半径为 r，连接 O1O，如图，易得 O1O平面 ABC，ABAC1，AA12 3，BAC23，2rABsinACB1122，即 O1A1，O1O12AA1 3，OA O1O2O1A2 312，即直三棱柱 ABCA1B1C1 的外接球半径 R2，V 球4323323.